第1章 第2节 一定是直角三角形吗-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材）

第一章勾股定理 2一定是直角三角形吗 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.如图，根据标注的三角形的三边长，可知属于直角三角形的是 () A.① B.①② C.①②③ D.①②③④ 、6 A B D 10 23 22 4 ② ③ B (第1题) (第3题) 2.[2025珠海期末]勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股 数公式的是我国古代数学著作《九章算术》.如果m表示大于1的整数，设a=2m,b=m2一1， c=2m2+2m,d=m2十1，那么任选三个数，能构成勾股数的为 () A.a,b,c B.a,b,d C.a,c,d D.b,c,d 3.生活实际如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想知道门是否变形，采用了如下方法 进行检测：先测得门的边AB和BC的长分别为2.4m和1m,又测得点A与点C间的距离为 2.6m,则小红家的木门 (填“已变形”或“没有变形”) 4.考回探究题已知M,N是线段AB上的两点，AM=MN=2,BN=1,以点A为圆心，AN长 为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧在AB上方交于点C,连接AC,BC,则 △ABC一定是 三角形 5.如图，某开发区有一块四边形空地ABCD,现计划在这块空地上种植草皮，经测量，∠ADC= 90°，AD=40m,CD=30m,AB=130m,BC=120m.若种植每平方米草皮需要100元，则在这 块空地上种植草皮共需要多少元？ D (第5题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.在△ABC中，BC=a,AB=c,AC=b,能判定△ABC是直角三角形的个数有 () ①∠A=∠B-∠C;②b2=(a+c)(a-c);③a:b:c=1:2:3;④∠A:∠B:∠C=3: 4:7,⑤∠A=∠B=2∠C A.1 B.2 C.3 D.4 5 拔尖特训·数学（北师版）八年级上 7.舒情境数学文化相传，古埃及人曾用张绳法得到直角三角形.小惠仿照此方法，用25个等距离的 结把一根绳子分成等长的24段，她同时握住第1个结和第25个结，小淇握住第7个结，这时小 婷应该握住第 个结，拉紧绳子后才会得到一个以第7个结为直角顶点的直角三角形 8.如图，在△ABC中，AB=6,AC=10,BC边上的中线AD=4,则△ABC的面积为 D C (第8题) (第9题) 9.一题多解如图所示为3×2的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.线段AB,CD的端，点 均在格点上，且交于点O,则∠BOD的度数为 10.考向新定义题如图，点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若以AM,MN,NB为边的 三角形是一个直角三角形，则称M,N是线段AB的勾股分割点. (1)已知M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若AM=9,MN=15,BN=12,则M,N是 线段AB的勾股分割点吗？请说明理由. (2)已知M,N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，AB=24,AM=6,求BN的长， A M N B (第10题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 11.探究题在一次“构造勾股数”的探究性学习活动中，老师给出下表（其中，n为正整数， 且m>n): m 2 3 4 1 1 2 3 a 22+12 32+12 32+22 42+32 b 4 6 12 24 … c 22-12 32-13 32-22 42-32 (1)当m=2,n=1时，对应的a,b,c的值能否为直角三角形的三边长？请说明理由 (2)探究a,b,c与m,n之间的关系：a ,b= ,C (用含m,n的代 数式表示). (3)以a,b,c为边长的三角形是否一定为直角三角形？请说明理由. 6 >“答案与解析”见P39.连接BD,BE,过点B作边DE上的高BF,则易得 BF=b-a.因为S五边无ACn=S△ACB+S△ABx十S△ADE= 2ab+合6+分ab,且Snm=SaAm十S6wm十 Sa=6+号+a6-a.所以+6+ 1 2b=6+日2+2a6-a以所以a+6=. 2一定是直角三角形吗 1.C图①，92+122=225=152，是直角三角形：图②， 32+42=25=5,是直角三角形；图③，62+82=100=102， 是直角三角形：图④，72+222=533≠232，不是直角三 角形. 2.B因为a=2m,b=m2-1,d=m2+1,所以a2+b2 (2m)2+(m2-1)2=4m2+m1-2m2+1=m+2m2+1 (m2+1)2,d2=(m2+1)2,所以a2+b2=d2.所以a,b,d 三个数能构成勾股数 3.没有变形因为AB2+BC=2.4+1=6.76=2.62= AC,所以∠ABC=90°.所以小红家的木门没有变形. 4.直角以点A为圆心，AN长为半径画弧：再以点B为 圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C,如图，连接AC, BC,因为AM=MN=2,NB=1,所以AC=AN=AM+ MN=2+2=4,BC=BM=BN+MN=1+2=3,AB= AM+MN+NB=2+2+1=5.所以AC+BC2=AB2.所 以△ABC是直角三角形 M (第4题) 5.连接AC.在△ADC中，∠ADC=90°，所以由勾股定理， 得AD+CD=AC2.因为AD=40m,CD=30m,所以 AC=50m因为BC=120m,AB=130m,所以AC2+ BC2=AB2.所以△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°， 所以这块空地的面积为5am一Sx-2BC·AC 2AD.CD-号×120X50-号×40X30=240(m).所 以在这块空地上种植草皮共需要100×2400= 240000(元). 6.D因为∠A=∠B-∠C,∠A+∠B+∠C=180°，所 以∠B=∠A+∠C=90°，故①能判定△ABC是直角三角 形；由b2=(a十c)(a-c),得b2=a2-c2,即b2十c2=a2, 故②能判定△ABC是直角三角形；由a:b:c=1:2:3, 可设a=x,b=2x,=3x,则有a十b=3x=c,故③不能构 成三角形，更不能判定△ABC是直角三角形；由∠A： ∠B:∠C=3:4:7,可设∠A=3k,∠B=4k,∠C=7k, 所以3k+4+7k=180°，解得7k=90°，故④能判定△ABC 是直角三角形；因为∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠B= 2∠C,所以2∠C+∠C+∠C=180,解得∠C=90, 故⑤能判定△ABC是直角三角形.所以能判定△ABC是 直角三角形的有4个. 7.15因为小淇握住第7个结，所以小惠和小淇之间有 6段等长的绳子.因为6,8,10是一组勾股数，且6十8+ 10=24,所以小婷应该握住第1十6十8=15（个）结，拉紧绳 子后才会得到一个以第7个结为直角顶点的直角三角形. 8.24如图，延长AD到点E,使DE=AD,连接CE.因为 D为BC的中点，所以DC=BD.在△ADB与△EDC中， AD=ED, ∠ADB=∠EDC,所以△ADB≌△EDC.所以CE= BD=CD, AB=6.因为AE=2AD=8,CE=6,AC=10,所以AC2= 1 AE2+CE2.所以∠E=90,所以SAAx=SACs=2CE· AE=2X6X8=24. D C2--E (第8题) 9.45°解法一：对于求网格的角度问题，当无法解答时， 只要图形标准可以用量角器量出角度.解法二：设小正 方形的边长为1.如图，取格，点E,连接AE,BE,易知AE∥ CD,所以∠BAE=∠BOD.由勾股定理，得AB2=1+ 22=5,EB2=12+22=5,AE=12+32=10,所以AB2+ BE=AE,AB=BE.所以△ABE是等腰直角三角形.所 以∠BAE=45°.所以∠BOD=∠BAE=45. B (第9题) 10.(1)是.理由：因为AM+BN2=92+122=225, MN2=15=225,所以AMP+BN2=MN.所以以AM, MN,NB为边的三角形是一个直角三角形.所以M,N是 线段AB的勾股分割点.(2)设BN=x,则MN=AB一 AM一BN=18一x,①当MN为最长线段时，依题意，得 MN2=AM2+BN2,即(18-x)2=36+x2,解得x=8; ②当BN为最长线段时，依题意，得BN2=AMP+MN2, 即x2=36+(18-x),解得x=10.综上所述，BN的长为 8或10. 11.(1)能.理由：当m=2,n=1时，a=5,b=4,c=3.因为 32+4=52,即c2+b2=a2,所以对应的a,b,c的值能为直 角三角形的三边长.(2)m2+n2;2mn;m2一n2.(3)以 a,b,c为边长的三角形一定为直角三角形.理由：因为 a2=(m2+n2)2=m1+2m2n2+n,b2+c2=(2mn)2+ (m2-n2)2=4m2n2+n1-2m2n2+n=m1+2m2n2+ n,所以b2十c2=a2.所以以a,b,c为边长的三角形一定 为直角三角形 3勾股定理的应用 1.A根据题意，可得AB=12cm,BC=9cm.在 Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=AB2+BC2=122+ 9=225(cm2),所以AC=15cm.因为18-12=6(cm), 18一15=3(cm),所以这支铅笔在笔简外面部分的长度在 3cm~6cm.故选A 2.C设AB为xcm,则AC=(x+2)cm.由题意可知， ∠ABC=90°，BC=8cm,在Rt△ABC中，由勾股定理，得 x2+82=(x+2)2,解得x=15,即AB段的长度为15cm 3.3由折叠，得AE=BE.设CE=x,则AE=BE=8 x.在Rt△BCE中，由勾股定理，得BC十CE=BE.所以 42+x2=(8-x)2,解得x=3.所以CE=3. 4.7.5因为AB⊥BC,所以∠ABC=90°.设OA=OC xcm.因为BC=12cm,所以BO=BC-OC=(12-x)cm. 在Rt△ABO中，AB=6cm,由勾股定理，得AB2+OB2= OA2,即36+(12一x)2=x2,解得x=7.5.所以OA= OC=7.5cm.所以量角器的半径为7.5cm. 5.该车架符合设计要求.理由：因为∠BDC=90°，后下叉 CD=55cm,后上叉CB=73cm,所以BD2=BC2一CD2= 732-55=2304(cm2).所以BD=48cm.因为上管AB= 64cm,下管AD=80cm,所以AB2+BD2=AD.所以 △ABD是直角三角形，且∠ABD=90°.所以∠ABD= ∠BDC.所以ABCD.所以该车架符合设计要求。 6.A连接AD.由勾股定理，得AC=(a2+b)cm, AD2=AC2+CD2=(a2+b2+c2)cm2.选项A,a2+b2+ c2=62+22+2=44<49,符合题意；选项B,a2+b2十c2= 52+42+32=50>49,不符合题意；选项C,a2+b2+c2= 62+52+12=62>49,不符合题意；选项D,a2+b2十c2= 52+52+22=54>49,不符合题意. 7.3.4由题意可知，CF=2.6m,BE=0.8m,所以BD= 1.8m.设AC的长为xm,则AB=AC=xm,所以AD= AB-BD=(.x-1.8)m.在Rt△ADC中，由勾股定理，得 AD2+CD2=AC2,即(x-1.8)2+32=x2,解得x=3.4, 即绳索AC的长是3.4m. &产在R△CBM中，因为M=-3am,C'=4m,所以 C'M=5cm.由折叠，可得C'M=CM=5cm,∠D'C'M= ∠D'=∠D=∠C=90°.因为∠A=∠B=90°，所以 ∠BC'M+∠AC'E=∠AEC'+∠AC'E=90°.所以 ∠BC'M=∠AEC'.又因为BM=AC'=3cm,所以 △BC'M≌△AEC'.所以BC'=AE=4cm,MC'=C'E= 5cm所以AB=CD=C'D'=7cm,BC=AD=BM+CM=3+ 5=8(cm).所以DE=AD-AE=8-4=4(cm),DE=C'D'- C'E=7-5=2(cm.设DN=DN=xcm,则EN=(4-x)cm 在Rt△DEN中，由勾股定理，得NE=DE+DN,即(4一 r=十r,架得x=所以DN=cm 9.如图，过点D作DE⊥AB,交AB于点E.由题意，易得 点D'在DE上，BE=DM=2m.所以AE=AB-BE= 17-2=15(m).所以CE=AE+AC=20m.在Rt△AED 中，由勾股定理，得DE2=AD2-AE.因为AD=25m,所 以DE=0m.在Rt△CED'中，由勾股定理，得ED'2= CD2-CE2.因为CD'=AD=25m,所以ED'=15m.所 以DD'=ED一ED'=5m.所以工程车向教学楼方向行驶 的距离为5m. D水D B M (第9题)