第1章 第3课时 一定是直角三角形吗（校本作业）-【宝典训练】2026-2027学年八年级上册数学高效课堂Word教师用书（北师大版·新教材）

第3课时　一定是直角三角形吗 1．给出下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是(B) A．13，12，25　　B．3，4，5　　　　C．7，7，15　　　　　　D．5，5，11 2．若三角形的三边长a，b，c满足(a＋b)2－c2＝2ab，则此三角形一定是(B) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 3．若a，b，c是△ABC的三边长，且满足|a－5|＋|b－12|＋(c－13)2＝0，则△ABC是直角三角形。 4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边a，b，c分别为下列长度，请判断该三角形是不是直角三角形。若是，请指出哪一个角是直角，并说明理由。 (1)a＝9，b＝41，c＝40。 (2)a＝8k，b＝15k，c＝17k(k＞0)。 解：(1)△ABC是直角三角形，∠B是直角．理由如下： ∵92＋402＝412，即a2＋c2＝b2，∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°。 (2)△ABC是直角三角形，∠C是直角。理由如下： ∵(8k)2＋(15k)2＝(17k)2，即a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，且∠C＝90°。 5．下列各组数是勾股数的是(B) A．12，15，18 B．3，4，5 C．1.5，2，2.5 D．6，9，15 6．若a，b，c为一组勾股数，则下列各组数中仍为勾股数的是(C) A．a，2b，3c B．3a，4b，5c C．2a，2b，2c D．a2，b2，c2 7．古希腊哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2－1，c＝m2＋1，那么a，b，c为勾股数．你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论得出一组勾股数。 解：正确。理由如下：因为m表示大于1的整数，所以a，b，c都是正整数，且c最大。 因为(2m)2＋(m2－1)2＝(m2＋1)2， 所以a2＋b2＝c2，即a，b，c为勾股数。 示例：当m＝2时，可得一组勾股数3，4，5。 8．下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的一组是(D) A．8，15，17 B．10，24，26 C．，，1 D．6，7，8 9．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a＝(m2－n2)，b＝mn，c＝(m2＋n2)，其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是(C) A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25 10．如图所示，在△ABC中，AB∶BC∶CA＝3∶4∶5，且周长为36 cm。点P从点A开始沿AB边以每秒1 cm的速度向点B移动，点Q从点B开始沿BC边以每秒2 cm的速度向点C移动。如果同时出发，那么3 s后，△BPQ的面积为多少？ 解：设AB＝3x cm， 则BC＝4x cm，CA＝5x cm。 ∵AB＋BC＋CA＝36 cm，∴3x＋4x＋5x＝36，解得x＝3， ∴AB＝9 cm，BC＝12 cm，AC＝15 cm。 ∵AB2＋BC2＝92＋122＝225，AC2＝225，∴AB2＋BC2＝AC2，∴△ABC为直角三角形。 3 s后，BP＝AB－AP＝9－3×1＝6(cm)，BQ＝2×3＝6(cm)， ∴S△BPQ＝BP·BQ＝×6×6＝18(cm2)。 11．【阅读理解】 (1)若一个三角形的三边长a，b，c满足a2＋2b2＝c2，则我们称该三角形为“变异直角三角形”。如图1，在△ABC中，AB＝2，BC＝4，AC2＝24，则△ABC 是(填“是”或“不是”)“变异直角三角形”。 【变式迁移】 (2)如图2，在△ABC与△DCE中，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ADC＝45°。试说明：以线段AD，CD，BD的长为边长的三角形是“变异直角三角形”。 【拓展创新】 (3)如图3，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AB＝3，AD＝4，BC＝5，CD2＝50，E为线段AD上一点，以AE为边向外作正方形AEFH。若以线段AE，AC，BC的长为边长的三角形是“变异直角三角形”，请求出正方形AEFH的面积。 解：(2)如答图1，连接AE。 ∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACE＝∠BCD， ∵AC＝BC，CD＝CE，∴△BCD≌△ACE(SAS)，∴BD＝AE。 ∵DC＝CE，∠DCE＝90°，∴DE2＝CD2＋CE2＝2CD2，∠CDE＝45°， ∵∠ADC＝45°，∴∠ADE＝90°， ∴BD2＝AE2＝AD2＋DE2＝AD2＋2CD2， 故以线段AD，CD，BD的长为边长的三角形是“变异直角三角形”。 (3)如答图2，连接DB，过点C作CM⊥AB，交AB的延长线于点M。 ∵∠DAB＝90°，∴DB2＝AD2＋AB2＝25，∴DB＝5，∴DB2＋BC2＝25＋25＝50＝CD2，∴∠DBC＝90°， ∴∠DBA＋∠CBM＝90°，∴∠DBA＋∠BDA＝90°，∴∠BDA＝∠CBM， ∵∠DAB＝∠M＝90°，DB＝BC＝5，∴△BMC≌△DAB(AAS)，∴MB＝AD＝4，MC＝AB＝3，∴AM＝7， ∴AC2＝MC2＋AM2＝9＋49＝58。 ∵E为线段AD上一点，∴AE＜4，∴AE2＜16，∴AC2＞2AE2，AC2＞2BC2， ∵以线段AE，AC，BC的长为边长的三角形是“变异直角三角形”，∴分两种情况讨论： ①当2AE2＋BC2＝AC2时，得AE2＝16.5＞16，不符合题意，舍去；②当AE2＋2BC2＝AC2时，AE2＝8。 综上所述，正方形AEFH的面积为8。 学科网（北京）股份有限公司 $