专题13二次函数与几何综合——线段与面积（题型专练）数学新教材人教版九年级上册

专题13 二次函数与几何综合——线段与面积 （题型突破·举一反三） 题型01 求线段长 题型02 线段的数量关系 题型03 线段的和差最值问题 题型04 公式法计算面积 题型05 割补法计算面积 题型06 铅垂法计算面积 题型07 面积最值问题 题型08 求四边形面积 题型09 二次函数中定值问题 ▌题型01 求线段长 【核心知识点】 1. 平行于坐标轴或就是坐标轴上的线段：长度等于端点坐标的差，即 或 ，取大减小。 1. 斜线段：构造直角三角形，用勾股定理 计算。 1. 抛物线上点常设为 ，这样纵坐标可直接代入运算，避免多余未知数。 1. 表示长度时要加绝对值（或事先判断大小关系），负值会让后续列式出错。 【解题思路】 1. 给每个相关点写出坐标（动点设参数为 ）。 1. 判断所求线段是水平、竖直还是斜的，选用坐标差或勾股。 1. 算出含 的表达式并化简。 1. 若题目给出长度条件，列出方程解 ，再回求线段长。 【例1】（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，已知二次函数的图象经过点，，与x轴另一交点为点B，点D在线段上运动（不与点O，点A重合），过点D作x轴的垂线，与交于点Q，与抛物线交于点P． (1)__________； (2)若，求点P的坐标． (3)求线段的最大值． (4)在抛物线上是否存在一点E（不与点C重合），使得的面积等于的面积？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)点的坐标为或或 【分析】（1）将代入二次函数解析式计算即可得出结果； （2）由（1）可得二次函数的解析式为，求出直线的解析式为，设点的坐标为，则，，表示出，，再结合计算即可得出结果； （3）由（2）可得，再结合二次函数的性质计算即可得出结果； （4）先由二次函数的对称性可得，则，从而可得，设点，则，再结合的面积等于的面积，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得； （2）解：由（1）可得二次函数的解析式为， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点D在线段上运动（不与点O，点A重合）， ∴设点的坐标为， ∵过点D作x轴的垂线，与交于点Q，与抛物线交于点P， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴当时，， ∴； （3）解：由（2）可得，， ∵，， ∴当时，取最大值，最大值为； （4）解：由（1）可得二次函数的解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵二次函数的图象经过点，与x轴另一交点为点B， ∴由二次函数的对称性可得， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点，则， ∵的面积等于的面积， ∴， ∴， ∴或， 当时，整理得， 解得（此时与点重合，不符合题意，舍去）或， 此时点的坐标为， 当时，整理得， 解得或， 此时点的坐标为或； 综上所述，点的坐标为或或． 【变式1-1】（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．点为线段上的一个动点（不与，重合），过点作轴的垂线，垂足为，与抛物线交于点． (1)求直线的解析式； (2)求线段长度的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在， 【分析】（1）先求出点C的坐标，再根据待定系数法求解即可； （2）设，则表示出，再根据二次函数的性质即可求解； （3）设，则有，，，分三种情况求解即可． 【详解】（1）解：令，得， 即， 设直线的解析式为， 将、代入解析式得：， 解得： ∴； （2）解：设，则， ∴， ∴当时，最大，最大值为； （3）解：∵抛物线的表达式为， ∴对称轴为直线， ∵点在对称轴上， ∴设， ∵，， ∴，，， 分三种等腰情况讨论： 当时：， 解得，得； 当时：， 解得，得、； 当时：， 解得，得、． 综上，所有满足条件的坐标为：． 【变式1-2】（2022·青海玉树·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式； (3)若点是线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出答案即可； （2）把抛物线化为顶点式，根据平移规律进行解答即可； （3）求出直线的解析式为，设，则，则线段的长度，根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ∴， 解得 ∴抛物线的解析式为 （2）解： ∴将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则平移后的解析式为； （3）当时，， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得到， ， 解得 ∴直线的解析式为， 设，则， 则线段的长度， ∵ ∴当时，线段的长度的最大值为． 【变式1-3】（2026·河南驻马店·模拟预测）如图，抛物线经过两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一个动点，作轴交直线于点，求线段的最大值； (3)连接，将线段沿着射线向上平移，设平移过程中点的横坐标为，若线段与抛物线无交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)的最大值为4 (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，设，则，表示出，再根据二次函数的性质即可解答； （3）求出平移后的线段的端点坐标，再结合函数图象解答即可； 【详解】（1）解：将、代入，得方程组：， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：设直线的解析式为：， 代入、得：， 解得：， 即直线的解析式为：， 设， ∵轴， ∴， ∵在上方， ∴ ∵， ∴当时，． （3）解：∵直线的解析式为：， ∴方向为横、纵坐标均每单位增加， 设线段与平移后的线段为（的对应点分别为）， ∵沿射线向上平移，原平移后横坐标为， ∴、， 当在抛物线解析式上时，， 解得：（与点重合）或， 当在抛物线解析式上时，， 解得：（与点重合）或， 画图如下： 结合图象可得，若线段与抛物线无交点，则或． ▌题型02 线段的数量关系 【核心知识点】 1. 常见题型：证明或求满足 、、 等关系的动点位置。 1. 代数方法：把每条线段用同一个参数表示，再把数量关系翻译成方程，解方程求参数。 1. 几何方法：利用对称性（抛物线上的对称点）、全等、相似得到倍分或相等关系，往往比坐标计算更简洁。 1. 含有绝对值的相等关系要分类讨论绝对值内式的正负。 【解题思路】 1. 先判断用几何法能否一步到位（是否已有全等、对称结构），能用则用。 1. 否则设动点坐标为 ，写出各线段长。 1. 把数量关系写成方程，注意带绝对值时分类讨论。 1. 解出 后，检验是否满足图形的存在条件（点不重合、在指定边上等）。 【例2】（26-27九年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，抛物线，经过两点，点P在x轴上方且为抛物线上一动点，过点P作轴于点D，交直线于点C，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求m的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）由题意得，则，由于点C在直线上，轴，则，再由建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入 得 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：由题意得 ∵点C在直线上，轴 ①当点C在点P的下方时，如图1 由得 解得（舍）， ②当点C在点P的上方时，如图2，由 得， 解得（舍）， 综上所述，m的值为或． 【变式2-1】（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为，点C的坐标为，直线l经过B、C两点． (1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标； (2)点P在线段上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N，当时，求点P的坐标； 【答案】(1)，顶点坐标 (2)点P的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式，然后配方成顶点式即可； （2）首先求出直线的解析式为，设，则，，则，，由题意可得方程，求解方程即可． 【详解】（1）解：将点，代入 ∴ 解得 ∴ ∵ ∴顶点坐标； （2）解：设直线的解析式为 将，代入得， 解得 ∴直线的解析式为 如图，设，，则 ∵抛物线对称轴为直线，轴 ∴点M和点N关于对称轴对称 ∴ ∴，， ∵ ∴ ∴或 当时，整理得 解得，（舍去） ∴； 当时，整理得 解得（舍去）， ∴； 综上所述，点P点坐标为或． 【变式2-2】（25-26九年级下·河北廊坊·开学考试）如图，抛物线：的顶点坐标为，与轴交于点，(点在点左侧)，与轴交于点．，是轴上的两点，且点在点的右侧，．过，分别作轴的垂线，与抛物线分别交于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)若，均在负半轴，且，求抛物线上点的横坐标； (3)若，在轴下方的抛物线上，点的横坐标为，是否存在线段？若存在，求出的值，若不存在；请说明理由． 【答案】(1)； (2)或或； (3)存在，的值为 【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标设出顶点式，代入抛物线与轴的交点坐标求出，进而得到抛物线的一般式解析式； （2）先设出点的横坐标，根据得到点的横坐标，再结合的线段长度条件建立方程，求解得到点的横坐标后，即可得到点的横坐标； （3）根据点的横坐标写出、点的坐标，结合、在轴下方的条件确定纵坐标的符号，再根据的等量关系建立方程，求解后结合取值范围筛选出符合条件的的值． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为； 将点代入解析式，得，解得， ∴； （2）解：设点的横坐标为，则点， ∵点在点的右侧且， ∴点的横坐标为； ∵是过作轴的垂线与抛物线的交点， ∴； ∵， ∴； 分两种情况求解： ①当时，解得或； ∵、均在负半轴， ∴且，即， ∴舍去，取，此时点的横坐标为； ②当时，解得或，均满足， 此时点的横坐标为或； 综上，点的横坐标为或或； （3）解：存在，理由如下： 令，则， 解得，， ∴，， ∵点的横坐标为， ∴点的横坐标为，点的坐标为，点的坐标为； ∵、在轴下方的抛物线上， ∴，， ∴，； ∵， ∴， 展开并整理得， 解得或； ∵、在轴下方，抛物线与轴的交点为和， ∴，解得， ∵，， ∴，不符合条件，舍去； ，符合的条件； ∴存在满足条件的，的值为． 【变式2-3】（25-26九年级上·辽宁铁岭·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的抛物线与轴的另一交点为 (1)求该抛物线的解析式； (2)点是该抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点，设点的横坐标为． ①当时，求点的坐标； ②求面积与的函数表达式，并求的最大值． 【答案】(1) (2)①；②；最大值． 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）对于函数，令和分别求出点A和C的坐标即可；设抛物线的函数表达式为，将点代入即可求解； （2）①设则求出长，然后根据列方程，并解方程即可； ②根据，计算即可得到解析式，然后配方找最值即可． 【详解】（1）解：对于函数，当时，； 当时，，解得， ∴直线与轴，轴的交点坐标分别为， ∵抛物线与轴的另一交点为， 设所求抛物线的函数表达式为， 把点代入, 得: 解得 ∴所求抛物线的函数表达式为, 即； （2）①设则 ∴，， 当时，， 解得：或（与A重合，舍去）， 当时，， 故； 故答案为： ②， ， ∴当时, 有最大值． ▌题型03 线段的和差最值问题 【核心知识点】 1. 代数法：把每条线段表示为同一参数 的函数，相加（或相减）得到 ，通常仍是二次函数，用配方法求最值。 1. 几何法一：两点之间线段最短；垂线段最短。常用于"折线和最小"。 1. 几何法二：对称（"将军饮马"型）——作其中一点关于动点所在直线的对称点，把折线化为直线段。 1. 系数型（如 ）：需把系数化为 ，通常通过构造相似直角三角形把带系数的线段转化为另一条线段。 1. 求差的量大值多有"共线时取到"的特点，可结合三角形三边关系说明。 【解题思路】 1. 先看能否用几何法（对称或两点之间线段最短），能用时答案最简洁。 1. 不能则用代数法：设参数表示各线段，列出和（差）的函数。 1. 化简成二次函数后配方法求最值，注意参数的取值范围。 1. 必须说明取到最值时动点的位置（或对应的参数值），只写数字不完整。 【例3】（2026·湖北孝感·一模）如图1，抛物线与x轴相交于两点，与y轴交于点C，作直线BC，抛物线顶点为点 (1)点C的坐标为 ，则直线的解析式为 ； (2)点N为抛物线对称轴上一点，当最小时，求点N的坐标； (3)平移直线得直线． ①如图2，若直线过点M，交x轴于点D，在x轴上取点，连接，求的度数． ②如图3，把抛物线在x轴下方的图象沿x轴翻折得到新图象，当直线与新图象有两个公共点时，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1)， (2)点N的坐标为 (3)①；②或 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）点N为直线与直线的交点时，最小，利用待定系数法求得直线解析式，据此求解即可； （3）①如图2，过点E作于F，过点M作轴于H，利用解直角三角形求得、，再利用三角形外角的性质即可求解； ②由题意可得翻折后的图象的解析式为，直线平移后的解析式为，联立方程得，利用根的判别式求得，即可求得答案． 【详解】（1）解：抛物线与y轴交于点C， ∴， 设直线为， ∵， ∴，解得：， ∴直线为． （2）解：由（1）得对称轴为直线， 、两点关于直线对称， ∴点N为直线与直线的交点时，最小， ∵直线解析式为， 当时，， ∴点N的坐标为； （3）解：①直线解析式为， 直线平移后的解析式为， 把点M的坐标代入得，解得 ∴直线的解析式为， 令，得， 解得：， ∴， 如图2，过点E作于F，过点M作轴于H， 则， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即； ②∵， 把抛物线在x轴下方图象沿x轴翻折得到新图象，如图，    则翻折后的图象的解析式为， ∵直线解析式为， 直线平移后的解析式为， 联立方程得， 整理得：， 当直线平移后与抛物线只有一个交点时， ， 解得：， 当直线平移后经过点时，，解得：， ∴当直线与新图象有两个公共点时，n的取值范围为或． 【变式3-1】（25-26九年级下·河南南阳·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，P是抛物线上的任意一点，设点P的坐标为，过点P作轴于点M，作轴于点N． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当时，是否存在一点P，使得的长度最大？若存在，求出m的值及的最大值；若不存在，请说明理由． (3)若在矩形内部的抛物线上的点的纵坐标y随x的增大而增大，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)存在， (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得出．确定当时，，然后确定，结合二次函数的性质求解即可； （3）根据题意得出抛物线的对称轴为直线，设点C关于对称轴对称的点为D，则，然后结合函数图象分情况分析即可求解． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴， 解得． ∴抛物线的函数表达式为． （2）存在．∵点P的坐标为，为抛物线上任意一点， ∴． 令， 解得或． ∴． ∴当时，． ∴． ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． （3）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点C关于对称轴对称的点为D，则． 如图，分情况讨论： ①当时，此时y随x的增大而增大． ②当时，抛物线不在矩形内部，不符合题意． ③当时，此时y随x的增大而增大． ④当时，抛物线不在矩形内部，不符合题意． ⑤当时，y随x的增大而减小，不符合题意． 综上所述，m的取值范围为或． 【变式3-2】（25-26九年级下·重庆长寿·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上的一动点，连接与直线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点D在点E的上方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线平移个单位长度得到新抛物线，点G为点A的对应点，连接，，．点M为新抛物线上的动点．若，请直接写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）根据对称性求出点坐标，写出两点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，作轴交于点，证明，得到，得到当最大时，最大，求出点坐标，连接，对称性得到，将点向上平移2个单位得到点，连接，进而得到，推出，得到当三点共线时的值最小，为的长，进而得到的值最小，进行求解即可； （3）易得，进而得到抛物线沿着射线方向移动个单位长度，等同于抛物线先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到新的抛物线，进而求出新的抛物线的解析式，推出，以点为顶点，为直角边在的上方和下方构造等腰直角三角形，确定第三个顶点的坐标，进而求出点与第三个顶点所形成的直线的解析式，联立直线解析式和新的抛物线的解析式，求出点的坐标即可. 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴抛物线的解析式可列为， 把，代入，得，解得， ∴； （2）解：∵，， ∴设直线的解析式为，把，代入，得， 解得， ∴， 作轴交于点，则， 设，则， ∴， ∴当时，的值最大，此时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， 故当时，最大， 连接，将点向上平移2个单位得到点，连接，则，， ∵在对称轴上，且， ∴轴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴当的值最小时，的值最小， ∵， ∴当三点共线时的值最小，为的长， ∴的最小值为， ∴的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵将抛物线沿射线平移个单位长度得到新抛物线， ∴将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到新的抛物线， ∵， ∴， ∵点为点的对应点， ∴，即， ∵，， ∴轴，，， ∴， ∴， 作，则轴，， ∴， ∴， 以点为顶点，为直角边在的上方构造等腰直角三角形，过点作轴，于点，于点，则，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入，得， 解得， ∴， ∵， ∴点为直线与抛物线的交点， 联立，解得或（舍去）； ∴； 当以点为顶点，为直角边在的下方构造等腰直角三角形时， 同理可得，直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）； ∴； 综上：或． 【变式3-3】（26-27九年级上·甘肃平凉·阶段检测）如图1，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求此时点的坐标； (3)若点是抛物线的顶点，求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)面积为3． 【分析】（1）利用待定系数法，将已知点和的坐标代入解析式，建立方程组求解和． （2）利用抛物线的对称性，将转化为，从而将求的最小值转化为求的最小值．根据“两点之间线段最短”，当三点共线时，和最小，此时点即为直线与对称轴的交点． （3）先求出顶点的坐标，利用割补法（或铅锤法）将的面积转化为两个以轴为底的三角形面积之和进行计算． 【详解】（1）解：将点代入，得， 将点和代入，得， ， ， ， ， 该抛物线解析式为． （2）解：由可知，对称轴为直线， 点与点关于对称轴对称，点在对称轴上， ， ， 当三点共线时，最小，即最小， 设直线的解析式为， 将代入得， ， 解得， 直线解析式为， 当时，， 此时点坐标为． （3）解：当时，， 顶点的坐标为， 设直线与对称轴交于点，由（2）知， ， 答：面积为3． ▌题型04 公式法计算面积 【核心知识点】 1. 常用公式：三角形 ；矩形 ；平行四边形 ；梯形 。 1. 关键是把公式中的每一条边长都用同一个自变量表示，从而得到 关于 的二次函数。 1. 底在坐标轴上时高是另一顶点纵坐标的绝对值；底平行于 轴（或 轴）时高是横坐标（或纵坐标）之差。 1. 面积非负，表达式要在自变量的取值范围内保持非负。 【解题思路】 1. 选定图形的底与高（优先选平行于坐标轴、长度易算的边作底）。 1. 用自变量 表示底和高的长度。 1. 代入面积公式，整理成二次函数。 1. 确定 的范围并检查面积表达式在该范围内的合理性。 【例4】（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，二次函数的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点B． (1)求二次函数与一次函数的表达式； (2)设点P是（1）中所求抛物线上一点（不与点A重合），以P，B，C为顶点的三角形的面积与的面积相等，直接写出点P的坐标为______． 【答案】(1)二次函数解析式为，一次函数解析式为 (2)或或 【分析】（1）把代入求出二次函数解析式为，再求出和，根据和求出一次函数解析式； （2）设且，则到直线的距离，再根据以P，B，C为顶点的三角形的面积与的面积相等，得到，即，据此解方程即可． 【详解】（1）解：把代入得，解得， ∴二次函数解析式为； ∴抛物线对称轴为直线，令得到，则， ∵点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称， ∴， 把和代入得，解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：∵点P是（1）中所求抛物线上一点（不与点A重合）， ∴设且， ∵，， ∴，与轴平行， ∴到直线的距离， ∵以P，B，C为顶点的三角形的面积与的面积相等， ∴， ∴，即 ∴， ∴或， ∴或， 解得或或或， ∴点P的坐标为或或． 【变式4-1】（26-27九年级上·内蒙古通辽·阶段检测）如图，二次函数的图象过，两点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求出抛物线的顶点坐标、对称轴； (3)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)顶点坐标为，对称轴为直线 (3) 【分析】（1）利用待定系数法，解答即可； （2）把解析式化成顶点式，解答即可； （3）根据，解答即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象过，两点， ， 解得， 函数表达式为：． （2）解：， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． （3）解：对称轴为直线， ． ，， ， ． 【变式4-2】（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）如图，二次函数经过点，，，点D是抛物线的顶点，过D作x轴垂线交直线于E． (1)则点D的坐标为______； (2)连接，求三角形的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）求出直线的解析式，进而求出点E的坐标，再根据列式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点D的坐标为； （2）解：设直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴点E的横坐标为2， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴． ▌题型05 割补法计算面积 【核心知识点】 1. 割法：把不规则图形分割成若干个三角形、矩形、梯形，分别求面积再相加。 1. 补法（"矩形框法"）：用轴线平行的矩形把目标图形框住，再用矩形面积减去四周多余的直角三角形面积。 1. 分割线尽量平行于坐标轴，这样每一段的长度都能用坐标差直接读出。 1. 同一题目中割法与补法往往都可做，结果互为检验。 【解题思路】 1. 观察图形，判断是用"分割求和"还是"框住再减"更简便。 1. 画出辅助线（优先平行于坐标轴的线），标出各顶点坐标。 1. 分别计算各部分面积并相加（或相减）。 1. 整理成关于自变量的二次函数，便于继续讨论最值。 【例5】（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，已知直线经过轴上的点且与抛物线相交于B、C两点，与y轴交于点D，已知点坐标为． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)请直接写出的值______． 【答案】(1)直线解析式为，抛物线的解析式为 (2) (3) 【分析】（1）把代入得抛物线的解析式为，再利用待定系数法求直线解析式； （2）先求出，，再根据计算即可； （3）利用两点间距离公式计算，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：把代入得，解得， ∴抛物线的解析式为， 设直线解析式为， 代入，得， 解得， ∴直线解析式为； （2）解：联立， 解得或， ∴， ∵直线与y轴交于点D， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴，， ∴． 【变式5-1】（26-27九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）抛物线与轴交于，两点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设为抛物线顶点，求的面积； (3)连接，点是抛物线上动点，满足，直接写出所有符合条件的点坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为． (2)的面积为． (3)符合条件的点坐标为， 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）分别求出点和点的坐标，过点作轴于点，则，根据代入计算即可． （3）利用待定系数法求得直线的解析式为，过点作交直线于点，设点，则点，求得，则，化简求得的值，结合抛物线的解析式和求得即可． 【详解】（1）解：把，代入中， ， 解得：， 则抛物线的解析式为：； （2）解：， ∴， 当时，则， ∴， 过点作轴于点，则， ∴ ； （3）解：设直线的解析式为， ∵直线过点和 ∴，解得， 则直线的解析式为， ∵抛物线的解析式为． ∴设点， 过点作交直线于点，如图， 则点， ∴， ∵，点和， ∴， ， 整理得， 当时，解得，， 当时，方程无实数解， ∵抛物线的解析式为，且， ∴可解得，， 则符合条件的点坐标为和． 【变式5-2】（26-27九年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上的动点，连接，，直线与抛物线的对称轴交于点． (1)求：①抛物线的解析式； ②直线的解析式； (2)求：①点的坐标； ②的面积最大值． 【答案】(1)①② (2)①②32 【分析】（1）①将和点坐标代入抛物线解析式里即可求出抛物线的解析式；②利用抛物线的解析式求出点的坐标，结合点的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式． （2）①利用抛物线解析式求出其对称轴即可知道点的横坐标，将其横坐标代入直线解析式里即可求出的纵坐标，进而知道的坐标；②过点作轴交于点，过点作，利用点的横坐标相等，设，，从而求出的长度，利用割补法用表示的面积，将其转化成顶点式，即可求出最大值． 【详解】（1）解：①和经过抛物线， 解得． 抛物线的解析式为． ②令， 解得或， ， ． ， 设直线的解析式为， ，解得． 直线的解析式为． （2）解：①抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为， 点的横坐标为3， 点在直线的解析式上， 点的纵坐标为． ． ②过点作轴交于点，交轴于点，过点作于点，如图所示， 设，， ， ，， ， 时，的面积最大，且最大是32． 【变式5-3】（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴交于A、B两点，其中A点坐标为，与轴相交于点，另外抛物线经过点，M为它的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点N是抛物线对称轴上的一个动点，当最小时，求N点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线对称轴为直线，当点N、B、C三点共线时，值最小，求出直线表达式为，进而求出结论； （3）连接，根据列式计算即可； 【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点，，， 则， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴此抛物线对称轴为直线，顶点 ∵二次函数的图象与轴交于A、B两点，， ∴由对称性得：， ∵点N是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∴当点N、B、C三点共线时，值最小， 如下图： 设直线表达式为，由题意得： ， 解得：， ∴直线表达式为， ∴当时，， ∴； （3）解：连接， ∵，，， ． ▌题型06 铅垂法计算面积 【核心知识点】 1. 对任意三角形，过其中一个顶点作平行于 轴的直线交对边于一点，把原三角形分成左右两个三角形。 1. 面积公式： 水平宽 铅垂高。水平宽是两个顶点横坐标之差的绝对值，铅垂高是第三个顶点到水平宽所在直线的竖直距离。 1. 特别适用于"一边在曲线上的斜三角形"，因为铅垂高可以直接用两个函数值的差表示。 1. 铅垂线段必须落在水平宽的两个端点之间，否则公式要改用两端分别计算再相加。 【解题思路】 1. 选择作为"水平宽"的一边（通常是两个已知点之间的线段）。 1. 确定第三个顶点，过它作 轴的平行线求铅垂高（两点的纵坐标之差，取绝对值）。 1. 代入 水平宽 铅垂高。 1. 若铅垂线落在水平宽之外，则分成两个三角形分别用该公式后再求和。 【例6】（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和点，与y轴交于点C． (1)求这两个函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)二次函数的解析式为；一次函数的解析式为 (2)3 【分析】（1）把点代入，可求出二次函数的解析式，从而得到点A的坐标，即可求出一次函数的解析式； （2）根据的面积，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为； 把点代入得：， ∴点， 把点，代入得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：对于，当时，， ∴点，即， ∴的面积． 【变式6-1】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，抛物线顶点C的坐标为，交x轴于点，交y轴于点B，则的面积为______． 【答案】3 【分析】先用待定系数法求出，进而求出，再求出直线的解析式为，设对称轴交直线于点D，求出，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵抛物线顶点C的坐标为， ∴设抛物线解析式为， 把代入，得 ， 解得， ∴， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得 ， 解得， ∴， 设对称轴交直线于点D， 当时，， ∴， ∴． 【变式6-2】（26-27九年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，抛物线经过坐标轴上三点，直线过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线上方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值及此时点坐标． 【答案】(1)； (2)的面积最大值为，． 【分析】先求出，，再利用待定系数法即可求解； 先求出直线解析式为，过作轴，交于点，设，则，则，所以的面积为，然后通过二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由直线得，当时，；当时，； ∴，， ∵抛物线经过点和点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过作轴，交于点， 设，则， ∴， ∴的面积为 ， 当时，的面积最大，为， 此时的纵坐标为， ∴． 【变式6-3】（26-27九年级上·江西南昌·阶段检测）如图，抛物线过点，点，交轴于点． (1)求b，c的值； (2)求直线的解析式； (3)点是抛物线上的动点．当取何值时，的面积最大?并求出面积的最大值． 【答案】(1)， (2) (3)当时，的值取最大，最大值为 【分析】（1）把、两点的坐标代入抛物线解析式，用待定系数法求、； （2）由（1）求出点的坐标，再用待定系数法求直线的解析式； （3）过点作轴的垂线交于点，以为底、点与点到直线的距离之和为高表示的面积，配方求最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线过点、， ∴ 解得，． （2）解：由（1）得抛物线的解析式为， 令，则， ∴． 设直线的解析式为， 把、代入得： ， 解得，， ∴直线的解析式为． （3）解：设点，其中， 过点作轴的垂线，交线段于点， 则， ∴． ∵为水平线段，点、到直线的距离之和为， ∴ ． ∵， ∴当时，的面积最大，最大值为． ▌题型07 面积最值问题 【核心知识点】 1. 面积最值题的标准流程：表示 → 建立函数 → 结合范围求最值。 1. 先把面积表示为关于自变量 的二次函数 ，再用配方法化为顶点式。 1. 必须检查抛物线的顶点对应的 是否落在允许的范围内；不在时最值在区间的端点取得。 1. 常见陷阱：动点到达端点时图形退化（面积为 ），此时区间的端点是否包含要按实际情形判断。 1. 求得的 通常要"还原"为题目所问的线段长度，不要只给出参数值。 【解题思路】 1. 用前述任一方法（公式法、割补法、铅垂法）把面积表示出来。 1. 写出自变量 的完整取值范围。 1. 把 化为顶点式，找出对称轴。 1. 比较顶点与区间的位置：顶点在区间内则在顶点取到最值，否则比较端点。 1. 把求得的最值 代回，算出最大（最小）面积并作答。 【例7】（26-27九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使得的值最小，求出点的坐标． (3)若直线上方的抛物线上有一点，当点、、构成的三角形面积最大时，求的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）由抛物线的对称性得：点A，B关于对称轴对称，可得当点E在直线上时，的值最小，求出抛物线对称轴为直线，以及直线的解析式，即可求解； （3）过点P作轴，交直线于点G，设点，则点，可得，再由，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， 由抛物线的对称性得：点A，B关于对称轴对称， ∴， ∴， 即当点E在直线上时，的值最小， ∵， ∴抛物线对称轴为直线， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为； （3）解：过点P作轴，交直线于点G， 设点， 由（2）得：直线的解析式为则点， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，点、、构成的三角形面积最大， 此时点P的坐标为． 【变式7-1】（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）在如图的抛物线上，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交直线于点Q． (1)求直线的解析式； (2)设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段的长； (3)当m为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)直线的解析式为 (2) (3)当时，最大，最大面积为 【分析】（1）由图象知、，利用待定系数法求解即可； （2）设（），则，利用坐标与图形性质可得答案； （3）利用三角形的面积和二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把代入得，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：设（），则， ∴； （3）解： ， ∵，， ∴当时，最大，最大值为． 【变式7-2】（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）如图1，已知抛物线：与抛物线：相交于、两点（其中点在的左侧），连接交轴于点． (1)求的值． (2)如图2，若抛物线上有一动点在、之间运动，连接并延长交抛物线于点，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标． (3)若直线与抛物线、恰好有三个交点时，直接写出此时的值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，； (3)或或或或． 【分析】（1）将代入计算即可； （2）联立和，求出，设直线解析式为，求出直线解析式为，过点Q作x轴的垂线，交直线于点H，设Q点横坐标为，因Q在上，故；H在上、横坐标与Q相同，故．根据割补法得到的二次函数解析式，进而得到面积的最大值及此时点Q的坐标，根据和关于对称可知和关于对称，根据中点坐标公式计算即可； （3）将变形后可知其恒过定点，分三种情况作答即可． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴， 解得：； （2）解：联立和，得到， 整理得， ， 解得：， 当时，， 即， 设直线解析式为， 则， 解得：， ∴直线解析式为， 过点Q作x轴的垂线，交直线于点H，设Q点横坐标为，因Q在上，故；H在上、横坐标与Q相同，故． 则将沿分割为和两个三角形． 两个三角形的公共底为的长度：， 两个三角形的高之和为A、B两点的水平距离：， ∴ ， ∵， ∴当时，面积有最大值， 此时， 当时， 解得：， 即， ：，可知抛物线顶点坐标为， ：，可知抛物线顶点坐标为， ∵， ∴和关于对称， 即和关于对称， ∴和关于对称，和关于对称， 设， ∴， 解得：， ∴； （3）解：直线可变形为， 可知其恒过定点， 直线与两抛物线恰好3个交点分三种情况： 直线与只有一个交点，联立与， 得到， 整理得， 此时， 整理得：， 解得：； 直线与只有一个交点，联立与， 得到， 整理得， 此时， 整理得：， 解得：； 直线经过两抛物线的交点或： 将代入，解得； 将代入，解得； 综上所述，的值为或或或或． 【变式7-3】（26-27九年级上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为，点，另抛物线经过点. (1)求抛物线的解析式； (2)在第一象限的抛物线上是否存在一点M使的面积最大，若存在，请求出点M的坐标，并求出最大面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在M点的坐标为，的面积最大为 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，设，分割法求三角形的面积，将三角形的面积的最大值转化为二次函数求最值问题，即可得出结果. 【详解】（1）解：将A点坐标，点，点，代入二次函数中， 可得，解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：存在； 令，即， 解得． ∴，又． 设直线的解析式为，把代入得，解得， 所以直线的解析式为． 过点M作轴于F，交于点E． 设，则． ∴． ∴． ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，此时，M点的坐标为． ▌题型08 求四边形面积 【核心知识点】 1. 常用四种方法：①连对角线分割成两个三角形；②铅垂法；③矩形框减去四周直角三角形；④直接用梯形、平行四边形面积公式。 1. 只有确认是梯形、平行四边形等特殊图形时才可直接套公式，一般的四边形优先用第①、③种方法。 1. 由抛物线上一个动点与三个定点构成的四边形，连对角线后用铅垂法最省事。 1. 动点型四边形面积往往可以整理成关于动点横坐标的二次函数。 【解题思路】 1. 先写出四个顶点的坐标（动点用参数表示）。 1. 选择分割方式：连哪条对角线、或用矩形框住。 1. 分别计算各部分面积后求和（或相减）。 1. 整理成二次函数，再讨论最值或解方程求动点位置。 【例8】（2026·辽宁沈阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，与轴相交于点，点是抛物线上一动点，设点的横坐标为． (1)求出的长； (2)连接，若 ，求出的值； (3)连接，过点作直线，交轴于点．过点作轴交直线于点，交直线于点． ①如图2，当时，若点和点到直线距离之和不超过，求的取值范围； ②如图3，当点在对称轴右侧的抛物线上，过点作对称轴的垂线，垂足分别为点，点．若四边形在直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2) (3)①或；②或 【分析】（1）当时，则，即可求出点B，进而可求出，当时，则，求出点A，B的坐标，进而可求出． （2）由全等三角形的性质得出点E在一三象限的角平分线上，即直线在一次函数上，又点E在二次函数解析式上，联立建立关于m的一元二次方程，求解即可得出m的值． （3）①过点作于点，过点作于点，由等腰直角三角形的性质得出，，根据三角形直角边小于斜边得出，根据一次函数的图象和性质求出点E的坐标，得出，进而可求出m的取值范围，最后结合题干m的范围得出最终的范围． ②分两种情况求解，四边形为矩形或者正方形，根据矩形或者正方形的性质结合四边形在直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半建立关于m的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：当时， 则， ∴， ∴， 当时，则， 解得：，， ∴，， ∴． （2）解：由（1）可知， 若 ， ∴， ∴点E在一三象限的角平分线上 ∴， ∴点E到x轴的距离等于点E到y轴的距离， 即直线在一次函数上， ∵是抛物线上一动点， ∴， 又∵在一次函数上， ∴， ∴ 解得：． （3）解：①过点作于点，过点作于点，如图， ∵， ∴， ∴，， ∵点和点到直线距离之和不超过， ∴， ∴，即， 设的解析式为， 则， 解得， ∴的解析式为， ∵， ∴直线的一次系数为， 故设直线的解析为， 把代入， 则， ∴， ∴直线的解析为， 把代入，得， ∴点， 又∵点， ∴， 则，解得 或， ∵， ∴，或； ②根据题意可知四边形为矩形或者正方形， ∵，点，点， ∴，， 根据题意可知当时，四边形为正方形，且在直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半，如图， 则，解得，或， ∵点在对称轴右侧的抛物线上， ∴， ∴； 设线段与直线交于点I，线段与直线交于点K，根据题意可知当时，四边形为矩形，且在直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半，如图， 同理可得，点，点，点， ∵直线的解析式为， ∴点，点， 则，解得，或， ∵， ∴， 综上所述，当或时，四边形在直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何的结合，难度较大，涉及二次函数的性质、全等三角形的判定和性质、一次函数的解析式和性质、等腰三角形的性质和判定、解不等式、正方形的性质和矩形的性质等知识点，解题的关键是熟悉二次函数的性质和特殊四边形的性质，以及动态思想的应用． 【变式8-1】（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作轴，交抛物线于点，点为抛物线上一动点（点在上方)，过点作轴交于点．当点在什么位置时，四边形的面积最大？并求出最大面积； (3)当时，函数的最大值为3，求的值． 【答案】(1) (2)点P的坐标为时，四边形的面积最大，最大面积为 (3)t的值为或2 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、图形面积最值及区间最值问题．关键在于利用待定系数法求解析式，结合平行关系与坐标特征表示线段长度，再通过二次函数性质（开口方向、对称轴）分情况讨论区间最值，体现了数形结合与分类讨论的数学思想． （1）先确定点、的坐标，再利用待定系数法求函数的解析式； （2）先求点C的坐标，再表示点P、D的坐标及线段的长度，最后求的面积，根据二次函数的性质回答即可； （3）根据抛物线的最值与单调性，分情况讨论自变量在内的最大值． 【详解】（1）解：， 当时，； 当时，， ∴,0)， 将代入抛物线的解析式，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的对称轴为直线， 由轴可得点的坐标为， 设点的坐标为， 轴， 点的坐标为， ∵轴，轴， ∴， ∴， ， ∵， ∴当时，有最大值， 当时，， 此时， 故点的坐标为时，四边形的面积最大，最大面积为． （3）解：， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为4， 又当时，函数的最大值为3， ∴根据二次函数的增减性，分两种情况讨论： ①当，即时，， 解得(舍去)； ②当，即时，， 解得（舍去）． 综上所述，的值为或． 【变式8-2】（25-26九年级上·福建漳州·期末）抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点D，连接，，当四边形的面积最大时，求点D的坐标； (3)如图2，若抛物线的顶点为E，过点E作轴，交于点F，G是抛物线上的一点，过点G作轴，交AC于点H，当时，求出点G的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)当时，点G的坐标为或． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、面积的计算、一次函数的性质等，有一定的综合性． （1）由待定系数法即可求解； （2）先求得直线的解析式为，设点P的坐标为，则，用含的二次函数表示出，利用二次函数的性质即可求解； （3）当四边形是平行四边形，此时，利用待定系数法求得直线的解析式，联立两解析式可求得点G的坐标；再抛物线的对称性，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，与y轴交于点， ∴把，代入解析式得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：对于，令，得， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为． 设点P的坐标为，则， ∴， ∴． ∵， 故四边形的面积有最大值， 当四边形的面积最大时，． ∴； （3）解：对于， ∴抛物线的顶点E的坐标为，对称轴为直线， 当时，， ∵轴， 当时，四边形是平行四边形，此时， ∴设直线的解析式为， 将点代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或， ∴点G的坐标为， 由抛物线的对称性， 当点关于对称轴直线的对称点时，也符合题意， 如图，设交直线于点，则，存在， ∵， ∴， ∴， ∴当时，点G的坐标为或． 【变式8-3】（25-26九年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象（记为）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，抛物线的图象（记为）经过点B，C．直线与两个图象，分别交于点D，E，与x轴交于点P． (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，当点P在线段上时，求四边形面积的最大值； (3)设点D，E到直线的距离分别为m，n．当时，请求出对应的t值． 【答案】(1) (2) (3)，，， 【分析】此题考查了二次函数与几何综合题，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法进行解答即可； （2）设，，得到，根据二次函数的性质进行解答即可； （3）过点D作于点T，过点E作于点S，设直线与直线交于点G，得到，当时，解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：对于二次函数， 当时，， 解得：，， ∴，， 当时，， ∴， ∵二次函数的图象（记为）经过点B，C， ∴解得： ∴抛物线的解析式为； （2）∵， ∵直线与x轴垂直， ∴，， ∴， ∴， 整理得：， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，取得最大值为； （3）如图，过点D作于点T，过点E作于点S，设直线与直线交于点G， ∵，， 设直线表达式为：，代入点，， 则 ∴直线表达式为， ∴， ， ， ∵，， ∴，而， ∴为等腰直角三角形， ∴，∵轴， ∴， ∵，， ∴，均为等腰直角三角形， ∴， 同理， 即， 当时， ∴，整理得：， ∴或， 解得，，，． ▌题型09 二次函数中定值问题 【核心知识点】 1. "定值"的证明思路：把所求量用参数 表示，化简后如果 被完全消去（即二次项、一次项系数均为 ），说明该量与 无关，是定值。 1. 常见的定值对象：某条线段长、某三角形面积、两线段之比、两面积之差。 1. 几何视角：往往存在隐藏的不变量，如同底等高（面积不变）、对称得到线段相等、相似比恒定。 1. 动点设为 是坐标法处理定值问题的标准起点。 【解题思路】 1. 设动点横坐标 ，写出各相关点的坐标。 1. 把目标量（长度、面积、比值）表示为含 的代数式。 1. 展开、合并同类项，观察 是否被消去。 1. 若未消去，检查是否找错了关系或漏掉了某条线段表示；消去后写出定值结论并说明理由。 【例9】（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段检测）已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称，设点的坐标为，当变化时，是否存在常数，使得的面积始终为定值，若存在，求出的值及面积的定值；若不存在，请说明理由． (3)若将该抛物线在间的部分记为图象，并将图象在直线上方的部分沿着直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为，最小值为，若．求的取值范围． 【答案】(1)； (2)，面积为3； (3) 【分析】本题考查了有关二次函数的知识，是一道综合题． （1）由函数对称轴求出m的值，代入即可求抛物线的解析式； （2）由抛物线可以求出点，，，的坐标，求所在直线解析式，当的面积为定值时，直线与所在直线平行．可得出的值，设点P在x轴上，则可得出面积的定值； （3）由抛物线的顶点求出M的最高点、最低点坐标，图象在直线上方的部分沿着直线翻折，得出三种情况，可求出的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线 ． 对称轴为直线， ．解得． 则抛物线 （2）解：抛物线与轴交于点， 当时，，则点C坐标为． 点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称， ，解得，则点D坐标为． 抛物线与轴交于、两点， ，解得，则点A坐标为，点B坐标为， 点的坐标为， 在直线上， 设所在直线解析式为， 则 则． 当的面积为定值时， 直线与所在直线平行． ．即． 设，则， 解得，则点P坐标为． 的面积为定值， ． （3）解：抛物线 ， 抛物线的顶点坐标为． 当时，． 时M的最高点坐标为，最低点坐标为． 关于的对称点坐标为， 关于的对称点坐标为． 当时，N的最高点坐标为，最低点坐标为． 此时，不合题意舍去； 当最高点纵坐标为t时，即，． ，解得． 当 N的最高点纵坐标为t， 即，最低点纵坐标为，即时， ，解得． 综上：． 【变式9-1】（2023·上海普陀·三模）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点．点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点．    (1)求：二次函数的表达式； (2)在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标； (3)已知，为抛物线上不与，重合的相异两点，若直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的面积为定值 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意得出，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，则是等腰直角三角形，根据，建立方程，解方程，即可求解； （3）设，，设的解析式，联立抛物线解析式，可得，根据题意，设直线解析式为，直线的解析式为，求得到轴的距离是定值，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：对于，令，则 解得： ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，    ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得：（舍去）或， ∴； （3）解：设，， ∵点为中点，， ∴, ∵，，三点共线， ∴可设直线的解析式， 联立 消去得， ∴ ∵， ∴可设直线解析式为，直线的解析式为 联立 解得： ∴ ∵， ∴， ∴ 而不为定值， ∴在直线上运动， ∴到轴的距离为定值， ∵直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形，到的距离是变化的， ∴只有的面积是定值，且的面积为．    【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，角度问题，面积问题，一次函数，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式9-2】（2021·辽宁营口·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象经过点和点，与轴交于点，连接，，现有两动点，分别从，两点同时出发，点以每秒4个单位的速度沿向终点移动，点以每秒1个单位的速度沿向点移动点停止运动时，点也同时停止运动，线段，相交于点，过点作，交于点，射线交轴于点，设动点、移动的时间为（单位：秒）． （1）求经过，，三点的二次函数解析式； （2）点、点在运动过程中，的面积是否总为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． （3）当为何值时，为等腰三角形？请写出解答过程． 【答案】（1）；（2）的面积总为定值为90；（3）当时，为等腰三角形，过程见解析 【分析】（1）将，代入中，列方程组求出参数值即可． （2）根据，分析得出相关数值，再根据，代入求值即可． （3）为等腰三角形时，分三种情况讨论，同时根据两点之间距离公式列相关等量关系求解即可． 【详解】解：（1）将，代入中， 得： 解得： ∴函数解析式为． （2）设点运动了秒，则，，且，说明点在线段上，且不与点，重合， ∵， ∴， 同理：， ∴，即， ∴． ∴， ∴， ∴的面积总为定值为90． （3）设点运动了秒，则，，，且， ∴， ，， ①，则，解得，（不合题意，舍去）， ②若，则，解得（不合题意，舍去）， ③若，则，解得（均不合题意，舍去）， 综上所述，当时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查的二次函数综合，涉及到两点之间距离公式运算，待定系数法求二次函数解析式，以及三角形面积的含参计算等，平行线分线段成比例等相关知识，能够数形结合找见相关的等量是解题关键． 【变式9-3】（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，直线与抛物线交于两点(点在轴左侧，点在轴右侧)，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若与的面积之比是，求的值； (3)若作点关于轴的对称点，直线与直线相交于点，试探究：的面积是否为定值？若为定值，请求出的面积；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的面积为定值，的面积为4 【分析】本题考查了抛物线方程的求解，直线与抛物线交点的计算，直线与直线交点的计算，联立方程求交点坐标是解题的关键． （1）根据抛物线经过点，代入求解即可； （2）根据与的面积之比是，通过线段比例关系和韦达定理求解的值； （3）通过点关于轴的对称点和直线的方程，联立求解交点的坐标，可验证纵坐标为定值，即的面积为定值，再求出面积即可． 【详解】（1）解：已知抛物线经过点， 将点代入抛物线方程可得：，解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：若与的面积之比是， 则， ∵点在同一直线上， 则，即①， 联立直线与抛物线的方程得：， 整理得， ∴，②， 由①②得：，解得：， ∵点在轴左侧， ∴， ∴，即， ∴，即． （3）解：点关于轴的对称点， 直线与轴交于点，则点， 设点的坐标分别为：、， 由点的坐标得，直线的表达式为： ， 将点的坐标代入上式得： ， 整理得：， 由点的坐标得，直线的表达式为： ， 同理可得，的表达式为： ， 联立上述两式得： ， 解得：， ， 则， ， ， ∴点的纵坐标为为定值，即的面积为定值， ∵，到的距离为， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 二次函数与几何综合——线段与面积 （题型突破·举一反三） 题型01 求线段长 题型02 线段的数量关系 题型03 线段的和差最值问题 题型04 公式法计算面积 题型05 割补法计算面积 题型06 铅垂法计算面积 题型07 面积最值问题 题型08 求四边形面积 题型09 二次函数中定值问题 ▌题型01 求线段长 【核心知识点】 1. 平行于坐标轴或就是坐标轴上的线段：长度等于端点坐标的差，即 或 ，取大减小。 1. 斜线段：构造直角三角形，用勾股定理 计算。 1. 抛物线上点常设为 ，这样纵坐标可直接代入运算，避免多余未知数。 1. 表示长度时要加绝对值（或事先判断大小关系），负值会让后续列式出错。 【解题思路】 1. 给每个相关点写出坐标（动点设参数为 ）。 1. 判断所求线段是水平、竖直还是斜的，选用坐标差或勾股。 1. 算出含 的表达式并化简。 1. 若题目给出长度条件，列出方程解 ，再回求线段长。 【例1】（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，已知二次函数的图象经过点，，与x轴另一交点为点B，点D在线段上运动（不与点O，点A重合），过点D作x轴的垂线，与交于点Q，与抛物线交于点P． (1)__________； (2)若，求点P的坐标． (3)求线段的最大值． (4)在抛物线上是否存在一点E（不与点C重合），使得的面积等于的面积？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-1】（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．点为线段上的一个动点（不与，重合），过点作轴的垂线，垂足为，与抛物线交于点． (1)求直线的解析式； (2)求线段长度的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-2】（2022·青海玉树·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后的解析式； (3)若点是线段上一动点，过点作轴于点，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【变式1-3】（2026·河南驻马店·模拟预测）如图，抛物线经过两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一个动点，作轴交直线于点，求线段的最大值； (3)连接，将线段沿着射线向上平移，设平移过程中点的横坐标为，若线段与抛物线无交点，请直接写出的取值范围． ▌题型02 线段的数量关系 【核心知识点】 1. 常见题型：证明或求满足 、、 等关系的动点位置。 1. 代数方法：把每条线段用同一个参数表示，再把数量关系翻译成方程，解方程求参数。 1. 几何方法：利用对称性（抛物线上的对称点）、全等、相似得到倍分或相等关系，往往比坐标计算更简洁。 1. 含有绝对值的相等关系要分类讨论绝对值内式的正负。 【解题思路】 1. 先判断用几何法能否一步到位（是否已有全等、对称结构），能用则用。 1. 否则设动点坐标为 ，写出各线段长。 1. 把数量关系写成方程，注意带绝对值时分类讨论。 1. 解出 后，检验是否满足图形的存在条件（点不重合、在指定边上等）。 【例2】（26-27九年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，抛物线，经过两点，点P在x轴上方且为抛物线上一动点，过点P作轴于点D，交直线于点C，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求m的值． 【变式2-1】（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为，点C的坐标为，直线l经过B、C两点． (1)求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标； (2)点P在线段上运动（不与B、C重合），过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N，当时，求点P的坐标； 【变式2-2】（25-26九年级下·河北廊坊·开学考试）如图，抛物线：的顶点坐标为，与轴交于点，(点在点左侧)，与轴交于点．，是轴上的两点，且点在点的右侧，．过，分别作轴的垂线，与抛物线分别交于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)若，均在负半轴，且，求抛物线上点的横坐标； (3)若，在轴下方的抛物线上，点的横坐标为，是否存在线段？若存在，求出的值，若不存在；请说明理由． 【变式2-3】（25-26九年级上·辽宁铁岭·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的抛物线与轴的另一交点为 (1)求该抛物线的解析式； (2)点是该抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点，设点的横坐标为． ①当时，求点的坐标； ②求面积与的函数表达式，并求的最大值． ▌题型03 线段的和差最值问题 【核心知识点】 1. 代数法：把每条线段表示为同一参数 的函数，相加（或相减）得到 ，通常仍是二次函数，用配方法求最值。 1. 几何法一：两点之间线段最短；垂线段最短。常用于"折线和最小"。 1. 几何法二：对称（"将军饮马"型）——作其中一点关于动点所在直线的对称点，把折线化为直线段。 1. 系数型（如 ）：需把系数化为 ，通常通过构造相似直角三角形把带系数的线段转化为另一条线段。 1. 求差的量大值多有"共线时取到"的特点，可结合三角形三边关系说明。 【解题思路】 1. 先看能否用几何法（对称或两点之间线段最短），能用时答案最简洁。 1. 不能则用代数法：设参数表示各线段，列出和（差）的函数。 1. 化简成二次函数后配方法求最值，注意参数的取值范围。 1. 必须说明取到最值时动点的位置（或对应的参数值），只写数字不完整。 【例3】（2026·湖北孝感·一模）如图1，抛物线与x轴相交于两点，与y轴交于点C，作直线BC，抛物线顶点为点 (1)点C的坐标为 ，则直线的解析式为 ； (2)点N为抛物线对称轴上一点，当最小时，求点N的坐标； (3)平移直线得直线． ①如图2，若直线过点M，交x轴于点D，在x轴上取点，连接，求的度数． ②如图3，把抛物线在x轴下方的图象沿x轴翻折得到新图象，当直线与新图象有两个公共点时，请直接写出n的取值范围． 【变式3-1】（25-26九年级下·河南南阳·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，P是抛物线上的任意一点，设点P的坐标为，过点P作轴于点M，作轴于点N． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当时，是否存在一点P，使得的长度最大？若存在，求出m的值及的最大值；若不存在，请说明理由． (3)若在矩形内部的抛物线上的点的纵坐标y随x的增大而增大，请直接写出m的取值范围． 【变式3-2】（25-26九年级下·重庆长寿·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上的一动点，连接与直线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点D在点E的上方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线平移个单位长度得到新抛物线，点G为点A的对应点，连接，，．点M为新抛物线上的动点．若，请直接写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的其中一种情况的过程． 【变式3-3】（26-27九年级上·甘肃平凉·阶段检测）如图1，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求此时点的坐标； (3)若点是抛物线的顶点，求的面积． ▌题型04 公式法计算面积 【核心知识点】 1. 常用公式：三角形 ；矩形 ；平行四边形 ；梯形 。 1. 关键是把公式中的每一条边长都用同一个自变量表示，从而得到 关于 的二次函数。 1. 底在坐标轴上时高是另一顶点纵坐标的绝对值；底平行于 轴（或 轴）时高是横坐标（或纵坐标）之差。 1. 面积非负，表达式要在自变量的取值范围内保持非负。 【解题思路】 1. 选定图形的底与高（优先选平行于坐标轴、长度易算的边作底）。 1. 用自变量 表示底和高的长度。 1. 代入面积公式，整理成二次函数。 1. 确定 的范围并检查面积表达式在该范围内的合理性。 【例4】（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，二次函数的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点B． (1)求二次函数与一次函数的表达式； (2)设点P是（1）中所求抛物线上一点（不与点A重合），以P，B，C为顶点的三角形的面积与的面积相等，直接写出点P的坐标为______． 【变式4-1】（26-27九年级上·内蒙古通辽·阶段检测）如图，二次函数的图象过，两点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求出抛物线的顶点坐标、对称轴； (3)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接，求的面积． 【变式4-2】（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）如图，二次函数经过点，，，点D是抛物线的顶点，过D作x轴垂线交直线于E． (1)则点D的坐标为______； (2)连接，求三角形的面积． ▌题型05 割补法计算面积 【核心知识点】 1. 割法：把不规则图形分割成若干个三角形、矩形、梯形，分别求面积再相加。 1. 补法（"矩形框法"）：用轴线平行的矩形把目标图形框住，再用矩形面积减去四周多余的直角三角形面积。 1. 分割线尽量平行于坐标轴，这样每一段的长度都能用坐标差直接读出。 1. 同一题目中割法与补法往往都可做，结果互为检验。 【解题思路】 1. 观察图形，判断是用"分割求和"还是"框住再减"更简便。 1. 画出辅助线（优先平行于坐标轴的线），标出各顶点坐标。 1. 分别计算各部分面积并相加（或相减）。 1. 整理成关于自变量的二次函数，便于继续讨论最值。 【例5】（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，已知直线经过轴上的点且与抛物线相交于B、C两点，与y轴交于点D，已知点坐标为． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)请直接写出的值______． 【变式5-1】（26-27九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）抛物线与轴交于，两点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设为抛物线顶点，求的面积； (3)连接，点是抛物线上动点，满足，直接写出所有符合条件的点坐标． 【变式5-2】（26-27九年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上的动点，连接，，直线与抛物线的对称轴交于点． (1)求：①抛物线的解析式； ②直线的解析式； (2)求：①点的坐标； ②的面积最大值． 【变式5-3】（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴交于A、B两点，其中A点坐标为，与轴相交于点，另外抛物线经过点，M为它的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点N是抛物线对称轴上的一个动点，当最小时，求N点的坐标； (3)求的面积． ▌题型06 铅垂法计算面积 【核心知识点】 1. 对任意三角形，过其中一个顶点作平行于 轴的直线交对边于一点，把原三角形分成左右两个三角形。 1. 面积公式： 水平宽 铅垂高。水平宽是两个顶点横坐标之差的绝对值，铅垂高是第三个顶点到水平宽所在直线的竖直距离。 1. 特别适用于"一边在曲线上的斜三角形"，因为铅垂高可以直接用两个函数值的差表示。 1. 铅垂线段必须落在水平宽的两个端点之间，否则公式要改用两端分别计算再相加。 【解题思路】 1. 选择作为"水平宽"的一边（通常是两个已知点之间的线段）。 1. 确定第三个顶点，过它作 轴的平行线求铅垂高（两点的纵坐标之差，取绝对值）。 1. 代入 水平宽 铅垂高。 1. 若铅垂线落在水平宽之外，则分成两个三角形分别用该公式后再求和。 【例6】（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和点，与y轴交于点C． (1)求这两个函数的表达式； (2)求的面积． 【变式6-1】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，抛物线顶点C的坐标为，交x轴于点，交y轴于点B，则的面积为______． 【变式6-2】（26-27九年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，抛物线经过坐标轴上三点，直线过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线上方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值及此时点坐标． 【变式6-3】（26-27九年级上·江西南昌·阶段检测）如图，抛物线过点，点，交轴于点． (1)求b，c的值； (2)求直线的解析式； (3)点是抛物线上的动点．当取何值时，的面积最大?并求出面积的最大值． ▌题型07 面积最值问题 【核心知识点】 1. 面积最值题的标准流程：表示 → 建立函数 → 结合范围求最值。 1. 先把面积表示为关于自变量 的二次函数 ，再用配方法化为顶点式。 1. 必须检查抛物线的顶点对应的 是否落在允许的范围内；不在时最值在区间的端点取得。 1. 常见陷阱：动点到达端点时图形退化（面积为 ），此时区间的端点是否包含要按实际情形判断。 1. 求得的 通常要"还原"为题目所问的线段长度，不要只给出参数值。 【解题思路】 1. 用前述任一方法（公式法、割补法、铅垂法）把面积表示出来。 1. 写出自变量 的完整取值范围。 1. 把 化为顶点式，找出对称轴。 1. 比较顶点与区间的位置：顶点在区间内则在顶点取到最值，否则比较端点。 1. 把求得的最值 代回，算出最大（最小）面积并作答。 【例7】（26-27九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使得的值最小，求出点的坐标． (3)若直线上方的抛物线上有一点，当点、、构成的三角形面积最大时，求的坐标． 【变式7-1】（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）在如图的抛物线上，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交直线于点Q． (1)求直线的解析式； (2)设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段的长； (3)当m为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ 【变式7-2】（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）如图1，已知抛物线：与抛物线：相交于、两点（其中点在的左侧），连接交轴于点． (1)求的值． (2)如图2，若抛物线上有一动点在、之间运动，连接并延长交抛物线于点，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标． (3)若直线与抛物线、恰好有三个交点时，直接写出此时的值：若不存在，请说明理由． 【变式7-3】（26-27九年级上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为，点，另抛物线经过点. (1)求抛物线的解析式； (2)在第一象限的抛物线上是否存在一点M使的面积最大，若存在，请求出点M的坐标，并求出最大面积；若不存在，请说明理由． ▌题型08 求四边形面积 【核心知识点】 1. 常用四种方法：①连对角线分割成两个三角形；②铅垂法；③矩形框减去四周直角三角形；④直接用梯形、平行四边形面积公式。 1. 只有确认是梯形、平行四边形等特殊图形时才可直接套公式，一般的四边形优先用第①、③种方法。 1. 由抛物线上一个动点与三个定点构成的四边形，连对角线后用铅垂法最省事。 1. 动点型四边形面积往往可以整理成关于动点横坐标的二次函数。 【解题思路】 1. 先写出四个顶点的坐标（动点用参数表示）。 1. 选择分割方式：连哪条对角线、或用矩形框住。 1. 分别计算各部分面积后求和（或相减）。 1. 整理成二次函数，再讨论最值或解方程求动点位置。 【例8】（2026·辽宁沈阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，与轴相交于点，点是抛物线上一动点，设点的横坐标为． (1)求出的长； (2)连接，若 ，求出的值； (3)连接，过点作直线，交轴于点．过点作轴交直线于点，交直线于点． ①如图2，当时，若点和点到直线距离之和不超过，求的取值范围； ②如图3，当点在对称轴右侧的抛物线上，过点作对称轴的垂线，垂足分别为点，点．若四边形在直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半时，直接写出的值． 【变式8-1】（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作轴，交抛物线于点，点为抛物线上一动点（点在上方)，过点作轴交于点．当点在什么位置时，四边形的面积最大？并求出最大面积； (3)当时，函数的最大值为3，求的值． 【变式8-2】（25-26九年级上·福建漳州·期末）抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点D，连接，，当四边形的面积最大时，求点D的坐标； (3)如图2，若抛物线的顶点为E，过点E作轴，交于点F，G是抛物线上的一点，过点G作轴，交AC于点H，当时，求出点G的坐标． 【变式8-3】（25-26九年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象（记为）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，抛物线的图象（记为）经过点B，C．直线与两个图象，分别交于点D，E，与x轴交于点P． (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，当点P在线段上时，求四边形面积的最大值； (3)设点D，E到直线的距离分别为m，n．当时，请求出对应的t值． ▌题型09 二次函数中定值问题 【核心知识点】 1. "定值"的证明思路：把所求量用参数 表示，化简后如果 被完全消去（即二次项、一次项系数均为 ），说明该量与 无关，是定值。 1. 常见的定值对象：某条线段长、某三角形面积、两线段之比、两面积之差。 1. 几何视角：往往存在隐藏的不变量，如同底等高（面积不变）、对称得到线段相等、相似比恒定。 1. 动点设为 是坐标法处理定值问题的标准起点。 【解题思路】 1. 设动点横坐标 ，写出各相关点的坐标。 1. 把目标量（长度、面积、比值）表示为含 的代数式。 1. 展开、合并同类项，观察 是否被消去。 1. 若未消去，检查是否找错了关系或漏掉了某条线段表示；消去后写出定值结论并说明理由。 【例9】（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段检测）已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称，设点的坐标为，当变化时，是否存在常数，使得的面积始终为定值，若存在，求出的值及面积的定值；若不存在，请说明理由． (3)若将该抛物线在间的部分记为图象，并将图象在直线上方的部分沿着直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为，最小值为，若．求的取值范围． 【变式9-1】（2023·上海普陀·三模）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点．点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点．    (1)求：二次函数的表达式； (2)在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标； (3)已知，为抛物线上不与，重合的相异两点，若直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 【变式9-2】（2021·辽宁营口·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象经过点和点，与轴交于点，连接，，现有两动点，分别从，两点同时出发，点以每秒4个单位的速度沿向终点移动，点以每秒1个单位的速度沿向点移动点停止运动时，点也同时停止运动，线段，相交于点，过点作，交于点，射线交轴于点，设动点、移动的时间为（单位：秒）． （1）求经过，，三点的二次函数解析式； （2）点、点在运动过程中，的面积是否总为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． （3）当为何值时，为等腰三角形？请写出解答过程． 【变式9-3】（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，直线与抛物线交于两点(点在轴左侧，点在轴右侧)，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若与的面积之比是，求的值； (3)若作点关于轴的对称点，直线与直线相交于点，试探究：的面积是否为定值？若为定值，请求出的面积；若不为定值，请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $