第26章二次函数提优小练习-2026-2027学年人教版数学九年级上册

第26章二次函数提优小练习-2026-2027学年数学九年级上册人教版 一、选择题 1．下列表达式中，为自变量，是的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．下列关于抛物线的说法，正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，y随x的增大而减小 3．将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（　　） A． B． C． D． 4．已知抛物线的表达式为则该抛物线的顶点坐标是（　　） A．（2，1） B．（-2，1） C．（2，-1） D．（1，2） 5．已知二次函数（a为常数，且），下列结论一定正确的是（　　） A．若，则时，y随x的增大而增大 B．若，则时，y随x的增大而减小 C．若，则时，y随x的增大而增大 D．若，则时，y随x的增大而减小 6．已知二次函数 则其二次项系数a、一次项系数b、常数项c分别为 (　　) A．a=2， b=-3， c=1 B．a=2， b=3， c=1 C．a=1， b=3， c=2 D．a=1， b=-3， c=2 7．一辆汽车的行驶距离关于行驶时间的函数关系式是．若汽车行驶，则行驶时间是（　　） A． B． C． D． 8．已知二次函数 的图象如图所示，下列判断不正确的是(　　) A．ac<0 B． C．b=-4a D．a+b+c>0 二、填空题 9．写出一个当时，y随x增大而增大的二次函数表达式　 　． 10．当　 　时，二次函数有最小值． 11．某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多0.5m. （1）长方体的长和宽用x(m)表示，长方体需要涂漆的表面积S(m2)可以表示为　 　. （2）如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，每个长方体所需油漆费用用y(元)表示，那么y与x之间的关系式是　 　. 12．设二次函数（a，b，c是常数，且），如表，列出了x与y的部分对应值： x … ﹣2 0 2 4 … y … ﹣1.5 2.5 m ﹣1.5 … 则方程的解是 　 　． 13．四边形的对角线互相垂直，且，则四边形面积的最大值为　 　 . 14．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，与轴交于点．现有下列4个结论：①；②；③；④（为实数且）．其中正确的结论有　 　（填序号）． 三、解答题 15．某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元． （1）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？ 16． 某水果批发商销售每箱进价为元的苹果，在确保每箱苹果的售价不低于元的情况下，物价部门规定，每箱苹果售价不高于元，经市场调查发现，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系如图所示． （1）求平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并写出的取值范围； （2）求平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并求出当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润；最大利润是多少元？ 17．已知函数y=(x+1)2—4，请按要求填空或解 答问题： （1）函数图象的对称轴是直线　 　， 顶点坐标是　 　 （2）画出该二次函数的大致图象，并结合图象回答，当x取何值时，函数值y<0. （3）利用第(2)小题得到的图象，直接写出方程 (x+1)2—4=2的近似解(精确到0.1). 18．综合与实践 新能源汽车停车场设计与收费问题 素材1 设计要求：矩形停车场，其布局如图．已知，，阴影部分设计为停车位，面积为，车位总数为60个，其余部分均为宽度为x米的道路． 素材2 收费运营：该停车场只接受月租用户，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位． 素材3 数学小贴士：我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最大值．方法如下：∵，由，得；∴代数式的最大值是7． （1）求道路的宽是多少米？ （2）设该停车场收到的月租金为y元，当每个车位的月租金上涨m（m是5的倍数）元时，试用含m的代数式表示停车场的月租金y． （3）请求出该停车场月租金收入最高为多少元，此时每个车位月租金为多少元？ 19．在平面直角坐标系中，设二次函数 （1）若函数图象经过点(-1，·0)，求该函数图象的顶点坐标. （2） 若a<0， 点A(-2，y1)，B(m，y2)在该函数图象上， 且 求m的取值范围 （3） 若点P(x1，p)， Q(-1，q)， M(x0，y0)均在该函数图象上，且对于任意x0， 不等式y0≤p始终成立，求证： pq≤12. 20．综合与探究 关于二次函数 数学兴趣小组计划通过以下环节进行研究。 （1） 【特例研究】 当a=1时，二次函数为y1= ▲ ，并在图 1中的平面直角坐标系画出其函数图象； 当a=2时，二次函数为 其图象如图 1所示； 当 时，二次函数为 其图象如图 1所示； （2）观察特例中的图象，并结合学习函数的经验，写出二次函数 的 2条特征。 （3） 【深入探究】 对于二次函数 当a<0， - 2≤x≤2时， y的最大值与最小值的差为 6，求 a的值； （4）将 在-2≤x≤2间的图象记为 G，若图象 G与直线y=x+1有 2个交点，请求出a的取值范围。 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】C 6．【答案】D 7．【答案】C 8．【答案】B 9．【答案】（答案不唯一） 10．【答案】1 11．【答案】（1）S＝6x2＋2x （2）y＝30x2＋10x 12．【答案】， 13．【答案】8 14．【答案】②③④ 15．【答案】（1）解：设每件商品售价上涨元，则每个月少卖件，每月的利润为元， ， ， ， 每件售价不能高于35元， ， ， ， ， 时，最大利润为1960元， 售价为元时，最大利润为1960元． （2）解：利润是1920，由（1）可知，， ， 解得，， 由（1）可知，， ， 售价为元时，每个月的利润是1920元． 16．【答案】（1）解：由图像可知，与是一次函数关系， 设函数解析式为， 已知图像上两点和， 代入解析式中可得 ， 解得， 函数关系式为． 根据题目条件，售价需不低于每箱进价元，且不高于物价部门规定的元， 的取值范围是． （2）解：根据利润的计算公式：平均每天的销售利润（元）=每箱苹果的利润×平均每天的销售量（箱），即． 将（1）中得到的代入利润公式，整理得， ， 这是一个开口向下的二次函数，其对称轴为． 的取值范围是， 该区间在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，取得最大值，， 当每箱苹果售价为元时，可获得最大利润元． 17．【答案】（1）x＝－1；（－1，－4） （2）解：列表： x －3 －2 －1 0 1 y 0 －3 －4 －3 0 画图： 由图象可知，当－3＜x＜1时，函数值y＜0 （3）解：x1≈－3.4，x2≈1.4 18．【答案】（1）解：由题意得：， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：道路的宽是6米； （2）解：根据题意可得， （3）解：， ， ， ∴当时，的最大值是， 此时每个车位月租金为（元）． 19．【答案】（1）解：把点(-1， 0)代入得a+2a-3=0，解得a=1. ∴该函数图象的顶点坐标为(1，-4) （2）解：由题意，∵a<0， ∴抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越小. 由题意得，对称轴是直线， ∵点A(-2，y1)，B(m，y2)在该抛物线上，且y1<y2， ∴|-2-1|>|m-1| ∴-2<m<4 （3）证明：由题意，∵P(x1，p)，M(x0，y0)均在该抛物线上，任意x0，y0≤p始终成立， ∴当x=x1时，函数取最大值为p. ∵对称轴是直线x=1. ∴当x=x1=1时，p=-a-3为最大值 又∵当x=-1时，y=q=3a-3， ∴pq=(3a-3)(-a-3) =-3a2-9a+3a+9 =-3a2-6a+9 =-3(a+1)2+12≤12 ∴pq≤12 20．【答案】（1）解：y1=x2-2x-3， 列表如下： x ... -1 0 1 2 3 ... y ... 0 -3 -4 -3 0 ... 描点法即可得出图象如图所示。 （2）解：①二次函数y=ax2-2ax-3a(a≠0)恒过点(-1， 0)， (3，0) ②二次函数y=ax2-2ax-3a(a≠0)的对称轴为直线x=1。 （3）解：∵a<0， - 2≤x≤2时， ∴当x=-2时， y最大值=a·(-2)2-2a·(-2)-3a=5a， ∵二次函数 的对称轴为直线x=1。 ∴当x=1时， y最小值=a·12-2a·1-3a=-4a， ∴y最大值-最小值=-4a-5a=-9a=6，解得 a=-23。 （4）解：方法 1： 当a<0时， 当x=2时， y=2+1=3，即(2， 3) ， 将(2， 3)代入y=ax2-2ax-3a，解得a=-1。 当x=-2时， y=-2+1=-1，即(-2， - 1)， 将(-2， - 1)代入 解得 当图象 G与直线y=x+1只有 1个交点时，则 整理得 解得 结合图象可得 且 当a>0时，图象G与直线y=x+1只有 1个交点，为(-1， 0)，综上所述， - 1≤a≤15且a≠-14。 方法 2： 联立 整理得 ∴[ax-(3a+1)](x+1)=0， ∴x1=3a+1a=3+1a， x2=-1 ∵二次函数 恒过点(-1， 0)，且满足-2≤x≤2，结合图象可知-2≤x1≤2，即 解得： - 1≤a≤-15。 当图象 G与直线y=x+1只有 1个交点时，则 整理得 解得 综上所述， - 1≤a≤-15且a=-14。 学科网（北京）股份有限公司 $