专题22 转化 表达 重难点题型专训 -2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题22 转化 表达重难点题型专训 （1个知识点+9大题型+1大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 几何体展开图的认识】 2 【基础题型二 由展开图计算几何体的表面积】 3 【基础题型三 由展开图计算几何体的体积】 4 【基础题型四 正方体几种展开图的识别】 6 【基础题型五 正方体相对两面上的字】 8 【基础题型六 含图案的正方体的展开图】 10 【基础题型七 求展开图上两点折叠后的距离】 12 【基础题型八 补一个面使图形围成正方体】 13 【基础题型九 从不同方向看几何体】 16 第二部分·练提高题型 【提高题型一 几何体展开图综合应用】 19 第三部分・自我检测 知识点01 正方体的展开图 定义：正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类：一四一型有6种；二三一型有3种；三三型有1种；二二二型有一种. 拓展： 正方体展开图口诀：  ①一线不过四;田凹应弃之；  ②找相对面：相间，“Z”端是对面； ③找邻面：间二，拐角邻面知. 【即时训练】 1．（25-26七年级上·江苏南京·课后练习）下面的图形能折成一个正方体的是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段检测）如图1，是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，现将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒（图2）后，与线段重合的线段是______． 【基础题型一 几何体展开图的认识】 【例1】（2026七年级上·江苏苏州·阶段测试）下列硬纸片可以沿虚线折叠成长方体纸盒的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026七年级上·江苏泰州·专题练习）如图是某个几何体的表面展开图，那么这个几何体是_________． 1．（2026七年级上·江苏常州·阶段测试）某几何体的表面展开图如图所示，则该几何体可能是（     ） A． B． C． D． 2．（2025七年级上 江苏南京·阶段测试）“粽团桃柳，盈门共饮”．又是一年端午时，某厂家推出一种新款粽子礼盒，它的外形是“三棱柱”，其展开图可能是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·江苏南京·期末）一个几何体的表面展开图如图所示，则该几何体的体积为______（π取）． 4．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形，于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒． (1)小明总共剪开了_____条棱； (2)若展开的纸盒如图所示，根据图中数据，如果长方体盒子的长比宽多4cm，求这种长方体纸盒的体积． 【基础题型二 由展开图计算几何体的表面积】 【例1】（25-26七年级上·江苏苏州·单元复习）有一个正方体等分成8个小正方体，拿去其中的一个小正方体后，表面积和原来比（    ） A．减少了 B．增大了 C．没有变化 D．前3种可能性都有 【例2】（24-25七年级上·江苏常州·期末）正三棱柱（底面为正三角形）的展开图如图所示，则该正三棱柱的侧面积为______．（用含a，b的代数式表示） 1．（2025七年级上·江苏苏州·专题练习）如图所示的是一个直三棱柱的侧面展开图，则这个直三棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，某同学用透明的硅胶泥做成一个正方体．并用薄塑料刀竖直切割这个正方体，分成了左右两个长方体和，若这两个长方体的体积之比为，则长方体和的表面展开图的面积之比为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为，则长方体的侧面积是______． 4．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）将一个长方体展开后如图所示，已知、两个面的面积之和是，且面是一个长为，宽为的长方形． （1）求这个长方体的表面积； （2）若用一个平面去截这个长方体，截面形状可能是什么？（写出两个即可） 【基础题型三 由展开图计算几何体的体积】 【例1】（23-24七年级上·江苏盐城·期末）如图，把一个边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子，当剪去的正方形的边长从变为后，长方体纸盒的容积（    ）． A．增加了28 B．减少了28 C．增加了8 D．减少了8 【例2】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段检测）小明同学将一个长方体包装盒展开，并进行了测量，结果如图所示（纸片厚度忽略不计），根据图中数据可得原长方体包装盒的体积是______． 1．（2023七年级上·广西南宁·阶段测试）学习《设计制作长方体形状的包装纸盒》后，小宁从长方形硬纸片上截去两个矩形（图中阴影部分），再沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒．纸片长为，宽为，，则该纸盒的容积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，把一个高6分米的圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后把圆柱切开，拼成一个与它等底等高的近似长方体，它的表面积比圆柱体的表面积增加了36平方分米．原来这个圆柱的体积是（　　）立方分米． A．105π B．54π C．36π D．18π 3．（24-25七年级上·四川巴中·期中）如图所示的正方体被截去了一部分，则剩余部分的体积为 ________（棱柱的体积＝底面积×高）．    4．（26-27七年级上·江苏常州·课后练习）某科技馆计划举办科技活动月和中小学生科技节活动，主办方想在展厅中央矗立一个巨型“航天育种成果”主题展示箱．它是一个长6米、宽4米、高3米的长方体，框架用金属条搭建而成，表面贴上航天育种作物的透明幕布，箱内搭建了体积为30立方米的模型景观．请解决以下问题： (1)搭建这个展示箱的框架，至少需要金属条多少米？（焊接处忽略不计） (2)给展示箱的表面贴上透明幕布（底面不贴），至少需要幕布多少平方米？（接头处忽略不计） (3)展示箱内剩余空间的体积是多少立方米？（展示箱的厚度忽略不计） 【基础题型四 正方体几种展开图的识别】 【例1】（23-24七年级上·甘肃陇南·期末）将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分恰好能折成一个正方体，则下列序号中不应剪去的是（   ） A．3 B．2 C．6 D．1 【例2】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）利用如图所示的方格纸板，以纸板中的每个小方格为一个面，先剪后折，最多能制作__________个无盖的正方体纸盒． 1．（25-26七年级上·江苏南京·期末）一个正方体的表面展开图如图所示．在这个正方体中，下列结论：①点与点重合；②与重合；③；④与的夹角是．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 2．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，线段AB和CD分别是正方体两个面的对角线，将此正方体沿部分棱剪开展开成一个平面图形．观察AB和CD所在的直线，下列情况：①AB⊥CD，②AB∥CD，③AB和CD在同一条直线上，其中可能出现的是（    ） A．① B．② C．①② D．①②③. 3．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图所示，把正方体纸盒沿棱剪开后平铺，原来与点重合的顶点是点_______． 4．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）（1）【基础尝试】如果准备制作一个正方体纸盒，下图中经过折叠能围成正方体纸盒的有_______（填序号）． （2）【操作探究】如图，小明准备在边长为的正方形硬纸板的个角上剪去相同的小正方形，制作一个无盖的长方体纸盒，其底面边长为， （I）这个纸盒的底面积是_____，高是_____（用含，的代数式表示）； （II）已知当底面边长时，制作的无盖长方体纸盒的容积为，则当底面边长时，求纸盒的容积． （3）【拓展设计】小新将正方形硬纸板按图方式裁剪（保留阴影部分），制作了一个无盖的长方体纸盒．已知四个面上分别标有代数式，，，．若该纸盒相对的两个面上的代数式相等，求式子的值． 【基础题型五 正方体相对两面上的字】 【例1】（25-26七年级上·江苏南京·课后练习）如图是一个正方体的表面展开图，则图中“乐”所对的面是（   ） A．1 B．7 C．0 D．2 【例2】（2026七年级上·江苏徐州·阶段测试）如图是一个正方体的平面展开图，若将展开图折叠成正方体后，相对面上所标的两数相等，则的值为_________． 1．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）一个正方体的六个面上分别写着1，2，3，4，5，6这6个数字，如图所示的是这个正方体的三种放置方式，则“？”处的数字是（ ） A．1 B．2 C．3 D．6 2．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）一个小正方体6个面上分别写着1、2、3、4、5、6，图中是由同样的4个小正方体组成的．数字2对面的数字是（   ） A．1 B．3 C．4 D．6 3．（25-26七年级上·江苏扬州·课后练习）如图，一个正方体的平面展开图，每个面上都填有一个数，且相对两个面上的数互为倒数，那么( )，( )． 4．（23-24七年级上·江苏·课后练习）如图是一个正方体的表面展开图，请回答下列问题： (1)与标有、的面分别相对的面上标有字母：______、______． (2)若，，，，且相对两个面上代数式的和都相等，求代表的代数式． 【基础题型六 含图案的正方体的展开图】 【例1】（2025七年级上 江苏徐州·阶段测试）如图为一个正方体的展开图，将其折成一个正方体，所得图形可能是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，图（乙）是正方体图（甲）沿棱展开得到的平面展开图，点A、B、C是展开过程中对应点，则图（乙）中黑点，在图（甲）中对应的字母是_______． 1．（24-25七年级上·江苏苏州·课后练习）如图是一个正方体的展开图，下面的四个正方体中，只有一个是和这个展开图对应的，这个正方体是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏苏州·课后作业）下列属于如图所示正方体的展开图的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·江苏南京·期末）按图示切割正方体就可以切割出正六边形（正六边形的各顶点恰是其棱的中点），以下此正方体的平面展开图及切割线的画法正确的有______．（填序号） 4．（26-27七年级上·江苏苏州·课后作业）如图是一颗骰子的三种不同的放置方法． （1）根据图中三种放置方法，推出“？”处的点数． （2）求这三个骰子下底面上点数和． 【基础题型七 求展开图上两点折叠后的距离】 【例1】（2025七年级上 江苏盐城·阶段测试）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【例2】（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上A、B两点间的距离为______． 1．（2023七年级上·江苏泰州·阶段测试）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 2．（23-24七年级上·重庆合川·期末）图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（23-24七年级上·重庆·期中）如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是，，的长方体的顶点爬到顶点，它从顶点沿着棱直接爬到点所走的路程，比它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程少______． 4．（23-24七年级上·江苏泰州·单元测试）某同学的茶杯是圆柱形，如图①所示，有一只蚂蚁从A处沿侧面爬行到母线CD的中点B处，如果蚂蚁爬行的路线最短，请利用展开图画出这条最短路线． 解：将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图②所示，则A，B分别位于图②中所示的位置，连接AB，即AB是这条最短路线． 问题：一个正方体放在桌面上，如图③，有一只蚂蚁从A处沿表面爬行到侧棱GF的中点M处，如果蚂蚁爬行的路线最短，这样的路线有几条？请利用展开图画出最短路线． 【基础题型八 补一个面使图形围成正方体】 【例1】（2025七年级上 福建厦门·阶段测试）如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【例2】（24-25七年级上·江苏泰州·期中）如图，在的正方形网格图中，每个小正方形的边长均相等，网格中有5个涂有阴形的小正方形，现任取一个小正方形涂上阴影，使这6个涂有阴影的小正方形能够围成一个小正方体的涂法有__________种． 1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段检测）下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·福建泉州·期末）在图中的①②③④的任意一个位置上，放置一个相同的小正方形后所组成的图形不能折成一个正方体，则该放置的位置是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 3．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段检测）小强用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（阴影部分），若在图中只添加一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子，这样的拼接方式有_____种． 4．（2025七年级上·江苏苏州·专题练习）综合与实践 【主题】展开与折叠 【素材】无盖的长方体盒子、剪刀 【实践操作】沿着图1中边沿线剪开成如图2所示的展开图，并按图2所示标记好四个面； (1)写出盒子底面相邻两边的长分别为 、 ；（用含a的式子表示） (2)请在图2中补充一个长方形，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖 （画出一种情况即可）． 【基础题型九 从不同方向看几何体】 【例1】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）一个物体长、宽、高的数据如图所示，联系生活想象一下，它可能是（    ）. A．一个橡皮 B．一个粉笔盒 C．一台微波炉 D．一台洗衣机 【例2】（23-24七年级上·江苏常州·课后练习）用同样大小的正方体木块搭成的立体图形，从前面和上面看到的形状一样，如图所示．搭出这个立体图形至少要用____个这样的小正方体木块． 1．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段测试）下面是两个立体图形，从不同方向会看到不同图形，从正面看到的图形是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段检测）图1、图2均是正方体，图3是由一些大小相同的正方体搭成的几何体从正面看和左面看得到的形状图，小敏同学经过研究得到如下结论： ①若将图1中正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，需要剪开7条棱； ②用一个平面从不同方向去截图1中的正方体，得到的截面可能是三角形、四边形、五边形或六边形； ③用一个平面去截图1中的正方体得到图2，截面三角形中； ④如图3，要搭成该几何体的正方体的个数最少是，最多是，则，其中正确结论的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26七年级上·江苏南京·课后练习）一个立体图形是由若干个小正方体拼成的，小军分别从前面、右面、上面观察看到的图形如下，这个立体图形是由( )个小正方体拼成的． 4．（23-24七年级上·江苏淮安·期末）如图，是由6个大小相同的小正方体块搭建的几何体． (1)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图． (2)如果在这个几何体上再摆放一个相同的小正方体，并保持这个几何体从正面看和从左面看到的形状图不变，①添加小正方体的方法共有________种； ②请画出各种添加小正方体后，从上面看到的几何体的形状图． 【提高题型一 几何体展开图综合应用】 【例1】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）某玩具厂在生产配件时，需要分别从棱长为的正方体木块中，挖去一个棱长为（）的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示），将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为、、，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025七年级上·江苏苏州·专题练习）有两个完全相同的长方体，长、宽、高分别是，把它们叠放在一起组成一个新的长方体，这个新的长方体的表面积是_________． 1．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图所示，用高为、底面直径为的圆柱A的侧面展开图，再围成不同于A的另一个圆柱B，则圆柱B的体积为（   ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·江苏南通·阶段测试）用相同尺寸的长方形纸板制作一个无盖的长方体纸盒．先在纸板上画出其表面展开图（需剪掉阴影部分），两种裁剪方案如图1和图2所示，图中A，B，C均为正方形： 下列说法正确的是（　　） A．方案 1中的 B．方案2中的 C．方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积 D．方案1所得的长方体纸盒的底面积与方案2所得的长方体纸盒的底面积相同 3．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学提供的方案，其中厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是________ ． 4．（25-26七年级上·江苏常州·期末）用一张长为，宽为的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒，如图为三位同学提供的方案，其中，阴影为剪去部分，虚线为折痕． (1)直接用含的代数式表示出方案中的长； (2)当，通过计算说明，哪个方案制作的长方体纸盒容积最大？ (3)若用这张长方形纸片制作一个有盖的长方体纸盒，满足高为，容积最大，在下图中画出一种满足上述条件的设计图，阴影为剪去部分，虚线为折痕，并求出长方体纸盒的容积． 1．（2023七年级上·江苏苏州·阶段测试）正八面体有八个面，都是等边三角形，在每个顶点处有四个面相交．如图所示，把左边的纸片折成了右边的正八面体．问出现在Q的右边的那个面上的数是几？ A．1 B．2 C．3 D．4 E．5 2．（2026七年级上·江苏徐州·阶段测试）某正方体纸盒被切割部分后的形状如图所示，则切割后该几何体的展开图（不含凹陷部分的表面）不可能是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·江苏苏州·课后作业）在如图的7个正方形中减去一个正方形，使剩下的正方形折叠后成为一个正方体，应减去的正方形的标记为（    ） A．“弘”或“扬”或“精” B．“扬”或“精”或“二” C．“弘”或“精”或“神” D．“弘”或“建”或“神” 4．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图，一个正方体纸盒的六个面上填有不同的数或式，从不同方向看到的情形如图，如果相对两个面的数或式的值互为相反数，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．2025 5．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）动手操作：做一个正方体木块，在正方体的各面分别写上1，2，3，4，5，6这6个不同的数字，若它可以摆放成如图所示的两种不同位置，请你判断数字5对面的数字是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 6．（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）下列说法中正确的是（    ）． A．折叠①，可得到图甲所示的正方体纸盒 B．图乙所示长方形绕它的对角线所在直线旋转一周，形成的几何体是② C．用一个平面去截图丙，截面图形可能是四边形 D．以上说法都不对 7．（2026七年级上·江西上饶·阶段测试）如图是一个的正方形网格，图中阴影部分为一个正方体五个面的展开图形．现需在网格内的空白小正方形中选择一个，使它与阴影部分拼接后，恰好能构成一个完整的正方体表面展开图，则符合条件的选择方法共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 8．（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成的，从正面和上面看到的形状图如图所示，则组成这个几何体的小正方体最少有___________个，最多有___________个． A．5，8 B．6，8 C．5，9 D．6，9 9．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，长方形是一个圆柱体的侧面展开图，则这个圆柱体的体积为（    ） A． B．或 C． D．或 10．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）下图的卡纸上有一个“L型”的孔，下面的几何体中不能从这个孔中穿过去的是（     ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级上·江苏苏州·课后练习）如图，一个底面直径6厘米的圆柱体木头，沿底面虚线处垂直切成一个最大的正方体，这个正方体的表面积是 __________ 平方厘米． 12．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）如图是一个正方体的表面展开图，把展开图折叠成正方体后，相对面上的数互为倒数，则的值为______． 13．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上（如图①），在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，那么按上述规则连续完成20次变换后，骰子朝上一面的点数是______． 14．（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，由七个相同的小正方体拼成立体图形，若从标有①②③④的四个小正方体中取走一个后，余下的几何体与原几何体从正面看所得的平面图形相同，则取走的正方体是________． 15．（26-27七年级上·江苏苏州·课后作业）将图甲围成图乙的正方体，则在面中，图1中的标志所在的正方形是正方体中的面_____．（填序号） 16．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，长方形纸板中，长为20米，长为a米．下面我们将研究用不同裁剪方法，将该纸板制作成长方体纸盒． (1)如图①所示，用把长方形分成2个长方形，如图②所示，将长方形折叠成纸盒的侧面，将长方形做纸盒的下底面，做成一个无盖的长方体纸盒．若，请你求这个纸盒底面的周长． (2)如图③、④所示，用把长方形分成2个长方形，将长方形折叠成纸盒的侧面，将长方形沿剪成两部分，分别做纸盒的上、下底面，做成一个有盖的长方体纸盒． ①若，请分别求出图③、④两种不同方案的底面周长． ②请你猜想图③、④两种不同方案所做纸盒的底面周长是否有可能相等？如果相等，请求出此时a的值．如果不相等，请说明理由． 17．（24-25七年级上·江苏常州·期中）综合与探究： 问题情景：学习了第一章生活中的立体图形后，综合实践小组开展了“长方体纸盒制作”实践探究活动． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖正方体纸盒，图中的图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒的是_____； (2)如图综合实践小组利用边长为的正方形纸板，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，用含的代数式表示这个纸盒的底面边长为______；当四角剪去的四个小正方形的边长为时，求出纸盒的体积． (3)如图综合实践小组利用边长为的正方形纸板，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为______． 18．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段检测）综合与实践： 【提出问题】 有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是、、，现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？ 实践操作：我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示： 【探究结论】 (1)请计算图1、图2、图3中的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充下表： 长 宽 高 表面积 图1 图2 图3 完成上表，根据上表可知，表面积最小的是______所示的长方体．(填“图1”、“图2”、“图3”)． 【解决问题】 (2)现在有4个小长方体纸盒，每个的长、宽、高都分别是、、、且，若用这4个长方体纸盒搭成一个大长方体，共有______种不同的方式，搭成的大长方体的表面积最小为______．(用含、、的代数式表示)．请简单说明理由． 【实践应用】 春节将至，小张在网上定制了若干个大小相同的长方体礼盒，商家准备将所有礼盒打成一个包裹寄走．下图是从三个方向看到的小张定制的礼盒的三个视图(阴影)，请帮忙计算打包用的包装纸最少要用多少平方米呢？(接头处忽略不计) 19．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）一个无盖的长方体盒子的展开图如图所示． (1)该盒子的底面的宽为 ，长为 ． （用含a的式子表示）． (2)若①，②，③，④四个面上分别标有整式，且该盒子的相对两个面上的整式的和相等，求x的值． (3)请在图中补充一个长方形，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖． 20．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段检测）《小马虎的作业》． (1)如图，小马虎设计了某个产品的包装盒，由于粗心少设计了其中的一部分．请你帮他补上，你选择　　　　　（填“A”或“B”）使该图形能折成一个密封的正方体的盒子． (2)小马虎在做作业，不小心将方程 中的一个常数污染了，怎么办？他翻开书后的答案，发现方程的解是 ．请问这个被污染的常数是　　　　　； (3)小马虎在解方程的过程中，去分母的时，方程右边的漏乘了3，因而求得方程的解为，请你帮助小虎同学求出的值，并正确的求出原方程的解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题22 转化 表达重难点题型专训 （1个知识点+9大题型+1大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 几何体展开图的认识】 3 【基础题型二 由展开图计算几何体的表面积】 3 【基础题型三 由展开图计算几何体的体积】 7 【基础题型四 正方体几种展开图的识别】 10 【基础题型五 正方体相对两面上的字】 14 【基础题型六 含图案的正方体的展开图】 19 【基础题型七 求展开图上两点折叠后的距离】 22 【基础题型八 补一个面使图形围成正方体】 26 【基础题型九 从不同方向看几何体】 30 第二部分·练提高题型 【提高题型一 几何体展开图综合应用】 37 第三部分・自我检测 知识点01 正方体的展开图 定义：正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类：一四一型有6种；二三一型有3种；三三型有1种；二二二型有一种. 拓展： 正方体展开图口诀：  ①一线不过四;田凹应弃之；  ②找相对面：相间，“Z”端是对面； ③找邻面：间二，拐角邻面知. 【即时训练】 1．（25-26七年级上·江苏南京·课后练习）下面的图形能折成一个正方体的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“”结构，第二种：“”结构；第三种：“”结构，；第四种：“”结构，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】 解：A、不符合正方体展开图的11种特征，不能折成一个正方体，故该选项不符合题意； B、不符合正方体展开图的11种特征，不能折成一个正方体，故该选项不符合题意； C、符合“”结构，能折成一个正方体，故该选项符合题意； D、不符合正方体展开图的11种特征，不能折成一个正方体，故该选项不符合题意； 2．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段检测）如图1，是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，现将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒（图2）后，与线段重合的线段是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了展开图折叠成几何体．由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【详解】解：将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒， 则和重合，和重合，和重合， 故答案为：． 【基础题型一 几何体展开图的认识】 【例1】（2026七年级上·江苏苏州·阶段测试）下列硬纸片可以沿虚线折叠成长方体纸盒的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A，C，D都不能折叠成长方体盒子，选项B可以折叠成长方体盒子． 【例2】（2026七年级上·江苏泰州·专题练习）如图是某个几何体的表面展开图，那么这个几何体是_________． 【答案】三棱柱 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，该几何体的侧面是长方形，则该几何体是柱体，上下底面是三角形，则该几何体是三棱柱． 【详解】解：该几何体的侧面是三个长方形，上下底面是两个三角形，故该几何体是三棱柱， 故答案为：三棱柱． 1．（2026七年级上·江苏常州·阶段测试）某几何体的表面展开图如图所示，则该几何体可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据几何体展开图可得答案． 【详解】解：根据几何体表面的展开图有2个面，一个圆是底面，一个曲面是侧面，可知该几何体是圆锥，所以D符合题意． 2．（2025七年级上 江苏南京·阶段测试）“粽团桃柳，盈门共饮”．又是一年端午时，某厂家推出一种新款粽子礼盒，它的外形是“三棱柱”，其展开图可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据三棱柱的特征即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：“三棱柱”的平面展开图可能是 故选：D． 3．（25-26七年级上·江苏南京·期末）一个几何体的表面展开图如图所示，则该几何体的体积为______（π取）． 【答案】 【分析】本题考查了几何体的展开图，几何体的体积等知识．解题的关键在于明确该几何体的表面展开图是圆柱的表面展开图． 由展开图可知，该几何体为圆柱，底面是以1为半径的圆，高为4根据圆柱的体积为，计算求解即可． 【详解】解：由展开图可知，该几何体为圆柱． 底面是以1为半径的圆，高为4， ∴圆柱的体积 故答案为：． 4．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形，于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒． (1)小明总共剪开了_____条棱； (2)若展开的纸盒如图所示，根据图中数据，如果长方体盒子的长比宽多4cm，求这种长方体纸盒的体积． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题考查长方体的展开图、一元一次方程的应用，熟练掌握长方体的表面展开图的特征，根据已知条件列出方程是解题的关键． （1）根据长方体的表面展开图的特征进行解答即可； （2）设长方体盒子的宽为，则长为，高为，根据题意列出方程，求出长、宽、高，由长方体的体积公式进行解答即可． 【详解】（1）解：长方体共有12条棱，展开图中还有5条棱未剪开， 则小明总共剪开了条棱， 故答案为：7； （2）解：设长方体盒子的宽为，则长为，高为， 由题意得： 解得， 即宽为、高为，则长为 则这种长方体纸盒的体积为． 【基础题型二 由展开图计算几何体的表面积】 【例1】（25-26七年级上·江苏苏州·单元复习）有一个正方体等分成8个小正方体，拿去其中的一个小正方体后，表面积和原来比（    ） A．减少了 B．增大了 C．没有变化 D．前3种可能性都有 【答案】C 【分析】本题考查的是几何体的表面积，掌握正方体的特征是解题的关键．一个正方体等分成8个小正方体，拿去其中一个小正方体后，减少3个面的同时又增加3个面． 【详解】解：一个正方体等分成8个小正方体，拿去其中一个小正方体后，减少3个面的同时又增加3个面，因此表面积不变． 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·江苏常州·期末）正三棱柱（底面为正三角形）的展开图如图所示，则该正三棱柱的侧面积为______．（用含a，b的代数式表示） 【答案】/ 【分析】此题考查了正三棱柱（底面为正三角形）的展开图和侧面积，根据题意求解即可． 【详解】根据题意得，该正三棱柱的侧面积为． 故答案为：． 1．（2025七年级上·江苏苏州·专题练习）如图所示的是一个直三棱柱的侧面展开图，则这个直三棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查立体图形的侧面展开图及其表面积，先根据展开图确定三棱柱底面三角形形状，再分别求侧面和底面面积，即可求解． 【详解】解：根据题意可知， 该直三棱柱底面三角形的三边长分别为、、． ， 该直三棱柱的底面三角形为直角三角形， 这个直三棱柱的表面积为: ， ． 故选． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，某同学用透明的硅胶泥做成一个正方体．并用薄塑料刀竖直切割这个正方体，分成了左右两个长方体和，若这两个长方体的体积之比为，则长方体和的表面展开图的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了正方体和长方体的体积和表面展开图的面积， 如图所示，设分成的两个长方体的底面宽分别为a，b，原正方体的边长为x，得到，根据这两个长方体的体积之比为列式得到，，然后分别表示出两个长方体的表面展开图的面积求解即可． 【详解】解：如图所示，设分成的两个长方体的底面宽分别为a，b，原正方体的边长为x， ∴， ∵这两个长方体的体积之比为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴长方体和的表面展开图的面积之比为． 故选：A． 3．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为，则长方体的侧面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据展开图可得底面正方形的边长为即可得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由图形可知：底面正方形的边长， ∴长方体的侧面积是：， 故答案为：． 4．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）将一个长方体展开后如图所示，已知、两个面的面积之和是，且面是一个长为，宽为的长方形． （1）求这个长方体的表面积； （2）若用一个平面去截这个长方体，截面形状可能是什么？（写出两个即可） 【答案】（1）（2）三角形，长方形（答案不唯一） 【分析】本题考查截一个几何体以及几何体的表面展开图，掌握长方体表面展开图的特征以及用一个平面截长方体所得到截面的形状是正确解答的关键． （1）根据长方体表面展开图的特征，判断出“对面”，再根据表面积的计算方法进行计算即可； （2）根据用一个平面截长方体所得到截面的形状进行解答即可． 【详解】解：（1）由题意可知：面与面是对面，面与面是对面，面与面是对面， 、两个面的面积之和是， 、两个面的面积之和也是， 又的面积的面积， 这个长方体的表面积为：． 答：这个长方体的表面积为 （2）若用一个平面去截这个长方体，截面形状可能是三角形，长方形（答案不唯一）． 【基础题型三 由展开图计算几何体的体积】 【例1】（23-24七年级上·江苏盐城·期末）如图，把一个边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子，当剪去的正方形的边长从变为后，长方体纸盒的容积（    ）． A．增加了28 B．减少了28 C．增加了8 D．减少了8 【答案】C 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，长方体的体积，熟记长方体的体积公式是解题的关键． 分别求得剪去的正方形边长从变为后，长方体的纸盒容积即可得到结论． 【详解】解：当剪去的正方形边长为时， 长方体的纸盒容积为： 当剪去的正方形边长为时， ∴当剪去的正方形的边长从变为后，长方体纸盒的容积增加了：． 即长方体纸盒的容积增加了8． 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段检测）小明同学将一个长方体包装盒展开，并进行了测量，结果如图所示（纸片厚度忽略不计），根据图中数据可得原长方体包装盒的体积是______． 【答案】64 【分析】本题考查了长方体的展开图，熟练掌握长方体的展开图是解题关键．根据长方体的展开图求出长方体的长、宽、高，再根据长方体的体积公式计算即可得． 【详解】解：由展开图可知，长方体的高为，长为，宽为， 所以原长方体包装盒的体积是， 故答案为：64． 1．（2023七年级上·广西南宁·阶段测试）学习《设计制作长方体形状的包装纸盒》后，小宁从长方形硬纸片上截去两个矩形（图中阴影部分），再沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒．纸片长为，宽为，，则该纸盒的容积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则，列出关于x的方程并求解，再计算该纸盒的容积． 【详解】解：设，则， ， 解得：， 所以， 则长方体的底面宽为：， 所以该纸盒的容积为： 故选：D 【点睛】此题主要考查了展开图折叠成几何体及一元一次方程应用，解题的关键是正确题意，然后根据题目的数量关系列出代数式解决问题． 2．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，把一个高6分米的圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后把圆柱切开，拼成一个与它等底等高的近似长方体，它的表面积比圆柱体的表面积增加了36平方分米．原来这个圆柱的体积是（　　）立方分米． A．105π B．54π C．36π D．18π 【答案】B 【分析】根据近似长方体的表面积比圆柱体的表面积增加了36平方分米可求出圆柱体的半径，再根据圆柱体的体积公式即可求得结果． 【详解】解：∵近似长方体的表面积比圆柱体的表面积增加了36平方分米， ∴圆柱体的半径为：36÷2÷6＝3（分米）， ∴圆柱的体积为：π××6＝54π（立方分米）， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆柱体体积公式的推导及公式的应用，理解推导过程，正确求得圆柱体的半径是解决问题的关键． 3．（24-25七年级上·四川巴中·期中）如图所示的正方体被截去了一部分，则剩余部分的体积为 ________（棱柱的体积＝底面积×高）．    【答案】 【分析】本题主要考查了截一个几何体，判断出被截取的几何体形状是解题的关键．根据题意可得被截取的一部分为一个直三棱柱，确定出底面积和高求出体积，然后用正方体的体积减去三棱柱的体积即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得被截取的一部分为一个直三棱柱， 三棱柱的体积， 正方体的体积， 剩余部分的体积为． 故答案为：． 4．（26-27七年级上·江苏常州·课后练习）某科技馆计划举办科技活动月和中小学生科技节活动，主办方想在展厅中央矗立一个巨型“航天育种成果”主题展示箱．它是一个长6米、宽4米、高3米的长方体，框架用金属条搭建而成，表面贴上航天育种作物的透明幕布，箱内搭建了体积为30立方米的模型景观．请解决以下问题： (1)搭建这个展示箱的框架，至少需要金属条多少米？（焊接处忽略不计） (2)给展示箱的表面贴上透明幕布（底面不贴），至少需要幕布多少平方米？（接头处忽略不计） (3)展示箱内剩余空间的体积是多少立方米？（展示箱的厚度忽略不计） 【答案】(1)52米 (2)84平方米 (3)42立方米 【分析】（1）计算长方体棱长的和即可； （2）利用长方体表面积计算公式计算即可； （3）利用长方体体积公式计算其体积，再减去30即可． 【详解】（1）解： ， （米）， 答：至少需要金属条52米； （2）解：， ， ， ， （平方米）， 答：至少需要幕布84平方米； （3）解：， ， ， （立方米）， 答：展示箱内剩余空间的体积是42立方米． 【基础题型四 正方体几种展开图的识别】 【例1】（23-24七年级上·甘肃陇南·期末）将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分恰好能折成一个正方体，则下列序号中不应剪去的是（   ） A．3 B．2 C．6 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了几何体的展开图，利用正方体及其表面展开图的特点解题即可，掌握正方体的展开图的特征是关键． 【详解】解：根据有“田”字的展开图都不是正方体的表面展开图可知应剪去1或2或6， 故不应剪去的是3． 故选：A． 【例2】（23-24七年级上·江苏扬州·期末）利用如图所示的方格纸板，以纸板中的每个小方格为一个面，先剪后折，最多能制作__________个无盖的正方体纸盒． 【答案】3 【分析】本题考查了正方体的展开与折叠； 根据正方体的展开图画出图形，然后可得答案． 【详解】解：如图所示，最多能制作3个无盖的正方体纸盒， 故答案为：3． 1．（25-26七年级上·江苏南京·期末）一个正方体的表面展开图如图所示．在这个正方体中，下列结论：①点与点重合；②与重合；③；④与的夹角是．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查几何体的展开图，将正方体的表面展开图还原成几何体即可解答本题． 【详解】解：将正方体的表面展开图还原成几何体，如图， ①点与点重合，结论正确； ②与垂直，不是重合，故结论错误； ③，结论正确； ④连接，则是等边三角形，所以，即与的夹角是，故结论正确． 所以，正确的结论为①③④． 故选：B． 2．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，线段AB和CD分别是正方体两个面的对角线，将此正方体沿部分棱剪开展开成一个平面图形．观察AB和CD所在的直线，下列情况：①AB⊥CD，②AB∥CD，③AB和CD在同一条直线上，其中可能出现的是（    ） A．① B．② C．①② D．①②③. 【答案】C 【分析】根据不同的正方体的展开图进行解答即可. 【详解】解：如图①，可得AB⊥CD 如图①，可得AB∥CD 则①②两种情况可能出现. 故选C. 【点睛】本题主要考查了正方体的展开图，将正方体展开成不同的展开图是解答本题的关键. 3．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如图所示，把正方体纸盒沿棱剪开后平铺，原来与点重合的顶点是点_______． 【答案】 【分析】本题考查了几何体的展开图，从图中找出相邻面是解题关键．根据展开图，先确定相对面，进而确定相邻面，即可得出重合顶点． 【详解】解：如图， 2与4是相对面； 1与5是相对面； 3与6是相对面． 可以得出A与I重合． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）（1）【基础尝试】如果准备制作一个正方体纸盒，下图中经过折叠能围成正方体纸盒的有_______（填序号）． （2）【操作探究】如图，小明准备在边长为的正方形硬纸板的个角上剪去相同的小正方形，制作一个无盖的长方体纸盒，其底面边长为， （I）这个纸盒的底面积是_____，高是_____（用含，的代数式表示）； （II）已知当底面边长时，制作的无盖长方体纸盒的容积为，则当底面边长时，求纸盒的容积． （3）【拓展设计】小新将正方形硬纸板按图方式裁剪（保留阴影部分），制作了一个无盖的长方体纸盒．已知四个面上分别标有代数式，，，．若该纸盒相对的两个面上的代数式相等，求式子的值． 【答案】（1）①②④ （2）（I），；（II） （3） 【分析】本题考查正方体的展开图，列代数式以及代数式求值，掌握正方体表面展开图的特征以及求代数式的值的方法是正确解答的关键． （1）根据正方体表面展开图的特征进行判断即可； （2）（I）根据题意列出代数式即可；（II）根据底面边长时，制作的无盖长方体纸盒的容积为，列出关于的方程，解方程求出的值，然后求出时，纸盒的容积即可； （3）根据图并结合题意对应的是，对应的是，得出，，再对进行化简，代入，即可求解． 【详解】（1）由正方体表面展开图的特征可知，①②④是正方体的表面展开图，即能折叠成正方体， 故答案为：①②④； （2）（I）由于底面边长为的正方形，因此这个纸盒的底面积是，高是， 故答案为：，； （II）∵底面边长时，制作的无盖长方体纸盒的容积为， ∴，即， 解得：， ∴当底面边长时，纸盒的容积， （3）∵由图可知对应的是，对应的是， ∵四个面上分别标有代数式，，，， ∴，， ∴ ， ∴的值为． 【基础题型五 正方体相对两面上的字】 【例1】（25-26七年级上·江苏南京·课后练习）如图是一个正方体的表面展开图，则图中“乐”所对的面是（   ） A．1 B．7 C．0 D．2 【答案】A 【分析】根据相对面必定相隔一个小正方形，进行判断即可. 【详解】解：观察可知，图中“乐”所对的面是1. 【例2】（2026七年级上·江苏徐州·阶段测试）如图是一个正方体的平面展开图，若将展开图折叠成正方体后，相对面上所标的两数相等，则的值为_________． 【答案】 【分析】根据正方体表面展开图的特征和相对面上所标的两个数相等，可求出的值，再代入计算即可． 【详解】由图可得，的相对面为，的相对面为，的相对面为， ∵相对面上所标的两数相等， ∴，，， ∴． 1．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）一个正方体的六个面上分别写着1，2，3，4，5，6这6个数字，如图所示的是这个正方体的三种放置方式，则“？”处的数字是（ ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】A 【分析】本题考查正方体对面数字推理，解题的核心是利用正方体相邻面一定不是相对面的空间特征． 先观察第一个和第二个正方体可知“1”的对面是“6”，观察第一个和第三个正方体可知“5”的对面是“2”，即可得“3”的对面是“4”，再根据正方体摆放的位置即可求解． 【详解】解：观察第一个和第二个正方体可知，与“1”相邻的有“2”，“3”，“4”，“5”， “1”的对面是“6”， 观察第一个和第三个正方体，与“5”相邻的有“1”，“4”，“3”， 由于“1”的对面是“6”， “5”的对面是“2”， “3”的对面是“4”， “？”处可能是“1”或“6”， 结合三个正方体中与“1”相邻的“3”，“5”的位置关系可判断“？”处为“1”． 故选：． 2．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）一个小正方体6个面上分别写着1、2、3、4、5、6，图中是由同样的4个小正方体组成的．数字2对面的数字是（   ） A．1 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，根据相邻的面确定出对面上的数字是解题关键．根据图形确定“5”和“6”相对，进一步可得“4”和“1、2、5、6”相邻，“4”的对面是3，即可得到答案． 【详解】解：由图形可知，“5”和“1、2、3、4”相邻， ∴“5”的对面是6， ∴“4”和“1、2、5、6”相邻， ∴“4”的对面是3， ∴“2”和“1”相对，即“2”对面的数字是“1”． 故选：A． 3．（25-26七年级上·江苏扬州·课后练习）如图，一个正方体的平面展开图，每个面上都填有一个数，且相对两个面上的数互为倒数，那么( )，( )． 【答案】 【详解】解：根据题意得，． 4．（23-24七年级上·江苏·课后练习）如图是一个正方体的表面展开图，请回答下列问题： (1)与标有、的面分别相对的面上标有字母：______、______． (2)若，，，，且相对两个面上代数式的和都相等，求代表的代数式． 【答案】(1)， (2) 【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，同层隔一面，根据“字形”表示相对面即可判断； 根据已知可得，然后进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由图可知： 与相对，与相对，与相对， ∴与标有、的面分别相对的面上标有字母：，， 故答案为：，； （2）解：由题意可得： ， ∴ ， ∴代表的代数式为． 【基础题型六 含图案的正方体的展开图】 【例1】（2025七年级上 江苏徐州·阶段测试）如图为一个正方体的展开图，将其折成一个正方体，所得图形可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正方体的平面展开图上的图案的相对位置，理解把展开图折叠后，各个面上图案的相对位置，是解题的关键．由展开图中，被分割为两个小长方形的面为相对的面，进一步分析各选项即可得到答案． 【详解】解：由展开图中，被分割为两个小长方形的面为相对的面，三个被分成两个小长方形的面为相邻的面，且中间的分割线互相平行，有对角线的一面与三个分成两个小长方形的面相邻， ∴A，C，D不符合题意，B符合题意； 故选：B 【例2】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，图（乙）是正方体图（甲）沿棱展开得到的平面展开图，点A、B、C是展开过程中对应点，则图（乙）中黑点，在图（甲）中对应的字母是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查的是正方体的平面展开图，以及平面展开图与立体图之间的对应关系，掌握以上知识点是做题的关键．根据正方体的平面展开图与立体图之间的对应关系，将其还原为正方体，即可解答． 【详解】解：根据正方体的平面展开图与立体图之间的对应关系，将正方体的平面展开图（图乙）还原为正方体（图甲）时，通过观察可得，黑点所在的位置与点在正方体中的位置是对应的， 即图（乙）中黑点，在图（甲）中对应的字母是． 故答案为：． 1．（24-25七年级上·江苏苏州·课后练习）如图是一个正方体的展开图，下面的四个正方体中，只有一个是和这个展开图对应的，这个正方体是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方体展开图，根据正方体展开图的11种特征，属于“1﹣4﹣1”型，折叠成正方体后，两个含有圆的面相对所以排除B；C上面应是深色圆形，所以排除C；D前面应是涂色的三角形而不是空白，所以也要排除；所以只有选项A合适． 【详解】解： 折叠成正方体后，两个含有圆的面相对所以排除B；C上面应是深色圆形，所以排除C；D前面应是涂色的三角形而不是空白，所以也要排除，四个正方体中只有一个是和这个展开图对应的，这个正方体是： 故选：A． 2．（24-25七年级上·江苏苏州·课后作业）下列属于如图所示正方体的展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方体的展开图，根据正方体表面三角形和长方形的位置关系逐项判定即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】、选项两个长方形所在面互为相对面，不符合题意； 、选项当三角形所在面为正面时，其中一个长方形所在面为左面，不符合题意； 、选项经过折叠得到题图几何体，符合题意； 、选项三角形所在面和其中一个长方形所在面互为相对面，不符合题意； 故选：． 3．（24-25七年级上·江苏南京·期末）按图示切割正方体就可以切割出正六边形（正六边形的各顶点恰是其棱的中点），以下此正方体的平面展开图及切割线的画法正确的有______．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了正方体的展开图和截一个几何体，熟练掌握正方体的展开图，观察思考与动手操作结合是解决本题的关键．根据正方体的展开图和正六边形截面的特征，将题目中的展开图重新折叠，再与原来的正方体（含切割线）比较即可得到答案． 【详解】解：对于①，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意； 对于②，将展开图重新折叠不能得出原来的正方体（含切割线），不符合题意； 对于③，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意； 对于④，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意． 故答案为：①③④． 4．（26-27七年级上·江苏苏州·课后作业）如图是一颗骰子的三种不同的放置方法． （1）根据图中三种放置方法，推出“？”处的点数． （2）求这三个骰子下底面上点数和． 【答案】（1）2；（2）11 【分析】（1）由左侧两个图形可得，与2相邻的面为3，4，5，6，由第一个和第三个图可得，与6相邻的面为2，4，5，据此可得结论； （2）由第一个图可知，4的对面是5，即可得到第二个图和第三个图的下底面都为5，进而得出这三个骰子下底面上点数和． 【详解】解：（1）由左侧两个图形可得，与2相邻的面为3，4，5，6， 故2的对面是1，即第一个图的下底面为1， 又由第一个和第三个图可得，与6相邻的面为2，4，5， 故第一个图的左面是4，后面为3， 故结合第一个和第三个图可得“？”处的点数为2； （2）由第一个图可知，4的对面是5， 故第二个图和第三个图的下底面都为5， 故这三个骰子下底面上点数和为5＋5＋1＝11． 【点睛】本题主要考查学生的空间想象能力和推理能力，注意正方体的空间图形并从相对面入手是解题的关键． 【基础题型七 求展开图上两点折叠后的距离】 【例1】（2025七年级上 江苏盐城·阶段测试）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了平面图形和立体图形，把图形围成立体图形求解． 【详解】解：把图形围成立方体如图所示： 所以与顶点距离最远的顶点是， 故选：A． 【例2】（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上A、B两点间的距离为______． 【答案】4 【分析】本题考查了正方体的展开与折叠； 根据展开图得到该正方体一个面的对角线长度为，再将展开图折叠为正方体可得A、B两点间的距离． 【详解】解：如图1，∵， ∴该正方体一个面的对角线长度为， 如图2，将展开图折叠为正方体后，A、B两点间的距离为该正方体一个面的对角线长度， 即A、B两点间的距离为4． 1．（2023七年级上·江苏泰州·阶段测试）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】D 【分析】根据题意画出立体图形，即可求解． 【详解】解：折叠之后如图所示，    则K与点D的距离最远， 故选D． 【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，学生需要有一定的空间想象能力． 2．（23-24七年级上·重庆合川·期末）图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将图①折成正方体，然后判断出、的在正方体中的位置，从而可得到之间的距离． 【详解】解：如图所示，将图①折成正方体后点、的在正方体中的位置， 蜗牛是从点沿该正方体的棱爬行到点 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了展开图折成几何体，判断出、的在正方体中的位置是解题的关键． 3．（23-24七年级上·重庆·期中）如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是，，的长方体的顶点爬到顶点，它从顶点沿着棱直接爬到点所走的路程，比它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程少______． 【答案】4 【分析】本题考查了几何体的展开图，两点之间线段最短，勾股定理，先展开，三角形的一条直角边为，另一边为，勾股定理计算即可． 【详解】如图，根据题意，得，， 则， 故答案为：4． 4．（23-24七年级上·江苏泰州·单元测试）某同学的茶杯是圆柱形，如图①所示，有一只蚂蚁从A处沿侧面爬行到母线CD的中点B处，如果蚂蚁爬行的路线最短，请利用展开图画出这条最短路线． 解：将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图②所示，则A，B分别位于图②中所示的位置，连接AB，即AB是这条最短路线． 问题：一个正方体放在桌面上，如图③，有一只蚂蚁从A处沿表面爬行到侧棱GF的中点M处，如果蚂蚁爬行的路线最短，这样的路线有几条？请利用展开图画出最短路线． 【答案】 将正方体的面展开，作出线段AM， 经过测量比较可知，最短路线有2条， 如图所示： 【分析】要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是把正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】略 【点睛】此题主要考查了平面展开最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短． 【基础题型八 补一个面使图形围成正方体】 【例1】（2025七年级上 福建厦门·阶段测试）如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论． 【详解】解：如图所示： 根据“141型”，②能与阴影部分组成正方体展开图， 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·江苏泰州·期中）如图，在的正方形网格图中，每个小正方形的边长均相等，网格中有5个涂有阴形的小正方形，现任取一个小正方形涂上阴影，使这6个涂有阴影的小正方形能够围成一个小正方体的涂法有__________种． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体展开图的特征是解题关键．根据正方体的展开图求解即可． 【详解】解：如图所示： 故答案为：． 1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段检测）下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要是正方体的展开图形，将一个正方体展开，可能得到的形状有以下几种：①“一四一”型；②“二三一”型或“一三二”型；③“二二二”型；④“三三”型；结合题中所给的图形，运用正方体常见展开的几种形式分析求解即可． 【详解】解：根据正方体的表面展开图，选A、B、C、D四个位置即可． 故选：D． 2．（25-26七年级上·福建泉州·期末）在图中的①②③④的任意一个位置上，放置一个相同的小正方形后所组成的图形不能折成一个正方体，则该放置的位置是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体．根据平面图形的折叠及正方体的表面展开图解题． 【详解】将小正方形放在①②④的任意一个位置后所组成的图形均能折成正方体， 放在③处时，折叠后有两个面重叠，不能折成正方体． 故选：C． 3．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段检测）小强用5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（阴影部分），若在图中只添加一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子，这样的拼接方式有_____种． 【答案】3 【分析】结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可． 【详解】解：根据正方体的表面展开图可得共有3种， 如图： 【点睛】此题主要考查了正方体的平面展开图，应灵活掌握，不能死记硬背． 4．（2025七年级上·江苏苏州·专题练习）综合与实践 【主题】展开与折叠 【素材】无盖的长方体盒子、剪刀 【实践操作】沿着图1中边沿线剪开成如图2所示的展开图，并按图2所示标记好四个面； (1)写出盒子底面相邻两边的长分别为 、 ；（用含a的式子表示） (2)请在图2中补充一个长方形，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖 （画出一种情况即可）． 【答案】(1)， (2)（答案不唯一） 在图2中补充一个长方形，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖，如图所示． 【分析】本题考查了长方体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念是解决此类问题的关键． （1）根据长方体表面展开图的特征得出底面的边长与长、宽、高的关系即可； （2）根据正方体表面展开图的特征进行解答即可． 【详解】（1）解：这个盒子底面相邻两边的长分别为， 故答案为：； （2）略． 【基础题型九 从不同方向看几何体】 【例1】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）一个物体长、宽、高的数据如图所示，联系生活想象一下，它可能是（    ）. A．一个橡皮 B．一个粉笔盒 C．一台微波炉 D．一台洗衣机 【答案】B 【分析】根据题目中物体的规格：长，宽，高，属于厘米级的小型长方体，结合生活实际物品尺寸判断即可． 【详解】解：选项：一个橡皮，普通学生橡皮的长度通常仅，宽、高均在左右，尺寸均小于题目中的尺寸，不符合题意． 选项：一个粉笔盒，标准教室用的纸质/塑料粉笔盒，长宽高常规为，和题目中的数值基本一致，符合题意． 选项：一台微波炉，微波炉属于家用电器，尺寸以分米、米为单位，长宽通常在以上，高度也远超过，不符合题意． 选项：一台洗衣机，洗衣机为大型家电，整体高度、宽度均在半米至一米以上，不符合题意． 故选B. 【例2】（23-24七年级上·江苏常州·课后练习）用同样大小的正方体木块搭成的立体图形，从前面和上面看到的形状一样，如图所示．搭出这个立体图形至少要用____个这样的小正方体木块． 【答案】 【分析】本题主要考查了用小立方块所搭成的几何体的三视图，根据从前面和上面看到的形状一样，得出从上面看到的图形中，左侧两个正方形至少有1个是2层，中间和右边的正方形都是1层，然后求出结果即可． 【详解】解：根据题意可知：从上面看到的图形中，左侧两个正方形至少有1个是2层，中间和右边的正方形都是1层，如图所示： ∴搭出这个立体图形至少要用的小正方体木块个数为： （个）， 故答案为：5． 1．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段测试）下面是两个立体图形，从不同方向会看到不同图形，从正面看到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可从选项中所给的具体图形进行分析是从哪个方向观测到的，利用排除法进行选择． 【详解】解：选项A，应是从上面看到的并排的圆柱和圆锥的图形，不符合题意； 选项B，应是从右面看到的并排的圆柱和圆锥的图形，不符合题意； 选项C，应是从正面看到的并排的圆柱和圆锥的图形，符合题意； 选项D，应是从左面看到的并排的圆柱和圆锥的图形．不符合题意． 2．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段检测）图1、图2均是正方体，图3是由一些大小相同的正方体搭成的几何体从正面看和左面看得到的形状图，小敏同学经过研究得到如下结论： ①若将图1中正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，需要剪开7条棱； ②用一个平面从不同方向去截图1中的正方体，得到的截面可能是三角形、四边形、五边形或六边形； ③用一个平面去截图1中的正方体得到图2，截面三角形中； ④如图3，要搭成该几何体的正方体的个数最少是，最多是，则，其中正确结论的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题主要考查了正方体的展开图的性质，截正方体以及简单组合体的三视图等知识，根据展开图的性质得出一个平面图形必须5条棱连接是解题关键．根据正方体的棱的条数以及展开后平面之间应有棱连着可判断（1）；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形可判断（2）（3）；作出相应的俯视图，标出搭成该几何体的小正方体的个数最多（少）时的数字即可判断（4）． 【详解】解：（1）若将图1中正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，需要剪开7条棱；正确，因为正方体有6个表面，12条棱，要展成一个平面图形必须5条棱连接，所以至少要剪开条棱． （2）用一个平面从不同方向去截图1中的正方体，得到的截面可能是三角形、四边形、五边形或六边形；正确，因为用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形． （3）用一个平面去截图1中的正方体得到图2，截面三角形中；错误，因为是等边三角形，所以． （4）如图3，要搭成该几何体的正方体的个数最少是a，最多是b，则．错误，应该是． 故选：B． 3．（25-26七年级上·江苏南京·课后练习）一个立体图形是由若干个小正方体拼成的，小军分别从前面、右面、上面观察看到的图形如下，这个立体图形是由( )个小正方体拼成的． 【答案】 【分析】从上面看确定底层小正方体的分布及数量，从前面看确定每一列的最大高度，从右边看确定每一行的最大高度，综合推断出每个位置的小正方体个数． 【详解】解：从上面看可知，该立体图形底层有个小正方体，分布在三行三列中， 从前面看可知，第列最高层，第列最高层，第列最高层， 第列的个位置高度均为，第列的个位置高度为， 从右边看可知，立体图形的前、中、后三行的最高层数分别为， 第列最高层，且只有第行（后）允许最高层， 第行第列位置有个小正方体， 第行（中）最高层，且该行第列高度为， 该行第列位置有个小正方体， 小正方体总数为． 4．（23-24七年级上·江苏淮安·期末）如图，是由6个大小相同的小正方体块搭建的几何体． (1)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图． (2)如果在这个几何体上再摆放一个相同的小正方体，并保持这个几何体从正面看和从左面看到的形状图不变，①添加小正方体的方法共有________种； ②请画出各种添加小正方体后，从上面看到的几何体的形状图． 【答案】(1)解：如图所示即为所求， (2)①2；② 【分析】（1）根据从三个方向看到的图形形状进行画图即可； （2）①根据图形形状进行解答即可； ②根据添加情况画图即可． 【详解】（1）略 （2）解：①可以从前排左一或左三处再摆放一个相同的小正方体，能保持这个几何体从正面看和从左面看到的形状图不变，故添加小正方体的方法共有2种； ②略 【提高题型一 几何体展开图综合应用】 【例1】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）某玩具厂在生产配件时，需要分别从棱长为的正方体木块中，挖去一个棱长为（）的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示），将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为、、，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方体的表面积，整式加减的应用；由正方形的表面积得，，，分别进行整式加减运算后，进行比较大小，即可求解；能表示出所求几何体的表面积是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ， ， 故选：D． 【例2】（2025七年级上·江苏苏州·专题练习）有两个完全相同的长方体，长、宽、高分别是，把它们叠放在一起组成一个新的长方体，这个新的长方体的表面积是_________． 【答案】164或158或148 【分析】两个完全相同的长方体叠放成新长方体时，会有一个面重合，新长方体的表面积等于两个原长方体的表面积之和减去2 倍的重合面面积即可求解，但需分三种情况讨论：重合面为“长 × 宽”与“长 × 高”与“宽 × 高”的面三个面进行解答． 【详解】如图，两个完全相同的长方体的表面积的和是．将两个完全相同的长方体叠放在一起组成一个新的长方体，表面积有三种情况： ①当两个长方体右面重合时，新的长方体的表面积是； ②当两个长方体正面重合时，新的长方体的表面积是； ③当两个长方体上面重合时，新的长方体的表面积是． 综合所述：新长方形表面积为：或或 【点睛】本题考查了求长方表的表面积，理解新长方体的表面积等于两个原长方体的表面积之和减去2倍的重合面面积是解题的关键． 1．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图所示，用高为、底面直径为的圆柱A的侧面展开图，再围成不同于A的另一个圆柱B，则圆柱B的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆柱的侧面展开图与圆柱的体积计算，明确侧面展开图的长、宽与圆柱底面周长、高的对应关系是解题关键． 侧面展开图的宽为圆柱B的底面周长，侧面展开图的长为圆柱B的高，再根据圆的面积公式、圆柱的体积公式列式求解． 【详解】解：根据题意， 圆柱B的底面半径为，圆柱B的高为， 圆柱B的底面积为， 圆柱B的体积为． 故选：C． 2．（2024七年级上·江苏南通·阶段测试）用相同尺寸的长方形纸板制作一个无盖的长方体纸盒．先在纸板上画出其表面展开图（需剪掉阴影部分），两种裁剪方案如图1和图2所示，图中A，B，C均为正方形： 下列说法正确的是（　　） A．方案 1中的 B．方案2中的 C．方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积 D．方案1所得的长方体纸盒的底面积与方案2所得的长方体纸盒的底面积相同 【答案】C 【分析】本题考查图形的展开与折叠，考查学生的运算能力、推理能力、空间观念．分别求出a和b的值，方案1和方案2的容积即可得到答案． 【详解】解：方案1：，故A选项错误， 所折成的无盖长方体的底面积为． 容积为． 方案2：，故B选项错误， 所折成的无盖长方体的底面积为． 容积为． ∴方案1所得的长方体纸盒的容积小于方案 2所得的长方体纸盒的容积， 故选：C． 3．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学提供的方案，其中厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是________ ． 【答案】方案2 【分析】分别求出各种方案所制作的长方体纸盒的长、宽、高，再计算出容积即可． 【详解】解：按照方案1，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案2，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案3，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， ， 按照方案2制作的长方体无盖纸盒的容积最大． 4．（25-26七年级上·江苏常州·期末）用一张长为，宽为的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒，如图为三位同学提供的方案，其中，阴影为剪去部分，虚线为折痕． (1)直接用含的代数式表示出方案中的长； (2)当，通过计算说明，哪个方案制作的长方体纸盒容积最大？ (3)若用这张长方形纸片制作一个有盖的长方体纸盒，满足高为，容积最大，在下图中画出一种满足上述条件的设计图，阴影为剪去部分，虚线为折痕，并求出长方体纸盒的容积． 【答案】(1) (2)方案纸盒的容积最大 (3) 【分析】本题考查代数式的表示与化简，图形的裁剪与折叠，掌握分类讨论思想是解题关键． （1）根据硬纸板的宽和，求出剪去的小正方形边长，再用原纸板的长减去两个小正方形边长，得到的长度； （2）将代入各方案，分别计算出三个方案的纸盒容积，比较大小后得出容积最大的方案； （3）在高固定为的条件下，分两种布局方向计算底面的长和宽，进而确定使容积最大的底面尺寸，最终算出最大容积． 【详解】（1）解：由纸片为长方形，纸盒为长方体，可知图的阴影部分为四个全等的正方形， ，长方形的长为，宽为， 小正方形的边长为， ． 答：． （2）解：据（1），方案中长方体长为，宽为，高为， 则其容积为； 方案中长方体长为，即，宽为，高为， 则其容积为； 方案中长方体长为，即，宽为，高为， 则其容积为． 综上，方案纸盒的容积最大． 答：方案纸盒的容积最大． （3）解：设纸盒底面长为，宽为，已知高为， 则盒子的容积为， 分两种布局进行计算， 当底面长平行于边： 可得，即， ，即， 此时纸盒的容积为； 当底面长平行于边： 可得，即， ，即， 此时纸盒的容积为， 下图即为纸盒的设计图： 可知，纸盒的最大容积为． 答：． 1．（2023七年级上·江苏苏州·阶段测试）正八面体有八个面，都是等边三角形，在每个顶点处有四个面相交．如图所示，把左边的纸片折成了右边的正八面体．问出现在Q的右边的那个面上的数是几？ A．1 B．2 C．3 D．4 E．5 【答案】A 【分析】本题考查了几何体的展开图，熟练掌握展开图是解题的关键．根据正八面体的展开图的折叠过程，判定解答即可． 【详解】解：根据展开图和折叠的过程，得在Q的右边的那个面上的数是1， 故选：A． 2．（2026七年级上·江苏徐州·阶段测试）某正方体纸盒被切割部分后的形状如图所示，则切割后该几何体的展开图（不含凹陷部分的表面）不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别将四个选项还原成原几何体，再比较得出答案即可． 【详解】解：将图B中的位于中间的两个对角小正方形为上底面，则1为左侧面，5为前侧面，2为后侧面，3为右侧面，4为下底面，可知符合题意； 将图C中的位于中间的两个对角小正方形为上底面，则1为左侧面，5为前侧面，2为右侧面，3为下底面，4为后侧面，可知符合题意； 将图D中的位于中间的大正方形为下底面，则2为左侧面，1为上底面，4为后侧面，3为右侧面，5为前侧面，可知符合题意； 将图A中的位于中间的大正方形为下底面，则2为左侧面，1为上底面，4为后侧面，3为右侧面，5为前侧面，可知4位置不对，不能还原成原几何体，符合题意． 3．（25-26七年级上·江苏苏州·课后作业）在如图的7个正方形中减去一个正方形，使剩下的正方形折叠后成为一个正方体，应减去的正方形的标记为（    ） A．“弘”或“扬”或“精” B．“扬”或“精”或“二” C．“弘”或“精”或“神” D．“弘”或“建”或“神” 【答案】A 【分析】本题考查了正方体的展开图的特点，正方体共有11种展开图，分为三种类型，分别是“1-4-1”、“2-3-1”、“2-2-2”、“3-3”型．解题的关键是掌握正方体展开图的特点． 根据正方体的展开图的特点解答即可． 【详解】解：题干中的图经过剪去某字后可将图变成正方体展开图的“1-4-1”型或“2-3-1”型，“1-4-1”型应剪去标记为“弘”或“扬的小正方形，“2-3-1”型应剪去标记为“精”的小正方形． 故选：A． 4．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图，一个正方体纸盒的六个面上填有不同的数或式，从不同方向看到的情形如图，如果相对两个面的数或式的值互为相反数，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．2025 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体展开图，通过邻面找对面，代数求值，解题的关键是找出对面． 根据图形找出对面，表示出代数式的值，然后代数求值即可． 【详解】解：由两个图可得，的邻面为， ∴的对面为， ∴；① 由第1个和第3个图形可得，的邻面为， ∴的对面为， ∴；② ∴由第1个和第2个图形可得，的邻面为， ∴的对面为， ∴； 由①+②得， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）动手操作：做一个正方体木块，在正方体的各面分别写上1，2，3，4，5，6这6个不同的数字，若它可以摆放成如图所示的两种不同位置，请你判断数字5对面的数字是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】根据图形以及数字的摆放，第一图可得的下面为1，1的右边为4，第二个图可知的下面是5，5的右边是2，画出展开图即可求解． 【详解】解：根据图形以及数字的摆放，第一图可得的下面为1，1的右边为4， 第二个图可知的下面是5，5的右边是2 将正方形展开如图所示， ∴的对面是， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方体展开图，相对面上的字，注意数字的摆放是解题的关键． 6．（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）下列说法中正确的是（    ）． A．折叠①，可得到图甲所示的正方体纸盒 B．图乙所示长方形绕它的对角线所在直线旋转一周，形成的几何体是② C．用一个平面去截图丙，截面图形可能是四边形 D．以上说法都不对 【答案】C 【分析】（1）A选项通过想象可以得出两个黑色实心圆在对面上 （2）B选项就要根据实际图形结合空间想象快速判断出旋转后的物体中间并不是一个点 （3）C选项考虑竖向切割，截面图形是一个四边形 【详解】A、两个黑色实心圆在对面，此选项错误； B、如图所示： C、如图所示： 故选：C． 【点睛】主要考查了图形折叠、旋转以及切割之后所得到的立方图纸，解决这种题目的方法是要多做、多画． 7．（2026七年级上·江西上饶·阶段测试）如图是一个的正方形网格，图中阴影部分为一个正方体五个面的展开图形．现需在网格内的空白小正方形中选择一个，使它与阴影部分拼接后，恰好能构成一个完整的正方体表面展开图，则符合条件的选择方法共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】根据正方体展开图的常见类型，补充形成满足要求的展开图即可． 【详解】解：根据正方体展开图的常见类型：“”型，“”型， ∴可补全为正方体表面展开图的方格有如下种情况， 故选：． 8．（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成的，从正面和上面看到的形状图如图所示，则组成这个几何体的小正方体最少有___________个，最多有___________个． A．5，8 B．6，8 C．5，9 D．6，9 【答案】B 【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体，根据从正面和上面看可知最底层有5块小正方体，然后再根据从正面和上面看的图分别添加小正方体求解即可． 【详解】解：根据从正面和上面看可知最底层有5块小正方体， 当最左边一列（任意一行）加1个小正方体时，如下图，则组成这个几何体的小正方体最少有6个． 1 1 1 1 情况1 1 1 1 1 情况2 1 1 1 1 情况3 当最左边一列三行各加1个小正方体时，如下图，则组成这个几何体的小正方体最多是8个． 1 1 故选：B． 9．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，长方形是一个圆柱体的侧面展开图，则这个圆柱体的体积为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查圆柱的体积，几何体的展开图；根据几何体的展开图分两种情况：①圆柱体底面，，②圆柱体底面，，分别进行计算求解即可． 【详解】解：分两种情况： ①圆柱体底面周长，高 ∵， ∴底面圆半径， ∴； ②圆柱体底面周长，高， ∴ ∴底面圆半径， ∴， ∴这个圆柱体的体积为或； 故选：D． 10．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）下图的卡纸上有一个“L型”的孔，下面的几何体中不能从这个孔中穿过去的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断各选项中的几何体从不同方向看，得到的形状图能否从“L型”的孔穿过去，即可得答案． 【详解】 解：A中几何体从正面看和从左面看，得到的形状图都是，从上面看得到的形状图是，故该几何体不能从这个孔中穿过去，符合题意； B中几何体从左面看，得到的形状图是，故该几何体能从这个孔中穿过去，不符合题意； C中几何体从左面看，得到的形状图是，故该几何体能从这个孔中穿过去，不符合题意； D中几何体从左边看，得到的形状图是，故该几何体能从这个孔中穿过去，不符合题意． 11．（24-25七年级上·江苏苏州·课后练习）如图，一个底面直径6厘米的圆柱体木头，沿底面虚线处垂直切成一个最大的正方体，这个正方体的表面积是 __________ 平方厘米． 【答案】108 【分析】本题主要考查了三角形面积及正方体表面积的计算，读懂图形是解答关键． 根据题意可知，把圆柱削成一个最大的正方体，圆柱的底面直径等于削成的正方体的底面对角线的长度，把这个正方形分成两个完全一样的三角形，每个三角形的底等于圆柱的底面直径，高等于圆柱底面的半径，根据三角形的面积公式：，把数据代入公式求出削成正方体的一个面的面积，然后根据正方体的表面积公式：，把数据代入公式求出这个正方体的表面积． 【详解】解： （平方厘米） 答：这个正方体的表面积是108平方厘米． 故答案为：108． 12．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）如图是一个正方体的表面展开图，把展开图折叠成正方体后，相对面上的数互为倒数，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方体展开图相对面上的数字，求代数式的值，互为倒数， 【详解】解：将正方体展开图折叠成正方体设底面上的数为，前面的数是3，右面上的数为y，后面的数是z，左面上的数是，上面的数是x， 因为相对面上的数互为倒数， 所以， 解得， 所以． 故选：． 13．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上（如图①），在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，那么按上述规则连续完成20次变换后，骰子朝上一面的点数是______． 【答案】6 【分析】本题考查图形类规律探究，根据变换方法，确定出每3次变换为一个循环，进行求解即可． 【详解】解：如图， 由图可知，3次变换为一个循环， ∵， ∴按上述规则连续完成20次变换后，骰子朝上一面的点数是6； 故答案为：6． 14．（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，由七个相同的小正方体拼成立体图形，若从标有①②③④的四个小正方体中取走一个后，余下的几何体与原几何体从正面看所得的平面图形相同，则取走的正方体是________． 【答案】④ 【分析】根据题意，分别分析取走①②③④后，余下的几何体从正面看平面图形的变化情况，找出平面图形不变的情况即可． 【详解】解：取走①后，最右边一列的小正方体消失，且该位置后方无其他小正方体遮挡， 从正面看所得平面图形最右边一列消失，图形发生改变； 取走②后，右边第二列上层的小正方体消失， 从正面看所得平面图形右边第二列变为层，图形发生改变； 取走③后，最左边一列上层的小正方体消失， 从正面看所得平面图形最左边一列变为层，图形发生改变； 取走④后，最左边一列下层前方的小正方体消失，但其后方还有小正方体（即③下面的小正方体）， 从正面看所得平面图形最左边一列仍为2层，图形不发生改变． 综上所述，取走的正方体是④． 15．（26-27七年级上·江苏苏州·课后作业）将图甲围成图乙的正方体，则在面中，图1中的标志所在的正方形是正方体中的面_____．（填序号） 【答案】④ 【分析】本题考查了正方体的表面展开图，熟练掌握正方体展开图的11种类型，是解题的关键． 根据正方体展开图的11种特征分析； 此展开图属于“141”结构，上、下面的“1”分成了两部分，上面两部分合成正方体的上面，下面两部分合成正方体的下面，带有红心的面与中间从左到右第二个正方形相对； 再看上面等腰三角的两边，当等腰三角形的顶点与我们相对时，红心居左面，即可以得出答案． 【详解】解：据分析可知，将平面展开图对应正方体的各个点进行标记出来，如图： 因此，可知标志在正方形上，图甲中的标志所在的正方形是正方体中的面④． 故答案为：④． 16．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，长方形纸板中，长为20米，长为a米．下面我们将研究用不同裁剪方法，将该纸板制作成长方体纸盒． (1)如图①所示，用把长方形分成2个长方形，如图②所示，将长方形折叠成纸盒的侧面，将长方形做纸盒的下底面，做成一个无盖的长方体纸盒．若，请你求这个纸盒底面的周长． (2)如图③、④所示，用把长方形分成2个长方形，将长方形折叠成纸盒的侧面，将长方形沿剪成两部分，分别做纸盒的上、下底面，做成一个有盖的长方体纸盒． ①若，请分别求出图③、④两种不同方案的底面周长． ②请你猜想图③、④两种不同方案所做纸盒的底面周长是否有可能相等？如果相等，请求出此时a的值．如果不相等，请说明理由． 【答案】(1)16 (2)①图③、④两种不同方案的底面周长，14 ②相等，5 【分析】（1）设，则，则每一段的长度为，根据长方体纸盒的意义，得到，解方程即可． （2）①若，图③中，设，则，，根据，列方程求得x值，根据底面周长就是AE的长计算即可． 图④中，设，则，，根据，列方程求得x值，根据底面周长就是AE的长计算即可． ②图③中，设，则，，根据，列方程求得x值，根据底面周长就是AE的长计算即可． 图④中，设，则，，根据，列方程求得x值，根据底面周长就是AE的长计算即可． 【详解】（1）设，则，则每一段的长度为，根据长方体纸盒的意义，得到， 解得， ∵ ∴， 故底面的周长为：． （2）①若，图③中，设，则，， 根据，得， 解得， ∴底面的周长为：． 图④中，设，则，， 根据，得， 解得， ∴底面的周长为：． ②相等，．理由如下： 图③中，设，则，， 根据，得， 解得， ∴底面的周长为：． 图④中，设，则，， 根据，得， 解得， ∴底面的周长为：． 根据两种方案的底面周长相等，得， 解得． 17．（24-25七年级上·江苏常州·期中）综合与探究： 问题情景：学习了第一章生活中的立体图形后，综合实践小组开展了“长方体纸盒制作”实践探究活动． 操作探究： (1)若准备制作一个无盖正方体纸盒，图中的图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒的是_____； (2)如图综合实践小组利用边长为的正方形纸板，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，用含的代数式表示这个纸盒的底面边长为______；当四角剪去的四个小正方形的边长为时，求出纸盒的体积． (3)如图综合实践小组利用边长为的正方形纸板，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为______． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】根据正方体的折叠，可得折成一个无盖的正方体纸盒需要有个面，根据平面图形中小正方形的个数和位置进行判断即可； 根据正方体的表面展开图的特征，当正方形纸板四个角都剪去一个边长为小正方形时，得到的纸盒的底面边长为； 根据剪去的小正方形的位置和边长，求出折叠好的长方体纸盒的长、宽、高，再根据长方体的体积公式求解即可． 【详解】（1）解：A图中个小正方形的位置呈“田”字格形式，不能折叠成正方体，故A选项不能围成无盖正方体； B图中只有个小正方形，无盖正方体纸盒需要个小正方形，故B选项不能围成无盖正方体； C图中有个小正方形，折叠后恰好是一个无盖正方体纸盒，故C选项能围成无盖正方体； D图中有个小正方形，可以折叠成一个有盖的正方体纸盒，故D选项不能围成无盖正方体； 故选：C． （2）解：正方形纸板四个角都剪掉一个边长为的小正方形，得到的纸盒的底面边长为， 当时，纸盒的高为，底面是边长为的正方形， 则纸盒的体积为：； （3）解：由图可知，折好的长方体纸盒的长为，宽为，高为， 折好的长方体纸盒的体积为， 当、时， 【点睛】本题考查正方体的表面展开图，长方体的体积，掌握正方体的表面展开图的特征是解决问题的关键． 18．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段检测）综合与实践： 【提出问题】 有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是、、，现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？ 实践操作：我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示： 【探究结论】 (1)请计算图1、图2、图3中的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充下表： 长 宽 高 表面积 图1 图2 图3 完成上表，根据上表可知，表面积最小的是______所示的长方体．(填“图1”、“图2”、“图3”)． 【解决问题】 (2)现在有4个小长方体纸盒，每个的长、宽、高都分别是、、、且，若用这4个长方体纸盒搭成一个大长方体，共有______种不同的方式，搭成的大长方体的表面积最小为______．(用含、、的代数式表示)．请简单说明理由． 【实践应用】 春节将至，小张在网上定制了若干个大小相同的长方体礼盒，商家准备将所有礼盒打成一个包裹寄走．下图是从三个方向看到的小张定制的礼盒的三个视图(阴影)，请帮忙计算打包用的包装纸最少要用多少平方米呢？(接头处忽略不计) 【答案】（1）图1，表格如下 长 宽 高 表面积 图1 图2 图3 （2）且或或或且，；理由如下： 当且时，共有种搭法，可分为两类： 第一类有三种情况，表面积分别为，，； 第二类有三种情况，表面积分别为，，． 第三类：当时，表面积为；当时，表面积为． 第三类：当时，表面积为；当时，表面积为． 共有且或或或且种不同的方式． 又且 搭成的大长方体的表面积最小为． 故答案为：且或或或且，； （3）最少需要平方米包装纸． 【分析】本题考查了几何体的表面积，三视图，找出各种不同搭法是解题的关键． （1）根据长方体的表面积的计算方法分别计算即； （2）根据（2）的方法，分且找出各种搭法，进而可得出共有且或或或且种不同的方式，利用长方体的表面积计算公式，找出各种搭法的表面积，取其中的最小值即可得出结论； （3）要使包装的纸最少，应该把长方体最大的面重合在一起，即把的面重合在一起，这样包装后的长方体，长是厘米，宽为厘米，高为厘米，根据长方体的表面积公式，求出包装后的长方体的表面积即可解答． 【详解】解：（1）图1中，长方体的高为4，表面积． 图2中，长为32，表面积． 图3中，宽为12，表面积． ∴图1的表面积最小． （2）略 （3）解：根据三视图可得礼盒的长宽高分别为，，，这要使包装的纸最少，应该把长方体最大的面重合在一起，即把的面重合在一起，这样包装后的长方体，长是厘米，宽为厘米，高为(厘米)， 依题意，  (平方米) 答：最少需要平方米包装纸． 19．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）一个无盖的长方体盒子的展开图如图所示． (1)该盒子的底面的宽为 ，长为 ． （用含a的式子表示）． (2)若①，②，③，④四个面上分别标有整式，且该盒子的相对两个面上的整式的和相等，求x的值． (3)请在图中补充一个长方形，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖． 【答案】(1)，； (2) (3) 如图所示：（答案不唯一） 【分析】本题考查了长方体相对两个面上的文字，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念是解决此类问题的关键．也考查了一元一次方程的应用． （1）依据无盖的长方体盒子的高为a，底面的宽为，即可得到底面的长； （2）根据该盒子的相对两个面上的整式的和相等，列方程求解即可； （3）依据长方体的展开图的特征，即可在图中补充一个长方形，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖． 【详解】（1）解：由题可得，无盖的长方体盒子的高为a，底面的宽为， ∴底面的长为， 故答案为：，； （2）解：∵①，②，③，④四个面上分别标有整式，x，，4，且该盒子的相对两个面上的整式的和相等， ∴， 解得； （3）略 20．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段检测）《小马虎的作业》． (1)如图，小马虎设计了某个产品的包装盒，由于粗心少设计了其中的一部分．请你帮他补上，你选择　　　　　（填“A”或“B”）使该图形能折成一个密封的正方体的盒子． (2)小马虎在做作业，不小心将方程 中的一个常数污染了，怎么办？他翻开书后的答案，发现方程的解是 ．请问这个被污染的常数是　　　　　； (3)小马虎在解方程的过程中，去分母的时，方程右边的漏乘了3，因而求得方程的解为，请你帮助小虎同学求出的值，并正确的求出原方程的解． 【答案】(1)A (2)2 (3)； 【分析】本题主要考查了正方体的展开图以及解一元一次方程． （1）根据正方体的展开图即可得出答案． （2）设被污染的数字为y，将代入，得到关于y的方程，从而可求得y的值． （3）根据题意得，把代入，解出，则原方程为，然后去分母再解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：根据正方体的展开图可知选A能使该图形能折成一个密封的正方体的盒子． （2）解：设这个被污染的常数为y， 则， 把代入，可得出， 解得： （3）解：根据题意可知：， 把代入，得：， 解得：， ∴原方程为： 去分母得：， 移项：， 合并同类项得：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $