28.2 中心对称（知识清单，知识点&6易错&5题型）数学新教材人教版九年级上册

第二十八章 旋转 28.2 中心对称 🔷知识点一　中心对称及其性质 1. 中心对称的概念： 把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能与另一个图形重合，那么这两个图形叫作关于这个点对称或中心对称。这个点叫作对称中心，两个图形在旋转后能重合的点叫作对称点。 中心对称是旋转角为的特殊旋转，也具有旋转的性质。如图1，与关于点中心对称，点与点、点与点、点与点分别是对称点。 2. 中心对称的性质： （1）成中心对称的两个图形全等，对应线段相等，对应角相等； （2）对称点所连线段经过对称中心，并且被对称中心平分； （3）对应线段平行或在同一直线上。 图1 如图1所示，，且、、。各点绕转过后，位于原射线的反向延长线上，且到的距离不变，因此不难得知，点是各组对称点连线的中点。 ⚠️特别提醒 ①判断是否为一组对称点，要同时检查三点共线、中心平分，不能只检查到中心的距离相等，也不能只看连线经过中心。不同组对称点到中心的距离不一定相等； ②中心对称一定得到全等图形，但全等的两个图形不一定成中心对称。全等只限定形状和大小，中心对称还会限制位置关系； ③旋转时，顺时针和逆时针的结果相同，不必分方向。对称中心的位置并不会发生改变，若它恰好在原图形上，其对称点仍是它本身； ④对应线段所在直线经过对称中心时，旋转后仍在同一直线上，不能都写成平行关系。 💡 拓展延伸 确定对称中心的办法：已知两个图形成中心对称，找到一组不重合的对称点，其中点就是对称中心。也可以连接两组对称点，取连线交点；若两条连线重合，就改用中点。 📌 归纳总结 （1）中心对称的概念：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能与另一个图形重合，那么这两个图形叫作关于这个点对称或中心对称； （2）中心对称的性质： （1）成中心对称的两个图形全等，对应线段相等，对应角相等； （2）对称点所连线段经过对称中心，并且被对称中心平分； （3）对应线段平行或在同一直线上。 🔷知识点二　中心对称作图 中心对称作图的步骤： ①确定中心，找关键点：多边形找各顶点；圆找圆心，并保留原来的半径； ②作对称点：若点与旋转中心点不重合，连接，延长越过点，截取 ，得到； ③依次连接，标注结论：按原图形的连接顺序连接各对称点，标出对应字母，保留必要的作图痕迹。 注意：越过的是对称中心，不是原来的点；关键点若就是中心，则保留原位置。 💡 拓展延伸 倍长中线构造全等，本质上也是中心对称。如图2，是的中线，延长到点，使。点是与的共同中点，因此 。 图2　 当题目中出现中点、中线，又需要联系中点两侧的线段或角时，可考虑倍长中线，将问题转化为全等三角形。 📌 归纳总结 中心对称作图的关键：找关键点→连中心→越过中心延长→截取等长线段→依次连线。注意对称中心应是每一组不同对称点连线的中点。 🔷知识点三　中心对称图形 1.中心对称图形的概念： 把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 中心对称图形中，每个点都能在原图形上找到关于中心的对称点；除中心自身外，各组对称点的连线都被中心平分。 2.常见的中心对称图形及其对称中心： （1）线段：线段的中点； （2）平行四边形、矩形、菱形、正方形：两条对角线的交点； （3）圆：圆心。圆上的点转过后，到圆心的距离不变，仍在原来的圆上。 ⚠️特别提醒 ①中心对称与中心对称图形的区别：前者反映的是两个图形之间的位置关系，要求转过后与另一个图形重合；后者表达的是一个图形自身的性质，要求转过后与自身重合。 ②轴对称是沿一条直线翻折，中心对称是绕一个点旋转。轴对称中，对称轴垂直平分不重合的对称点连线；中心对称中，对称中心平分对称点连线。 两种图形特征不能互相推出。等边三角形是轴对称图形，却不是中心对称图形；一般的平行四边形是中心对称图形，却不是轴对称图形。矩形、菱形、正方形和圆则同时具有这两种特征。 ③判断时必须检查旋转后整个图形重合。不能只看外框，也不能把旋转等其他角度后能重合，作为判断中心对称的依据。 💡 拓展延伸 过旋转中心平分面积：对于平行四边形、矩形、圆等中心对称图形而言，经过对称中心的任意直线将图形分成面积相等的两部分。 📌 归纳总结 中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形。 对于一个中心对称而言，过其旋转中心的直线平分面积。 🔷知识点四　关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的点坐标规律：点关于原点的对称点为 ，即横、纵坐标分别取相反数。反之，若两点的横、纵坐标分别互为相反数，则这两点关于原点对称。 三种对称的坐标规律比较： 对称方式 对称点坐标 坐标变化 关于轴 横不变、纵取相反数 关于轴 横取相反数、纵不变 关于原点 横、纵分别取相反数 ⚠️特别提醒 ①取相反数不交换横、纵坐标的位置，也不是把两个坐标都写成负数。例如变为，变为； ②的相反数仍是。变为，变为，坐标轴上的点仍在同一条坐标轴上；原点的对称点就是它本身； 📌 归纳总结 对于点，关于原点对称后，点坐标变为。 易错点 1 混淆中心对称与中心对称图形 · 错例：与关于点中心对称，就认为这两个三角形各自都是中心对称图形； · 错因：把两个图形之间的位置关系，当作一个图形自身的性质； · 规避方法：先确定判断对象。转过后与另一个图形重合，是两图成中心对称；与自身重合，才是中心对称图形。 易错点 2 只凭全等判断中心对称 · 错例：将向右平移4个单位得到，因两个三角形全等，就认为它们成中心对称； · 错因：只看形状和大小，没有检查对应点的位置关系； · 规避方法：找出对应点，检查各组对应点连线是否被同一个点平分。本例各组对应点连线的中点不同，不能把“全等”当作中心对称的充分条件。 易错点 3 把对称点连线的交点直接当作中心 · 错例：与相交于，但、，仍把当作对称中心； · 错因：只检查连线经过中心，漏掉了中心必须平分连线的条件； · 规避方法：同时检查共线和等距。本例中，即点不是的中点，所以点不能作为这组点的对称中心。 易错点 4 用轴对称或其他旋转角判断中心对称 · 错例：等边三角形有三条对称轴，且转过后能与自身重合，因此认为它是中心对称图形； · 错因：把轴对称、其他角度的旋转重合与旋转重合混为一谈； · 规避方法：注意检查旋转后能否与自身重合。例如等边三角形绕三条中线交点转，顶点不能与原顶点重合，所以不是中心对称图形。 易错点 5 关于原点对称时坐标变化错误 · 错例：点关于原点的对称点被写成、或； · 错因：混用坐标轴对称规律，或错误地交换横、纵坐标； · 规避方法：保持坐标顺序，将两个坐标分别取相反数，得到；再检查第二象限的点是否变到了第四象限。 易错点 6 忽略坐标规律的适用条件 · 错例：以为中心，作点的对称点，直接写成； · 错因：对称中心不是原点，却仍套用“横、纵坐标分别取相反数”的规律； · 规避方法：先标出对称中心，必要的情况下可以画坐标系辅助判断。本例在右方2个单位、上方2个单位，对称点应在左方2个单位、下方2个单位，所以。 · 题型一：成中心对称 📝方法技巧 ①判断两个图形是否成中心对称，要看其中一个图形绕某点旋转后，能否与另一个图形完全重合。只看两个图形的形状、大小相同，还不能确定它们成中心对称； ②找对称中心的办法：连接对应点，检查各组对应点所连线段的中点是否为同一个点。若题目已经给出对称中心，就检查它是否平分各组对应点所连的线段，不能只验证一组； ③在钟面上找对称点时，可以直接找相隔6个大格的位置；若在网格中找对称点，可以从对称中心出发，向相反方向数相同的格数。 注意：判断边、角关系时，先明确对应点都是谁。对应角的顶点和两边要同时对应，不能只看角的字母相似，就认为它们相等。 1．（26-27九年级上·广西·期中）如图，若与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中心对称，根据中心对称的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴，，，； 故只有选项D不成立． 2．（26-27九年级上·云南·期中）如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（ ） A．点与点是对称点 B． C． D． 【答案】C 【分析】由中心对称的性质直接求解即可． 【详解】解：与关于点成中心对称， 点与点是对称点，，，， 选项中四个结论中错误． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各组图形中，两个三角形成中心对称的是（   ） A． B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的定义． 把一个图形绕着某个点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，由此即可判断． 【详解】解：A、两个三角形成中心对称，符合题意； B、两个三角形不成中心对称，不符合题意； C、两个三角形不成中心对称，不符合题意； D、两个三角形不成中心对称，不符合题意； 故选：A． 4．（24-25七年级下·全国·暑假作业）如图，绕点O旋转得到，下列说法错误的是（    ） A．与关于点B成中心对称 B．点B和点E关于点O对称 C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称的性质进而可得答案． 【详解】解：绕点O旋转得到， A、与关于点O成中心对称，符合题意 B、点B和点E关于点O对称，说法正确，不符合题意； C、∵绕点O旋转得到， ∴，， ∴， ∴说法正确； 不符合题意； D、∵绕点O旋转得到， ∴， ∴， ∴说法正确； 不符合题意； 故选A． 5．（24-25七年级下·江苏常州·期末）如图，记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为（    ） A．点B B．点C C．点D D．点E 【答案】C 【分析】此题考查了中心对称图形．点A绕点O旋转即可与点D重合，根据中心对称图形的定义进行解答即可． 【详解】解：记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为D， 故选：C 6．（2025·山东威海·一模）如图，在正方形网格中，两个阴影部分的三角形关于点O成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称，根据中心对称的定义逐项分析即可得解，熟练掌握中心对称的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、绕点旋转后，能够与原图形重合，故成中心对称，符合题意； B、绕点旋转后，不能够与原图形重合，故不成中心对称，不符合题意； C、绕点旋转后，不能够与原图形重合，故不成中心对称，不符合题意； D、绕点旋转后，不能够与原图形重合，故不成中心对称，不符合题意； 故选：A． 题型二：中心对称的性质 📝方法技巧 ①养成标记的好习惯：把对应关系标在图上，对应边相等、对应角相等，对应线段平行或在同一直线上。再连接对应点，利用对称中心是中点，进而得到共线关系和线段的和、差关系； ②求线段长时，先利用对称关系，把已知的长度和角转移到同一个图形中。若有直角，可以考虑勾股定理求线段长；若出现“过线段中点的垂线”，可以利用垂直平分线的性质，把所求线段转化为另一条已知线段； ③面积问题：过中心对称图形对称中心的任意直线都能平分它的面积；而平行四边形的两条对角线则将它分成四个面积相等的三角形，这两条结论要注意区分。 1．（25-26八年级下·河北张家口·期末）如图，四边形是平行四边形，若直线能将面积等分，这样的直线的条数有（     ） A．1条 B．2条 C．4条 D．无数条 【答案】D 【详解】解：根据中心对称的性质，过平行四边形中心的直线都可以把平行四边形分成面积相等的两个部分， 所以，这样的直线有无数条． 2．（2026·陕西西安·二模）如图，为的对称中心，若的面积等于，则的面积为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，由为的对称中心，则点三点共线，三点共线，，，所以，从而即可求出的面积． 【详解】解：如图，连接，， ∵为的对称中心， ∴点三点共线，三点共线，，， ∴， ∴的面积为． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，，，得到．如图，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查中心对称的定义和性质，掌握中心对称的定义“把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心”，是求解本题的关键．利用中心对称的定义和性质求解即可． 【详解】解：A、∵与关于点O成中心对称， ∴点A与是一组对称点，故该选项正确，不符合题意； B、由中心对称的性质可知：对应点到对称中心的距离相等， ，故该选项正确，不符合题意； C、，是对顶角， ∴，故该选项正确，不符合题意； D、∵与不是对应角， ∴不成立，故该选项错误，符合题意； 故选：D． 4．（2026·湖北随州·一模）如图，正六边形的对角线交于原点O，若，则点E的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中心对称图形的性质可得B、E两点关于原点成中心对称，即可求解． 【详解】解：正六边形为中心对称图形，为对角线，正六边形的对角线交于原点O， B、E两点关于原点成中心对称， ∵， ． 5．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，和关于点成中心对称，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，勾股定理的运用，掌握中心对称图形的特点，勾股定理是关键，根据中心对称图形的特点得到，，，则，由勾股定理即可求解． 【详解】解：和关于点成中心对称， ，，． ． ， ． 故选：C ． 6．（25-26九年级上·青海果洛·期末）如图，与关于点O对称，连接，，．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查关于某点对称的图形之间的关系，解题关键是熟练掌握关于某点对称的图形性质．利用中心对称的对应点到对称中心的距离相等，证得在的垂直平分线上，求出． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴（中心对称的对应点到对称中心的距离相等） 又 ∵， ∴ D在的垂直平分线上， ， 故选：C． 7．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，与是成中心对称的两个图形，则下列说法不正确的是（ ） A．， B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称的基本性质“1、中心对称的两个图形是全等图形；2、中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；3、中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，熟练掌握中心对称的基本性质是解题关键．根据中心对称的基本性质、平行线的性质逐项判断即可得． 【详解】解：∵与是成中心对称的两个图形， ∴，，，，， 无法得到， 故选：D． 题型三：中心对称图形 📝方法技巧 ①判断是否为中心对称图形，可以先找可能的对称中心，再将图形在旋转180°，检查能否与自身完全重合。既要看外部轮廓，也要看内部线条、阴影等细节，不能只看局部； ②遇到“既是轴对称图形，又是中心对称图形”的问题时，要分别判断：（ⅰ）是否存在对称轴，沿它对折能否重合；（ⅱ）是否存在对称中心，绕它旋转180°能否重合。若只满足其中一个条件就说明还不够； ③常见图形可以直接利用的已有结论： （ⅰ）正多边形都有对称轴，边数为偶数时才是中心对称图形； （ⅱ）平行四边形都有对称中心，但一般平行四边形没有对称轴，矩形、菱形、正方形则两种对称性都有。 注意：旋转某个角度能与自身重合，不一定是中心对称图形，必须检查旋转180°是否能重合。 1．（26-27九年级上·全国·期中）下列图形是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对四个选项的图形分别进行判断，假设存在对称中心，将图形绕该点旋转，验证旋转后的图形是否与原图形重合．逐一比对后选出符合中心对称图形定义的选项． 【详解】A．该选项图形不是中心对称图形，不符合题意； B．该选项图形是中心对称图形，符合题意； C．该选项图形不是中心对称图形，不符合题意； D．该选项图形不是中心对称图形，不符合题意． 2．（2026九年级上·全国·专题练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项、它是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B选项、它既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C选项、它不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D选项、它是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 3．（25-26八年级下·陕西西安·期中）传统纹样作为中华传统文化的一部分，具有深厚的底蕴．下面纹样中是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A中图形是中心对称图形，故本选项符合题意； B中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 4．（25-26八年级下·广西来宾·期末）我们学习了多种多边形，那么下列多边形中，属于中心对称图形但不属于轴对称图形的是（     ） A．平行四边形 B．菱形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】A 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】解：A．该图形属于中心对称图形，但不属于轴对称图形．故本选项符合题意； B．该图形属于中心对称图形且属于轴对称图形．故本选项不合题意； C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意； D．该图形属于中心对称图形且属于轴对称图形．故本选项不合题意． 5．（26-27九年级上·重庆·期中）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意． 6．（26-27九年级上·重庆·期中）下列图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确轴对称图形和中心对称图形的定义，再逐一判断各选项是否满足“沿直线折叠重合”和“旋转后与自身重合”的条件，进而选出正确答案． 【详解】A．既无对称轴，旋转也不与自身重合，所以既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； B．有对称轴，沿对称轴折叠可重合；旋转后与自身重合，所以既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C．有对称轴，是轴对称图形，但旋转后不与自身重合，不是中心对称图形，不符合题意； D．既无对称轴，旋转也不与自身重合，所以既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意． 7．（26-27九年级上·重庆·期中）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；依据中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，能够找到一点，图形绕此点旋转后能够与原图形重合，故满足题意； 对于B、C、D三个选项，不是中心对称图形，不能够找到一点，图形绕此点旋转后能够与原图形重合，故不满足题意； 【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的概念并结合图进行判断是关键． 题型四：关于原点对称的点的坐标 📝方法技巧 ①关于原点对称，横、纵坐标同时变号，即的对称点为。坐标中含有代数式时，要对整个式子取相反数，注意括号前是否有负号； ②若坐标中含参数：根据两点的横坐标之和为0、纵坐标之和为0的关系列方程，再求参数或代数式的值； ③若根据对称点所在象限求参数范围，可以先写出对称点的坐标，再根据该象限横、纵坐标的正负关系列不等式组，最后取公共部分的范围即可。注意坐标轴上的点不属于任何象限，不能随意把端点取进去。 1．（2026九年级上·全国·专题练习）已知，则点关于原点对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用非负数的性质求出和的值，再根据关于原点对称的点的坐标特征求解． 【详解】解：∵， ，， ∴，且， ∴ ∴，， ∴点的坐标为． ∴点关于原点对称的点的坐标为． 2．（25-26八年级下·广西来宾·期末）若点关于原点的对称点是，则的值是（     ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数求得m、n，再代入加法运算即可解答． 【详解】解：点关于原点的对称点是， ∴,， ∴． 3．（2026·四川德阳·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数的特征求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为， 即坐标为． 4．（26-27九年级上·全国·单元复习）若点与点关于原点对称，则的值为（     ） A． B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】先根据关于原点对称的点的坐标特点，得到，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， 解得， ∴． 5．（26-27九年级上·湖北·期中）如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质和关于原点对称的点的坐标特点，即可求解． 【详解】解：∵平行四边形的对角线交点在原点， ∴， 即A、C两点关于原点对称， ∵， ∴． 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）若点关于原点的对称点位于第四象限，则常数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求点关于原点的对称点坐标，再根据第四象限内点的坐标符号列不等式组求解． 【详解】解：点关于原点的对称点为， ∵ 该对称点位于第四象限， ∴ ，， 解，得， 解，得， ∴ ． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为，，，，直线交y轴于点P，若与关于点P成中心对称，则点关于原点对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，利用等腰直角三角形的性质求出点A的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，令，求出点P的坐标，利用中心对称的性质求出点的坐标，从而再求出点关于原点对称的点的坐标． 【详解】解：∵点，的坐标分别为，，，， 是等腰直角三角形，， 如图，过点A作交于点D， ∴， ∴， 设直线解析式为， 则，解得， ∴直线解析式为． 令，则， ， 又点A与点关于点P成中心对称， 点为的中点， ， ∴点关于原点对称的点的坐标为． 8．（2026·浙江·中考真题）已知三个顶点的坐标分别为，，．将平移，使点的对应点恰好与点关于原点成中心对称，则平移后点的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据中心对称性质求出坐标，再确定平移方式，然后利用平移方式求解即可． 【详解】解：∵点的对应点恰好与点关于原点成中心对称， ∴点 的坐标为， ∵ 点 平移后的对应点为 ， ∴ 平移方式为向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度， ∵ 点 B的坐标为 ， ∴点 的坐标为 ，即 ． 题型五：图形的变换 📝方法技巧 ①连续变换问题：要按题目给出的顺序进行。每完成一步，先标出中间图形，再对这个图形进行下一步变换，不要着急跳步。可以先选一个特征点排除明显不符的选项，当然最终还要核对其余顶点。 ②若在坐标系中判断变换方式，可以直接写出各步的坐标：关于轴对称，纵坐标变号；关于轴对称，横坐标变号；关于原点旋转，横、纵坐标同时变号；平移则按方向对相应坐标加、减即可； ③补图案问题：按题意保留已有部分，再依次补出变换后的部分，检查是否补齐、有无重叠。连续两次绕同一点作中心对称会回到原位，不要靠这种做法不断补出新的部分； ④直线的中心对称问题：可以在原直线上取两个不同的点，求出它们的对称点，再确定新直线；也可以设新直线上一点的坐标为，利用对称中心写出它在原直线上的对应点坐标，代入原解析式求新解析式即可。 1．（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，对分别作下列变换：①先以x轴为对称轴作轴对称图形，然后再向左平移4个单位；②以点O为中心顺时针旋转，然后再向左平移2个单位；③先以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位；其中能使变成的是（　　） A．① B．② C．②或③ D．①或③ 【答案】A 【分析】本题考查了图形的变换：平移、旋转与轴对称；逐项作出变换后的图形即可作出判断． 【详解】解：①如图1，作关于x轴的轴对称图形，然后再向左平移4个单位即得到； ②如图2，以点O为中心顺时针旋转得到，向左平移2个单位不能得到； ③如图3，以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位不能得到； 故只有变换①能使变成； 故选：A． 2．（2022·河北石家庄·一模）在平面内，由图1经过两次图形变换后得到图2，下列说法错误的是（    ） A．只需经过两次轴对称变换 B．只需经过两次中心对称变换 C．先经过轴对称变换，再进行中心对称变换 D．先经过中心对称变换，再进行轴对称变换 【答案】B 【分析】利用轴对称与中心对称的定义进行分析判断即可． 【详解】解：由轴对称与中心对称的概念可知，两次轴对称，先轴对称后中心对称，先中心对称后轴对称均可由图1变换为图2；两次中心对称不能使图1变换为图2． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称与中心对称的概念，轴对称即沿着某条直线翻折，中心对称即绕某个点旋转，明确两者的概念是解题的关键． 3．（2020·陕西·一模）直线l1：y＝﹣x＋1与直线l2关于点（1，0）成中心对称，下列说法不正确的是（　　） A．将l1向下平移1个单位得到l2 B．将l1向左平移1个单位得到l2 C．将l1向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到l2 D．将l1向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到l2 【答案】B 【分析】设直线l2的点（x，y），则（2﹣x，﹣y）在直线l1：y＝﹣x＋1上，代入可得直线l2解析式，根据直线l1与直线l2的解析式即可判断． 【详解】解：设直线l2的点（x，y），则（2﹣x，﹣y）在直线l1：y＝﹣x＋1上， ∴﹣y＝﹣（2﹣x）＋1， ∴直线l2的解析式为：y＝﹣x， A、将l1向下平移1个单位得到y＝﹣x，故此选项正确； B、将l1向左平移1个单位得到y＝﹣x＋，故此选项错误； C、将l1向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到y＝﹣x，故此选项正确； D、将l1向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到y＝﹣x，故此选项正确； 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，求得直线l2的解析式是关键． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十八章 旋转 28.2 中心对称 🔷知识点一　中心对称及其性质 1. 中心对称的概念： 把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能与另一个图形重合，那么这两个图形叫作关于这个点对称或中心对称。这个点叫作对称中心，两个图形在旋转后能重合的点叫作对称点。 中心对称是旋转角为的特殊旋转，也具有旋转的性质。如图1，与关于点中心对称，点与点、点与点、点与点分别是对称点。 2. 中心对称的性质： （1）成中心对称的两个图形全等，对应线段相等，对应角相等； （2）对称点所连线段经过对称中心，并且被对称中心平分； （3）对应线段平行或在同一直线上。 图1 如图1所示，，且、、。各点绕转过后，位于原射线的反向延长线上，且到的距离不变，因此不难得知，点是各组对称点连线的中点。 ⚠️特别提醒 ①判断是否为一组对称点，要同时检查三点共线、中心平分，不能只检查到中心的距离相等，也不能只看连线经过中心。不同组对称点到中心的距离不一定相等； ②中心对称一定得到全等图形，但全等的两个图形不一定成中心对称。全等只限定形状和大小，中心对称还会限制位置关系； ③旋转时，顺时针和逆时针的结果相同，不必分方向。对称中心的位置并不会发生改变，若它恰好在原图形上，其对称点仍是它本身； ④对应线段所在直线经过对称中心时，旋转后仍在同一直线上，不能都写成平行关系。 💡 拓展延伸 确定对称中心的办法：已知两个图形成中心对称，找到一组不重合的对称点，其中点就是对称中心。也可以连接两组对称点，取连线交点；若两条连线重合，就改用中点。 📌 归纳总结 （1）中心对称的概念：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能与另一个图形重合，那么这两个图形叫作关于这个点对称或中心对称； （2）中心对称的性质： （1）成中心对称的两个图形全等，对应线段相等，对应角相等； （2）对称点所连线段经过对称中心，并且被对称中心平分； （3）对应线段平行或在同一直线上。 🔷知识点二　中心对称作图 中心对称作图的步骤： ①确定中心，找关键点：多边形找各顶点；圆找圆心，并保留原来的半径； ②作对称点：若点与旋转中心点不重合，连接，延长越过点，截取 ，得到； ③依次连接，标注结论：按原图形的连接顺序连接各对称点，标出对应字母，保留必要的作图痕迹。 注意：越过的是对称中心，不是原来的点；关键点若就是中心，则保留原位置。 💡 拓展延伸 倍长中线构造全等，本质上也是中心对称。如图2，是的中线，延长到点，使。点是与的共同中点，因此 。 图2　 当题目中出现中点、中线，又需要联系中点两侧的线段或角时，可考虑倍长中线，将问题转化为全等三角形。 📌 归纳总结 中心对称作图的关键：找关键点→连中心→越过中心延长→截取等长线段→依次连线。注意对称中心应是每一组不同对称点连线的中点。 🔷知识点三　中心对称图形 1.中心对称图形的概念： 把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 中心对称图形中，每个点都能在原图形上找到关于中心的对称点；除中心自身外，各组对称点的连线都被中心平分。 2.常见的中心对称图形及其对称中心： （1）线段：线段的中点； （2）平行四边形、矩形、菱形、正方形：两条对角线的交点； （3）圆：圆心。圆上的点转过后，到圆心的距离不变，仍在原来的圆上。 ⚠️特别提醒 ①中心对称与中心对称图形的区别：前者反映的是两个图形之间的位置关系，要求转过后与另一个图形重合；后者表达的是一个图形自身的性质，要求转过后与自身重合。 ②轴对称是沿一条直线翻折，中心对称是绕一个点旋转。轴对称中，对称轴垂直平分不重合的对称点连线；中心对称中，对称中心平分对称点连线。 两种图形特征不能互相推出。等边三角形是轴对称图形，却不是中心对称图形；一般的平行四边形是中心对称图形，却不是轴对称图形。矩形、菱形、正方形和圆则同时具有这两种特征。 ③判断时必须检查旋转后整个图形重合。不能只看外框，也不能把旋转等其他角度后能重合，作为判断中心对称的依据。 💡 拓展延伸 过旋转中心平分面积：对于平行四边形、矩形、圆等中心对称图形而言，经过对称中心的任意直线将图形分成面积相等的两部分。 📌 归纳总结 中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形。 对于一个中心对称而言，过其旋转中心的直线平分面积。 🔷知识点四　关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的点坐标规律：点关于原点的对称点为 ，即横、纵坐标分别取相反数。反之，若两点的横、纵坐标分别互为相反数，则这两点关于原点对称。 三种对称的坐标规律比较： 对称方式 对称点坐标 坐标变化 关于轴 横不变、纵取相反数 关于轴 横取相反数、纵不变 关于原点 横、纵分别取相反数 ⚠️特别提醒 ①取相反数，也不是把两个坐标都写成负数。例如变为，变为； ②的相反数仍是。变为，变为，坐标轴上的点仍在同一条坐标轴上；原点的对称点就是它本身； 📌 归纳总结 对于点，关于原点对称后，点坐标变为。 易错点 1 混淆中心对称与中心对称图形 · 错例：与关于点中心对称，就认为这两个三角形各自都是中心对称图形； · 错因：把两个图形之间的位置关系，当作一个图形自身的性质； · 规避方法：先确定判断对象。转过后与另一个图形重合，是两图成中心对称；与自身重合，才是中心对称图形。 易错点 2 只凭全等判断中心对称 · 错例：将向右平移4个单位得到，因两个三角形全等，就认为它们成中心对称； · 错因：只看形状和大小，没有检查对应点的位置关系； · 规避方法：找出对应点，检查各组对应点连线是否被同一个点平分。本例各组对应点连线的中点不同，不能把“全等”当作中心对称的充分条件。 易错点 3 把对称点连线的交点直接当作中心 · 错例：与相交于，但、，仍把当作对称中心； · 错因：只检查连线经过中心，漏掉了中心必须平分连线的条件； · 规避方法：同时检查共线和等距。本例中，即点不是的中点，所以点不能作为这组点的对称中心。 易错点 4 用轴对称或其他旋转角判断中心对称 · 错例：等边三角形有三条对称轴，且转过后能与自身重合，因此认为它是中心对称图形； · 错因：把轴对称、其他角度的旋转重合与旋转重合混为一谈； · 规避方法：注意检查旋转后能否与自身重合。例如等边三角形绕三条中线交点转，顶点不能与原顶点重合，所以不是中心对称图形。 易错点 5 关于原点对称时坐标变化错误 · 错例：点关于原点的对称点被写成、或； · 错因：混用坐标轴对称规律，或错误地交换横、纵坐标； · 规避方法：保持坐标顺序，将两个坐标分别取相反数，得到；再检查第二象限的点是否变到了第四象限。 易错点 6 忽略坐标规律的适用条件 · 错例：以为中心，作点的对称点，直接写成； · 错因：对称中心不是原点，却仍套用“横、纵坐标分别取相反数”的规律； · 规避方法：先标出对称中心，必要的情况下可以画坐标系辅助判断。本例在右方2个单位、上方2个单位，对称点应在左方2个单位、下方2个单位，所以。 · 题型一：成中心对称 📝方法技巧 ①判断两个图形是否成中心对称，要看其中一个图形绕某点旋转后，能否与另一个图形完全重合。只看两个图形的形状、大小相同，还不能确定它们成中心对称； ②找对称中心的办法：连接对应点，检查各组对应点所连线段的中点是否为同一个点。若题目已经给出对称中心，就检查它是否平分各组对应点所连的线段，不能只验证一组； ③在钟面上找对称点时，可以直接找相隔6个大格的位置；若在网格中找对称点，可以从对称中心出发，向相反方向数相同的格数。 注意：判断边、角关系时，先明确对应点都是谁。对应角的顶点和两边要同时对应，不能只看角的字母相似，就认为它们相等。 1．（26-27九年级上·广西·期中）如图，若与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·云南·期中）如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（ ） A．点与点是对称点 B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各组图形中，两个三角形成中心对称的是（   ） A． B．C． D． 4．（24-25七年级下·全国·暑假作业）如图，绕点O旋转得到，下列说法错误的是（    ） A．与关于点B成中心对称 B．点B和点E关于点O对称 C． D． 5．（24-25七年级下·江苏常州·期末）如图，记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为（    ） A．点B B．点C C．点D D．点E 6．（2025·山东威海·一模）如图，在正方形网格中，两个阴影部分的三角形关于点O成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 题型二：中心对称的性质 📝方法技巧 ①养成标记的好习惯：把对应关系标在图上，对应边相等、对应角相等，对应线段平行或在同一直线上。再连接对应点，利用对称中心是中点，进而得到共线关系和线段的和、差关系； ②求线段长时，先利用对称关系，把已知的长度和角转移到同一个图形中。若有直角，可以考虑勾股定理求线段长；若出现“过线段中点的垂线”，可以利用垂直平分线的性质，把所求线段转化为另一条已知线段； ③面积问题：过中心对称图形对称中心的任意直线都能平分它的面积；而平行四边形的两条对角线则将它分成四个面积相等的三角形，这两条结论要注意区分。 1．（25-26八年级下·河北张家口·期末）如图，四边形是平行四边形，若直线能将面积等分，这样的直线的条数有（     ） A．1条 B．2条 C．4条 D．无数条 2．（2026·陕西西安·二模）如图，为的对称中心，若的面积等于，则的面积为（） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，，，得到．如图，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 4．（2026·湖北随州·一模）如图，正六边形的对角线交于原点O，若，则点E的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，和关于点成中心对称，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·青海果洛·期末）如图，与关于点O对称，连接，，．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 7．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，与是成中心对称的两个图形，则下列说法不正确的是（ ） A．， B． C． D． 题型三：中心对称图形 📝方法技巧 ①判断是否为中心对称图形，可以先找可能的对称中心，再将图形在旋转180°，检查能否与自身完全重合。既要看外部轮廓，也要看内部线条、阴影等细节，不能只看局部； ②遇到“既是轴对称图形，又是中心对称图形”的问题时，要分别判断：（ⅰ）是否存在对称轴，沿它对折能否重合；（ⅱ）是否存在对称中心，绕它旋转180°能否重合。若只满足其中一个条件就说明还不够； ③常见图形可以直接利用的已有结论： （ⅰ）正多边形都有对称轴，边数为偶数时才是中心对称图形； （ⅱ）平行四边形都有对称中心，但一般平行四边形没有对称轴，矩形、菱形、正方形则两种对称性都有。 注意：旋转某个角度能与自身重合，不一定是中心对称图形，必须检查旋转180°是否能重合。 1．（26-27九年级上·全国·期中）下列图形是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026九年级上·全国·专题练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·陕西西安·期中）传统纹样作为中华传统文化的一部分，具有深厚的底蕴．下面纹样中是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·广西来宾·期末）我们学习了多种多边形，那么下列多边形中，属于中心对称图形但不属于轴对称图形的是（     ） A．平行四边形 B．菱形 C．正五边形 D．正六边形 5．（26-27九年级上·重庆·期中）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·重庆·期中）下列图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 7．（26-27九年级上·重庆·期中）下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 题型四：关于原点对称的点的坐标 📝方法技巧 ①关于原点对称，横、纵坐标同时变号，即的对称点为。坐标中含有代数式时，要对整个式子取相反数，注意括号前是否有负号； ②若坐标中含参数：根据两点的横坐标之和为0、纵坐标之和为0的关系列方程，再求参数或代数式的值； ③若根据对称点所在象限求参数范围，可以先写出对称点的坐标，再根据该象限横、纵坐标的正负关系列不等式组，最后取公共部分的范围即可。注意坐标轴上的点不属于任何象限，不能随意把端点取进去。 1．（2026九年级上·全国·专题练习）已知，则点关于原点对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广西来宾·期末）若点关于原点的对称点是，则的值是（     ） A．1 B．3 C． D． 3．（2026·四川德阳·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·全国·单元复习）若点与点关于原点对称，则的值为（     ） A． B．2 C．3 D．5 5．（26-27九年级上·湖北·期中）如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）若点关于原点的对称点位于第四象限，则常数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为，，，，直线交y轴于点P，若与关于点P成中心对称，则点关于原点对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·浙江·中考真题）已知三个顶点的坐标分别为，，．将平移，使点的对应点恰好与点关于原点成中心对称，则平移后点的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 题型五：图形的变换 📝方法技巧 ①连续变换问题：要按题目给出的顺序进行。每完成一步，先标出中间图形，再对这个图形进行下一步变换，不要着急跳步。可以先选一个特征点排除明显不符的选项，当然最终还要核对其余顶点。 ②若在坐标系中判断变换方式，可以直接写出各步的坐标：关于轴对称，纵坐标变号；关于轴对称，横坐标变号；关于原点旋转，横、纵坐标同时变号；平移则按方向对相应坐标加、减即可； ③补图案问题：按题意保留已有部分，再依次补出变换后的部分，检查是否补齐、有无重叠。连续两次绕同一点作中心对称会回到原位，不要靠这种做法不断补出新的部分； ④直线的中心对称问题：可以在原直线上取两个不同的点，求出它们的对称点，再确定新直线；也可以设新直线上一点的坐标为，利用对称中心写出它在原直线上的对应点坐标，代入原解析式求新解析式即可。 1．（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，对分别作下列变换：①先以x轴为对称轴作轴对称图形，然后再向左平移4个单位；②以点O为中心顺时针旋转，然后再向左平移2个单位；③先以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位；其中能使变成的是（　　） A．① B．② C．②或③ D．①或③ 2．（2022·河北石家庄·一模）在平面内，由图1经过两次图形变换后得到图2，下列说法错误的是（    ） A．只需经过两次轴对称变换 B．只需经过两次中心对称变换 C．先经过轴对称变换，再进行中心对称变换 D．先经过中心对称变换，再进行轴对称变换 3．（2020·陕西·一模）直线l1：y＝﹣x＋1与直线l2关于点（1，0）成中心对称，下列说法不正确的是（　　） A．将l1向下平移1个单位得到l2 B．将l1向左平移1个单位得到l2 C．将l1向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到l2 D．将l1向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到l2 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $