第一章勾股定理 单元测试卷 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

2026-2027学年北师大版数学八年级上册第一章勾股定理单元测试卷 时间:120分 满分:120分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（本题3分）如图，一棵树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离底部8米处，树折断之前高为（     ） A．12米 B．16米 C．18米 D．20米 3．（本题3分）已知一个直角三角形两边长为2和3，则第三边长为（     ） A． B． C．或 D．5 4．（本题3分）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，若这支铅笔长为，则这支铅笔在笔筒内的最长长度为（    ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，在中，，，，为上一点，将沿折叠使点落在点处，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，网格中小正方形的边长均为1，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（     ） A．1 B．3 C． D． 7．（本题3分）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形图案（如图），它是2002年北京国际数学家大会会徽的基础图案．若大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则每个直角三角形的两直角边之和为（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 8．（本题3分）如图，分别以的两条直角边为边作正方形，面积分别记为．若 ，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，圆柱形水杯高，底面周长为，一只蚂蚁在杯底外壁A点，在水杯内壁离杯顶的B处有一滴蜂蜜，蚂蚁从水杯外壁A处爬行至杯内壁B处．爬行最短路径长为（     ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，在直线上依次摆放着五个正方形．已知斜放置的两个正方形的面积分别是、，正放置的三个正方形的面积依次是，则（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）已知在中，，若，则___________ 12．（本题3分）如图，某同学在公园荡秋千．已知秋千静止时绳索，踏板离地的垂直高度．当他往前荡至点C处时．测得水平距离．假设人在荡秋千的过程中秋千绳索始终拉直不变形．则点C处踏板离地的垂直高度的长为______． 13．（本题3分）我国古代称直角三角形为“勾股形”．如图，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．若，则此勾股形的面积为__________． 14．（本题3分）如图，国庆节期间，小明一家自驾到某景区游玩，到达地后，导航显示车辆应先行驶10千米至地，再沿北偏东方向行驶千米到达景区．小明发现景区恰好在地的正北方向，则、两地的距离为_____千米． 15．（本题3分）如图，在中，，，D是线段上一点，连接，，，则的长为___． 16．（本题3分）如图，在长方形中，，，点P是射线上的一点，直线l是长方形的一条对称轴，将沿折叠，当点B的对应点落在直线l上时，的长是______． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）如图，某精密仪器的零件的平面图呈“飞镖”状，其中，若，，，，若制作该零件的成本为30元，则每生产一个这种零件需要投入多少元？ 18．（本题8分）如图，在中，，，点是边上一点，，． (1)试说明：是直角三角形； (2)求的面积． 19．（本题8分）我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)海港受台风影响吗？为什么？ 20．（本题8分）校园内要规划一块等腰三角形绿地，其中，底边．打算在边上的点处安装喷灌龙头，测得，． (1)求的长； (2)求中边上的高． 21．（本题9分）春天放风筝是深受大家喜爱的一项活动．如图，牵线放风筝的同学站在处，风筝在处，先测得他抓线的地方与地面的垂直距离为米，然后测得他与风筝的水平距离为米，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米． (1)风筝的垂直高度______米； (2)如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 22．（本题9分）如图，在中，，，，D，E分别是和边上的点，将沿折叠，点B的对应点为点． (1)若是的中点，则的长为__________． (2)若点在线段上（含端点），则的取值范围为__________． 23．（本题10分）如图，方格纸中每一个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，用无刻度直尺按下列要求画图，（保留作图痕迹，体现作图过程） (1)在图1中，画出的中线； (2)在图2中，在上确定一点F，使得； (3)已知，直接写出（2）中的长． 24．（本题12分）回顾人类文明历史，勾股定理揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，该定理也被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，，那么空白部分的面积等于______． (3)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积． 第8页（共8页） 第7页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年北师大版数学八年级上册第一章勾股定理单元测试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C B C C D B A B 1．D 【分析】勾股数就是能构成直角三角形三边的三个正整数‌，它们要同时满足“是正整数”和“符合勾股定理”这两个条件． 【详解】解：A、，，不全是正整数，故不是勾股数； B、，，，故，，不是勾股数； C、，，不是正整数，故不是勾股数； D、，，均为正整数，且，，故，D选项是勾股数． 2．B 【分析】利用勾股定理求出折断部分的长度，即可得出结果． 【详解】解：由勾股定理可得折断部分的长度为米， ∴树折断之前高为米． 3．C 【分析】未明确直角三角形的斜边，需结合斜边最长的性质分类讨论． 【详解】解：直角三角形中斜边最长，分两种情况计算第三边． 当长为的边为斜边，长为的边为直角边时，第三边长为． 当长为和的边均为直角边时，第三边长为． 故第三边长为或． 4．B 【详解】解：当铅笔不垂直于底面放置时，由勾股定理得， ∴这支铅笔在笔筒内的最长长度为． 5．C 【分析】根据题意，得，，利用勾股定理，解答即可． 【详解】解：，，， ， 根据折叠的性质，得，，， ，， 根据勾股定理，得， 解得． 6．C 【分析】由同圆半径相等得，在中用勾股定理求，则． 【详解】解：∵以点为圆心、为半径画弧交最上方的网格线于点， ∴． ∵，， ∴， ∴. 7．D 【分析】根据题意，结合图形求出与的值，利用完全平方公式化简得到，再代入计算求出的值即可． 【详解】解：设直角三角形较长直角边长为a， 较短直角边长为b， 根据题意得，，， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴ ， 即每个直角三角形的两直角边之和为5． 8．B 【分析】根据勾股定理得，计算即可求的长． 【详解】解：在中，， 以的两条直角边为边作正方形，面积分别记为， ， （负值舍去）， 故选：B． 9．A 【分析】通过水杯侧面展开图得出矩形，利用轴对称的性质得出最短路径，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：水杯侧面展开图，如图所示，点与点关于直线对称，连接交于点，连接， 此时路径最短，路径为线段的长度， 根据题意得，，，， ∴， 由勾股定理得，， ∴爬行最短路径长为． 10．B 【分析】结合正方形的性质，证明，根据全等三角形的性质和勾股定理推出，同理得到，即可求解． 【详解】解：如图， 图中的四边形均为正方形， ，，, ，, ． 在和中， ， ， ， ， ， ，，， ， 同理，， ． 11． 【分析】直接利用勾股定理即可计算的长度． 【详解】解：， ， ，， ， 是的边， ． 12． 【分析】由题意可知：，，由勾股定理得出，再根据计算即可． 【详解】解：由题意可知：，， 在中，， ∴． 13． 30 【分析】设正方形左侧直角三角形的水平直角边长为x，根据题意和图形特征，表示出大直角三角形的三边长，利用勾股定理建立方程求出x，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：设正方形左侧部分的水平直角边长为x， 由题意及图形可知，大直角三角形的竖直直角边长为，水平直角边长为，斜边长为， ，， ∴竖直直角边长为，水平直角边长为，斜边长为， 根据勾股定理，得， 解得， ∴水平直角边长， ∴勾股形的面积． 14． 【分析】构造直角三角形，作高，先利用直角三角形性质求出、，再在中用勾股定理求，线段相加得到长． 【详解】解：过点作于点， 由题意可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 15． 【分析】过作于，在两个直角三角形中用勾股定理建立关于的方程求出和，再在中求，最后由得解． 【详解】 解：过作于点， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ，，， ，即， ， ． 16．5或20 【分析】根据折叠的性质可知，，设对称轴l与，的交点分别为点E，F，则，，分两种情况讨论：当点P在线段上时，点落在l上或当点P在线段的延长线上时，点落在l上，画出图形利用勾股定理求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质可知，， 设对称轴l与，的交点分别为点E，F， 则，， 分两种情况讨论： 当点P在线段上时，点落在l上，如图①， 在中，， ∴， 设，则，， 在中，， 即： 解得，及 当点P在线段的延长线上时，点落在l上，如解图②， 在中，， 则， 设，则，， 在中，， 解得，及， 综上所述，的长为5和20． 17．每生产一个这种零件需要投入720元 【分析】连接，由勾股定理可得，证明是直角三角形，且，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴一个这种零件的面积， （元）， ∴每生产一个这种零件需要投入720元． 18．(1)证明：在中， ，，， ，， 是直角三角形． (2) 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理即可证明是直角三角形； （2）由是直角三角形可知，也为直角三角形，在中利用勾股定理求出的长，进而求出的长，从而以为底，为高求出的面积． 【详解】（1）略 （2）解：是直角三角形， ， ． 在中，由勾股定理得：， ， ． 19．(1)证明：，，， ． 是直角三角形，即； (2)解：海港受台风影响，理由如下 如图，过点作于， ， ， ， 海港受台风影响． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形； （2）过点作于，再利用三角形面积得出的长，结合题意，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 20．(1)； (2)． 【分析】由勾股定理逆定理可得是直角三角形，，故有，设，则，最后通过勾股定理即可求解； 过作于点，然后通过即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，即， ∴的长为； （2）解：∵， ∴， 过作于点，如图， ∵， ∴， ∴， ∴中边上的高为． 21．(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，过作于， 由题意得：，米，米，米， ∴（米）， ∴（米）； （2）解：设风筝沿方向下降米至点，连接， ∵米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴他应该往回收线米． 22．(1) (2) 【分析】（1）由是中点得，设，根据折叠性质得，则．在中，由勾股定理，列方程进行求解即可； （2）当与重合时，最大，最小：设，在中由勾股定理解得，得；当与重合时，最大，此时，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：是的中点， ， 设，则， 根据折叠可得，， 在中，， ∴， 解得， ； （2）解：根据折叠可得，， 当的值最大即点A与点重合时，的值最小，如图1， 此时， 设，则， 在中， ∴ 解得， ； 当的值最小即点C与点重合时，的值最大，如图2， 此时， 综上所述，的取值范围为． 23．(1)解：画图如下： 则即为所求． (2)解：画图如下： 则点F即为所求． (3) 【分析】（1）首先确定的中点E，连接，解答即可； （2）根据直角三角形的三边分为，于是构造一个三边长也是3,4,5的直角三角形，利用三角形全等的判定和性质，解答即可； （3）根据基本作图，可得．利用勾股定理的逆定理，直角三角形的面积，解答即可． 【详解】（1）解：确定的中点E，连接，画图略；则即为所求． （2）解：根据题意，构造一个三边长也是的直角三角形，画图略， 则两条斜边的交点记作F，则点F即为所求． （3）解：，， ， ， ， 根据作图，得， ， ， ， ． 24．(1)证明：∵大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积， ∴，即， ∴． (2) (3) 【分析】（1）根据大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积，即可得证． （2）根据空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积，计算即可， （3）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意得， ∵空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积， ∴空白部分的面积． （3）解：如图， 根据题意得，， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积． 答案第2页（共14页） 答案第1页（共14页） 学科网（北京）股份有限公司 $