1.1探索勾股定理 课后习题 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

1.1 探索勾股定理　课后习题 北师大版（2024审定）八年级数学上册　第一章　勾股定理 （满分：100 分　　建议时长：45 分钟） 班级：＿＿＿＿　　　　姓名：＿＿＿＿　　　　得分：＿＿＿＿ 一、选择题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。每小题只有一个选项符合题意） 1．关于勾股定理，下列说法正确的是（　　） A．直角三角形三边中，任意两边的平方和都等于第三边的平方 B．直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 C．只有等腰直角三角形的两直角边的平方和才等于斜边的平方 D．直角三角形两条直角边的平方差等于斜边的平方 2．某公园修建一座人行天桥，从地面到桥面是一段斜坡。斜坡的水平距离为 24 m，垂直高度为 7 m，则斜坡的长为（　　） A．23 m　　　　B．24 m　　　　C．25 m　　　　D．31 m 3．一个直角三角形的斜边长为 41 cm，一条直角边长为 9 cm，则另一条直角边的长为（　　） A．32 cm　　　　B．38 cm　　　　C．40 cm　　　　D．42 cm 4．如图 1，电工师傅把一架长为 13 m 的梯子斜靠在墙上，梯脚到墙脚的距离为 5 m，梯子顶端恰好与墙顶平齐，则墙的高度为（　　） 图 1 A．11 m　　　　B．12 m　　　　C．13 m　　　　D．14 m 5．如图 2，某景区在两座山峰之间架设了一条滑索。滑索起点与终点之间的竖直高度差为 24 m，水平距离为 7 m，则滑索的长度为（　　） 图 2 A．20 m　　　　B．24 m　　　　C．25 m　　　　D．31 m 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。把答案填在题中的横线上） 6．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则 AB＝＿＿＿＿。 7．如图 3，某消防云梯长 17 m，斜靠在楼房外墙上，云梯底部到楼房底部的距离为 8 m，则云梯顶端到地面的距离为＿＿＿＿m。 图 3 8．我国古代数学家赵爽用“弦图”验证勾股定理：用四个全等的直角三角形（两条直角边长分别为 a、b，斜边长为 c，其中 a＜b）拼成如图 4 所示的大正方形，则大正方形的边长为＿＿＿＿，中间小正方形的边长为＿＿＿＿；由“大正方形面积＝四个直角三角形面积之和＋中间小正方形面积”，可得 a＋b＝c。 图 4 9．如图 5，一根竹竿斜靠在墙角处，竹竿底端到墙脚的距离为 0.7 m，竹竿顶端离地面的高度为 2.4 m，则这根竹竿的长为＿＿＿＿m。 图 5 10．如图 6，一只蚂蚁沿一个长方体（长 12 cm、宽 5 cm、高 4 cm）的表面，从顶点 A 爬到对角的顶点 B，则它爬行的最短距离为＿＿＿＿cm。 图 6 11．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝21，则 AB＝＿＿＿＿。 12．如图 7，分别以 Rt△ABC 的两条直角边和斜边为边向外作三个正方形。若以两条直角边为边的两个正方形的面积分别为 25 和 144，则以斜边为边的正方形的面积为＿＿＿＿。 图 7 三、解答题（本大题共 5 小题，共 50 分。解答应写出文字说明、演算步骤） 13．（本小题满分 8 分）用四个全等的直角三角形（两条直角边长分别为 3 和 4，斜边长为 5）拼成如图 8 所示的大正方形。 图 8 （1）大正方形的边长是多少？面积是多少？ （2）中间小正方形的边长是多少？面积是多少？ （3）请利用图 8 验证勾股定理：3＋4＝5。 14．（本小题满分 9 分）如图 9，一架长为 2.5 m 的梯子斜靠在墙边，梯脚 A 到墙脚 O 的距离为 0.7 m，梯子顶端 B 恰好与墙顶平齐。 图 9 （1）墙的高度是多少米？ （2）若梯子顶端 B 沿墙下滑 0.4 m 到达 B′，则梯脚 A 将向外移动多少米？ 15．（本小题满分 10 分）如图 10，某公园池塘中有一株睡莲，莲梗竖直时顶端高出水面 1 m；一阵风将莲梗吹斜，莲梗顶端恰好没入水面，此时莲梗顶端到莲梗根部所在竖直线的水平距离为 3 m。求池塘该处的水深。 图 10 16．（本小题满分 11 分）如图 11，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12。 图 11 （1）求斜边 AB 的长； （2）求 Rt△ABC 的面积； （3）过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，求 CD 的长。 17．（本小题满分 12 分）如图 12，小明在广场上放风筝。第一次，风筝线释放 25 m 且拉直时，小明测得风筝线在地面上的投影（小明到风筝正下方落点的水平距离）为 15 m。 图 12 （1）第一次风筝离地面的高度是多少米？ （2）过了一会儿，风筝线仍长 25 m 且拉直，此时水平距离变为 7 m，风筝离地面的高度是多少米？ （3）第二次风筝离地面的高度比第一次高了多少米？ 命题人：＿＿＿＿　　　　审题人：＿＿＿＿ 参考答案与解析 一、选择题 答案：1．B　　2．C　　3．C　　4．B　　5．C 1．解析：勾股定理的内容是“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”。A 错在“任意两边”；C 错在“只有等腰直角三角形”；D 错在“平方差”。故选 B。 2．解析：斜坡可看作一个直角三角形，水平距离和垂直高度是两条直角边，斜坡长是斜边。由勾股定理，斜坡长＝＋＝576＋49＝625＝，所以斜坡长为 25 m。故选 C。 3．解析：斜边长为 41 cm，一条直角边长为 9 cm，由勾股定理的变形，另一条直角边＝−＝1681−81＝1600＝，所以另一条直角边长为 40 cm。故选 C。 4．解析：梯子、墙和地面构成直角三角形，梯子是斜边。由勾股定理，墙高＝−＝169−25＝144＝，所以墙的高度为 12 m。故选 B。 5．解析：滑索的长度是斜边，竖直高度差和水平距离是两条直角边。由勾股定理，滑索长＝＋＝49＋576＝625＝，所以滑索的长度为 25 m。故选 C。 二、填空题 6．答案：13。解析：∠C＝90°，AB 为斜边。由勾股定理，AB＝＋＝25＋144＝169＝，所以 AB＝13。 7．答案：15。解析：云梯、楼房外墙和地面构成直角三角形，云梯是斜边。由勾股定理，云梯顶端到地面的距离＝−＝289−64＝225＝，所以这个距离为 15 m。 8．答案：a＋b；c。解析：由图 4 可知，大正方形的边长为 a＋b，中间小正方形的边长为 c。大正方形面积＝四个直角三角形面积之和＋小正方形面积，即 (a＋b)＝4×ab＋c＝2ab＋c，而 (a＋b)＝a＋2ab＋b，所以 a＋b＝c。 9．答案：2.5。解析：竹竿、墙角竖面和地面构成直角三角形，竹竿是斜边。由勾股定理，竹竿长＝＋＝0.49＋5.76＝6.25＝，所以竹竿的长为 2.5 m。 10．答案：15。 解析：蚂蚁沿表面爬行，需将长方体展开。三种展开方式对应的最短路径为：沿“宽＋高”与“长”所在的面展开，展开后为两条直角边分别是 5＋4＝9（cm）和 12 cm 的直角三角形，斜边为 √(9²＋12²)＝15（cm）；其余两种展开方式对应路径均大于 15 cm。所以最短距离为 15 cm。 11．答案：29。解析：∠C＝90°，AB 为斜边。由勾股定理，AB＝＋＝400＋441＝841＝，所以 AB＝29。 12．答案：169。 解析：以两条直角边为边的两个正方形的面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积，即 25＋144＝169，所以以斜边为边的正方形的面积为 169。 三、解答题 13．解析：（1）由图 8 可知，大正方形的边长等于直角三角形两条直角边长之和，即 3＋4＝7，面积为 7×7＝49。 （2）中间小正方形的边长等于斜边长，即 5，面积为 5×5＝25。 （3）大正方形面积＝四个直角三角形面积之和＋小正方形面积：左边＝(3＋4)＝49；右边＝4××3×4＋5＝24＋25＝49。左右相等，即 (3＋4)＝4××3×4＋5，化简得 3＋4＝5，勾股定理得到验证。 评分建议：第（1）问 3 分，第（2）问 3 分，第（3）问 2 分。 14．解析：（1）梯子、墙和地面构成直角三角形，梯子长为斜边。由勾股定理，墙高 OB＝−＝6.25−0.49＝5.76＝，所以墙的高度为 2.4 m。 （2）顶端下滑 0.4 m 后，OB′＝2.4−0.4＝2.0（m），梯子长不变。由勾股定理，OA′＝−＝6.25−4＝2.25＝，所以 OA′＝1.5 m。梯脚外移的距离为 OA′−OA＝1.5−0.7＝0.8（m）。答：梯脚将向外移动 0.8 m。 评分建议：第（1）问 4 分（列式 2 分、结果 2 分），第（2）问 5 分（下滑后高度 1 分、列式 2 分、结果与外移 2 分）。 15．解析：设池塘该处的水深为 x m。莲梗竖直时顶端高出水面 1 m，故莲梗全长 (x＋1) m。风把莲梗吹斜后，莲梗、水面下的深度与水平距离构成直角三角形，其中莲梗长度为斜边。由勾股定理，x＋3＝(x＋1)，即 x＋9＝x＋2x＋1，解得 2x＝8，x＝4。检验：x＝4 时，左边 4＋3＝16＋9＝25，右边 (4＋1)＝25，左右相等，符合题意。答：池塘该处的水深为 4 m。 评分建议：设未知数 2 分，列方程 3 分，解方程 3 分，检验与答语 2 分。 16．解析：（1）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB 为斜边。由勾股定理，AB＝＋＝81＋144＝225＝，所以 AB＝15。 （2）Rt△ABC 的面积 S＝½×AC×BC＝½×9×12＝54。 （3）由面积法，S＝½×AB×CD，即 54＝½×15×CD，所以 CD＝54×2÷15＝＝7.2。答：CD 的长为 7.2（即）。 评分建议：第（1）问 3 分，第（2）问 3 分，第（3）问 5 分（面积法列式 2 分、计算 2 分、答语 1 分）。 17．解析：（1）风筝线、竖直高度和水平距离构成直角三角形，风筝线为斜边。由勾股定理，第一次风筝离地面的高度＝−＝625−225＝400＝，所以第一次高度为 20 m。 （2）同理，第二次风筝离地面的高度＝−＝625−49＝576＝，所以第二次高度为 24 m。 （3）第二次比第一次高了 24−20＝4（m）。 评分建议：第（1）问 4 分（列式 2 分、结果 2 分），第（2）问 4 分（列式 2 分、结果 2 分），第（3）问 4 分。 学科网（北京）股份有限公司 $