2027年高考数学一轮复习培优卷（全国二卷01）

**基本信息** 立足一轮复习，整合代数、几何、概率统计核心知识，通过基础概念与综合应用题型，培养数学抽象、逻辑推理及数据意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数|5题（1,2,6,7,9）|基础概念（复数共轭）、性质应用（函数、数列不等式）|概念（复数坐标）→性质（函数单调性）→综合（数列与整数解）| |几何|7题（4,8,10,11,12,13,17,18）|方程求解（双曲线渐近线）、空间几何（翻折、外接球）、解析几何综合|空间形式（斜面、内接正方形）→数量关系（投影向量、边长递推）| |概率统计|4题（3,14,15）|数据处理（百分位数）、统计推断（独立性检验）、概率计算|数据收集→分析（卡方检验）→推断（回归方程、二项分布）| |跨学科融合|1题（5）|实际情境转化（物理力学向量投影）|现实问题→数学抽象（重力分解为向量投影）|

2027年高考一轮复习培优卷（全国二卷01） 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B B B C C A A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC ABD AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【解析】（1）零假设：数学成绩与单日运动时间无关，（1分） ，（4分） 根据小概率值的独立性检验，零假设不成立，即数学成绩与单日运动时间有关，该推断犯错概率不超过0.001.（6分） （2），，．（10分） 于是，（12分） 于是．（13分） 16．（15分） 【解析】（1）因为，由正弦定理可得 ， 则 ，即， 又因为， 则， 即， 且，则，即，可得， 又因为，则， 可得，所以. （7分） （2）由正弦定理得，则， 由余弦定理得，即， 可得，（10分） 又因为 ，（12分） 因为为锐角三角形，则，解得，（13分） 则，可得， 则，可得，即， 所以的取值范围为.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）因为在中，，垂足为， 所以，翻折至时，， 因为，平面， 所以平面，又因为平面，所以，（2分） 因为，． 所以，， 所以，当翻折到时，，即，（4分） 因为，平面， 所以平面， 综上，当翻折到时，平面，此时. （6分） （2）如图建立空间直角坐标系，（7分） 则，，， 设，则，（8分） 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，整理得， 所以，（11分） 设直线与平面所成角为， 则 ，（13分） 因为， 所以，，， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值的最小值为. （15分） 18．（17分） 【解析】（1）依题意， 所以，（2分） 由直线交于，两点，，可知点在椭圆上，（3分） 所以，解得， 所以椭圆方程为；（5分） (2)（i） 设，， 设直线 ， ， 由可得：，解得， 同理联立和椭圆方程，可得，（8分） 所以直线的斜率为， 所以直线， 同理可得的斜率为， 所以直线 ，（11分） 由可得， 又，所以； （13分） （ii）假设存在点，使得为定值， 即，（14分） 所以恒成立，（15分） 则，解得， 所以存在点，使得为定值. （17分） 19．（17分） 【解析】（1）当，时，， ，， 在处的切线方程为：. （3分） （2）①先证明充分性： ，令，则. ，，即在定义域上单调递减， ，， ，使得. 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减，为极大值点. （5分） ，， 在定义域上存在两个零点和，充分性得证. （6分） ②再证明非必要性. 取，，则， 考虑周期性可知，当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减. 因为，， ， 故，使得. （8分） 当时，，当时，， 所以当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减，为极大值点. （9分） ，， 在定义域上存在两个零点和，即必要性不成立. （10分） （3）当时，由可得，即为与直线的两个交点的横坐标. （11分） 先证明：，即证， 设，，单调递减，而， ，得证. ，等号成立. （13分） 再证处的切线恒在原函数的上方，即证， 即证明，设， ，设， ，在定义域上单调递增. ，所以，在定义域上单调递减. 而，得证. （15分） 由上述论证，令，设直线与两条切线所交于，，且，. ，. ， 即得证，当且仅当时取等. （17分） 7 / 7学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮复习培优卷（全国二卷01） 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则复数的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为复数在复平面内对应的点的坐标为，所以， 所以, 所以复数的共轭复数为. 故选：B. 2．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，解得， 即，所以 ，解得， 即， 所以 ， 故选：B 3．已知一组数据：中的最小数据为9，且第75百分位数是14，则的不同取值可能有（   ） A．8个 B．6个 C．4个 D．1个 【答案】B 【详解】因为数据中最小数据为，可得且， 将7个数据从小到大排序， 因为，则该组数据的第75百分位数为第6个数据，可得， 所以，则的可能取值有，共6个. 4．双曲线过点，其两条渐近线的夹角为，则双曲线的方程为（    ） A． B．不存在 C． D． 【答案】C 【详解】由两条渐近线的夹角为，可得渐近线的倾斜角为或， 由可知双曲线的焦点在轴上， 当渐近线的倾斜角为时，渐近线方程为，点在直线的下方，不可能在该双曲线上，不合题意； 当渐近线的倾斜角为时，渐近线方程为，点在直线的上方，此时解得，则双曲线的方程为. 故选：C 5．【跨学科融合】如图，一个质量为的木块静止在与水平面成的斜坡上，已知重力加速度，重力方向竖直向下，以水平向右为轴，竖直向上为轴建立平面直角坐标系，那么重力在斜面正方向（斜面向下为正方向）上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】为了方便运算，不妨以直角三角形的直角顶点为坐标顶点， 因为，则不影响一般性可设， 则，，则，取， 则重力在斜面正方向（斜面向下为正方向）上的投影向量为. 故选：C 6．已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以（*）， 因为，所以，即， 此时，得，， 故由（*），， ， 即，因的周期为，， 故，， 化简得，而， 则. 故选：A． 7．已知数列的通项公式为，若满足的整数恰有2个，则可取到的值有（    ） A．有3个 B．有2个 C．有1个 D．不存在 【答案】A 【详解】当时， ， 解得，此时保证等式成立的每个值，只有一个值，不符合题意； 当时， ， 即， 若整数恰有2个，则首先，解得， 设该方程有两实数根，则，若，显然不合题意，则，则， 若，此时，解得，满足，符合题意； 若，此时，解得，满足，符合题意； 若，此时，解得，满足，符合题意， 故可取到的值有或或. 故选：A. 8．在中，已知，，的面积为6，P为线段AB上的一点，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，设，，， 因为，，所以， 即，所以， 因为，所以，所以，又，所以， 又因为，所以，又，所以， 在中，，，， 根据，所以，，， 以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系， 可得，，，所以，， 由于为线段上的一点，则存在实数使得， 设，，则，， 所以，则， 所以，，则， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 此时，所以的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则下列结论正确的是（   ） A．展开式中第1014项的二项式系数最大 B． C． D．被16除的余数是15 【答案】ABC 【详解】 展开式中二项式系数最大为第1014项，故选项A正确， 所以 又因为 所以令则故选项B正确. 对函数左右两边求导得： 令，则 又，所以，故选项C正确. ， 令，则， 除第一项外，其余项均可以被16整除， 所以被16除的余数是1，故选项D错误. 10．在边长为3的正方形中，作它的内接正方形，且使得，再作正方形的内接正方形，使得依次进行下去，就形成了如图所示的图案.设第个正方形的边长为（其中第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为），第个直角三角形（阴影部分）的面积为（其中第1个直角三角形的面积为，第2个直角三角形的面积为，，）则（    ） A． B． C．数列是公比为的等比数列 D．数列的前项和取值范围 【答案】ABD 【详解】对A：由题意可知， ， 而，则， 所以，故A正确； 对B：由上可知， 所以，故B正确； 对C：易知，此后对应三角形均相似， 而相似比， 即是首项为3，公比为的等比数列， 是首项为，公比为的等比数列，故C错误； 对D：由上可得，则， 则， 显然单调递减，即，所以的取值范围为，故D正确. 故选：ABD. 11．已知圆，直线，点为圆上一点，点为坐标原点，则下列叙述正确的有（　　） A．的最小值为 B．当时，直线与圆相切 C．的最小值为 D．若圆上有且仅有三个点到直线的距离为，则 【答案】AC 【详解】已知圆的方程可化为， 故圆心，半径， 对于A：因为为圆上一点，所以，故A正确； 对于B：当时，直线， 根据点到直线的距离公式，得圆心到直线的距离， 所以直线与圆不相切，故B错误； 对于C的几何意义为圆上一点与原点连线的斜率， 设，则直线的方程为， 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离， 解得，所以，故C正确； 对于D：因为圆的半径，要使圆上有且仅有三个点到直线的距离为， 则圆心到直线的距离， 由点到直线的距离公式，即，解得，故D错误． 故选：AC． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知抛物线的焦点为，直线与相交于两个不同点，且，则线段中点的纵坐标为___________． 【答案】3 【详解】设点，. 易得抛物线的焦点为，准线方程为. 由抛物线定义得， 所以，故， 即线段中点的纵坐标为3. 故答案为：3. 13．在四面体中，是边长为的等边三角形，，，，点在棱上，且，过点作四面体的外接球的截面，则所得截面圆的面积最小值与球的表面积之比为_________． 【答案】1：8 【详解】 由题意知，， 由勾股定理可知，， 所以， 取的中点，所以， 所以四面体的外接球在斜边的中点处， 四面体的外接球的半径， 根据题意可知，过点作球的截面，若要所得的截面圆中面积最小， 只需截面圆半径最小，设球到截面的距离，只需球心到截面的距离最大即可， 而当且仅当与截面垂直时，球心到截面的距离最大，即， 取的中点，易知为等腰三角形， ，所以， 所以截面圆的半径为， 所以截面圆的面积为，球的表面积为， 所得截面圆的面积最小值与球的表面积之比为 故答案为：． 14．某机器有四种核心部件A，B，C，D，四个部件至少有三个正常工作时，机器才能正常运行，四个核心部件能够正常工作的概率满足为，，且各部件是否正常工作相互独立，已知，设为在次实验中成功运行的次数，若，则至少需要进行的试验次数为______． 【答案】 【详解】设，则， 设一次实验中成功运行的概率为， 则 ， 令，， 则， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故， 故， 由服从二项分布，故有，则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 某校学习小组为调查高一学生单日运动时间与数学成绩的关系，随机抽取80名同学进行问卷调查，得到如下数据：                数学成绩 单日运动时间 不低于90分 低于90分 不小于30分钟 30 10 小于30分钟 10 30 (1)根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩与单日运动时间是否有关； (2)为进一步研究运动时间对成绩的影响，该小组从这80人中抽取了运动时间分别为10，20，30，40（单位：分钟）的4位同学，他们的数学成绩分别为（单位：分）．记单日运动时间为，对应的数学成绩为，由这四组数据得到的经验回归方程为，求． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)数学成绩与单日运动时间有关；(2) 【详解】（1）零假设：数学成绩与单日运动时间无关，（1分） ，（4分） 根据小概率值的独立性检验，零假设不成立，即数学成绩与单日运动时间有关，该推断犯错概率不超过0.001.（6分） （2），，．（10分） 于是，（12分） 于是．（13分） 16．（15分） 在中，内角的对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为，由正弦定理可得 ， 则 ，即， 又因为， 则， 即， 且，则，即，可得， 又因为，则， 可得，所以. （7分） （2）由正弦定理得，则， 由余弦定理得，即， 可得，（10分） 又因为 ，（12分） 因为为锐角三角形，则，解得，（13分） 则，可得， 则，可得，即， 所以的取值范围为.（15分） 17．（15分） 如图，在中，，垂足为，，．将绕翻折至． (1)是否存在某个翻折位置，使得平面？若存在，求出此时的大小；若不存在，请说明理由． (2)当在内变化时，求直线与平面所成角的正弦值的最小值． 【答案】(1)翻折到时，平面，此时；(2) 【详解】（1）因为在中，，垂足为， 所以，翻折至时，， 因为，平面， 所以平面，又因为平面，所以，（2分） 因为，． 所以，， 所以，当翻折到时，，即，（4分） 因为，平面， 所以平面， 综上，当翻折到时，平面，此时. （6分） （2）如图建立空间直角坐标系，（7分） 则，，， 设，则，（8分） 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，整理得， 所以，（11分） 设直线与平面所成角为， 则 ，（13分） 因为， 所以，，， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值的最小值为. （15分） 18．（17分） 已知椭圆的左、右顶点分别为，直线交于，两点，． (1)求的方程； (2)点在线段上，直线分别交于两点，直线交于点． （i）证明：； （ii）判断轴上是否存在定点，使得为定值．若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) （2）（i）证明见解析，（ii）存在点，使得为定值，理由见解析. 【详解】（1）依题意， 所以，（2分） 由直线交于，两点，，可知点在椭圆上，（3分） 所以，解得， 所以椭圆方程为；（5分） (2)（i） 设，， 设直线 ， ， 由可得：，解得， 同理联立和椭圆方程，可得，（8分） 所以直线的斜率为， 所以直线， 同理可得的斜率为， 所以直线 ，（11分） 由可得， 又，所以； （13分） （ii）假设存在点，使得为定值， 即，（14分） 所以恒成立，（15分） 则，解得， 所以存在点，使得为定值. （17分） 19．（17分） 已知函数，其中，. (1)当，时，求在处的切线方程； (2)当时，求证：是满足“在上存在2个零点”的一个充分不必要条件； (3)当时，若函数有两个零点，，求证：. 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)证明见解析 【详解】（1）当，时，， ，， 在处的切线方程为：. （3分） （2）①先证明充分性： ，令，则. ，，即在定义域上单调递减， ，， ，使得. 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减，为极大值点. （5分） ，， 在定义域上存在两个零点和，充分性得证. （6分） ②再证明非必要性. 取，，则， 考虑周期性可知，当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减. 因为，， ， 故，使得. （8分） 当时，，当时，， 所以当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减，为极大值点. （9分） ，， 在定义域上存在两个零点和，即必要性不成立. （10分） （3）当时，由可得，即为与直线的两个交点的横坐标. （11分） 先证明：，即证， 设，，单调递减，而， ，得证. ，等号成立. （13分） 再证处的切线恒在原函数的上方，即证， 即证明，设， ，设， ，在定义域上单调递增. ，所以，在定义域上单调递减. 而，得证. （15分） 由上述论证，令，设直线与两条切线所交于，，且，. ，. ， 即得证，当且仅当时取等. （17分） 1 / 15学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮复习培优卷（全国二卷01） 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则复数的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 2．已知，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知一组数据：中的最小数据为9，且第75百分位数是14，则的不同取值可能有（   ） A．8个 B．6个 C．4个 D．1个 4．双曲线过点，其两条渐近线的夹角为，则双曲线的方程为（    ） A． B．不存在 C． D． 5．【跨学科融合】如图，一个质量为的木块静止在与水平面成的斜坡上，已知重力加速度，重力方向竖直向下，以水平向右为轴，竖直向上为轴建立平面直角坐标系，那么重力在斜面正方向（斜面向下为正方向）上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 6．已知，若，则（    ） A． B． C． D． 7．已知数列的通项公式为，若满足的整数恰有2个，则可取到的值有（    ） A．有3个 B．有2个 C．有1个 D．不存在 8．在中，已知，，的面积为6，P为线段AB上的一点，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，则下列结论正确的是（   ） A．展开式中第1014项的二项式系数最大 B． C． D．被16除的余数是15 10．在边长为3的正方形中，作它的内接正方形，且使得，再作正方形的内接正方形，使得依次进行下去，就形成了如图所示的图案.设第个正方形的边长为（其中第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为），第个直角三角形（阴影部分）的面积为（其中第1个直角三角形的面积为，第2个直角三角形的面积为，，）则（    ） A． B． C．数列是公比为的等比数列 D．数列的前项和取值范围 11．已知圆，直线，点为圆上一点，点为坐标原点，则下列叙述正确的有（　　） A．的最小值为 B．当时，直线与圆相切 C．的最小值为 D．若圆上有且仅有三个点到直线的距离为，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知抛物线的焦点为，直线与相交于两个不同点，且，则线段中点的纵坐标为___________． 13．在四面体中，是边长为的等边三角形，，，，点在棱上，且，过点作四面体的外接球的截面，则所得截面圆的面积最小值与球的表面积之比为_________． 14．某机器有四种核心部件A，B，C，D，四个部件至少有三个正常工作时，机器才能正常运行，四个核心部件能够正常工作的概率满足为，，且各部件是否正常工作相互独立，已知，设为在次实验中成功运行的次数，若，则至少需要进行的试验次数为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 某校学习小组为调查高一学生单日运动时间与数学成绩的关系，随机抽取80名同学进行问卷调查，得到如下数据：                数学成绩 单日运动时间 不低于90分 低于90分 不小于30分钟 30 10 小于30分钟 10 30 (1)根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩与单日运动时间是否有关； (2)为进一步研究运动时间对成绩的影响，该小组从这80人中抽取了运动时间分别为10，20，30，40（单位：分钟）的4位同学，他们的数学成绩分别为（单位：分）．记单日运动时间为，对应的数学成绩为，由这四组数据得到的经验回归方程为，求． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16．（15分） 在中，内角的对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围. 17．（15分） 如图，在中，，垂足为，，．将绕翻折至． (1)是否存在某个翻折位置，使得平面？若存在，求出此时的大小；若不存在，请说明理由． (2)当在内变化时，求直线与平面所成角的正弦值的最小值． 18．（17分） 已知椭圆的左、右顶点分别为，直线交于，两点，． (1)求的方程； (2)点在线段上，直线分别交于两点，直线交于点． （i）证明：； （ii）判断轴上是否存在定点，使得为定值．若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 19．（17分） 已知函数，其中，. (1)当，时，求在处的切线方程； (2)当时，求证：是满足“在上存在2个零点”的一个充分不必要条件； (3)当时，若函数有两个零点，，求证：. 1 / 6学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $