第1章 1 探索勾股定理-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

第一章勾股定理 1.1探索勾股定理 第1课时 勾股定理 01基础达标 知识点二利用勾股定理求面积 5.如图，分别以直角三角形的三边为边画三个正 知识点一 认识勾股定理 方形，较大两个正方形的面积分别为144和 1.在Rt△ABC中，∠A=90°，∠A,∠B,∠C的 169,则最小正方形A的面积是 () 对边分别为a,b,c,则 ( A.5 B.12 C.13 D.25 A.a2+b2=c2 B.b2+c2=a2 C.a2+c2=b2 D.无法确定 169 2.在Rt△ABC中，斜边BC=2,则AB+AC+ 144 BC的值为 ( A.4 B.8 C.16 D.32 第5题图 第6题图 3.如图，在边长为1的小正方形网格中，P为CD6.如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若 上任一点，PB2一PA2的值为 EB=1,EC=2,那么正方形ABCD的面积为 A.6 D B.8 7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm, C.10 BC=3cm.求AC的长和△ABC的面积. D.12 4.在△ABC中，∠C=90° (1)若BC=5,AC=12,求AB的长； (2)若BC:AC=3:4,AB=10,求BC和AC的 长 02能力提升 13.如图，在Rt△ABC中，∠C 8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC =90°，BC=3cm,AC= =4,以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB 4cm,现将△ABC沿∠ABC A 于点D,则BD= 的平分线BD折叠，BD为 ( A.2.5 B.3 C.2 D.3.5 折痕，点C落在AB边的点E处，求△ADE 的面积. 第8题图 第9题图 9.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形 都是正方形，所有的三角形都是直角三角形. 若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3， 则最大正方形E的面积是 A.13 B.26 C.47 D.94 10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CM⊥AB 03思维拓展 于点M,AC=6,BC=8,则AB= ,CM 14.在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13,求 △ABC的面积.某学习小组经过合作交流， 给出了下面的解题思路，请你按照他们的解 题思路完成解答过程， 作AD⊥BC 根据勾股定 利用勾股 于D,设BD 理，利用AD 定理求出 第10题图 第11题图 =x,用含x →作为“桥梁” AD的长 11.如图是数学史上著名的“希波克拉底月牙问 的代数式表 建立方程模 再计算三 题”，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=3, 示CD 型求出x 角形面积. AC=5,分别以三边为直径画半圆，则两月形 图案的面积之和（阴影部分的面积）是 12.如图，在四边形ABCD中，CD⊥AD,AD= CD.S6A=空，∠BAD=135,AB=12,求 BC的长. 第2课时 勾股定理的验证及简单应用 01基础达标 A.8m B.10m C.12m D.14m 知识点一 验证勾股定理 1.我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注 解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理 的图案被称为“赵爽弦图”.下列图案中是“赵 第3题图 第4题图 爽弦图”的是 )4.如图，一艘轮船以16海里/时的速度离开港口 向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12 海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港 口90分钟后相距 () B A.30海里 B.40海里 2.用四个完全相同的直角三角形（如图1）拼成一 C.25海里 D.45海里 大一小两个正方形（如图2），直角三角形的两 5.为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布 条直角边分别是a、b(a>b),斜边长为ccm,请 置教室，小明搬来一架高为2.5m的木梯，想 解答： 把拉花挂到2.4m的墙上，则梯角应距墙角 m. 6.如图所示，幸福小区C位于快递站点B的北 偏东35°方向，沁苑小区D位于B的南偏东 55°方向，无人机以1km/min的速度配送快递 图1 图2 (1)图2中间小正方形的周长 时，从B到C需飞行8min,从B到D需飞行 ,大正方 形的边长为 15min.若无人机的配送路线是B→C→D>B, (2)用两种方法表示图2中大正方形的面积. 请求出配送途中飞行所需时间. (用含a,b,c的代数式表示) ①S= ②S= (3)利用(2)小题的结果写出a、b、c三者之间 的一个等式 (4)根据第(3)小题的结果，解决下面的问题： 已知直角三角形的两条直角边长分为是a 8,b=6,则斜边c的值为 知识点二勾股定理的简单应用 3.如图，有两棵树，一棵高10m,另一棵高4m,两 树相距8m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一 棵树的树梢，问小鸟至少飞行 () 02能力提升 03思维拓展 7.如图，校园内的一块草坪是长方形ABCD,已 11.【课本再现】 知AB=8m,BC=6m,从A点到C点，同学们 (1)如图1，四个全等的直角三角形拼成一个 为了抄近路，常沿线段AC走，那么同学们少 大正方形，中间空白部分也是正方形.已知直 走了 ( 角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为 A.2m B.4m C.6m D.8m c,课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示 大正方形的面积，证明了勾股定理.请证明： a2+b=c2. 【类比迁移】 (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折， A 得到图2，若a=3,b=4,则空白部分的面积 第7题图 第8题图 为 8.如图，在离水面高度为8m的岸上，有人用绳 【方法运用】 子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17m,此 (3)小贤将四个全等的直角三角形拼成图3 人以1m/s的速度收绳，7s后船移动到点D的 的“帽子”形状，若AH=3,BH=4,请求出 位置，问船向岸边移动了 m.（假设绳子 “帽子”外围轮廓（实线）的周长. 是直的) 9.如图，要为一段高为 6m,长为10m的楼梯铺 10m 上红地毯，则红地毯至 图1 图2 图3 少要 m长， 10.为整治城市街道的汽车超速现象，交警大队 在某街道旁进行了流动测速.如图，一辆小汽 车在某城市街道上直行，某一时刻刚好行驶 到离车速检测仪A60m的C处，过了4s后， 小汽车到达离车速检测仪A100m的B处， 已知该段城市街道的限速为60km/h,请问这 辆小汽车是否超速？ 小汽车军 小汽车 B: :A 观测点温馨提示：请做完后再看答案！ 《正文》参考答案 第一章勾股定理 b+2ab,.a2+b=c2; 1.1探索勾股定理 (2)13; 第1课时勾股定理 (3)由题意，可知DH=BI, 1.B2.B3.D :∠DCH=∠BCI,∠CHD= 4.(1)13:(2)BC=6,AC=8. ∠CIB=90°，∴.△CDH≌ 5.D6.3 △CBI(AAS),.CD=BC, 7.AC=4cm.SAABC =6cm'. 设BC=x,则CH=4一x,在Rt 8.C9.C10.10 4 11.6 △CDH中，CH+DH=CD, .(4-x)2+22=x2, 12.连AC,AC=5,证∠BAC=90°， ∴.BC=13. 解得：x=号BC=CD=号， 13.Sae=号cm 同理可得DE=EF=BC-多， 14.设BD=x,则CD=14-x,由勾 .“帽子”外围轮廓（实线）的周长 股定理得：AD2=AB一BD2= 为AB+AF+BC+CD+DE+EF 152-x2,AD2=AC-CD2=13 -(14-x)2,.152-x2=132 -5+5+2+号+号+号=20 (14-x)2,解得x=9,.AD=12, 1.2一定是直角三角形吗 1.B2.C3.直角三角形4.A 5m=BC·AD=合×145.答案不i唯-，如5，i2,137,24,25 2 ×12=84. 6.A7.B 第2课时勾股定理的验证及 8.(1)△ABE是直角三角形，理由略； 简单应用 (2)AB=16.9. 1.B 9.C10.B11.直角 2.(1)4ca+b 12.连接AE,设CE=a,则BC=4a, (2)(a+b)22ab+c2 DF=2a,BE=3a, (3)a2+b=c2(4)10 AF2=AD2+DF2=20a2,EF2= 3.B4.A5.0.7 FC°+EC°=5a2,AE2=AB2+ 6.沿B→C→D→B路线配送途中 BE=25a2,.AE=AF+ 飞行所需时间是40分钟. EF,.△AFE是直角三角形， 7.B8.99.14 ∠AFE是直角 10.超速.理由如下：在Rt△ABC 13.图中阴影部分的面积为96m. 中，AC=60m,AB=100m,由勾14.(1)n-1;2n;n2+1. 股定理可得BC=AB-AC= (2)是直角三角形 6400,∴.BC=80m, a2+b=(n2-1)2+(2n)2= .∴.汽车速度为80÷4=20m/s= (n+1)2,.a2+b=c2, 72km/h,.72>60,.这辆小汽 ∴.以a,b,c为边长的三角形是 车超速了. 直角三角形. 11.(1)证明：如图1，，大的正方形 1.3勾股定理的应用 的面积可以表示为(a+b)2,大1.A2.B3.A4.5cm 的正方形的面积又可以表示为5，旗杆的高为12m. 6.D7.B8.B9.D10.10 c+4×2ab,e2+2ab=a+1.48<CD≤8 49 12.(1)90°；(2)略 为66或126. 13.在公路AB上行驶时会遇到危险。 章未核心考点与素养提升 理由如下：过C作CDLAB于D.1.C2.C3.D4.10 :'BC=400m,AC=300m,5.E站应建在离A站10km处. ∠ACB=90°，根据勾股定理得6.B7.C AB2=ACe+BC=250000, 8.(1)证明略； ÷AB=500mS-合AB· (2)设该三角形的腰长为xcm,则 AD=(x-12)cm. CD=合BC·AC,CD- ,CD⊥AB,∴.∠ADC=90°， ∴.AD+CD2=AC,即(x-12)2 BC·AC=400×300 AB 500 =240m, 由于240m<250m,故有危险， +16,解得x一9，该三角 设EF为危险路段的长度， 形的度长为”cm ,爆破点C周围半径250米范 9.D10.B11.B12.C 围内不得进入，CE=CF= 13.(1)证明：：AB=AC, 250m,,CD=240m,∴.DE= .∠ABC=∠ACB, DFR=CE-CD2=4900, BF∥AC,∴.∠ACB= DE=DF=70m,.'EF=140m, ∠CBF, 故危险路段长为140m. ∴.∠ABC=∠CBF, 专题一立体图形中最短路径问题 .BC平分∠ABF; 1.B2.D3.10cm.4.C5.B (2)过点C作CMLAB,CN⊥BF, 6.5a27.20cm8.25dm. 则CM=CN, 专题二勾股定理中的方程思 想与分类讨论思想 ·SaE=2AE·CM,S△ar= 1.C2.12 7BF·CN,且BF=AE 3.△ABE的面积为6cm. 4.B5.7或25 .SAr=S△4cE, 6.分两种情况考虑： .四边形EBFC的面积=SAaF ①当△ABC为锐角三角形时， +SAE=S△AE+S△E ,AD⊥BC,∴.∠ADB=∠ADC SAABC =90°，在Rt△ABD中，AB=13, 过点A作AH⊥BC,由勾股定 AD=12,根据勾股定理得：BD 理易求AH=12,得出S△Bc= =AB2-AD2=25,.BD=5, ×10×12=60. 1 在Rt△ADC中，AC=20,AD=12, ∴.四边形EBFC的面积为60. 根据勾股定理得：DC=AC 14.2026a AD=256,.DC=16, 第二章实数 ..BC=BD+DC=5+16=21, 2.1认识实数 1 则S△ac=2BC·AD=126: 1.D ②当△ABC为钝角三角形时， 2.(1)3160.64 同理可得，BD=5,DC=16, (2)②③① .BC=DC-BD=16-5=11, 3.C4.D5.B6.C7~8.略 2.2平方根与立方根 Saee=2BC·AD=2XI1 第1课时算术平方根 ×12=66;综上，△ABC的面积1.B2.B3.D4.B5.B 50 6.1:(2)g,(30.5；④3. 2.3二次根式 第1课时二次根式的乘除 7.C8.D9.C 1.D2.-1(答案不唯一) 10.√3√5-/211.√/2 3.C4.C5.D 12.2x+y一z的算术平方根是√T. 6.(1)原式=6；(2)原式=8； 13.4 (3)原式=√6；(4)原式=2√a. 第2课时平方根 7.B8.C 1.C2.D3.略4.B5.B 9.(1)原式=17； 6.平方根分别是：(1)士4：(2)0：(3) 没有平方根；(4)±2. (2)原式=23+6/10； 算术平方根分别是：(1)4；(2)0； (3)原式= 51 (3)没有算术平方根；(4)2. 10.(1)2x3 7.C8.A9.B 10.9±9±3 (2)原式-号 11.a+2b的平方根是±3. 第2课时最简二次根式 12.根据题意，分以下两种情况： :1.B2.B3.D4.A ①当a-1与5-2a是同一个平 方根时，则a一1=5-2a,解得a 5.(1)原式=35； =2.此时，m=(2-1)2=1; (2原式-， ②当a-1与5-2a是不同的平 方根时，则a一1十5一2a=0,解 (3)原式=30 10 得a=4.此时，m=(4-1)2=9. 6.B7.B8.3 综上所述，a=2,m=1或a=4, 9.(1)662020 m=9. 第3课时立方根 ①5×√/20=10： 1.C2.B3.D4.A5.A @号xV停-1 6.(1)一8=-2： (3)ab. (2)/0.064=0.4; 10.由分式和二次根式有意义的条件得， 38 (3)一√125 1x-5≥ (4)(5)3=9. 8-x>0 解得，5≤r<8, 7.B8.D9.D10.7 x为偶数，x=6, 11.a-6的立方根为一5， .(x+2) t-4x+4 =(x+2) x2-4 12.(1)24.77;(2)0.006137. 第4课时估算 (x-2)2 V(x-2)(x+2) =√(x-2)(x+2), 1.B2.B3.A4.A 当x=6时，原式=√4X8=42. 5.(1)>(2)>(3)> 6.97.48.a-b=7. 第3课时二次根式的加减法 1.D2.C3.C4.A 9.由题意得：Rt△ABC中， AC=10m,BC=7m, AB=AC+BC=102+7=149, 指武=a万.②原式-5 .12.52=156.25>149, 6.A7.C822-2 这一长度够用. 9.(1)原式=85+2； 10.(1)>;(2)√5+1>√/10. (2)原式=15-2√6. 51