专题14二次函数与几何综合——角度与特殊图形问题（题型专练）数学新教材人教版九年级上册

专题14 二次函数与几何综合——角度与特殊图形问题 （题型突破·举一反三） 题型01 角度的数量关系 题型02 特殊角度问题 题型03 等腰三角形存在问题 题型04 直角三角形存在问题 题型05 等腰直角三角形的存在问题 题型06 全等三角形存在问题 题型07 平行四边形存在问题 题型08 特殊平行四边形存在问题 ▌题型01 角度的数量关系 【核心知识点】 1. 常见的目标结论：两角相等、互余（和为 ）、互补（和为 ）、两倍关系。 1. 几何方法：利用平行线的性质、对称（抛物线关于对称轴对称，对称点互相对应角相等）、全等与相似。 1. 代数方法：设点坐标后算出三角形各边长，用勾股定理的逆定理判断是否为直角，用边长相等判断等腰从而得底角相等。 1. 常用媒介："同角（等角）的余角相等"、"三角形外角等于不相邻的两个内角之和"。 【解题思路】 1. 先找图中是否存在平行、对称、全等等现成结构。 1. 若没有，设出动点坐标把各边长算出来。 1. 用边长关系反推角的关系（等边对等角、勾股逆定理判直角）。 1. 需要"角相等求点位置"时，把角的关系翻译成边长或线段的方程再求解。 【例1】（26-27九年级上·天津南开·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标． (2)若D是直线上方抛物线上的一动点，连接，，求面积的最大值． (3)已知H是抛物线上的一点，连接，若，直接写出点H的坐标． 【答案】(1)； (2)的最大值为4 (3)点H的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再化为顶点式可得顶点坐标； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，设，如图，过点作轴的垂线交于点，则，进而得，再由的面积为：，根据二次函数的性质求最值； （3）分两种情况讨论：当点H在上方时，连接，由得，则，代入抛物线的解析式求出对应的值即可；当点在下方时，交x轴于点，设，由得，在中由勾股定理求出值，即可得点的坐标，然后由待定系数法求出直线解析式，联立直线解析式和抛物线的解析式即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； ∵， ∴抛物线的顶点M的坐标为； （2）解：令，则， ∴， 设直线的解析式为，代入、， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 设， 如图，过点作轴的垂线交于点，则， ∵D是直线上方抛物线上的一动点， ∴ ， ∴的面积为：， ∵， ∴当，的面积有最大值，为4； （3）解：分以下两种情况： 当点H在上方时，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴； 当点在下方时，交x轴于， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 设直线解析式为， 把点代入得：， 解得：， 所以直线解析式为， ∴点的坐标满足：， 解得：（舍去）或， ∴， 综上所述，若，点的坐标为或． 【变式1-1】（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）已知抛物线的图像与轴交于点，与轴交于点，且顶点坐标为，点为轴上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第一象限抛物线上一点，且，与轴交于点，求点的横坐标； (3)点是上的一个动点，连接，取的中点，设点构成的曲线是，直线与，的交点从左至右依次为，，，，则是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是， 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为， ． （2）令，则， ，， ， 令，则， ， 在和中， ， ， ， ， ， 设点，则， ， ， 设直线：， 当，时，， ， ， 一次函数与二次函数联立得， 解得，（舍去）， 点的横坐标为． （3）为定值，理由如下： 如图所示， 设点，作轴于，作轴于，则，， 为的中点， 为的中位线， ，为的中点， ，， ， 将点代入抛物线， ， 化简得，， 设，，，的横坐标分别为，，，， 则， 由得，， 由得，， 为定值． 【变式1-2】（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点Q，使得，若存在，求出Q点的坐标，若不存在，说明理由； (3)抛物线上有两动点M，N，横坐标分别为，记抛物线在M，N之间的部分（包括M，N两点）为图象G．过图象G的左右两端M，N分别作x轴的垂线，过图象G的最高点和最低点分别作y轴的垂线，当四条直线围成的图形为正方形且正方形边长为2时，求点M的坐标． 【答案】(1)； (2)存在，； (3)点M的坐标为或． 【分析】（1）把，两点代入函数关系式，解方程组即可； （2）在轴下方抛物线上取点，设点的坐标为，则或，分两种情况：①时，不存在；当时，过点作轴于点，连接，，根据，则，利用三角函数求解； （3）对，在对称轴左右两侧，及都在左侧和都在右侧进行分类讨论，根据正方形的边长相等列对应关系式求解． 【详解】（1）解：把，两点代入函数关系式得， 解得 抛物线的函数表达式为； （2）解：如图，在轴下方抛物线上取点， 设点的坐标为，则或， 当时，是钝角，是锐角，故不能相等； 当时，过点作轴于点，连接，， 当时，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 即 （3）解：， 抛物线的对称轴为直线，有最大值， 由题意可知，即， 当点，分布在对称轴左右两侧时，， 若点M是最低点， 此时最大值为，最小值是当时，的值，即， ， ， 解得，（舍去）， ； 若点N是最低点， 此时， 解得，（舍去）， ， ， ， ； 当点，都在对称轴左侧时，， 此时 整理得 ， ，， ， ， ，此时， 故不存在此种情况； 当点，都在对称轴右侧时，， 此时 整理得 ， ， ， ， ， 故不存在此种情况； 综上可知，点M的坐标为或． 【变式1-3】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图1，二次函数与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．已知，抛物线的对称轴为直线． (1)求二次函数的解析式； (2)如图2，连接，点P是第一象限内抛物线上一点，过点作轴交于点E，求的最大值以及点P的坐标； (3)将抛物线向右平移1个单位长度，向上平移5个单位长度得新抛物线，点M是平移后新抛物线上一点，若，直接写出点M的坐标． 【答案】(1)； (2)最大值为，点的坐标为； (3)或 【分析】（1）根据对称轴得出，再将点A代入求解即可确定函数解析式； （2）根据题意得出，，利用待定系数法确定直线的解析式为，设，则，得出，化为顶点式即可求解； （3）根据平移确定，再由题意得出，分两种情况分析：当点M在x上方的图象上时，如图所示，过点M作轴，当点M在x轴下方的抛物线上时，如图所示，过点M作轴，结合图形分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的对称轴为直线, ， 解得， ∴抛物线解析式为， 又∵抛物线经过点， ， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：令,得 解得， ， ， 令,得 ， 设直线的解析式为， 将代入得：     解得， ∴直线的解析式为， 设则， ， ， 当时，取得最大值，最大值为， 此时， 点的坐标为； （3）， ∵将抛物线向右平移1个单位长度，向上平移5个单位长度， ∴， 由（2）得，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点M在x上方的图象上时，如图所示，过点M作轴， ∴， 设， ∴， ∴， ∵点M是平移后新抛物线上一点， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， 当时，，对应图中的点M； 当点M在x轴下方的抛物线上时，如图所示，过点M作轴， ∴， 设， ∴， ∴， ∵点M是平移后新抛物线上一点， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴当时，，对应图中的点； 综上可得：或． 【变式1-4】（26-27九年级上·天津·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴为直线，点的坐标为． (1)该抛物线的表达式为_______________； (2)点为抛物线上一点（不与点重合），连接．当时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点，是轴上的两个动点，点在点左侧且，当四边形周长取得最小值时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由对称轴得点坐标，用交点式写解析式； （2）构造全等三角形找直线，联立抛物线求； （3）如图，过作，过作，作关于轴的对称点，连接，可得，，，为定值，当三点共线时，四边形周长最小，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：对称轴为直线，点的坐标为， ， ． （2）解：过点作垂直于轴，交于，如图所示， ∵ ，， ∴ ， 为等腰直角三角形， ∴， ， ∵，， ， ， ． ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， 直线的解析式为， 令， 解得：（舍），， 此时， ． （3）解：如图，过作，过作，作关于轴的对称点，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴四边形周长为， ∵，，， ∴，为定值， ∴当最小时，四边形周长最小， ∴当三点共线时，四边形周长最小， ∵点，点关于轴对称， ∴， 设直线为， ∴， ∴， ∴直线为， 当时，， 解得：， ∴，， ∴. ▌题型02 特殊角度问题 【核心知识点】 1. 直角（）：最常用的判定是勾股定理逆定理；也可用"直径所对的圆周角是直角"（需已学圆的知识）或构造全等直角三角形。 1. ：常转化为"等腰直角三角形"，即两直角边相等；也可构造正方形背景。 1. 、：常转化为边长之间的倍数关系（含 角的直角三角形中， 角所对的边等于斜边的一半）。 1. 存在性问题求特殊角时，要分类讨论：哪个顶点是这个特殊角，不同情形结果不同。 【解题思路】 1. 明确哪个角要等于特殊角，并把角的条件翻译成边的关系。 1. 设动点坐标，写出相关的三条边长（或其平方）。 1. 按特殊角对应的数量关系列方程。 1. 解出参数后检验：三角形要真实存在（三点不共线），并且分类讨论不能有遗漏。 【例2】（26-27九年级上·河南商丘·阶段检测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)是抛物线上一动点（不与点，，重合），作轴，垂足为，连接． ①若点在第三象限，且，求点的坐标； ②当点在轴左侧抛物线上时，直线交直线于点，若，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②点的坐标为或 【分析】（1）将，两点坐标代入抛物线的解析式，进而求得结果； （2）①过点作于点，可得为等腰直角三角形，设，根据等腰直角三角形的性质列方程即可解答；②分点在点的左边或右边，根据面积公式列方程即可解答． 【详解】（1）解：把，代入得： ，解得， ； （2）解：①如图，过点作于点， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， 点的纵坐标为， 可得， 解得，（舍去）， ； ②令， 解得，， ， ， 设直线的解析式为， 把代入可得，，解得， 直线的解析式为， 当点在轴左侧且在点右侧时，如图， 设，则，， ， 整理得， 解得，（舍去）， ； 当点在轴左侧且在点左侧时，如图， 设，则，， ， 整理得， 解得，（舍去）； ， 综上，点的坐标为或． 【变式2-1】（26-27九年级上·湖北咸宁·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)在直线下方的抛物线上，是否存在一点Q，使得，若存在，求出Q点坐标； (3)直线与抛物线的对称轴交于点D，M为对称轴右侧抛物线上一动点，点N在x轴上，若以点D、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的点M的坐标． 【答案】(1)； (2) 存在， (3)， 【分析】（1）利用待定系数法运算求解即可； （2）作交延长线于，过作轴于，作于，，，证明，得到，设，求出坐标，进而求出直线的解析式，联立直线的解析式和抛物线解析式求出点坐标即可； （3）设出点的坐标，利用中点坐标公式分类讨论对角线的情况列式运算即可． 【详解】（1）解：把分别代入可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 把代入，可得， ， 令得代入， 可得， ∵， ∴， 设直线的解析式为：，把分别代入得∶   ， 解得：， ∴直线的解析式为∶； （2）解：存在，； 如图，作交延长线于，过作轴于，作于，可知在一条直线上，且， ∵， ∴， 即是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 解得：； ， 即， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立和， 得：， 解得：(舍去)， 当时，， 即； （3）解：， ∴抛物线对称轴为直线， ∴把代入可得：， ∴， ∵为对称轴右侧抛物线上一动点，点在轴上， ∴设，， ∵点D、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形， ∴①当为平行四边形的对角线时： ， 解得或（舍去）， 代入可得：， ②当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或（舍）， 与①相同； ③当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或    (不合题意，舍去)， 代入可得：， 综上所述的坐标为：． 【变式2-2】（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，求点的坐标． 【答案】 【分析】先求出，，从而可得，，作轴于点，证明为等腰直角三角形，得出，设，则，，从而可得，最后再代入二次函数解析式，计算即可得出结果． 【详解】解：在中，令，则， 解得，， ∴，， ∴，， 如图，作轴于点， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∴， ∵点在二次函数图象上， ∴， 整理得， 解得（不符合题意，舍去）或， ∴， ∴． 【变式2-3】（26-27九年级上·吉林松原·阶段检测）如图，抛物线的顶点为A，过点A左侧抛物线上一点B，作轴于点C，且． (1)求点B的坐标； (2)若D是抛物线上一点，且，求直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据抛物线顶点式求出点A的坐标，设点C的横坐标为参数，结合轴与抛物线解析式表示出点B的纵坐标，进而表示出的长度．利用的条件建立方程，结合点B在A左侧的范围求解，得到点B的坐标． （2）以为边构造含角的辅助线，过点A作的垂线，截取等长线段构造等腰直角三角形，利用全等三角形求出该线段端点的坐标；结合点B的坐标求出直线的解析式． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴顶点A的坐标为， 设点C的坐标为， ∵点B在A的左侧， ∴， ； ∵轴，点B在抛物线上， ∴B的坐标为， ∴． ∵， ∴ ， 整理方程： ， ， 解得（对应点A，舍去），． 将代入抛物线解析式， 得， ∴点B的坐标为． （2）解：由（1）知，， 过点A作，交于点E，则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 过E作轴于F， ∵轴于点C， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴： 由（1）知，，， ∴，， ∵A点坐标， ∴， ∴， ∴E的坐标为． 设直线的解析式为， 将和代入， 得， 解得， 因此直线的解析式为． ▌题型03 等腰三角形存在问题 【核心知识点】 1. 核心策略：分类讨论。三角形 为等腰三角形有三种可能：、、，分别讨论，不能只想到一种。 1. 坐标法：设动点为 ，算出三边的长度（或长度的平方，避免根号），再按三种情形列方程。 1. 用"两圆一线"的几何直观理解：以某点为圆心、已知边长为半径画圆，与动点所在直线的交点即为所求。 1. 必须剔除退化情形：三点共线或两点重合时不能构成三角形。 【解题思路】 1. 设动点坐标，写出三条边的表达式（一般算平方即可）。 1. 依次令 、、，列三个方程。 1. 分别求解 ，每个方程都要独立求解。 1. 逐个检验：排除使点重合或三点共线的解，其余即为符合条件的动点位置。 【例3】（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是第二象限内抛物线上一动点，过P作于点E，求的最大值． (3)在对称轴上是否存在点M，使得是以为底的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)在对称轴上存在点M，使得为等腰三角形，此时点M的坐标为或． 【分析】（1）根据题意可得交点式，进而可得答案； （2）过点P作轴交于点H，求出，证明是等腰直角三角形，得到，则可证明是等腰直角三角形，得到，故当最大时，最大；求出直线解析式为，设，，则，则，据此可得答案； （3）设出点M的坐标，根据等腰三角形的定义可得，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过、， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，过点P作轴交于点H， 在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， 设直线解析式为，将代入得，解得， ∴直线解析式为， 设，，则， ∴， ∵， ∴当时，的最大值为， ∴此时最大为； （3）解：∵， ∴对称轴为直线 设点M的坐标为， ∵，， ∴，， ∵是以为底的等腰三角形， ∴，即， ∴， 解得，， ∴或； 综上所述，在对称轴上存在点M，使得为等腰三角形，此时点M的坐标为或． 【变式3-1】（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，直线分别与轴，轴交于，两点，点为的中点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)点是直线下方的抛物线上的一点，且的面积为，求点的坐标； (3)为抛物线的对称轴上一点，若是以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或． 【分析】（1）由直线解析式求出A、B坐标，然后确定C点的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式； （2）设，如图：过点D作轴，交直线于点E，再求得得出方程，解出m值即可解答 （3）先求得抛物线的对称轴直线为，如图：设结合，分和两种情况，分别利用两点间距离公式列方程求得e的值即可解答． 【详解】（1）解：直线中，当，则；当，则， ∴， ∵点为的中点， ∴，将A和C代入抛物线中， ，解得：， ∴抛物线表达式为：． （2）解：联立：，解得：或， ∴直线与抛物线交于点和， ∵点D是直线下方抛物线上的一点， 设， ∴， 如图：过点D作轴，交直线于点E， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴点D的坐标为． （3）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴直线为， 设，， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴如图：当， ∴，解得：或， ∴点E的坐标为或； 如图：当， ∴，解得：或， ∴点E的坐标为或． 综上，点E的坐标为或或或． 【变式3-2】（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．点为线段上的一个动点（不与，重合），过点作轴的垂线，垂足为，与抛物线交于点． (1)求直线的解析式； (2)求线段长度的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在， 【分析】（1）先求出点C的坐标，再根据待定系数法求解即可； （2）设，则表示出，再根据二次函数的性质即可求解； （3）设，则有，，，分三种情况求解即可． 【详解】（1）解：令，得， 即， 设直线的解析式为， 将、代入解析式得：， 解得： ∴； （2）解：设，则， ∴， ∴当时，最大，最大值为； （3）解：∵抛物线的表达式为， ∴对称轴为直线， ∵点在对称轴上， ∴设， ∵，， ∴，，， 分三种等腰情况讨论： 当时：， 解得，得； 当时：， 解得，得、； 当时：， 解得，得、． 综上，所有满足条件的坐标为：． 【变式3-3】（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，，，是直线上方抛物线上一动点，作交于点，垂足为点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)是否存在点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)设点的横坐标为，是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在， 或 【分析】（1）由 、 得 、 坐标，用待定系数法求抛物线的表达式； （2）点 在 上，；过 作 的垂线，由 得等腰直角三角形，用等积法表示垂线段长，结合勾股定理列方程求出点 的坐标； （3）用勾股定理把 、、 表示为 的式子，按“以 为腰”分 、 两种情况列方程，并检验点 在直线 上方． 【详解】（1）解：∵，，点 在点 左侧， ∴，，点 为抛物线与 轴的交点，． ∵抛物线 经过点 、， ∴ 解得：， ∴抛物线的表达式为 ． （2）解：∵点 在 上， ∴ 与 在同一直线上， ∴． 过点 作 ，垂足为 ． ∵点 在直线 上方， ∴垂足 落在射线 上． 在 中，， ∴ 是等腰直角三角形， ∴． 由待定系数法可求出直线的解析式为， 设点 的横坐标为 ，则 ，， 其中 轴，垂足为 ，则点 的坐标为 ． 过点 作 ，垂足为 ，则 ，． 在 中，． ． ∵， ∴． 又 ， ∴， 两边除以 （），得 ， 即 ， 两边同乘 ，得 ， 即 ， ∴， ∴， ∴ 或 ． ∵点 在直线 上方，， ∴ 不合题意，舍去，． 当 时， ， ∴， 此时 ，点 在直线 上方，符合题意， ∴存在点 ，其坐标为 ． （3）解：∵，交 于点 ，点 的横坐标为 ， ∴，． ∴． 过点 作 ，垂足为 ，则 ，． 在 中，． 又 ． ①若 ，则 ， 两边除以 （），得 ， ∴， ∴ 或 ， ∴ 或 （此时点 与点 重合，不在直线 上方，舍去）； ②若 ，则 ， 两边除以 ，得 ， ∴， ∴ 或 （大于 ，舍去）． 检验： 时 ，在直线 上方； 时 ，在直线 上方． ∴ 或 ． ▌题型04 直角三角形存在问题 【核心知识点】 1. 核心策略同样是分类：直角三角形 有三种可能——、、 分别可能为直角。 1. 坐标判定：三边长平方分别记为 、、，若其中两个之和等于第三个，则该三角形是直角三角形。 1. 几何辅助：也可用"直径所对的圆周角为直角"找圆上的点（需已学圆的知识），或构造直角梯形、三垂直型全等。 1. 不可遗漏：三种情形要逐一计算，很多同学只算一种而丢解。 【解题思路】 1. 设动点坐标，计算三边的平方。 1. 按直角所在的顶点分三类，分别列出勾股方程。 1. 解方程求 。 1. 检验：三点不重合、不共线；最后把符合条件的 转换为点坐标作答。 【例4】（26-27九年级上·天津武清·阶段检测）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线经过A、B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P． (1)求a，k的值； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，求M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)抛物线的对称轴上是否存在一点N，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出N点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在， (3)或 【分析】（1）根据直线与轴、轴分别交于点、，进行计算得，，根据抛物线经过点、得，计算求出，的值即可； （2）由、关于对称轴对称，连接交对称轴于点，连接，，根据两点之间线段最短，即为使的周长最小的点，求出直线解析式，将代入求解即可； （3）设，根据，，得，，，当是以为斜边的直角三角形时，由勾股定理得，，代入计算即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：∵直线与轴、轴分别交于点、， ∴，，解得：， ∴，． ∵抛物线经过、， ∴把，代入抛物线，得：， 解得：； （2）解：∵抛物线， ∴对称轴为， ∵， ∴． 如下图，连接交对称轴于点，连接， ∵、两点关于对称轴对称， ∴， ∴． ∵两点之间线段最短， ∴最小， ∴周长最小， ∵，， ∴设直线解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线解析式为，当时，， ∴； （3）解：设， ∵，， ∴， ， ， 当是以为斜边的直角三角形时，由勾股定理得：， ， ， ， ， ，， ∴或． 【变式4-1】（26-27九年级上·新疆·阶段检测）如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线与抛物线交于B，C两点，，抛物线经过A，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点N是抛物线上的一动点且位于直线的上方，试求的最大面积． (3)在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，M的坐标是或 【分析】（1）先求出点坐标，再设交点式求解即可； （2）过点N作轴交直线于点P，设，则，表示出，再由建立起面积的二次函数关系式，再由二次函数的性质求解； （3）设，①当以C为直角顶点时，如图，过点C作，交抛物线于点．过点作y轴的垂线，垂足是E，则，得到是等腰直角三角形，则，即可建立方程求解；②当以B为直角顶点时，如图，过点B作，交抛物线于点，交y轴于点G．过点作y轴的垂线，垂足是F，则，轴，得到是等腰直角三角形，则，即可建立方程求解． 【详解】（1）解：令，则， 令，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设抛物线， 代入，得，， ∴； （2）解：如图3，过点N作轴交直线于点P， 设，则， ∴， ∵轴， ∴点C到的距离为，点B到的距离为， ∴， ∵ ∴当时，的面积最大，为． （3）解：存在． 设， ①当以C为直角顶点时，如图，过点C作，交抛物线于点．过点作y轴的垂线，垂足是E，则， 由，，得， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得（舍去），． ∴， ∴． ②当以B为直角顶点时，如图，过点B作，交抛物线于点，交y轴于点G．过点作y轴的垂线，垂足是F，则，轴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵轴，即轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 综上所述，M的坐标是或． 【变式4-2】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，已知抛物线经过，两点，点为抛物线与轴的交点． (1)求，的值； (2)设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或或或 【分析】（1）把抛物线上已知点的坐标代入解析式，列出二元一次方程组，解方程组求出系数； （2）先写出对称轴，设出动点的坐标，利用两点间距离公式表示出三条边的平方，分、、为直角顶点三种情况讨论，借助勾股定理列方程，求出得到点坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， 将两点坐标代入可得， 解得． （2）解：由（1）得抛物线的解析式为， 则抛物线的对称轴为． 设的坐标为， ，， ，，， ①若点为直角顶点，则，即，解得，此时点的坐标为； ②若点为直角顶点，则，即，解得，此时点的坐标为； ③若点为直角顶点，则，即，解得或，此时点的坐标为或， 综上所述，点的坐标为或或或． 【变式4-3】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，P的坐标是或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，对称性求出点坐标即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：把和代入得： ，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为，即； （2）解：存在， 当时，设交轴于点， ∵点A的坐标是，点C的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 联立，解得或， ∴； 当时，则， ∴的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或. ▌题型05 等腰直角三角形的存在问题 【核心知识点】 1. 等腰直角三角形兼具两种特征：两条直角边相等，且夹角为 ；直角顶点就是等腰的顶点。 1. 坐标法：三条边中必有两条相等，且这两条的平方和等于第三条的平方（即两直角边的平方和等于斜边的平方）。 1. 几何法（最常用）：过直角顶点 作坐标轴的平行线，构造"一线三垂直"（ 字型）的两个直角三角形全等，从而把"相等且垂直"转化为横、纵坐标差的对应关系。 1. 注意两种取向：等腰直角三角形可以朝两个方向摆放， 字型全等时要分两种情况讨论，否则会漏解。 【解题思路】 1. 确定哪个点是直角顶点（通常也要分类讨论）。 1. 几何法：过该点作平行于坐标轴的线，构造全等，得出横、纵坐标差的关系式。 1. 坐标法：列出两边相等与勾股两个条件联立求解。 1. 解出后检验：是否存在两种取向的解，是否构成真实三角形。 【例5】（2026·山东威海·三模）如图，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系； (3)在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点的坐标为 (2)，且 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）直线与抛物线交于A、E两点，可得点A和点E坐标，再求出点B、C的坐标分别为：、，利用待定系数法即可求解； （2）分别求出和的长，根据待定系数法求出直线的解析式，即可求解； （3）分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：直线与抛物线交于、两点， ∴令，则，解得； 令,则， ∴点，点． ，， 点B的坐标为， 故抛物线的表达式为， 将点的坐标代入，得， 解得， 抛物线的表达式为， 顶点的坐标为． （2）解：，且，理由： ，， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 故直线的解析式为． 、点， ， 故； 直线的解析式为，直线的解析式为， 故将直线向上平移个单位得到直线， ， 故，且． （3）解：存在，点的坐标为或． 设点，点，，而点， 联立， 得，， ∴，， ∵P点在直线的上方， ∴． ①当时， 如图，过点作轴的平行线，过点、点作轴的平行线，交过点且平行于轴的直线于点、， ，， ， ，， ， ，， 即，， 解得． 当时，， 解得，（舍去）， 点． ②当时，如图，过Q点作y轴的垂线，过P、H分别作的垂线，交于M、N两点， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵, ∴， ∴，， ∴，， 解得，， 又∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴． ③当时， 当点在抛物线对称轴的右侧时，如图， 点在的下方，与题意不符，舍去； 当点在抛物线对称轴的左侧时，如图，过H点作直线轴，分别过P、Q点作直线的垂线，垂足分别为M、N ， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， 解得， 又∵， ∴， 解得（舍去），， 故点． 综上可得，点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，难度较大，涉及到一次函数、三角形全等，要注意分类求解，避免遗漏．熟练掌握这些性质、判定、二次函数的图象和性质是解题的关键． 【变式5-1】（2022·陕西西安·模拟预测）如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，且直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点Q在直线l上移动，在x轴下方的抛物线上，是否存在点P，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）设，，过点P作于点，过点A作于点N，则，证明，得出，，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴． ∵抛物线过点，， ∴， 解得：， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：存在． 设，， 如图①，图②，过点P作于点，过点A作于点N，则． ∵是以点P为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵，， ∴， 解得，， ∴或． 【变式5-2】（25-26九年级下·江西九江·期中）定义：若两条抛物线的顶点关于原点对称，两个二次函数的二次项系数互为负倒数，这样的两条抛物线称之为“共生抛物线”，如抛物线与是共生抛物线 已知抛物线的顶点是点，它的共生抛物线的顶点是； (1)点的坐标是___________，抛物线的函数关系式是___________． (2)当的取值范围是___________时，抛物线与的函数值都随的增大而减小． (3)直线与抛物线均有两个交点，这些交点从左到右分别是． ①求的取值范围是___________； ②在抛物线上是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)①；② 【分析】（1）根据抛物线的解析式可得点P的坐标，根据共生抛物线的定义，可以得到抛物线的顶点坐标和二次项系数，据此可得答案； （2）根据（1）所求分别求出抛物线和的函数值随的增大而减小时x的取值范围即可得到答案； （3）①求出直线经过点Q和点P时m的值，再结合函数图象即可得到答案；②分两种情况：点P为直角顶点和点Q为直角顶点，利用一线三垂直模型构造全等三角形求出点K的坐标，再验证点K是否在抛物线上即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点是点， ∴点P的坐标为， ∵抛物线的共生抛物线的顶点是， ∴，且抛物线的二次项系数为， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为，且， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当，的函数值随着x的增大而减小； ∵抛物线的解析式为，且， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当，的函数值随着x的增大而减小； 综上所述，当时，抛物线与的函数值都随的增大而减小； （3）解：①如图所示， 当直线恰好经过点P时，则， 当直线恰好经过点Q时，则， 由函数图象可知，当时，直线与抛物线分别有两个不同的交点； ②如图所示，当点P为直角顶点时， 过点P作轴，过点K作，过点Q作， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴点在抛物线上，此时符合题意； 如图所示，当点Q为直角顶点时，同理可得， 在中，当时，， ∴点不在抛物线上，此时不符合题意； 综上所述，点K的坐标为． ▌题型06 全等三角形存在问题 【核心知识点】 1. 判定依据：、、、、；注意不能用 判定全等。 1. 坐标证全等的常用办法：算出对应边的长度（或平方）看是否相等，配合已知角相等得出结论； 需要确认直角。 1. 抛物线中常见的全等结构： 字型（一线三垂直）、对称性带来的全等、平移（隐形平行四边形）带来的全等。 1. 存在性问题要先确定"哪两个三角形全等""对应顶点分别是谁"，对应关系不同方程不同。 【解题思路】 1. 确定要证明（或寻找）全等的两个三角形及其对应关系。 1. 找出其中已经相等的一边或一角，作为判定的基础。 1. 把剩余条件翻译为含参数的方程（通常是边长相等）。 1. 解方程求点位置，检验对应关系是否真正成立（对应边要对应，不能错位）。 【例6】（22-23九年级上·陕西西安·期末）如图，平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，顶点为，对称轴l与x轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式； (2)点M在抛物线上，过点M作对称轴l的垂线，垂足为点E，点F在l上，若以M、E、F为顶点的三角形与全等，请求出满足条件的所有点M的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】（1）设交点式，然后把点坐标代入求出即可得到抛物线解析式； （2）由题意得，分两种情况：①当，时，，②，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 抛物线解析式为， 即； （2）抛物线与轴交于点、顶点为，对称轴为直线．对称轴， ，，． ①当，时，， 此时， 对称轴为直线． 点的横坐标为或， ， 点的坐标为或； ②当，时，， 此时， 对称轴为直线． 点的横坐标为或， ， 点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的性质等知识，利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来是本题的关键．要注意分类讨论的作用． 【变式6-1】（21-22九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，抛物线经过点和，与x轴的另一个交点为B，它的对称轴为直线． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点P是y轴右侧抛物线上的一个点，且与的面积相等，求点P的坐标； （3）点Q是该抛物线上的点，过点Q作的垂线，垂足为是上的点．要使以为顶点的三角形与全等，求满足条件的点Q． 【答案】（1）（2）P（4，5）（3）（-2，5）或（4，5）． 【分析】（1）把、代入即可求解； （2）求出B，设P（x，y）（x＞0），根据与的面积相等，得到方程，故可求解； （3）先证明△BOC是等腰直角三角形，过Q1作Q1D⊥l于D点，与抛物线的另一个交点为Q2，当Q1D=DE1=DE2=3时，△Q1DE1≌△Q1DE2≌△BOC，求出Q1的横坐标为-2，根据对称性求出Q2即可求解． 【详解】解：（1）把、代入得 解得 ∴抛物线的表达式为 （2）令=0 解得x1=-1，x2=3 ∴B 设P（x，y）（x＞0） ∵与的面积相等， ∴ 即 解得x=4 ∴P（4，5）； （3）∵B（3，0），C（0，-3）∠BOC=90° ∴OB=OC=3，△BOC是等腰直角三角形 如图，过Q1作Q1D⊥l于D点，与抛物线的另一个交点为Q2 ∴∠Q1DE1=∠Q1DE2=∠BOC=90° 当Q1D=DE1=DE2=3时，△Q1DE1≌△Q1DE2≌△BOC ∵= ∴函数对称轴为x=1 ∴Q1的横坐标为1-3=-2 ∴Q1（-2，5） 同理，根据对称性可得Q2（4，5）符合题意 ∴满足条件的点Q为（-2，5）或（4，5）． 【点睛】此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图像与性质及全等三角形的判定与性质． 【变式6-2】（24-25九年级上·广东广州·期中）如图所示，抛物线经过点，，，它的对称轴为直线． (1)求的面积； (2)求抛物线的解析式； (3)点是该抛物线上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点，点是直线上的点，若以点，，为顶点的三角形与全等，求满足条件的点，点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)，，，． 【分析】（）求出的长，然后利用面积公式即可求解； （）利用待定系数法求解析式即可； （）分别解得的坐标，抛物线的对称轴，推理出当时，以，，为顶点的三角形与全等，设，则，据此当点在抛物线对称轴的右（或左）侧时解答即可； 本题考查了二次函数的应用，根据题意推出两个三角形全等的条件，掌握待定系数法、二次函数的对称性及坐标轴上点的特征，解题的关键是掌握知识点的应用与分类讨论的思想方法． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； （2）解：∵，，， ∴可设所求解析式为：， 则，解得：， ∴， ∴解析式为； （3）解：∵抛物线：， ∴对称轴直线， ∴直线为直线， ∵，， ∴等腰中，， ∵与全等，， ∴且点、在直线上， 设，则， ∴当时，，即； ∴当时，，即； ∵，， ∴，即 ∵，点，在直线上， ∴， ∴，， ∴，，，． 【变式6-3】（24-25九年级下·全国·二轮复习）如图①，二次函数的图象交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，连接，过点C作交于点D． (1)求点D的坐标； (2)如图②，在直线上取一点M（不与点B重合），在直线的右上方是否存在这样的点N，使得以C、M、N为顶点的三角形与全等？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，满足要求的N点坐标有，，． 【分析】（1）根据二次函数图象的与坐标轴交点的计算方法，分别求出的坐标，根据题意，可证，可得，由此即可求解； （2）根据题意，运用勾股定理求出的值，可得是等腰三角形，结合图形，分类讨论：①如图所示，，可证，即可求解；②如图所示，，根据平行线，等腰三角形的性质即可求解；③如图所示，，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∴． 令，则， 解得，， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （2）解：存在，理由如下， ∵，，， ∴，，则， ∴， ∴． ①如图所示，，交轴于， 则，，， ∴， ∴轴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，， 则，， ∴， ∴； ③如图所示，， 则，，， ∴， 作轴于，则， ∴，， ∴， 作轴，于点，则，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴，， ∴，， ∴． 综上所述，满足要求的N点坐标有，，． 【点睛】本题主要考查了二函数图象的性质，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，掌握以上知识的综合运用，图形结合分析，分类讨论思想是解题的关键． ▌题型07 平行四边形存在问题 【核心知识点】 1. 核心工具：平行四边形对角线互相平分。若四点 、、、 构成平行四边形且 、 为对角线，则它们的中点重合，即 ，。 1. 已知三点求第四点时有三解：分别以三条已知线段（两两配成的边）中的一条为边，另一条为对角线，对应三种不同的平行四边形。 1. 若第四点必须在抛物线上，则把求得的点坐标代入抛物线解析式，得到关于参数的方程。 1. 几何直观：也可看作"一边平移到对边"，把点作平移后落在一条直线上。 【解题思路】 1. 设动点坐标，明确四个顶点中哪三个是已知的。 1. 按三种可能的对角线配对，分别用中点公式（横、纵坐标分别列式）求出第四点坐标，共得三组。 1. 把含参数的第四点坐标代入它应满足的条件（如在抛物线上、在某条边上）。 1. 解方程求参数，检验四点不共线、不重合。 【例7】（26-27九年级上·河南信阳·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)当时，函数的最小值为1，则a的值为______； (2)在平面直角坐标系内是否存在一点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或； (2)存在，或或 【分析】（1）先求出时x的值，再结合二次函数的性质作答即可； （2）根据平行四边形对角线互相平分，分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：当时， 解得：， ∵， ∴对称轴为直线，y最小值为0， 要使函数的最小值为1，则或， 即或； （2）解：令，则， 令，则， ∴， ∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形， 设， 当为对角线时， ， 解得：， ， 当为对角线时，则 ， 解得：， ， 当为对角线时，则 ， 解得：， ， 综上所述，P点坐标为或或． 【变式7-1】（26-27九年级上·四川广安·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，是抛物线上的一动点． (1)求抛物线解析式； (2)如图①，若点在第一象限的抛物线上，且轴，交于．求面积的最大值及此时的坐标； (3)如图②，是抛物线的对称轴直线上的一动点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时，点坐标为 (3)点的坐标为或或 【分析】（1）把，代入，解方程组求出、的值，即可得出答案； （2）利用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，可得，进而得出，根据二次函数的性质即可得出答案； （3）根据平行四边形的性质得出对角线的交点分别为两对角线的中点，分三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，与轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴，交于， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的面积有最大值，最大值为， 此时，， ∴点坐标为． （3）解：∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形， ∴对角线的交点分别为两对角线的中点， 设， ∵是抛物线的对称轴直线上的一动点， ∴设， ①当、为对角线时， ∵，， ∴中点坐标为， ∴， 解得， ∴，即； ②当、为对角线时，则， 解得， ∴，即； ③当、为对角线时，则， 解得， ∴，即； 综上所述，点的坐标为或或． 【变式7-2】（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，直线与抛物线交于点，交轴于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为线段上一动点，过点作轴的垂线，分别交抛物线与直线于点，，连接，，，求四边形面积的最大值及此时的值； (3)点为轴右侧抛物线上一动点，过点作直线交直线于点，是否存在点，使以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，四边形的面积有最大值，最大值为； (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线l的函数表达式为，根据题意可得，则，可求出，据此可得答案； （3）由，可得以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时，是该平行四边形的一组对边；据此分两种情况：当四边形是平行四边形时，则点A平移到点C的平移方式与点N平移到点M的平移方式相同，当四边形是平行四边形时，则点C平移到点A的平移方式与点N平移到点M的平移方式相同，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象与轴交于，两点， ∴ ， ∴， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线l的函数表达式为， 则， ∴， ∴直线l的函数表达式为； ∵轴，， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积有最大值，最大值为； （3）解：设， ∵， ∴以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时，是该平行四边形的一组对边； 当四边形是平行四边形时，则点A平移到点C的平移方式与点N平移到点M的平移方式相同， 在中，当时，， ∴， ∵， ∴点A向右平移1个单位长度，向下平移3个单位长度得到点C， ∴点N向右平移1个单位长度，向下平移3个单位长度得到点M， ∴点M的坐标为，即， ∴， 解得或， ∴当时，， 当时，，不符合题意； ∴点M的坐标为； 当四边形是平行四边形时，则点C平移到点A的平移方式与点N平移到点M的平移方式相同， ∵点C向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度得到点A， ∴点N向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度得到点M， ∴点M的坐标为，即， ∴， 解得或， ∴当时，， 当时，，不符合题意； ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 【变式7-3】（26-27九年级上·四川绵阳·阶段检测）如图1，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，连接、，其中． (1)求抛物线的解析式； (2)点Q为直线上方的抛物线上一点，过点Q作交于E，作轴于N，交于M，当的周长L最大时，求点Q的坐标及L的最大值； (3)若点G在x轴上运动，在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使B、Q、P、G四点所构成的四边形为平行四边形，若存在，直接写出G点坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)，L的最大值为 (3)点G的坐标为或或或 【分析】（1）首先求出，得到，然后求出，，然后利用待定系数法求解； （2）根据题意证明出是等腰直角三角形，表示出，然后得到，设，则，表示出，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）设，，根据题意分三种情况讨论，分别利用平行四边形的性质和中点坐标公式列方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 ∴当时， ∴，即 ∴ ∴，，即 将，代入得， 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵轴 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴的周长 ∵， ∴可得所在直线的表达式为 设，则 ∴ ∵ ∴当时，取得最大值2，L的最大值为， ∴将代入得，； （3）解：设， ∵，，平行四边形的对角线互相平分， ∴当是平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式得， 解得或（此时点G和点B重合，舍去） ∴点G的坐标为； 当是平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式得， 解得或 ∴点G的坐标为； 当是平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式得， 解得或 ∴点G的坐标为或； 综上所述，点G的坐标为或或或． ▌题型08 特殊平行四边形存在问题 【核心知识点】 1. 判定叠加的思路：先保证是平行四边形，再补充一个条件——矩形（有一个角为直角或对角线相等）；菱形（有一组邻边相等或对角线互相垂直）；正方形（同时满足矩形与菱形的条件）。 1. 坐标实现：对角线相等用"两对角线的长度（或平方）相等"；对角线垂直用勾股逆定理或构造直角三角形；邻边相等直接算两边长度相等。 1. 处理顺序通常是：先用平行四边形的中点公式确定第四点坐标（含参数），再代入特殊条件列方程。 1. 注意"一个角为直角"与"对角线相等"在平行四边形中是等价的，选计算量小的那一个。 【解题思路】 1. 按平行四边形的要求用中点公式确定第四点（可能有多组）。 1. 根据目标图形写出附加条件：直角（勾股逆定理）、邻边相等（长度相等）、对角线相等（长度相等）。 1. 把条件写成含参数的方程求解。 1. 检验：形成的四边形是否真实存在，是否确实达到矩形/菱形/正方形的判定标准。 【例8】（26-27九年级上·天津武清·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，对称轴为直线，点为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线对称轴上，且在顶点下方； ①若，点是轴上的两个动点，点在点左侧且，连接和，求的最小值以及点坐标； ②平面内存在点，使以点为顶点的四边形为矩形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①最小值为，点坐标为；②点Q的坐标为或或 【分析】（1）根据对称性求出点B的坐标，再运用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的性质求出点C，顶点D的坐标，进而得到点P的坐标，将点P向左平移1个单位长度，得到点，连接，，得到四边形是平行四边形，因此．作点关于x轴的对称点，连接，，则，得到，即当点E在上时，取得最小值，最小值为的长．根据两点间距离公式求出，从而求出最小值．运用待定系数法求出直线的函数解析式，令，即可求出点E的坐标； ②根据对角线的情况分三种讨论，再由矩形的性质求出点Q的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴点A，B关于对称轴直线对称， ∴． ∴将点，代入抛物线，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：①对于抛物线，令，则， ∴． ∵抛物线， ∴顶点． ∵点在抛物线对称轴上，且在顶点下方，， ∴． 将点P向左平移1个单位长度，得到点，则， 连接，， 则，且轴， ∵在x轴上，且， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 作点关于x轴的对称点，连接，， 则， ∴， 即当点E在上时，取得最小值，最小值为的长． ∵，， ∴． ∴最小值为． 设直线的函数解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的函数解析式为， 令，则，解得， ∴取得最小值时，点坐标为 ②设，，其中 由（1）知，由（2）①可知． 如图，当为矩形的对角线时， ∵四边形是矩形， ∴与互相平分，， ∴由中点坐标公式，得， 解得， ∵，， ∵，即， ∴， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； ∴或， 如图，当为矩形的对角线时， 同理，由中点坐标公式得， 解得， ∴，， 同理， ∴， 解得， ∴，不合题意，舍去。 如图，当为矩形的对角线时， 同理，由中点坐标公式得， 解得：， ∴，， 同理，， ∴， 解得， ∴，符合题意， ∴， 综上，点Q的坐标为或或． 【变式8-1】（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图1，抛物线交轴于点和点，交轴于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一动点，连接和，交于点，交轴于点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标； (3)如图2所示，若点是抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，请问在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2) (3)符合条件的点有三个，坐标为：，， 【分析】（1）先推导出，再根据待定系数法进行求解即可； （2）先求出，即，根据三角形的内角和求出，推导出，得到，可推导出是等腰直角三角形，求出，继而求出直线解析式是，联立直线与抛物线，求出点D的横坐标，再求出，即可解答； （3）分类讨论：当为对角线和菱形边时，利用直线与x轴成角关系建立关于P的横坐标的方程，进而求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， 将，分别代入，得 ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时， ， 解得， ∴，即， ∵，， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 设直线解析式是，把，分别代入，得 ， ∴， ∴直线解析式是， 联立直线与抛物线：，得 ， 解得（点B，舍去），， 将代入，得 ， ∴； （3）解：设直线解析式是， 把，代入，得 ， ∴， ∴直线解析式是． ①当为菱形的对角线时，如图2， 设，则， ∴， ，四边形是菱形， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴，即轴， ∴， ， 解得（不合题意舍去）或， 此时， ． ②当为菱形的边时，如图， 作于点H，   设，则， ∴，， ， ∴． ∴ 解得：，，（不合题意舍去）． 或． ∴，， 如图所示， 综上所述，符合条件的点有三个，坐标为：，，． 【变式8-2】（25-26九年级上·四川眉山·阶段检测）已知，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点M是直线上方的抛物线上一动点（不与A，C重合），连接，，求的面积最大值以及此时点M的坐标． (3)如图2，若动点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积最大值为，此时点M的坐标为 (3)存在，符合条件的点P的坐标为：，，，， 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）作轴于点H，交线段于点D，先求直线的解析式，设点M的坐标为，用含q的式子表示出，进而用含q的式子表示出，利用二次函数的最值求解； （3）以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形时，分三种情况：当以为对角线时，则；当以为对角线时，则；当以为对角线时，则，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：如图，作轴于点H，交线段于点D， 将代入，得， ， 设直线的解析式为，将，代入， 得：， 解得， 直线的解析式为； 设点M的坐标为，则点D的坐标为， ， ， 二次项系数，抛物线开口向下，对称轴为， 当时，取最大值，最大值为， 此时， 综上可知，的面积最大值为，此时点M的坐标为； （3）解：抛物线的对称轴为：直线， 设，， ，， ，，， 以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形时，分三种情况： 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ，； 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ； 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ， ， 综上可得，符合条件的点P的坐标为：，，，， ． 【变式8-3】（2022·山东泰安·三模）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点P仅在线段上运动，如图，求四边形面积的最大值； (3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为 (3)点Q的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，分别用含的代数式表示出、的坐标，进而可得，再根据，构建二次函数，然后利用二次函数的性质求最大值； （3）分四种情形：当点M在线段上，，四边形是菱形时；当是菱形的对角线时，四边形是正方形；当点M在延长线上时，，四边形是菱形时；当点M在延长线上时，，四边形是菱形．分别求解即可． 【详解】（1）解：把，代入中，得， 解得，， ∴这个二次函数的表达式为y； （2）解：对于二次函数的表达式，令，则， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入，得 ，解得， ∴直线的表达式为， 设， ∵轴． ，， ∴ ∴ ， ∴当时，有最大值； （3）解：∵，，，， ∴，，，， 分以下三种情况： ①如图中，当点M在线段上，，四边形是菱形时． ，， ， 解得或（舍去） ． ， ， ． ②如图，当是菱形的对角线时， 根据菱形的性质可得， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ， 解得或0（舍去）， ∴． ③如图，当点M在延长线上时，，四边形是菱形时， 则有， 解得或0（舍去）， ， ， ． ④如图，当点M在延长线上时，，四边形是菱形，此时，，， 则有， 解得或， 都不满足， 综上所述，满足条件的点Q的坐标为或或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 二次函数与几何综合——角度与特殊图形问题 （题型突破·举一反三） 题型01 角度的数量关系 题型02 特殊角度问题 题型03 等腰三角形存在问题 题型04 直角三角形存在问题 题型05 等腰直角三角形的存在问题 题型06 全等三角形存在问题 题型07 平行四边形存在问题 题型08 特殊平行四边形存在问题 ▌题型01 角度的数量关系 【核心知识点】 1. 常见的目标结论：两角相等、互余（和为 ）、互补（和为 ）、两倍关系。 1. 几何方法：利用平行线的性质、对称（抛物线关于对称轴对称，对称点互相对应角相等）、全等与相似。 1. 代数方法：设点坐标后算出三角形各边长，用勾股定理的逆定理判断是否为直角，用边长相等判断等腰从而得底角相等。 1. 常用媒介："同角（等角）的余角相等"、"三角形外角等于不相邻的两个内角之和"。 【解题思路】 1. 先找图中是否存在平行、对称、全等等现成结构。 1. 若没有，设出动点坐标把各边长算出来。 1. 用边长关系反推角的关系（等边对等角、勾股逆定理判直角）。 1. 需要"角相等求点位置"时，把角的关系翻译成边长或线段的方程再求解。 【例1】（26-27九年级上·天津南开·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标． (2)若D是直线上方抛物线上的一动点，连接，，求面积的最大值． (3)已知H是抛物线上的一点，连接，若，直接写出点H的坐标． 【变式1-1】（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）已知抛物线的图像与轴交于点，与轴交于点，且顶点坐标为，点为轴上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第一象限抛物线上一点，且，与轴交于点，求点的横坐标； (3)点是上的一个动点，连接，取的中点，设点构成的曲线是，直线与，的交点从左至右依次为，，，，则是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【变式1-2】（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点Q，使得，若存在，求出Q点的坐标，若不存在，说明理由； (3)抛物线上有两动点M，N，横坐标分别为，记抛物线在M，N之间的部分（包括M，N两点）为图象G．过图象G的左右两端M，N分别作x轴的垂线，过图象G的最高点和最低点分别作y轴的垂线，当四条直线围成的图形为正方形且正方形边长为2时，求点M的坐标． 【变式1-3】（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图1，二次函数与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．已知，抛物线的对称轴为直线． (1)求二次函数的解析式； (2)如图2，连接，点P是第一象限内抛物线上一点，过点作轴交于点E，求的最大值以及点P的坐标； (3)将抛物线向右平移1个单位长度，向上平移5个单位长度得新抛物线，点M是平移后新抛物线上一点，若，直接写出点M的坐标． 【变式1-4】（26-27九年级上·天津·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴为直线，点的坐标为． (1)该抛物线的表达式为_______________； (2)点为抛物线上一点（不与点重合），连接．当时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点，是轴上的两个动点，点在点左侧且，当四边形周长取得最小值时，求点的坐标． ▌题型02 特殊角度问题 【核心知识点】 1. 直角（）：最常用的判定是勾股定理逆定理；也可用"直径所对的圆周角是直角"（需已学圆的知识）或构造全等直角三角形。 1. ：常转化为"等腰直角三角形"，即两直角边相等；也可构造正方形背景。 1. 、：常转化为边长之间的倍数关系（含 角的直角三角形中， 角所对的边等于斜边的一半）。 1. 存在性问题求特殊角时，要分类讨论：哪个顶点是这个特殊角，不同情形结果不同。 【解题思路】 1. 明确哪个角要等于特殊角，并把角的条件翻译成边的关系。 1. 设动点坐标，写出相关的三条边长（或其平方）。 1. 按特殊角对应的数量关系列方程。 1. 解出参数后检验：三角形要真实存在（三点不共线），并且分类讨论不能有遗漏。 【例2】（26-27九年级上·河南商丘·阶段检测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)是抛物线上一动点（不与点，，重合），作轴，垂足为，连接． ①若点在第三象限，且，求点的坐标； ②当点在轴左侧抛物线上时，直线交直线于点，若，直接写出点的坐标． 【变式2-1】（26-27九年级上·湖北咸宁·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)在直线下方的抛物线上，是否存在一点Q，使得，若存在，求出Q点坐标； (3)直线与抛物线的对称轴交于点D，M为对称轴右侧抛物线上一动点，点N在x轴上，若以点D、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的点M的坐标． 【变式2-2】（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，二次函数的图象交轴于，两点，图象上的一点使，求点的坐标． 【变式2-3】（26-27九年级上·吉林松原·阶段检测）如图，抛物线的顶点为A，过点A左侧抛物线上一点B，作轴于点C，且． (1)求点B的坐标； (2)若D是抛物线上一点，且，求直线的解析式． ▌题型03 等腰三角形存在问题 【核心知识点】 1. 核心策略：分类讨论。三角形 为等腰三角形有三种可能：、、，分别讨论，不能只想到一种。 1. 坐标法：设动点为 ，算出三边的长度（或长度的平方，避免根号），再按三种情形列方程。 1. 用"两圆一线"的几何直观理解：以某点为圆心、已知边长为半径画圆，与动点所在直线的交点即为所求。 1. 必须剔除退化情形：三点共线或两点重合时不能构成三角形。 【解题思路】 1. 设动点坐标，写出三条边的表达式（一般算平方即可）。 1. 依次令 、、，列三个方程。 1. 分别求解 ，每个方程都要独立求解。 1. 逐个检验：排除使点重合或三点共线的解，其余即为符合条件的动点位置。 【例3】（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是第二象限内抛物线上一动点，过P作于点E，求的最大值． (3)在对称轴上是否存在点M，使得是以为底的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-1】（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，直线分别与轴，轴交于，两点，点为的中点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)点是直线下方的抛物线上的一点，且的面积为，求点的坐标； (3)为抛物线的对称轴上一点，若是以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标． 【变式3-2】（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．点为线段上的一个动点（不与，重合），过点作轴的垂线，垂足为，与抛物线交于点． (1)求直线的解析式； (2)求线段长度的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-3】（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，，，是直线上方抛物线上一动点，作交于点，垂足为点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)是否存在点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)设点的横坐标为，是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由． ▌题型04 直角三角形存在问题 【核心知识点】 1. 核心策略同样是分类：直角三角形 有三种可能——、、 分别可能为直角。 1. 坐标判定：三边长平方分别记为 、、，若其中两个之和等于第三个，则该三角形是直角三角形。 1. 几何辅助：也可用"直径所对的圆周角为直角"找圆上的点（需已学圆的知识），或构造直角梯形、三垂直型全等。 1. 不可遗漏：三种情形要逐一计算，很多同学只算一种而丢解。 【解题思路】 1. 设动点坐标，计算三边的平方。 1. 按直角所在的顶点分三类，分别列出勾股方程。 1. 解方程求 。 1. 检验：三点不重合、不共线；最后把符合条件的 转换为点坐标作答。 【例4】（26-27九年级上·天津武清·阶段检测）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线经过A、B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P． (1)求a，k的值； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，求M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)抛物线的对称轴上是否存在一点N，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出N点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式4-1】（26-27九年级上·新疆·阶段检测）如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线与抛物线交于B，C两点，，抛物线经过A，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点N是抛物线上的一动点且位于直线的上方，试求的最大面积． (3)在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 【变式4-2】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，已知抛物线经过，两点，点为抛物线与轴的交点． (1)求，的值； (2)设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标． 【变式4-3】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． ▌题型05 等腰直角三角形的存在问题 【核心知识点】 1. 等腰直角三角形兼具两种特征：两条直角边相等，且夹角为 ；直角顶点就是等腰的顶点。 1. 坐标法：三条边中必有两条相等，且这两条的平方和等于第三条的平方（即两直角边的平方和等于斜边的平方）。 1. 几何法（最常用）：过直角顶点 作坐标轴的平行线，构造"一线三垂直"（ 字型）的两个直角三角形全等，从而把"相等且垂直"转化为横、纵坐标差的对应关系。 1. 注意两种取向：等腰直角三角形可以朝两个方向摆放， 字型全等时要分两种情况讨论，否则会漏解。 【解题思路】 1. 确定哪个点是直角顶点（通常也要分类讨论）。 1. 几何法：过该点作平行于坐标轴的线，构造全等，得出横、纵坐标差的关系式。 1. 坐标法：列出两边相等与勾股两个条件联立求解。 1. 解出后检验：是否存在两种取向的解，是否构成真实三角形。 【例5】（2026·山东威海·三模）如图，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系； (3)在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-1】（2022·陕西西安·模拟预测）如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，且直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点Q在直线l上移动，在x轴下方的抛物线上，是否存在点P，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-2】（25-26九年级下·江西九江·期中）定义：若两条抛物线的顶点关于原点对称，两个二次函数的二次项系数互为负倒数，这样的两条抛物线称之为“共生抛物线”，如抛物线与是共生抛物线 已知抛物线的顶点是点，它的共生抛物线的顶点是； (1)点的坐标是___________，抛物线的函数关系式是___________． (2)当的取值范围是___________时，抛物线与的函数值都随的增大而减小． (3)直线与抛物线均有两个交点，这些交点从左到右分别是． ①求的取值范围是___________； ②在抛物线上是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． ▌题型06 全等三角形存在问题 【核心知识点】 1. 判定依据：、、、、；注意不能用 判定全等。 1. 坐标证全等的常用办法：算出对应边的长度（或平方）看是否相等，配合已知角相等得出结论； 需要确认直角。 1. 抛物线中常见的全等结构： 字型（一线三垂直）、对称性带来的全等、平移（隐形平行四边形）带来的全等。 1. 存在性问题要先确定"哪两个三角形全等""对应顶点分别是谁"，对应关系不同方程不同。 【解题思路】 1. 确定要证明（或寻找）全等的两个三角形及其对应关系。 1. 找出其中已经相等的一边或一角，作为判定的基础。 1. 把剩余条件翻译为含参数的方程（通常是边长相等）。 1. 解方程求点位置，检验对应关系是否真正成立（对应边要对应，不能错位）。 【例6】（22-23九年级上·陕西西安·期末）如图，平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，顶点为，对称轴l与x轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式； (2)点M在抛物线上，过点M作对称轴l的垂线，垂足为点E，点F在l上，若以M、E、F为顶点的三角形与全等，请求出满足条件的所有点M的坐标． 【变式6-1】（21-22九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，抛物线经过点和，与x轴的另一个交点为B，它的对称轴为直线． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点P是y轴右侧抛物线上的一个点，且与的面积相等，求点P的坐标； （3）点Q是该抛物线上的点，过点Q作的垂线，垂足为是上的点．要使以为顶点的三角形与全等，求满足条件的点Q． 【变式6-2】（24-25九年级上·广东广州·期中）如图所示，抛物线经过点，，，它的对称轴为直线． (1)求的面积； (2)求抛物线的解析式； (3)点是该抛物线上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点，点是直线上的点，若以点，，为顶点的三角形与全等，求满足条件的点，点的坐标． 【变式6-3】（24-25九年级下·全国·二轮复习）如图①，二次函数的图象交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，连接，过点C作交于点D． (1)求点D的坐标； (2)如图②，在直线上取一点M（不与点B重合），在直线的右上方是否存在这样的点N，使得以C、M、N为顶点的三角形与全等？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． ▌题型07 平行四边形存在问题 【核心知识点】 1. 核心工具：平行四边形对角线互相平分。若四点 、、、 构成平行四边形且 、 为对角线，则它们的中点重合，即 ，。 1. 已知三点求第四点时有三解：分别以三条已知线段（两两配成的边）中的一条为边，另一条为对角线，对应三种不同的平行四边形。 1. 若第四点必须在抛物线上，则把求得的点坐标代入抛物线解析式，得到关于参数的方程。 1. 几何直观：也可看作"一边平移到对边"，把点作平移后落在一条直线上。 【解题思路】 1. 设动点坐标，明确四个顶点中哪三个是已知的。 1. 按三种可能的对角线配对，分别用中点公式（横、纵坐标分别列式）求出第四点坐标，共得三组。 1. 把含参数的第四点坐标代入它应满足的条件（如在抛物线上、在某条边上）。 1. 解方程求参数，检验四点不共线、不重合。 【例7】（26-27九年级上·河南信阳·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)当时，函数的最小值为1，则a的值为______； (2)在平面直角坐标系内是否存在一点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式7-1】（26-27九年级上·四川广安·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，是抛物线上的一动点． (1)求抛物线解析式； (2)如图①，若点在第一象限的抛物线上，且轴，交于．求面积的最大值及此时的坐标； (3)如图②，是抛物线的对称轴直线上的一动点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． 【变式7-2】（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，直线与抛物线交于点，交轴于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为线段上一动点，过点作轴的垂线，分别交抛物线与直线于点，，连接，，，求四边形面积的最大值及此时的值； (3)点为轴右侧抛物线上一动点，过点作直线交直线于点，是否存在点，使以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式7-3】（26-27九年级上·四川绵阳·阶段检测）如图1，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，连接、，其中． (1)求抛物线的解析式； (2)点Q为直线上方的抛物线上一点，过点Q作交于E，作轴于N，交于M，当的周长L最大时，求点Q的坐标及L的最大值； (3)若点G在x轴上运动，在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使B、Q、P、G四点所构成的四边形为平行四边形，若存在，直接写出G点坐标，若不存在，说明理由． ▌题型08 特殊平行四边形存在问题 【核心知识点】 1. 判定叠加的思路：先保证是平行四边形，再补充一个条件——矩形（有一个角为直角或对角线相等）；菱形（有一组邻边相等或对角线互相垂直）；正方形（同时满足矩形与菱形的条件）。 1. 坐标实现：对角线相等用"两对角线的长度（或平方）相等"；对角线垂直用勾股逆定理或构造直角三角形；邻边相等直接算两边长度相等。 1. 处理顺序通常是：先用平行四边形的中点公式确定第四点坐标（含参数），再代入特殊条件列方程。 1. 注意"一个角为直角"与"对角线相等"在平行四边形中是等价的，选计算量小的那一个。 【解题思路】 1. 按平行四边形的要求用中点公式确定第四点（可能有多组）。 1. 根据目标图形写出附加条件：直角（勾股逆定理）、邻边相等（长度相等）、对角线相等（长度相等）。 1. 把条件写成含参数的方程求解。 1. 检验：形成的四边形是否真实存在，是否确实达到矩形/菱形/正方形的判定标准。 【例8】（26-27九年级上·天津武清·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，对称轴为直线，点为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线对称轴上，且在顶点下方； ①若，点是轴上的两个动点，点在点左侧且，连接和，求的最小值以及点坐标； ②平面内存在点，使以点为顶点的四边形为矩形，请直接写出点的坐标． 【变式8-1】（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图1，抛物线交轴于点和点，交轴于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一动点，连接和，交于点，交轴于点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标； (3)如图2所示，若点是抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，请问在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式8-2】（25-26九年级上·四川眉山·阶段检测）已知，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点M是直线上方的抛物线上一动点（不与A，C重合），连接，，求的面积最大值以及此时点M的坐标． (3)如图2，若动点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式8-3】（2022·山东泰安·三模）如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点P仅在线段上运动，如图，求四边形面积的最大值； (3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $