2027年高考数学一轮复习检测卷（全国二卷01）

2027年高考一轮复习检测卷（全国二卷01） 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，则的虚部为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】已知，故的虚部为1． 2．集合，，则集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】A 【详解】联立，解得，代入可得. 即， 故集合的子集有2个. 3．抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛物线化为, 当,则,从而,所以焦点的坐标是; 当,则,从而,所以焦点的坐标是. 所以抛物线的焦点坐标是. 4．已知向量，，满足，，且，则=（     ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，则， 而，，因此，解得， 所以. 5．用平行于底面的平面截高为3的正四棱锥，该棱锥底面边长为6，截面面积为4，则截去一个小四棱锥后剩下几何体的侧面积为（   ） A．32 B．72 C． D． 【答案】C 【详解】用平行于底面的平面截高为3的正四棱锥，该棱锥底面边长为6，截面面积为4， 正四棱锥下底面为正方形，用平行于底面的平面截出的截面为正方形，剩下的几何体为正四棱台． 可得上截面的边长为2，侧面为四个全等的等腰梯形， 如图，, ,,, 侧面高为， 则棱台侧面积为. 6．已知点在函数的图象上，若恒成立，且在区间上单调，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】由题设可得，，进而结合余弦型函数的对称性易知在上单调，进而求出周期，即可求解. 【详解】因为恒成立，可知， 又点在上，可知， 而在区间上单调，由余弦型函数的对称性易知在上单调， 则，即. 7．2026年7月23日，国际数学家大会在美国费城揭晓了2026年菲尔兹奖得主，中国籍数学家王虹和邓煜双双获奖，实现历史性突破.数学家邓煜因攻克狭义希尔伯特第六问题，首次以数学严格方式推导出从微观粒子系统到宏观玻尔兹曼方程的完整逻辑链条获得菲尔兹奖，其发表的相关论文中涉及函数：，，则下列各数中与最接近的是（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先写出的具体表达式，通过取常用对数，结合已知的、近似值计算对数值，确定的值． 【详解】已知，分别计算的三个组成部分的对数值： ，因此； ，因此； ， 因此. 所以， 故． 8．已知函数的定义域是，的图象关于点中心对称，若，且对任意，，都有，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据单调性定义得到在上为减函数，再由的图象关于点中心对称，结合，得到，最后根据分式不等式的解法，结合函数单调性得到的解集为. 【详解】因为对任意，，都有， 所以在上为减函数， 因为的对称中心为，所以的对称中心为， 所以为奇函数， 所以在上为减函数． 则在，上为减函数， 因为，所以， ，即或， 则或， 解得或，所以解集为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．直线和无公共点，则a的值可以为（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】AB 【分析】由题意，利用两直线平行的充要条件列方程求解验证即可. 【详解】依题意，直线和平行， 则，解得或，(舍去) 当时，直线与互相平行， 当时，直线与互相平行. 综上，的值为或. 10．如果一个人爬楼梯的方式有两种，一次上个台阶或个台阶，设爬上第个台阶的方法数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据爬楼梯的规则可计算出，并推出，用上述递推关系计算，最后可用数学归纳法证明选项D 【详解】对于选项A，爬上第个台阶的方法有： 走次个台阶，共个方法； 走次个台阶，走次个台阶，共个方法. 所以； 对于选项C，爬上第个台阶的方法有两类： 先爬上第个台阶，再爬次个台阶，共个方法； 先爬上第个台阶，再爬次个台阶，共个方法； 所以； 对于选项B，； 对于选项D，当时，，，所以成立， 假设当时，成立， 则当时，有， 所以成立，其中 11．圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线C的方程为 B．过点且垂直于的直线平分 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】选项A，利用条件，设双曲线方程为，再利用双曲线过点，即可求解；选项B，根据条件，借助图形，即可求解；选项C，利用余弦定理及双曲线的定义，得到，再结合条件，即可求解；选项D，利用C中结果，再结合条件，即可求解. 【详解】对于A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为， 所以，解得，得到双曲线的方程为，A错误， 对于B，如图，由题知，，所以， 若，所以， B正确， 对于C，记， 所以， 又，得到，又， 所以，又， 由，得，C正确. 对于D，因为，， 由，得， 又，得到，得到， 从而有，得到， 由，得到， 从而有，解得，D正确， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知等比数列的公比，，，则其前5项和______. 【答案】62 【详解】∵ 等比数列公比， ∴ ，解得. ∵ ， ∴ . ∴ . 13．设为实数，函数，若有且只有一个零点，则的取值集合为__________． 【答案】 【详解】因为函数有且只有一个零点，即关于的方程有且只有一个实数根. 当时，方程的解为，符合题意； 当时，，解得或； 综上所述， 的取值集合为. 14．在长方体中，，点为侧面内的一点，且点到点的距离与到平面的距离相等，点满足，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，设，由点到点的距离与到平面的距离相等，得到与的关系式，再用坐标表示，代入关系式后配方求最小值. 【详解】以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，. 由知在线段上，且，所以，于是. 因为为侧面内的一点，所以设，其中，. 点到点的距离为，又平面即为平面，所以点到平面的距离为. 由题意得，因为，两边平方并整理得，即. 于是，所以. 代入，得. 因为，所以当时，取得最小值，此时，满足. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 某校为评估高二年级暑期自主学习效果，随机抽取了50名学生，统计其暑期数学每日学习时长（单位：分），将所有数据按，，，，分成5组，整理得到如下频数分布表： 学习时长（分） 频数 4 6 18 14 8 (1)估计这50名学生暑期数学每日学习时长的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (2)现采用比例分配的分层随机抽样的方法，从学习时长不足40分钟的学生中抽取5人进行学情访谈，再从这5人中随机抽取2人填写学习反馈问卷，求抽取的2人恰好来自同一学习时长区间的概率. 【答案】(1)48.2分钟.(2). 【详解】（1）各组区间的中点值依次为， 则样本平均数为（分）， 因此估计这50名学生暑期数学每日学习时长的平均数为48.2分钟. （2）学习时长不足40分钟的学生分布在和两组，频数分别为4和6，总人数为. 按分层随机抽样抽取5人，抽样比为， 因此，从组抽取人，从组抽取人. 记组抽取的2人分别为组抽取的3人分别为. 从5人中随机抽取2人，试验的样本空间为 ，，共10个样本点. “抽取的2人恰好来自同一学习时长区间”的基本事件，共4个样本点. 故所求概率. 16．（15分） 已知的内角、、的对边分别为、、，且满足. (1)求角的大小； (2)若， ，求的面积. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由余弦定理，代入得， 即，两边同乘得，整理得， 又由余弦定理，又 ，故. （2）由（1）知， 代入，得，解得， 所以的面积. 17．（15分） 如图，五面体为平面截某正三棱柱的余下部分，其中为等边三角形，平面，动点满足． (1)当时，证明：平面； (2)当时，若与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】(1)略.(2) 【详解】（1）取的中点O，连接，，有， 因为平面， 平面，所以， 又， 为平面内两条相交直线，所以平面， 当时，M为的中点，又O为的中点，则是梯形的中位线， 所以，且，又，且， 所以，且，故四边形为平行四边形， 所以，又平面， 所以平面； （2）由题意，不妨设，则，， 以O为坐标原点，，，分别为x，y，z轴正方向，如图所示建立空间直角坐标系， 有，，，，，， 由，解得， 所以，，， 设平面的法向量，与平面所成角为， 则，所以，取为方程组的一组解， 即， 所以，解得． 18．（17分） 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点. (1)求椭圆C的方程； (2)如图所示，直线与椭圆相交于P、Q两点，A、B是椭圆上位于直线两侧的动点. （i）若直线的斜率为，求四边形面积的最大值； （ii）当A、B运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值？若是，请求出定值，若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）（ii）是定值 【详解】（1）设椭圆C的方程为（）， 因为抛物线的焦点为， 所以， 又由及，得， 所以椭圆C的方程为. （2）（ⅰ）由题意知：， 设直线的方程为， 联立，得 由，解得， 设，， 由根与系数的关系，得，. 所以四边形的面积为 ， 当时，四边形取得最大面积，即. （ⅱ）当，则、的斜率之和为0， 设直线的斜率为k，则的斜率为， 直线的方程为， 由，得， ， 同理直线的方程为， 可得， 所以，， ， 所以的斜率为定值. 19．（17分） 已知关于的函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若该函数有两个不相等的零点，，且. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）设为常数，当变化时，若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)，在单减，，在单减，在单增 (2)（i） （ii） 【详解】（1）由题意得的定义域为，. 当时，恒成立，此时在上单调递减， 当时，令，得， 当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 综上，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）（ⅰ）法一：由（1）知，，得到在有极小值， 又时，，时，， ，，即，. 法二：函数有两个零点， 即方程有两个不同的根，即有两解， 等价于与（）有两个不同的交点， 而，则在上单调递增，在上单调递减， 而当时，，则该函数有极大值， 又时，，时，，此时， 要使与（）有两个不同的交点，只需. （ⅱ）由（ⅰ）知，，且， 令，则， 即， 且，从而，. 因为恒成立，所以对恒成立. 令，，， 令，可得， 从而在上单调递增，在上单调递减， 又，，即在为正，在为负， 即在单调递增，单调递减， 得到，即. 1 / 15学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮复习检测卷（全国二卷01） 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A A A B C A B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB AD BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 62 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【答案】(1)48.2分钟.(2). 【详解】（1）各组区间的中点值依次为，..............2分 则样本平均数为（分），..............5分 因此估计这50名学生暑期数学每日学习时长的平均数为48.2分钟...............6分 （2）学习时长不足40分钟的学生分布在和两组，频数分别为4和6，总人数为...............7分 按分层随机抽样抽取5人，抽样比为，..............8分 因此，从组抽取人，从组抽取人...............9分 记组抽取的2人分别为组抽取的3人分别为. 从5人中随机抽取2人，试验的样本空间为 ，，共10个样本点...............11分 “抽取的2人恰好来自同一学习时长区间”的基本事件，共4个样本点...............12分 故所求概率...............13分 16．（15分） 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由余弦定理，代入得，..............1分 即，..............2分 两边同乘得，整理得，..............5分 又由余弦定理，又 ，故...............7分 （2）由（1）知，..............9分 代入，得，解得，..............13分 所以的面积...............15分 17．（15分） 【答案】(1)略.(2) 【详解】（1）取的中点O，连接，，有，..............1分 因为平面， 平面，所以，..............2分 又， 为平面内两条相交直线，所以平面，..............3分 当时，M为的中点，又O为的中点，则是梯形的中位线， 所以，且，又，且，..............4分 所以，且，故四边形为平行四边形，..............5分 所以，又平面，..............6分 所以平面；..............7分 （2）由题意，不妨设，则，，..............8分 以O为坐标原点，，，分别为x，y，z轴正方向，如图所示建立空间直角坐标系， 有，，，，，， 由，解得，..............9分 所以，，，..............10分 设平面的法向量，与平面所成角为， 则，所以，取为方程组的一组解， 即，..............13分 所以，解得．..............15分 18．（17分） 【答案】(1) (2)（i）（ii）是定值 【详解】（1）设椭圆C的方程为（），..............1分 因为抛物线的焦点为，..............2分 所以， 又由及，得，..............3分 所以椭圆C的方程为...............4分 （2）（ⅰ）由题意知：， 设直线的方程为，..............5分 联立，得..............6分 由，解得， 设，， 由根与系数的关系，得，. ..............7分 所以四边形的面积为 ，..............9分 当时，四边形取得最大面积，即. ..............10分 （ⅱ）当，则、的斜率之和为0，..............11分 设直线的斜率为k，则的斜率为， 直线的方程为， 由，得，..............12分 ，..............13分 同理直线的方程为， 可得， ..............14分 所以，，..............15分 ，..............16分 所以的斜率为定值...............17分 19．（17分） 【答案】(1)，在单减，，在单减，在单增 (2)（i） （ii） 【详解】（1）由题意得的定义域为， 当时，恒成立，此时在上单调递减，..............1分 当时，令，得，.............2分 当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增，..............3分 综上，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增...............4分 （2）（ⅰ）法一：由（1）知，，得到在有极小值，..............6分 又时，，时，，..............8分 ，，即，...............10分 法二：函数有两个零点， 即方程有两个不同的根，即有两解，..............5分 等价于与（）有两个不同的交点， 而，则在上单调递增，在上单调递减，..............6分 而当时，，则该函数有极大值，..............7分 又时，，时，，此时，..............8分 要使与（）有两个不同的交点，只需...............10分 （ⅱ）由（ⅰ）知，，且，..............11分 令，则，..............12分 即， 且，从而，...............13分 因为恒成立，所以对恒成立. 令，，，..............14分 令，可得， 从而在上单调递增，在上单调递减，..............15分 又，，即在为正，在为负， 即在单调递增，单调递减，..............16分 得到，即...............17分 7 / 7学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮复习检测卷（全国二卷01） 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，则的虚部为（     ） A．1 B． C．2 D． 2．集合，，则集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 3．抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，，满足，，且，则=（     ） A．0 B． C． D． 5．用平行于底面的平面截高为3的正四棱锥，该棱锥底面边长为6，截面面积为4，则截去一个小四棱锥后剩下几何体的侧面积为（   ） A．32 B．72 C． D． 6．已知点在函数的图象上，若恒成立，且在区间上单调，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 7．2026年7月23日，国际数学家大会在美国费城揭晓了2026年菲尔兹奖得主，中国籍数学家王虹和邓煜双双获奖，实现历史性突破.数学家邓煜因攻克狭义希尔伯特第六问题，首次以数学严格方式推导出从微观粒子系统到宏观玻尔兹曼方程的完整逻辑链条获得菲尔兹奖，其发表的相关论文中涉及函数：，，则下列各数中与最接近的是（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域是，的图象关于点中心对称，若，且对任意，，都有，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．直线和无公共点，则a的值可以为（   ） A． B．0 C．1 D．3 10．如果一个人爬楼梯的方式有两种，一次上个台阶或个台阶，设爬上第个台阶的方法数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线C的方程为 B．过点且垂直于的直线平分 C．若，则 D．若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知等比数列的公比，，，则其前5项和______. 13．设为实数，函数，若有且只有一个零点，则的取值集合为__________． 14．在长方体中，，点为侧面内的一点，且点到点的距离与到平面的距离相等，点满足，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 某校为评估高二年级暑期自主学习效果，随机抽取了50名学生，统计其暑期数学每日学习时长（单位：分），将所有数据按，，，，分成5组，整理得到如下频数分布表： 学习时长（分） 频数 4 6 18 14 8 (1)估计这50名学生暑期数学每日学习时长的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (2)现采用比例分配的分层随机抽样的方法，从学习时长不足40分钟的学生中抽取5人进行学情访谈，再从这5人中随机抽取2人填写学习反馈问卷，求抽取的2人恰好来自同一学习时长区间的概率. 16．（15分） 已知的内角、、的对边分别为、、，且满足. (1)求角的大小； (2)若， ，求的面积. 17．（15分） 如图，五面体为平面截某正三棱柱的余下部分，其中为等边三角形，平面，动点满足． (1)当时，证明：平面； (2)当时，若与平面所成角的正弦值为，求的值． 18．（17分） 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点. (1)求椭圆C的方程； (2)如图所示，直线与椭圆相交于P、Q两点，A、B是椭圆上位于直线两侧的动点. （i）若直线的斜率为，求四边形面积的最大值； （ii）当A、B运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值？若是，请求出定值，若不是，请说明理由. 19．（17分） 已知关于的函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若该函数有两个不相等的零点，，且. （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）设为常数，当变化时，若恒成立，求的取值范围. 1 / 6学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $