2027年高考数学一轮复习检测卷（全国二卷04）

2027年高考一轮复习检测卷（全国二卷04） 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C D D D C C C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB ABD BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【解析】（1）由余弦定理，，即. （2分） 又由题设，则得. 即，因，则.（4分） （2）由，可得， 又，则可将a，c看成方程的两个根， 解得或.由于，所以，. （6分） 再由余弦定理，， 则.（8分） （3）因为，平分，所以，（9分） 又，（11分） 则， 则.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）因为平面，在平面内，所以，   在中，，，，所以，   又，为的中点，所以，   又， 在平面内，所以平面，   又平面， 所以平面平面；（6分） （2）以为原点，以方向为轴正方向，以方向为轴正方向，以方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，   则，，，，（8分） 设，平面法向量. 则，，， 令则，（10分） 取平面的法向量， 所以， 解得.  （12分） 即，，取平面的法向量（13分） 设直线与平面所成角为， 则.   所以，直线与平面所成角的正切值为.  （15分） 17．（15分） 【解析】（1）整理列联表数据如下： 性别 不关注赛事 关注赛事 合计 男性 女性 合计 零假设：关注 “甲超” 赛事与性别无关 根据卡方公式： ，（3分） 已知小概率值，对应临界值， ，（5分） 根据的独立性检验，零假设不成立，即认为关注 “甲超” 赛事与性别有关，该推断犯错概率不超过0.001．（7分） （2）关注赛事的市民中，男性人，女性人，性别比例，则抽取3人时，男性2人，女性1人； 表示顺利完成问答总人数，取值为：，（8分） 已知男性完成概率，未完成概率，女性完成概率，未完成概率，且相互独立； 则； ； ； ；（12分） 0 1 2 3 （13分） 数学期望为：．（15分） 18．（17分） 【解析】（1）由条件知，且，所以， 所以的离心率；（3分） （2）（i）以为直径的圆：，（4分） 设，由题意设①，（5分） 且有②，③， 将①代入②有，即④，（6分） ①代入③有，即⑤，（7分） 联立④⑤有，即点的轨迹方程为；（8分） （ii）由题意，椭圆方程为， 设的左焦点为，（9分） 直线的方程为，所以， （11分） 线段的垂直平分线方程为，此直线与轴相交于点，（13分） 的外接圆方程为⑥，（15分） 将代入方程⑥，得⑦，因为点在椭圆上，所以⑦恒成立， 即四点始终在同一个圆上，故的外接圆过点．（17分） 19．（17分） 【解析】（1）的定义域为. （1分） 当时，由得在上单调递增， 因为时，当且仅当时取等号，所以. 所以是的一个子区间，所以在上单调递增；（3分） 当时，在上单调递增；（4分） 当时，由得，所以在上单调递增， 因为时，，当且仅当时，取等号. 所以是的一个子区间，所以在上单调递增． 综上，对于任意实数在上单调递增．（5分） （2）（i）因为是的一个极值点，所以， 所以，所以，的定义域为.（6分） ，（8分） 所以曲线在点处的切线方程为， 即．（9分） （ii）方程， 即的两个实数根为， 所以的3个根为，（10分） 因为有3个极值点，所以上述3个根互不相等，从而， 将经过一定排列后成等比数列，则或或.（12分） 当时，成等比数列； 当时，， 所以，（13分） 令， 则 当时，在上单调递减， 因为， 又，所以满足条件的不存在；（15分） 当时，， 由在上单调递增，， 又，所以满足条件的不存在． 综上，．（17分） 7 / 7学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮复习检测卷（全国二卷04） 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数据的分位数是7，则实数（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】共个数，，则第分位数是第个和第个数的平均数， 因为第分位数是，则必有一数小于，一数大于， 故，得. 故选：C 2．在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，， 则，其虚部为. 故选：D． 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知， ， 所以. 4．已知平面向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以，， ， 所以向量在向量上的投影向量为． 故选：D． 5．已知双曲线C：的虚轴长是实轴长的2倍，且焦点到渐近线的距离为2，则此双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，，渐近线方程， 焦点到的距离为，则， 则此双曲线的方程为 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， ， ， 所以， 故， 故选：C 7．已知公差大于0的等差数列的前项和为，若，的前项和为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 设数列的公差为，则，所以， ，， 所以当时，，当时，， 所以 ， 所以. 8．已知定义在上的函数满足，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】A 【详解】解：，，即， 又，， 函数在单调递增， ，即， 令，则， ，当且仅当时取等， 又，当时取等， 综上，时，取得最小值． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则（   ） A．展开式中所有项的二项式系数和为 B．展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项 C． D． 【答案】AB 【详解】对于A，的展开式中所有项的二项式系数和为，故A正确； 对于B，的展开式中第项的二项式系数为，第项的二项式系数为，是所有项的二项式系数中的最大值，故B正确； 对于C，二项式的展开式的通项公式为， ， 令可得，，即展开式中含的项为， 所以，故C错误； 对于D，由取可得 ， 取可得 ， ∴ ，故D错误. 10．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，若原正三角形边长为1，记第n个图形的边数为，第n个图形的边长为，第n个图形的周长为，第n个图形的面积为．则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D．数列的前n项和为 【答案】ABD 【详解】对于A，第n个图形的每条边分成三等份，去掉中间段，并以中间段为边向形外作正三角形， 得第个图形，则原来每条边变为4条，即，而，则，故A正确； 对于B，第2个图形在第1个图形外增加3个边长为的正三角形， 第3个图形在第2个图形外增加12个边长为的正三角形，而所有正三角形都相似， 则，故B正确； 对于C，由作法知，，而，则，故C错误； 对于D，由选项AC知，， 所以数列的前n项和为，故D正确. 11．已知为坐标原点，点在直线：上，，是圆的两条切线，A，B为切点，则（   ） A．直线恒过定点 B．当为正三角形时， C．当时，的取值范围为 D．当时，的最大值为 【答案】BCD 【详解】对于A选项，直线：恒过定点，A错误， 对于B选项，因为为正三角形时，则，所以，B正确， 对于C选项，因为，所以四边形为正方形，则， 所以点的轨迹方程为，问题转化为直线与点的轨迹有公共点， 所以，即，所以的取值范围为，C正确， 对于D选项，因为， 则，即， 由，所以，当且仅当取等号时， 点代入直线的方程有， 可解得，则该点在直线上， 故可以取到最大值，最大值为，D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．抛物线上一点，焦点为，已知，则__________． 【答案】 【详解】由抛物线的定义可得准线方程为：， 由在抛物线上，且, 则，解得. 故答案为： 13．已知圆台的上、下底面的半径分别为1和3，球与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则球的表面积为________． 【答案】 【详解】设圆台的高为,球的半径为，作出圆台的轴截面，如图所示， ， 已知圆台的上、下底面半径分别为 ，斜边为圆台母线长， 圆台的轴截面等腰梯形的高 等于球的直径2, 因为球与圆台侧面相切，所以 , 则 ， 所以 , 所以， 同时 ，由勾股定理可得, 将, 代入到中， 得到，化简得，， 根据球的表面积公式,将代入公式可得：， 综上，球的表面积为. 故答案为：. 14．设，函数.若恰有一个零点，则a的取值范围是_______. 【答案】. 【详解】由于函数恰有一个零点，等价于只有一个解， 令，因此，可得或， 因此，函数的定义域必须满足或，以及， ①当时，函数的定义域为，则，令，符合条件. ②当时，由可得，或， 先考虑的情况，当时，显然不成立，因此，只考虑且的情况， 此时方程变为两边平方得， 化简得， 令，则， 令，得， 因此当时，单调递减，当时，单调递增；当时，单调递减， 且时，时，，， 因此当时，方程有两个解，即方程有两个解； 当时，方程有唯一解，即方程在上有唯一解； 再考虑的情况，此时方程变为， 两边平方得，化简得， 令，则， 令，得， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 且时，， ， 所以当时，方程有两个解，即方程有两个解； 当时，方程有唯一解，即方程在上有唯一解. 因此，要使函数恰有一个零点，则的取值范围只能取. ③当时，由可得， ， 先考虑的情况，则函数的定义域为， 此时方程变为，化简可得， 由②可知在时没有解，因此不符合条件；再考虑的情况，由于，因此也不符合条件. 综上所述，若函数恰有一个零点，因此的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，. (1)求角B； (2)求a，c，b的值； (3)若为的平分线，且在边上，求的长. 【答案】(1)；(2)，，；(3) 【详解】（1）由余弦定理，，即. （2分） 又由题设，则得. 即，因，则.（4分） （2）由，可得， 又，则可将a，c看成方程的两个根， 解得或.由于，所以，. （6分） 再由余弦定理，， 则.（8分） （3）因为，平分，所以，（9分） 又，（11分） 则， 则.（13分） 16．（15分） 如图，四棱锥的底面是梯形，平面，且，，，，为的中点. (1)求证：平面平面； (2)当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析；(2)2 【详解】（1）因为平面，在平面内，所以，   在中，，，，所以，   又，为的中点，所以，   又， 在平面内，所以平面，   又平面， 所以平面平面；（6分） （2）以为原点，以方向为轴正方向，以方向为轴正方向，以方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，   则，，，，（8分） 设，平面法向量. 则，，， 令则，（10分） 取平面的法向量， 所以， 解得.  （12分） 即，，取平面的法向量（13分） 设直线与平面所成角为， 则.   所以，直线与平面所成角的正切值为.  （15分） 17．（15分） 甲城市足球超级联赛（简称 “甲超”）引发了广泛关注. 在该城市某地区随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况， 得到如下表格: 性别 不关注赛事 关注赛事 男性 女性 (1)根据小概率值 的独立性检验，能否认为关注 “甲超” 赛事与性别有关？ (2)现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取 3 名市民参加 “渝超” 赛事知识问答. 已知男性、女性市民顺利完成知识问答的概率分别为 ， 每个人是否顺利完成相互独立．求3人中顺利完成知识问答的总人数的分布列及其期望． 附:． 【答案】(1)认为关注 “渝超” 赛事与性别有关 (2) 0 1 2 3 【详解】（1）整理列联表数据如下： 性别 不关注赛事 关注赛事 合计 男性 女性 合计 零假设：关注 “甲超” 赛事与性别无关 根据卡方公式： ，（3分） 已知小概率值，对应临界值， ，（5分） 根据的独立性检验，零假设不成立，即认为关注 “甲超” 赛事与性别有关，该推断犯错概率不超过0.001．（7分） （2）关注赛事的市民中，男性人，女性人，性别比例，则抽取3人时，男性2人，女性1人； 表示顺利完成问答总人数，取值为：，（8分） 已知男性完成概率，未完成概率，女性完成概率，未完成概率，且相互独立； 则； ； ； ；（12分） 0 1 2 3 （13分） 数学期望为：．（15分） 18．（17分） 已知为坐标原点，椭圆的右焦点为，短轴长为2． (1)求的离心率； (2)已知是以为直径的圆上一点，是射线上一点，满足． （i）求点的轨迹方程； （ii）当点在轴上方时，过点作轴的垂线，若与椭圆在第一象限内有一个交点，直线与轴相交于点，求证：的外接圆经过异于的一个定点． 【答案】(1)；(2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）由条件知，且，所以， 所以的离心率；（3分） （2）（i）以为直径的圆：，（4分） 设，由题意设①，（5分） 且有②，③， 将①代入②有，即④，（6分） ①代入③有，即⑤，（7分） 联立④⑤有，即点的轨迹方程为；（8分） （ii）由题意，椭圆方程为， 设的左焦点为，（9分） 直线的方程为，所以， （11分） 线段的垂直平分线方程为，此直线与轴相交于点，（13分） 的外接圆方程为⑥，（15分） 将代入方程⑥，得⑦，因为点在椭圆上，所以⑦恒成立， 即四点始终在同一个圆上，故的外接圆过点．（17分） 19．（17分） 已知函数，． (1)判断函数在上的单调性； (2)当是的一个极值点时，，． （i）求曲线在点处的切线方程（用表示）； （ii）若，，是的3个极值点，将，，经过一定顺序排列后成等比数列，且，求的值． 【答案】(1)在上单调递增. (2)（i）（ii）或 【详解】（1）的定义域为. （1分） 当时，由得在上单调递增， 因为时，当且仅当时取等号，所以. 所以是的一个子区间，所以在上单调递增；（3分） 当时，在上单调递增；（4分） 当时，由得，所以在上单调递增， 因为时，，当且仅当时，取等号. 所以是的一个子区间，所以在上单调递增． 综上，对于任意实数在上单调递增．（5分） （2）（i）因为是的一个极值点，所以， 所以，所以，的定义域为.（6分） ，（8分） 所以曲线在点处的切线方程为， 即．（9分） （ii）方程， 即的两个实数根为， 所以的3个根为，（10分） 因为有3个极值点，所以上述3个根互不相等，从而， 将经过一定排列后成等比数列，则或或.（12分） 当时，成等比数列； 当时，， 所以，（13分） 令， 则 当时，在上单调递减， 因为， 又，所以满足条件的不存在；（15分） 当时，， 由在上单调递增，， 又，所以满足条件的不存在． 综上，．（17分） 1 / 15学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮复习检测卷（全国二卷04） 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数据的分位数是7，则实数（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知平面向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线C：的虚轴长是实轴长的2倍，且焦点到渐近线的距离为2，则此双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．已知公差大于0的等差数列的前项和为，若，的前项和为，则（     ） A． B． C． D． 8．已知定义在上的函数满足，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则（   ） A．展开式中所有项的二项式系数和为 B．展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项 C． D． 10．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，若原正三角形边长为1，记第n个图形的边数为，第n个图形的边长为，第n个图形的周长为，第n个图形的面积为．则下列命题正确的是（    ） A． B． C． D．数列的前n项和为 11．已知为坐标原点，点在直线：上，，是圆的两条切线，A，B为切点，则（   ） A．直线恒过定点 B．当为正三角形时， C．当时，的取值范围为 D．当时，的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．抛物线上一点，焦点为，已知，则__________． 13．已知圆台的上、下底面的半径分别为1和3，球与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则球的表面积为________． 14．设，函数.若恰有一个零点，则a的取值范围是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，. (1)求角B； (2)求a，c，b的值； (3)若为的平分线，且在边上，求的长. 16．（15分） 如图，四棱锥的底面是梯形，平面，且，，，，为的中点. (1)求证：平面平面； (2)当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成角的正切值. 17．（15分） 甲城市足球超级联赛（简称 “甲超”）引发了广泛关注. 在该城市某地区随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况， 得到如下表格: 性别 不关注赛事 关注赛事 男性 女性 (1)根据小概率值 的独立性检验，能否认为关注 “甲超” 赛事与性别有关？ (2)现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取 3 名市民参加 “渝超” 赛事知识问答. 已知男性、女性市民顺利完成知识问答的概率分别为 ， 每个人是否顺利完成相互独立．求3人中顺利完成知识问答的总人数的分布列及其期望． 附:． 18．（17分） 已知为坐标原点，椭圆的右焦点为，短轴长为2． (1)求的离心率； (2)已知是以为直径的圆上一点，是射线上一点，满足． （i）求点的轨迹方程； （ii）当点在轴上方时，过点作轴的垂线，若与椭圆在第一象限内有一个交点，直线与轴相交于点，求证：的外接圆经过异于的一个定点． 19．（17分） 已知函数，． (1)判断函数在上的单调性； (2)当是的一个极值点时，，． （i）求曲线在点处的切线方程（用表示）； （ii）若，，是的3个极值点，将，，经过一定顺序排列后成等比数列，且，求的值． 1 / 6学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $