第1章 问题解决：策略反思-【宝典训练】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂（北师大版·新教材）

数学八年级下册（北师大版） ∴FG PD=-MN·PE 又.FG=MN,PD=PE, ∴.点P在∠AOB的平分线上. 3.证明：如答图，过点P作PE⊥OA于点 E,PF⊥OB于点F,∴∠PEC=∠PFD M =90°. OM是∠AOB的平分线，.PE=PF E- :∠AOB=90°，∠CPD=90°， ∴.∠PCE+∠PD0=360°-90°-90°02 DF R =180°. 答图 .∠PDO+∠PDF=180°，.∠PCE=∠PDF. ∠PCE=∠PDF, 在△PCE和△PDF中，〈∠PEC=∠PFD, PE=PF. ∴.△PCE≌△PDF(AAS),∴.PC=PD 4.解：如答图，过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC交AC的延 长线于点F, .AD平分∠BAC,DE=DF. CE. “Sam=合AB,DE=号X4DE =2DE, Sm=2AC.DF=合X3DF= 答图 SAASAN-2DE:DF-43. 即△ABD与△ACD的面积之比为4：3. 5.解：如答图，延长AE,CB交于点F,过点D作DM⊥AC于点 M. :∠ABC=90,AE⊥CD, ∴.∠FAB+∠F=90°，∠FCE+ ∠F=90°. .∠FAB=∠FCE. D 在△ABF 和 △CBD 「∠FAB=∠DCB, F--- B 中，AB=CB, 答图 (∠ABF=∠CBD=90°， .△ABF≌△CBD(ASA),∴.AF=CD. :AE=合CD,∴AE=AF=EE (AE-FE, 在△ACE和△FCE中，∠AEC=∠FEC=90°， CE=CE, .△ACE≌△FCE(SAS), .∠ACE=∠FCE,即CD平分∠ACB. 又DM⊥AC,∠ABC=90°，BD=8cm, .DM=DB=8cm,即点D到AC的距离为8cm. 6.证明：如答图，在AD上截取DH,使DH=BD,连接 EH,FH D 答图 ,AD是BC边上的中线， .BD=CD,即BD=CD=DH.DE平分∠ADB, ·∠BDE=∠HDE. 又DE=DE,∴.△BDE≌△HDE(SAS), .BE=HE.同理可得△CDF≌△HDF(SAS), ∴.CF=HF. 在△HEF中， .HE+HF>EF,.'.BE+CE>EF 问题解决：策略反思 1.解：【证明命题】证明：如答图1，连接AD, :AB=AC,点D是BC的中点，∴AD平分∠BAC, ,DE⊥AB,DF⊥AC,.DE=DF 【条件探究】证明：如答图2，连接AD,交BC于点M, :AB=AC,BD=CD,点A,D在线段BC的垂直平分线上， .AD垂直平分BC, AB=AC,AD⊥BC,∴.AD平 分∠BAC, .DE⊥AB,DF⊥AC,.DE=DF 【条件、结论互换】猜想不一定成立.如答 图3，当点D在BC的垂直平分线上，且 在△ABC的外角平分线上时，满足条 件，但△ABC不一定是等腰三角形， B 答图3 2.解：(1)如果一个三角形一边上的中线也是这条边上的高，那 么这个三角形是等腰三角形， (2)a.已知：如题图，在△ABC中，AD是中线，AD⊥BC.求 证：△ABC是等腰三角形. b.命题I,Ⅱ都是真命题，证明过程如下： 命题I:,AD平分∠BAC,·∠BAD=∠CAD, 在△ABD和△ACD中，∠BAD=∠CAD,AD=AD,∠ADB =∠ADC=90°，.△ABD≌△ACD(ASA), ∴.AB=AC,△ABC是等腰三角形 命题I:AD是中线，∴.BD=DC,在△ABD和△ACD中， AD=AD,∠ADB=∠ADC=90°，DB=DC,.△ABD≌ △ACD(SAS), ∴.AB=AC,△ABC是等腰三角形， 第14课时章末复习 高频考点精练·体验中考 1.(1)B(2)B2.C3.C4.D 5.每一个内角都大于60° 6.直角三角形两锐角互余 7.12 8.解：(1)如答图，点D即为所求 D 答图 (2)6/2 9.(1)证明：由作图知：BD=CD 在△ABD和△ACD中， (AB=AC, .BD=CD, LAD-AD ∴.△ABD≌△ACD. (2)23 易错二次闯关 1.C2.D3.6cm或7cm 4.75°或120°或15°数学·八年级下册（北师大版） 问题解决：策略反思 问题1等腰三角形性质的再探究 1.数学活动课上，小明在折叠等腰三角形纸片ABC的过程中发现：等腰三角形底边中点到两腰的距 离相等（如图①）. 【证明命题】已知：如图②，在等腰△ABC中，AB=AC,点D为BC的中点，DE⊥AB于点E,DF⊥ AC于点F.求证：DE=DF. 【条件探究】对于任意的等腰三角形，若将“点D为BC的中点”改为“点D为三角形外部一点，点D 到等腰三角形的两顶点B,C的距离相等”，那么点D到两腰所在直线的距离相等吗？ 【证明命题】已知：如图③，在等腰△ABC中，AB=AC,点D为三角形外部一点，BD=CD,DE⊥直 线AB于点E,DF⊥直线AC于点F.求证：DE=DF, 【条件、结论互换】利用已有学习经验，尝试改变条件和结论 的位置，提出猜想：对于平面上的一点D,若满足点D到一 个三角形的两顶点B,C的距离相等，且点D到边AB,AC 所在直线的距离相等，那么这个三角形是等腰三角形.你认冬 为这个猜想是否成立？若成立，请画图并说明理由；若不成 ① 立，请画出反例图. ●>34《● 第一章三角形的证明及其应用 问题2等腰三角形判定的再探究 2.(2025·福建厦门一中期中)小明在学习等腰三角形的相关知识时，发现其性质定理“等边对等角” 与判定定理“等角对等边”存在互逆关系.由此，小明进行了如下思考：等腰三角形“三线合一”的性 质可以分解为多个不同的真命题，即： ①等腰三角形顶角的平分线也是底边上的高； ②等腰三角形底边上的中线也是底边上的高； 。。 由真命题①②，小明得到了“互逆”后的新命题，即： I,如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的高，那么这个三角形是等腰三角形； Ⅱ.… (1)请你根据前面的命题②写出小明猜想的命题Ⅱ， (2)小明认为如果新命题是真命题，那么就可以作为等腰三角形的判定方法，于是小明对命题进行 证明，他根据命题工写出了已知、求证. 已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,AD⊥BC.求证：△ABC是等腰三角形. a.请你根据命题Ⅱ写出已知、求证. b.命题I,Ⅱ是不是真命题？如果是，请帮助小明进行证明；如果不是，请说明理由. ●>35《●