第1章 勾股定理 单元检测卷-【宝典训练】2026-2027学年八年级上册数学高效课堂Word教师用书（北师大版·新教材）

八年级上册数学(BS)单元检测卷(一) 第一章　勾股定理 (满分：100分　　时间：90分钟) 班级：____________　　学号：____________　　姓名：____________　　分数：____________ 一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的) 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是(B) A．5，12，11 B．6，8，10 C．1.5, 2, 2.5 D．15，17，18 2．如图，若正方形A，B的面积分别为25和9，则正方形C的面积是(D) A．4 B．8 C．12 D．16 　　　　　　　　　 3．已知a，b，c是△ABC的三条边，则下列条件能判定△ABC为直角三角形的是(B) A．a∶b∶c＝1∶2∶3 B．(a＋b)2＋(a－b)2＝2c2 C．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4 D．∠A＝∠B＝2∠C 4．如图，一棵树在一次强台风中，从离地面5 m的点C处折断，倒下后树顶端着地点B与树底端A相距12 m，则这棵树在折断前的高度是(C) A．10 m B．17 m C．18 m D．20 m 5．《九章算术》中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何？意思是：今有门，不知其高宽，不知其长短．将一根竿子横放，竿比门宽长出4尺；竖放竿比门高长出2尺，斜着放，竿与门对角线恰恰相等．问门高、宽、对角线长分别是多少。若设门对角线长为x尺，则可列方程为(C) A．(x－2)2＋(x－4)2＝2x2 B．(x－2)2＋42＝x2 C．(x－4)2＋(x－2)2＝x2 D．(x－4)2＋x2＝(x－2)2 6．如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是(B) A．三角形内角和定理 　 B．勾股定理 C．三角形全等判定 D．等腰三角形判定 7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，将它的锐角A翻折，使得点A落在边BC的中点D处，折痕交AC边于点E，交AB边于点F，则DE的长为(D) A．2 B．3 C． D． 8．如图，在水平直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别为S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝(C) A．5 B．6 C．4 D．8 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 9．若直角三角形的两直角边长为a，b，且满足(a－3)2＋|b－4|＝0，则该直角三角形的斜边长为5。 10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝5，在AC上截取CD＝CB。在AB上截取AP＝AD，则AP＝8。 　　　　　　　　　 11．如图，李明从家(A处)出发向正北方向走了1 200米到达B处，接着向正东方向走到离家2 000 m远的C处，这时，李明向正东方向走了1_600 m。 12．如图所示的是一个圆柱，底面圆的周长是12 cm，高是5 cm，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B，则彩带最短需要13cm。 13．课间，小聪拿着老师的等腰直角三角尺玩，不小心掉到两墙之间(如图)，∠ACB＝90°，AC＝BC，从三角尺的刻度可知AB＝20，小聪很快就知道了砌墙砖块的厚度的平方(每块砖的厚度相等)为。 三、解答题(本大题共7小题，其中第14题6分，第15题7分，第16题8分，第17题9分，第18题9分，第19题10分，第20题12分，共61分) 14．在Rt△ABC中，∠B＝90°，三条边长如图所示，求x的值。 解：由勾股定理，得 122＋x2＝(x＋8)2， 解得x＝5， ∴x的值为5。 15．如图，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝90°，AB＝13，BC＝12，求该图形的面积。 解：如答图，连接AC，在Rt△ACD中，AD＝4，CD＝3， 所以AC2＝AD2＋CD2＝25，所以AC＝5。 在△ABC中，因为AC2＋BC2＝52＋122＝132＝AB2， 所以△ABC为直角三角形， 所以该图形的面积为S△ABC－S△ACD＝×5×12－×3×4＝24。 16．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5 m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，人只要移至距离该门铃5 m及5 m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”。如图所示，一个身高1.5 m的学生走到D处，即CD＝1.5 m，门铃恰好自动响起，求BD的长。 解：如答图，过点C作CE⊥AB，垂足为点E。 由题意可知，BD＝CE，BE＝CD＝1.5 m，AC＝5 m， 则AE＝AB－BE＝4.5－1.5＝3(m)， 在Rt△ACE中，由勾股定理，得CE2＝AC2－AE2＝52－32＝16， 所以CE＝4 m，所以BD＝CE＝4 m，即BD的长为4 m。 17．如图，一个密封的圆柱形油罐底面的周长是10 m，高是15 m，一只壁虎在距底面3 m的点A处，油罐上底面与点A相对的点C处有食物，壁虎沿油罐的外侧面爬行到点C处捕食，它爬行的最短路程为多少米？ 解：作展开图如答图， 由题意可得AD＝×10＝5(m)，CD＝15－3＝12(m)， 在直角三角形ACD中，由勾股定理，得AC2＝122＋52＝169， 所以AC＝13(m)， 答：它爬行的最短路线长为13 m。 18．如图，铁路上A，B两点相距25 km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15 km，CB＝10 km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A处多少千米处？ 解：设AE＝x km，因为C，D两村到E站的距离相等， 所以DE＝CE，即DE2＝CE2， 由勾股定理，得152＋x2＝102＋(25－x)2，解得x＝10。 故E站应建在距A处10 km处。 19．如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE。 (1)求证：△ABC≌△DCE； (2)连接AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长。 (1)证明：因为AB∥DE，所以∠BAC＝∠CDE。 在△ABC和△DCE中，所以△ABC≌△DCE(AAS)。 (2)解：由(1)可得BC＝CE＝5， 在直角三角形ACE中，AE2＝AC2＋CE2＝122＋52＝169，故AE＝13。 20．【问题情境】 勾股定理是一个古老的数学定理，有很多种证明方法．下面利用拼图的方法探究证明勾股定理。 【定理表述】 (1)请你结合图1中的直角三角形，叙述勾股定理：a2＋b2＝c2(可以选择文字语言或符号语言叙述)； 【尝试证明】 (2)善于思考的小亮利用若干个全等的直角三角形构造出如图2所示的两种图形，用两种方法验证了勾股定理，请你选择其中一种进行说明； 【解决问题】 (3)如图3，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5 m处，发现此时绳子底端距离打结处约1 m，请设法求出旗杆的高度。 　　　　　　 图2 　　 解：(2)方法一：如答图，连接AE。 因为S梯形ACDE＝S△ABE＋2S△ACB＝c2＋2×ab＝c2＋ab， 又S梯形ACDE＝(a＋b)(a＋b)＝(a＋b)2， 所以(a＋b)2＝c2＋ab，所以a2＋b2＝c2； 方法二：因为S正方形ABCD＝S正方形HEFG＋4S△AED＝(b－a)2＋4×ab＝a2＋b2。 又S正方形ABCD＝AD2＝c2，所以a2＋b2＝c2。 (3)如题图3，由题意知AB＝AC， 因为AB2＋BD2＝AD2，所以AB2＋52＝(AC＋1)2，所以AB＝12， 故旗杆的高度为12 m。 学科网（北京）股份有限公司 $