九年级数学上学期期中分层模拟·能力进阶卷（新教材北京版）

2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 A D B C B A D A 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9． 10．9 11． 12．/ 13． 14． 15．4 16．或 三、解答题（本大题共10小题，第17、18题每小题5分，第19、20、21题每小题6分，第22、23、24题每小题8分，第25、26题每小题10分，满分共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分） 【答案】 【详解】解： ．······························5分 18．（5分） 【答案】 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，掌握两个角对应相等的两三角形相似是解题的关键，根据题意得到，，即可求解． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴．·····························5分 19．（6分） 【答案】(1)，点的坐标 (2) 【分析】（1）先由点在轴上确定点的坐标；代入二次函数解析式可得的值，联立两个函数可求得交点的坐标； （2）根据函数与不等式的关系求解即可． 【详解】（1）解：对于一次函数， 令，得， ∴点的坐标为； 将点代入得，， ∴，·····························2分 ∴； 联立， 整理得， 解得或， 当时，， ∴点的坐标为；·····························4分 （2）解：∵一次函数与二次函数交于和两点，二次函数开口向上， ∴当时，一次函数图象在二次函数图象的上方， ∴时，的取值范围是．·····························6分 20．（6分） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证明，进而求解； （2）由勾股定理求出的长，根据构造相似比为的两个相似三角形求解； （3）根据相似三角形的判定和性质作图即可． 【详解】（1）解：由图可知，， ∴， ∴；·····························2分 （2）解：如图，， ∵， ∴，且相似比为， ∴；·····························4分 （3）解：如图， ∵， ∴，且相似比为， ∴， ∵，， ∴．·····························6分 21．（6分） 【答案】任务一：小菜园的面积能达到平方米，此时米，米； 任务二：当米，米时，小菜园面积最大，最大面积为平方米． 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，解题关键是准确构建数学模型并合理求解． 任务一：设，则，根据面积关系列出一元二次方程，求解后判断是否符合题意即可； 任务二：建立小菜园面积关于边长的二次函数模型，利用二次函数性质求解面积最大值及对应的边长． 【详解】解：依题意得：米， 任务一：设，则， 若小菜园的面积能达到平方米， 即， ， ， 解得，， 则当米时，米，符合题意； 当米时，，不符合题意； 综上，小菜园的面积能达到平方米，此时米，米．·····························3分 任务二：小菜园的面积， ， 当时，取最大值，最大值为， 即当米，米时，小菜园面积最大，最大面积为平方米．·····························6分 22．（8分） 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2) 【分析】（1）先利用待定系数法求出一次函数解析式，再将代入一次函数解析式求出点的坐标，再由点的坐标求出反比例函数的解析式； （2）过点P作轴于点D，设，证明，根据相似三角形对应边成比例，列方程求解． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为， 将、代入， 得， 解得， ∴一次函数解析式为， ∵点在一次函数图象上， ∴， 解得， ∵点在反比例函数图象上， ∴反比例函数解析式为，即；·····························4分 （2）解：如图，过点P作轴于点D， ∵、， ∴，， ∵点P在反比例函数第一象限图象上， ∴设，，， 在和中，，， ∴， ∴，即， 解得或（舍）， ∴点P的坐标为．·····························8分 23．（8分） 【答案】(1) 证明：平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； (2)， 【分析】（1）根据平行四边形的性质和等边对等角的性质，推出，则，即可得证； （2）过点作于点，根据菱形的性质，得出是等边三角形，，再得出，利用勾股定理求出，即可得出的长．根据三线合一的性质和勾股定理，求出，证明，利用对应边成比例得出，即可求出的长． 【详解】（1）证明：平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形；·····························3分 （2）解：如图，过点作于点， ， ， 由（1）可知，四边形是菱形， ，，，，，， 是等边三角形， ， ， 在中，， ， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， 在中，， ， ∴， ， ， ， ．·····························8分 24．（8分） 【答案】(1)= (2)的长度约为千米 (3)甲无人机飞离处千米时，两无人机可以开始相互接收到信号 【分析】（1）根据题意可解得，，，即可求解； （2）过点作于，过点作于，在中，由三角函数可解得，，四边形是矩形，，，根据勾股定理即可求解的长度； （3）当甲无人机运动到，乙无人机运动到时，此时满足，过点作于，在中，由三角函数可解得，，设，则，，在中，由三角函数可解得，，，利用勾股定理列方程解得即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， ∵， ∴， ∴， ∴；·····························2分 （2）解：如图所示，过点作于，过点作于， ， 由题意得，， 由（1）可知，， ∴四边形是等腰梯形， 在中，（千米）， （千米）， 无人机位于的正东方向10千米的处，位于的正西方向上， ， ，， 四边形是矩形， （千米），（千米）， （千米）， （千米）， 答：的长度约为千米；·····························5分 （3）解：如图所示，当甲无人机运动到，乙无人机运动到时，此时满足（千米）．过点作于， 由题意得，， 在中，（千米）， （千米）， （千米）， 设千米，则千米，千米， 在中，千米， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 或（此时大于的长，舍去）， ， 答：甲无人机飞离处千米时，两无人机可以开始相互接收到信号．··················8分 25．（10分） 【答案】(1) (2) (3)的长为 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出相等的线段和角，利用证明，即可得出结论； （2）根据相似三角形的性质得出相等的角，证明，得出对应边成比例，令，利用勾股定理求出，即可求解； （3）根据题意，画出图形，分两种情况进行讨论，利用等腰直角三角形的性质得出相等的角以及边之间的数量关系，证明，确定直角三角形，最后利用勾股定理进行求解． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴；·····························2分 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴令， 由勾股定理得， ∴；·····························5分 （3）解：①如图所示，，，三点共线， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴；·····························7分 ②如图所示，，，三点共线， 此时，， ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 综上，的长为．·····························10分 26．（10分） 【答案】(1)a，c的值分别为 (2)或2 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）分三种情况考虑即可； （3）利用求根公式表示抛物线上点的横坐标，按点与对称轴的位置分类，结合函数增减性确定代数式的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴分别交于点，， ∴， 解得， 即a，c的值分别为；·····························2分 （2）解：抛物线的解析式为，其对称轴为直线，最大值为， 当时，；当时，； 当时，， 则当时，函数值随自变量的增大而增大， ∴， 解得（舍去）或； 当时，，函数值随自变量先增加后减小，从而在顶点处取得最大值4，不符合题意； 当时，函数值随自变量的增大而减小，此时函数当时取得最大值， ∴， 解得（舍去）或； 综上，满足题意的值为或2；·····························6分 （3）解：抛物线的对称轴为直线，最大值为4，且抛物线开口向下， 当时，则，， 作直线交抛物线于点，且在的左侧，如图，作直线交抛物线于点，且在的左侧， 令，解得或， ∴，， 令，解得或， ∴，， ∵， ∴点M在曲线段上，点N在曲线段或上， ①当点N在曲线段上时， 把，分别代入， 得， 两式相减，整理得， ∴， 当取得最小值时，取得最小值，当取得最大值时，取得最大值， 当点M在A处，点N在点处时，取得最小值，且最小值为，此时， 当点M在处，点N在点处时，取得最大值，且最大值为，此时， ∴；·····························8分 ②当点N在曲线段上，点M在A处，点N在点处时， 取得最大值，且为， 当点M在处，点N在点处时，取得最小值，且为， ∴； 综上，或．·····························10分 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北京版九年级数学上册第18~20章。 5．难度系数：0.70 第一部分（选择题 共24分） 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（3分）已知，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．（3分）二次函数的最大值是（     ） A． B． C．1 D．0 3．（3分）无人机进行空中航拍测绘作业时，其相机镜头的成像过程可简化为一组相似三角形模型．如图所示，地面上的目标线段在相机传感器上的成像为线段，．目标线段的长度为，的长度为，若此时该相机镜头距离成像传感器的距离为，则无人机镜头距地面的垂直高度为（     ） A． B． C． D． 4．（3分）如图是反比例函数（）的一部分图象，已知该图象过点，点是图象上任意一点，过点作轴，垂足为，则的面积是（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 5．（3分）如图，某旗杆高为10米，不同时间观察该旗杆在地面上的影子，第一次是当阳光与地面成时，第二次是当阳光与地面成时，第二次观察到的影子比第一次的长（   ）米． A． B． C． D． 6．（3分）“不倒翁”是一种十分有趣的玩具，下图中的“不倒翁”的纵截面底部边缘呈现抛物形状．若将这个“不倒翁”放在水平桌边附近处于静止状态，纵截面底部边缘的最高点距桌面的垂直距离为，若其垂直于桌面边缘的纵截面上一点与桌边的水平距离为，与桌面的垂直距离为，例如某点距桌面的垂直距离和距桌边的水平距离都是，最低点距桌边．关于的函数部分图象如图所示，那么这个“不倒翁”静止时超出桌面边缘的水平距离是（     ） A． B． C． D． 7．（3分）已知点，，若反比例函数与线段有公共点时，的取值范围是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 8．（3分）已知：如图，在平面直角坐标系中，有菱形，点A的坐标为，对角线相交于点D，双曲线经过点D，交的延长线于点E，且，有下列四个结论： ①双曲线的解析式为； ②点C的坐标是； ③； ④． 其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（3分）反比例函数的图象经过点，当时，的值是_________． 10．（3分）如图，已知点在的边和上，，，，，则________． 11．（3分）抛物线，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 12．（3分）中国纸扇历史悠久，其设计中多处暗合黄金分割，能使扇子展开时线条更加流畅、美观．如图，已知，点为线段的黄金分割点，则______（结果保留根号）． 13．（3分）定义一种运算：．例如：当时，．则的值为_____． 14．（3分）如图1是一台刷脸支付仪，由底柱、水平托板、支撑板和电子器材构成，图2是其上半部分的侧面示意图．电子器材长，支撑板长，水平托板离地面的高度为，，，已知摄像头在点A处，支撑点B是的中点，如图2，则摄像头（点A）离地面的高度h是______（精确到，参考数据：，） 15．（3分）如图，在反比例函数的图象上有点，，，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为，，若，则的值为_______． 16．（3分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线沿y轴向下平移t个单位，当平移后的抛物线与线段有且只有一个交点时，则t的取值范围是______． 三、解答题（本大题共10小题，第17、18题每小题5分，第19、20、21题每小题6分，第22、23、24题每小题8分，第25、26题每小题10分，满分共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）计算：． 18．（5分）如图，在中，，以为边作，过点E作．交的延长线于点D．求证：． 19．（6分）已知一次函数与二次函数交于和两点，其中点在轴上． (1)求的值和点坐标； (2)直接写出时，的取值范围是________． 20．（6分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)如图①， ． (2)如图②，在上找一点F，使． (3)如图③，在上找一点M，连结、，使． 21．（6分）某校计划围一个矩形小菜园作为实践基地，九年级数学学习小组以“怎样围面积最大”为主题，开展活动．在学校实验楼房一侧的空地上，计划用篱笆和楼房的一面外墙围一个矩形小菜园作为实践基地，其中篱笆长米．如果外墙长米，矩形小菜园一边靠墙，另三边用篱笆围成． 任务一： （1）小菜园的面积能达到平方米吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 任务二： （2）怎样围小菜园面积最大？请你给出设计方案并求出最大面积． 22．（8分）如图，一次函数图象与y轴交于点，与x轴交于点，与反比例函数图象交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式． (2)点P在反比例函数第一象限图象上，，求点P的坐标． 23．（8分）如图，平行四边形，是延长线上一点，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于，若，，求和的长． 24．（8分）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，、、、在同一平面内．是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于的正东方向10千米的处，乙无人机位于的南偏西方向20千米的处．两无人机同时飞往处巡视，位于的正西方向上，位于的北偏西方向上． (1)填空：_________（直接填“”或“”）； (2)求的长度（结果保留根号，即可以是无理数）； (3)甲、乙两无人机同时分别从，出发沿、往处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留根号，即可以是无理数）． 25．（10分）综合探究 (1)和的位置如图1所示，已知和都是等边三角形，连接，，则与之间的数量关系是___________； (2)和的位置如图2所示，和都是直角三角形，且，，连接，，求的值； (3)如图3，和都是等腰直角三角形，，，．连接，，将绕点旋转，在旋转过程中，当，，三点共线时，直接写出的长． 26．（10分）如图，二次函数的图象与轴的交点坐标分别是，． (1)求a，c的值； (2)点在该函数的图象上，当时，有最大值3，求的值； (3)点，都在该函数的图象上，若且，求的取值范围． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北京版九年级数学上册第18~20章。 5．难度系数：0.70 第一部分（选择题 共24分） 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（3分）已知，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．（3分）二次函数的最大值是（     ） A． B． C．1 D．0 3．（3分）无人机进行空中航拍测绘作业时，其相机镜头的成像过程可简化为一组相似三角形模型．如图所示，地面上的目标线段在相机传感器上的成像为线段，．目标线段的长度为，的长度为，若此时该相机镜头距离成像传感器的距离为，则无人机镜头距地面的垂直高度为（     ） A． B． C． D． 4．（3分）如图是反比例函数（）的一部分图象，已知该图象过点，点是图象上任意一点，过点作轴，垂足为，则的面积是（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 5．（3分）如图，某旗杆高为10米，不同时间观察该旗杆在地面上的影子，第一次是当阳光与地面成时，第二次是当阳光与地面成时，第二次观察到的影子比第一次的长（   ）米． A． B． C． D． 6．（3分）“不倒翁”是一种十分有趣的玩具，下图中的“不倒翁”的纵截面底部边缘呈现抛物形状．若将这个“不倒翁”放在水平桌边附近处于静止状态，纵截面底部边缘的最高点距桌面的垂直距离为，若其垂直于桌面边缘的纵截面上一点与桌边的水平距离为，与桌面的垂直距离为，例如某点距桌面的垂直距离和距桌边的水平距离都是，最低点距桌边．关于的函数部分图象如图所示，那么这个“不倒翁”静止时超出桌面边缘的水平距离是（     ） A． B． C． D． 7．（3分）已知点，，若反比例函数与线段有公共点时，的取值范围是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 8．（3分）已知：如图，在平面直角坐标系中，有菱形，点A的坐标为，对角线相交于点D，双曲线经过点D，交的延长线于点E，且，有下列四个结论： ①双曲线的解析式为； ②点C的坐标是； ③； ④． 其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（3分）反比例函数的图象经过点，当时，的值是_________． 10．（3分）如图，已知点在的边和上，，，，，则________． 11．（3分）抛物线，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 12．（3分）中国纸扇历史悠久，其设计中多处暗合黄金分割，能使扇子展开时线条更加流畅、美观．如图，已知，点为线段的黄金分割点，则______（结果保留根号）． 13．（3分）定义一种运算：．例如：当时，．则的值为_____． 14．（3分）如图1是一台刷脸支付仪，由底柱、水平托板、支撑板和电子器材构成，图2是其上半部分的侧面示意图．电子器材长，支撑板长，水平托板离地面的高度为，，，已知摄像头在点A处，支撑点B是的中点，如图2，则摄像头（点A）离地面的高度h是______（精确到，参考数据：，） 15．（3分）如图，在反比例函数的图象上有点，，，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为，，若，则的值为_______． 16．（3分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线沿y轴向下平移t个单位，当平移后的抛物线与线段有且只有一个交点时，则t的取值范围是______． 三、解答题（本大题共10小题，第17、18题每小题5分，第19、20、21题每小题6分，第22、23、24题每小题8分，第25、26题每小题10分，满分共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）计算：． 18．（5分）如图，在中，，以为边作，过点E作．交的延长线于点D．求证：． 19．（6分）已知一次函数与二次函数交于和两点，其中点在轴上． (1)求的值和点坐标； (2)直接写出时，的取值范围是________． 20．（6分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)如图①， ． (2)如图②，在上找一点F，使． (3)如图③，在上找一点M，连结、，使． 21．（6分）某校计划围一个矩形小菜园作为实践基地，九年级数学学习小组以“怎样围面积最大”为主题，开展活动．在学校实验楼房一侧的空地上，计划用篱笆和楼房的一面外墙围一个矩形小菜园作为实践基地，其中篱笆长米．如果外墙长米，矩形小菜园一边靠墙，另三边用篱笆围成． 任务一： （1）小菜园的面积能达到平方米吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 任务二： （2）怎样围小菜园面积最大？请你给出设计方案并求出最大面积． 22．（8分）如图，一次函数图象与y轴交于点，与x轴交于点，与反比例函数图象交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式． (2)点P在反比例函数第一象限图象上，，求点P的坐标． 23．（8分）如图，平行四边形，是延长线上一点，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于，若，，求和的长． 24．（8分）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，、、、在同一平面内．是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于的正东方向10千米的处，乙无人机位于的南偏西方向20千米的处．两无人机同时飞往处巡视，位于的正西方向上，位于的北偏西方向上． (1)填空：_________（直接填“”或“”）； (2)求的长度（结果保留根号，即可以是无理数）； (3)甲、乙两无人机同时分别从，出发沿、往处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留根号，即可以是无理数）． 25．（10分）综合探究 (1)和的位置如图1所示，已知和都是等边三角形，连接，，则与之间的数量关系是___________； (2)和的位置如图2所示，和都是直角三角形，且，，连接，，求的值； (3)如图3，和都是等腰直角三角形，，，．连接，，将绕点旋转，在旋转过程中，当，，三点共线时，直接写出的长． 26．（10分）如图，二次函数的图象与轴的交点坐标分别是，． (1)求a，c的值； (2)点在该函数的图象上，当时，有最大值3，求的值； (3)点，都在该函数的图象上，若且，求的取值范围． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（3分）已知，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ∴． 2．（3分）二次函数的最大值是（     ） A． B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】利用平方的非负性推导函数的最大值． 【详解】解：， ， 当时，取得最大值． 3．（3分）无人机进行空中航拍测绘作业时，其相机镜头的成像过程可简化为一组相似三角形模型．如图所示，地面上的目标线段在相机传感器上的成像为线段，．目标线段的长度为，的长度为，若此时该相机镜头距离成像传感器的距离为，则无人机镜头距地面的垂直高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，即， ∴（米）． 4．（3分）如图是反比例函数（）的一部分图象，已知该图象过点，点是图象上任意一点，过点作轴，垂足为，则的面积是（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】先根据图象过点求出的值，再利用反比例函数的几何意义求解的面积． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∵点是图象上任意一点，轴， ∴． 5．（3分）如图，某旗杆高为10米，不同时间观察该旗杆在地面上的影子，第一次是当阳光与地面成时，第二次是当阳光与地面成时，第二次观察到的影子比第一次的长（   ）米． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，由题意可得米，解直角三角形求出米，米，由即可得出结果． 【详解】解：如图， 由题意可得米， 在中，， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米，即第二次观察到的影子比第一次的长米． 6．（3分）“不倒翁”是一种十分有趣的玩具，下图中的“不倒翁”的纵截面底部边缘呈现抛物形状．若将这个“不倒翁”放在水平桌边附近处于静止状态，纵截面底部边缘的最高点距桌面的垂直距离为，若其垂直于桌面边缘的纵截面上一点与桌边的水平距离为，与桌面的垂直距离为，例如某点距桌面的垂直距离和距桌边的水平距离都是，最低点距桌边．关于的函数部分图象如图所示，那么这个“不倒翁”静止时超出桌面边缘的水平距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据待定系数法求出函数解析式为，然后把代入，求出的值，即可求解. 【详解】解：设抛物线的解析式为， ∵图象过点， ∴， 解得， ∴， 当时，， 解得，， ∵点 关于 轴的对称点在 轴左侧， ∴， ∴超出桌面边缘的水平距离为. 7．（3分）已知点，，若反比例函数与线段有公共点时，的取值范围是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】分和两种情况，联立反比例函数与直线的解析式，结合线段的取值范围确定的取值范围． 【详解】解：设直线的解析式为， 将，代入得， ，解得， ∴直线的解析式为，线段的取值范围是， 联立， 整理得， 当时，反比例函数图象在第一、三象限，仅需考虑的情况， ∵二次函数开口向上，且当时，， ∴当，时，方程在内有解， 解得； ∴； 当时，反比例函数图象在第二、四象限，仅需考虑的情况， ∵二次函数开口向上，对称轴为， ∴在时，随增大而增大，且当时，， ∴当，时，方程在内有解， 解得， ∴； 综上，的取值范围是或． 8．（3分）已知：如图，在平面直角坐标系中，有菱形，点A的坐标为，对角线相交于点D，双曲线经过点D，交的延长线于点E，且，有下列四个结论： ①双曲线的解析式为； ②点C的坐标是； ③； ④． 其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】过作轴于点，由菱形的面积可求得，在中，可求得，过作轴于点，由菱形的性质可求得点坐标，则可求得双曲线解析式；过作轴于点，则，可求得，可求得点坐标和；在中，由勾股定理可求得，结合条件可求得，则可求得，可得出答案． 【详解】如图，过作轴于点，过作轴于点，过作轴于点， ， ， ，即， ， 在中，，，由勾股定理可得， ， 四边形为菱形， 为中点， ，， ， 双曲线过点， ，解得， 双曲线解析式为， 故①正确； 又由上可知四边形为矩形， ， ，且， ， 故②正确； 在中，，， ， 故③正确； 在中，，， ， ， ， ， 故④不正确； 综上可知正确的为①②③共三个． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 9．（3分）反比例函数的图象经过点，当时，的值是_________． 【答案】 【分析】先利用已知点坐标求出反比例函数解析式，再代入求解的值． 【详解】解：把代入，得， 解得 ， ∴反比例函数解析式为 ， 把代入，得， 解得 ． 10．（3分）如图，已知点在的边和上，，，，，则________． 【答案】9 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴． 11．（3分）抛物线，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先确定抛物线开口方向和对称轴，根据二次函数增减性得到对称轴满足的条件，解不等式得到的取值范围. 【详解】解：∵ 抛物线的二次项系数为， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 在对称轴左侧，即时，随的增大而减小， ∵ 当时，随的增大而减小， ∴ ， 解得 ． 12．（3分）中国纸扇历史悠久，其设计中多处暗合黄金分割，能使扇子展开时线条更加流畅、美观．如图，已知，点为线段的黄金分割点，则______（结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】根据黄金分割点的定义，较长线段与全长的比值为，结合图形判断出为较长线段，代入的长度进行计算即可． 【详解】解：点为线段的黄金分割点，且由图可知 为较长线段 ． 13．（3分）定义一种运算：．例如：当时，．则的值为_____． 【答案】 【分析】由，再结合新定义求解即可． 【详解】解： ． 14．（3分）如图1是一台刷脸支付仪，由底柱、水平托板、支撑板和电子器材构成，图2是其上半部分的侧面示意图．电子器材长，支撑板长，水平托板离地面的高度为，，，已知摄像头在点A处，支撑点B是的中点，如图2，则摄像头（点A）离地面的高度h是______（精确到，参考数据：，） 【答案】 【分析】过点A、B分别作的垂线，垂足分别为F、G，过点B作于点H，则可求得的长，再证明四边形是矩形，得，，则可求得及，根据即可求解． 【详解】解：如图，过点A、B分别作的垂线，垂足分别为F、G，过点B作于点H， 在中，， 则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，点B是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 即摄像头（点A）离地面的高度h是． 15．（3分）如图，在反比例函数的图象上有点，，，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为，，若，则的值为_______． 【答案】 4 【分析】 将横坐标代入到反比例函数中，得出纵坐标的值；数形结合，利用的面积求出k的值，从而得出的值． 【详解】 解：由题意可知：，，， ， ， ， ． 16．（3分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线沿y轴向下平移t个单位，当平移后的抛物线与线段有且只有一个交点时，则t的取值范围是______． 【答案】或 【分析】当t向下平移3个单位时，抛物线与线段开始有两个交点，当抛物线向下平移个单位时，抛物线与线段有且只有一个交点，即可求解． 【详解】解：如图，当t向下平移3个单位时，抛物线与线段开始有两个交点， 如图，当抛物线向下平移3到4个单位（不含3和4个单位）时，抛物线与有两个交点， 当抛物线向下平移4个单位时，抛物线与线段有且只有一个交点， 综上所述，t的取值范围是或． 三、解答题（本大题共10小题，第17、18题每小题5分，第19、20、21题每小题6分，第22、23、24题每小题8分，第25、26题每小题10分，满分共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（5分）计算：． 【答案】 【详解】解： ．······························5分 18．（5分）如图，在中，，以为边作，过点E作．交的延长线于点D．求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，掌握两个角对应相等的两三角形相似是解题的关键，根据题意得到，，即可求解． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴．·····························5分 19．（6分）已知一次函数与二次函数交于和两点，其中点在轴上． (1)求的值和点坐标； (2)直接写出时，的取值范围是________． 【答案】(1)，点的坐标 (2) 【分析】（1）先由点在轴上确定点的坐标；代入二次函数解析式可得的值，联立两个函数可求得交点的坐标； （2）根据函数与不等式的关系求解即可． 【详解】（1）解：对于一次函数， 令，得， ∴点的坐标为； 将点代入得，， ∴，·····························2分 ∴； 联立， 整理得， 解得或， 当时，， ∴点的坐标为；·····························4分 （2）解：∵一次函数与二次函数交于和两点，二次函数开口向上， ∴当时，一次函数图象在二次函数图象的上方， ∴时，的取值范围是．·····························6分 20．（6分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)如图①， ． (2)如图②，在上找一点F，使． (3)如图③，在上找一点M，连结、，使． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证明，进而求解； （2）由勾股定理求出的长，根据构造相似比为的两个相似三角形求解； （3）根据相似三角形的判定和性质作图即可． 【详解】（1）解：由图可知，， ∴， ∴；·····························2分 （2）解：如图，， ∵， ∴，且相似比为， ∴；·····························4分 （3）解：如图， ∵， ∴，且相似比为， ∴， ∵，， ∴．·····························6分 21．（6分）某校计划围一个矩形小菜园作为实践基地，九年级数学学习小组以“怎样围面积最大”为主题，开展活动．在学校实验楼房一侧的空地上，计划用篱笆和楼房的一面外墙围一个矩形小菜园作为实践基地，其中篱笆长米．如果外墙长米，矩形小菜园一边靠墙，另三边用篱笆围成． 任务一： （1）小菜园的面积能达到平方米吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 任务二： （2）怎样围小菜园面积最大？请你给出设计方案并求出最大面积． 【答案】任务一：小菜园的面积能达到平方米，此时米，米； 任务二：当米，米时，小菜园面积最大，最大面积为平方米． 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，解题关键是准确构建数学模型并合理求解． 任务一：设，则，根据面积关系列出一元二次方程，求解后判断是否符合题意即可； 任务二：建立小菜园面积关于边长的二次函数模型，利用二次函数性质求解面积最大值及对应的边长． 【详解】解：依题意得：米， 任务一：设，则， 若小菜园的面积能达到平方米， 即， ， ， 解得，， 则当米时，米，符合题意； 当米时，，不符合题意； 综上，小菜园的面积能达到平方米，此时米，米．·····························3分 任务二：小菜园的面积， ， 当时，取最大值，最大值为， 即当米，米时，小菜园面积最大，最大面积为平方米．·····························6分 22．（8分）如图，一次函数图象与y轴交于点，与x轴交于点，与反比例函数图象交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式． (2)点P在反比例函数第一象限图象上，，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2) 【分析】（1）先利用待定系数法求出一次函数解析式，再将代入一次函数解析式求出点的坐标，再由点的坐标求出反比例函数的解析式； （2）过点P作轴于点D，设，证明，根据相似三角形对应边成比例，列方程求解． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为， 将、代入， 得， 解得， ∴一次函数解析式为， ∵点在一次函数图象上， ∴， 解得， ∵点在反比例函数图象上， ∴反比例函数解析式为，即；·····························4分 （2）解：如图，过点P作轴于点D， ∵、， ∴，， ∵点P在反比例函数第一象限图象上， ∴设，，， 在和中，，， ∴， ∴，即， 解得或（舍）， ∴点P的坐标为．·····························8分 23．（8分）如图，平行四边形，是延长线上一点，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于，若，，求和的长． 【答案】(1) 证明：平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； (2)， 【分析】（1）根据平行四边形的性质和等边对等角的性质，推出，则，即可得证； （2）过点作于点，根据菱形的性质，得出是等边三角形，，再得出，利用勾股定理求出，即可得出的长．根据三线合一的性质和勾股定理，求出，证明，利用对应边成比例得出，即可求出的长． 【详解】（1）证明：平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形；·····························3分 （2）解：如图，过点作于点， ， ， 由（1）可知，四边形是菱形， ，，，，，， 是等边三角形， ， ， 在中，， ， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， 在中，， ， ∴， ， ， ， ．·····························8分 24．（8分）为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，、、、在同一平面内．是瞭望台，某一时刻，观测到甲无人机位于的正东方向10千米的处，乙无人机位于的南偏西方向20千米的处．两无人机同时飞往处巡视，位于的正西方向上，位于的北偏西方向上． (1)填空：_________（直接填“”或“”）； (2)求的长度（结果保留根号，即可以是无理数）； (3)甲、乙两无人机同时分别从，出发沿、往处进行巡视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍．当两无人机相距20千米时，它们可以开始相互接收到信号．请问甲无人机飞离处多少千米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留根号，即可以是无理数）． 【答案】(1)= (2)的长度约为千米 (3)甲无人机飞离处千米时，两无人机可以开始相互接收到信号 【分析】（1）根据题意可解得，，，即可求解； （2）过点作于，过点作于，在中，由三角函数可解得，，四边形是矩形，，，根据勾股定理即可求解的长度； （3）当甲无人机运动到，乙无人机运动到时，此时满足，过点作于，在中，由三角函数可解得，，设，则，，在中，由三角函数可解得，，，利用勾股定理列方程解得即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， ∵， ∴， ∴， ∴；·····························2分 （2）解：如图所示，过点作于，过点作于， ， 由题意得，， 由（1）可知，， ∴四边形是等腰梯形， 在中，（千米）， （千米）， 无人机位于的正东方向10千米的处，位于的正西方向上， ， ，， 四边形是矩形， （千米），（千米）， （千米）， （千米）， 答：的长度约为千米；·····························5分 （3）解：如图所示，当甲无人机运动到，乙无人机运动到时，此时满足（千米）．过点作于， 由题意得，， 在中，（千米）， （千米）， （千米）， 设千米，则千米，千米， 在中，千米， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 或（此时大于的长，舍去）， ， 答：甲无人机飞离处千米时，两无人机可以开始相互接收到信号．··················8分 25．（10分）综合探究 (1)和的位置如图1所示，已知和都是等边三角形，连接，，则与之间的数量关系是___________； (2)和的位置如图2所示，和都是直角三角形，且，，连接，，求的值； (3)如图3，和都是等腰直角三角形，，，．连接，，将绕点旋转，在旋转过程中，当，，三点共线时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)的长为 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出相等的线段和角，利用证明，即可得出结论； （2）根据相似三角形的性质得出相等的角，证明，得出对应边成比例，令，利用勾股定理求出，即可求解； （3）根据题意，画出图形，分两种情况进行讨论，利用等腰直角三角形的性质得出相等的角以及边之间的数量关系，证明，确定直角三角形，最后利用勾股定理进行求解． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴；·····························2分 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴令， 由勾股定理得， ∴；·····························5分 （3）解：①如图所示，，，三点共线， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴；·····························7分 ②如图所示，，，三点共线， 此时，， ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 综上，的长为．·····························10分 26．（10分）如图，二次函数的图象与轴的交点坐标分别是，． (1)求a，c的值； (2)点在该函数的图象上，当时，有最大值3，求的值； (3)点，都在该函数的图象上，若且，求的取值范围． 【答案】(1)a，c的值分别为 (2)或2 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）分三种情况考虑即可； （3）利用求根公式表示抛物线上点的横坐标，按点与对称轴的位置分类，结合函数增减性确定代数式的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴分别交于点，， ∴， 解得， 即a，c的值分别为；·····························2分 （2）解：抛物线的解析式为，其对称轴为直线，最大值为， 当时，；当时，； 当时，， 则当时，函数值随自变量的增大而增大， ∴， 解得（舍去）或； 当时，，函数值随自变量先增加后减小，从而在顶点处取得最大值4，不符合题意； 当时，函数值随自变量的增大而减小，此时函数当时取得最大值， ∴， 解得（舍去）或； 综上，满足题意的值为或2；·····························6分 （3）解：抛物线的对称轴为直线，最大值为4，且抛物线开口向下， 当时，则，， 作直线交抛物线于点，且在的左侧，如图，作直线交抛物线于点，且在的左侧， 令，解得或， ∴，， 令，解得或， ∴，， ∵， ∴点M在曲线段上，点N在曲线段或上， ①当点N在曲线段上时， 把，分别代入， 得， 两式相减，整理得， ∴， 当取得最小值时，取得最小值，当取得最大值时，取得最大值， 当点M在A处，点N在点处时，取得最小值，且最小值为，此时， 当点M在处，点N在点处时，取得最大值，且最大值为，此时， ∴；·····························8分 ②当点N在曲线段上，点M在A处，点N在点处时， 取得最大值，且为， 当点M在处，点N在点处时，取得最小值，且为， ∴； 综上，或．·····························10分 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $