微专题03 走进几何世界10题型（专项训练）数学苏科版2024七年级上册

微专题03 走进几何世界 题型一 常见几何体的识别 1．（24-25七年级上·江苏·阶段练习）（1）写出下列几何体的名称 ①_________  ②__________  ③__________  ④__________  ⑤__________ （2）将上述几何体按名称分类（请填写序号） 柱体有_________；锥体有__________；球体有___________． 2．（24-25七年级上·贵州毕节·阶段练习）指出如图所示的立体图形中的柱体、锥体、球． (1)如果按“柱、锥、球”来分，柱体有 ，锥体有 ，球有 ； (2)如果按“有无曲面”来分，有曲面的有 ，无曲面的有 ． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面多面体的模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 　　　　　　 长方体 8 6 12 正八面体 　　　　　　 8 12 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是　　； (2)一个多面体的棱数与顶点数的和为50，且有12个面，则这个多面体的棱数是　　； (3)某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，每个顶点处都有3条棱，共有棱36条．若该多面体外表面三角形的个数比八边形的个数的2倍多2，求该多面体外表面三角形的个数． 4．（24-25七年级上·陕西西安·期中）小丽利用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的直五棱柱形笔筒（有盖）． (1)这个五棱柱有多少个面？它的侧面是什么形状？这个五棱柱一共有多少条棱？ (2)这个五棱柱所有侧面的面积之和是多少？ 5．（2024七年级上·江苏·专题练习）如图，要在一块正方形土地上修筑两条笔直的道路，使道路把这块土地分成形状相同且面积相等的4部分，若道路的宽度忽略不计，请你设计三种不同的修筑方案．（只需画简图） ． 题型二 点、线、面、体之间的关系 6．（2024七年级上·河北·专题练习）飞机表演“飞机拉线”时，我们用数学的知识可解释为点动成线．用数学知识解释下列现象： （1）流星从空中划过留下的痕迹可解释为 ； （2）自行车的辐条运动可解释为 ； （3）一只蚂蚁行走的路线可解释为 ； （4）打开折扇得到扇面可解释为 ； （5）一个圆面沿着它的一条直径旋转一周成球可解释为 ． 7．（23-24六年级下·全国·假期作业）（1）一张纸对折后，纸上会留下一道折痕，用数学知识可解释为 ； （2）夏夜，天上飞逝的流星形成一道亮光，用数学知识可解释为 ； （3）黑板擦在黑板上擦出一片干净的区域，用数学知识可解释为 ； （4）长方形绕它的一边在的直线旋转，形成一个圆柱，用数学知识可解释为 ． 8．（22-23七年级上·江苏淮安·阶段练习）有下面四种现象：①旋转一扇门，门运动的痕迹；②扔一块小石子，石子在空中飞行的路线；③夜晚天空划过流星的痕迹；④汽车雨刷在挡风玻璃上画出的痕迹．其中能说明“线动成面”的现象是 （填序号）． 9．（20-21七年级上·全国·课后作业）飞机表演“飞机拉线”时，我们用数学的知识可解释为点动成线.用数学知识解释下列现象： (1)流星从空中划过留下的痕迹可解释为______； (2)自行车的辐条运动可解释为_____； (3)一只蚂蚁行走的路线可解释为_____； (4)打开折扇得到扇面可解释为_____； (5)一个圆面沿着它的一条直径旋转一周成球可解释为____. 题型三 判断平面图形旋转后所得的立体图形 10．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，将直角三角形绕直角边所在直线l旋转一周，得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 11．（22-23七年级上·广东佛山·阶段练习）下列平面图形沿轴旋转一周，可以得到如图所示的几何体的是（   ） A． B． C． D． 12．（23-24七年级上·全国·课后作业）如图所示的图形绕轴旋转一周，便能形成中的某个几何体，请你用线把它们连起来．    13．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列平面图形绕虚线旋转一周能得到一个立体图形，请将对应图形用线连接起来． 题型四 求平面图形旋转后所得立体图形的体积 14．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，分别以直角梯形的下底和上底所在的直线为轴，将梯形旋转一周得到A，B两个几何体，则，两个几何体的体积之比是（   ） A． B． C． D． 15．（24-25七年级上·陕西·阶段练习）如图，已知长方形的长为a、宽为b（其中），将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙，则这两个圆柱的侧面积和体积的关系为（　　） A．甲乙的侧面积不相同，体积也不相同 B．甲乙的侧面积相同，体积也相同 C．甲乙的侧面积不相同，体积相同 D．甲乙的侧面积相同，体积不同 16．（22-23七年级上·江苏扬州·期末）已知一个长方形的长、宽分别是4cm、3cm，若以这个长方形的一条边为轴旋转一周，则形成的立体图形的体积是（    ） A． B． C．或 D．或 17．（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图长方体纸片绕直线l旋转一周形成圆柱体，已知，则该圆柱体的体积为 ． 18．（23-24七年级上·河南·开学考试）将如图的直角三角形分别绕两条直角边所在的直线旋转一周，得到不同的立体图形，其中体积最大的立体图形的体积是 立方厘米．（结果保留） 19．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，长方形的相邻两边的长分别为x，y，将它分别绕相邻两边旋转一周． (1)两次旋转所形成的几何体都是_________； (2)若（k是常数），分别记绕长度为x，y的边旋转一周的几何体的体积为，，其中x，，的部分取值如表所示： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 m n ①通过表格中的数据计算：_____，_____，_____； ②当x逐渐增大时，的变化情况为______； A．逐渐增大；  B．逐渐减小；  C．先增大再减小；  D．先减小再增大； ③当x变化时，请直接写出与的大小关系． 20．（25-26七年级上·河南·阶段练习）课本重现：如图，已知长方形的长为、宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙． (1)甲乙圆柱体形成的过程可以解释为（   ） A．点动成线    线动成面    面动成体 (2)求甲、乙圆柱体的侧面积的大小．用字母和表示） (3)请直接写出甲、乙圆柱体的侧面积有什么关系？ 题型五 用七巧板拼图形 解题的关键是了解七巧板（七巧板是由五块等腰直角三角形(两块小形三角形、一块中形三角形和两块大形三角形，一块正方形和一块平行四边形组成）. 21．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，是一个同学用一副七巧板拼出的一个三角形，下列说法不正确的是（    ） A．第⑥块的面积是第③块的4倍 B．图中的等腰直角三角形一共有8个 C．第①块的面积是整个面积的 D．第②块的面积与第⑤块的面积相等 22．（21-22七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小房子”，则图中阴影部分的面积是（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 23．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，用边长为8的正方形，做了如图1所示的七巧板．将这个七巧板拼成如图2所示的图形，则图2中阴影部分的面积为 ． 24．（23-24七年级下·广东佛山·期末）七巧板是中国传统的智力玩具，由七块板组成，包括五个等腰直角三角形、一个正方形、一个平行四边形．若正方形的边长为4，按图1的方式画线，然后沿实线分割，得到一副七巧板，如图2所示． (1)求的面积； (2)选择图2中的若干块（每块只能用一次），拼成面积为8的正方形，请画出三种不同类型的拼法，并标好各块序号． 题型六 几何体展开图的识别 根据展开图判断立体图形时，若展开图全是长方形或正方形时，应考虑_____________或____________;若展开图含有三角形时，应考虑_____________或_____________若展开图中含有圆和长方形时，一般应考虑_____________;若展开图中含有扇形时，应考虑_____________. 25．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）下列图形中，可以折叠成三棱柱的是（　　） A．B．C．D． 26．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是（   ） A． B． C． D． 27．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）下列四个图中，是三棱锥的表面展开图的是（   ） A．B． C． D． 28．（2024七年级上·云南·专题练习）如图是一个多面体的表面展开图，则该多面体的名称是 ． 29．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）元旦节即将来临，七年级（1）班、（2）班合作，用硬纸板做如图所示的盒子来装礼物，已知盒子的形状是一个正四棱锥，现有400张硬纸板，（1）班用每张纸板可以剪4个侧面，（2）班用每张纸板可以剪3个底面，（1）班应该用多少张硬纸板做侧面，剩下的留给（2）班做，才能使得做出的每个面刚好做成套的盒子？    (1)请你画出四棱锥的两种展开图． (2)用一元一次方程解决这个问题． 30．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）如图（1）所示的长方体，长、宽、高分别为4，3，6．若将它的表面沿某几条棱剪开，展成一个平面图形，则①～④中，可能是该长方体展开图的有 ；（请填写序号） （2）图（2）、图（3）分别是（1）中长方体的两种展开图，求得图（2）的外围周长为52，请你求出图（3）的外围周长． 题型七 由展开图计算几何体的表面积/体积 31．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图1，这是形状为长方体的某种包装盒，它的长：宽：高，其展开图如图2所示（不包含包装盒的黏合处）． (1)设该包装盒的长为分米，展开图中的长度为 分米（用含x的代数式表示）． (2)若的长度为18分米，现对包装盒外表面涂色（含底面），且每平方分米涂料的价格为0.25元，求整个包装盒外表面涂色的费用． 32．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，掌握了长方体盒子的制作方法．下图是他制作的一个半成品的平面图： (1)在下图中补充一个长方形，使该平面图能折叠成一个长方体盒子； (2)已知小明制作长方体的盒子长是宽的2倍，宽是高的2倍，且长方体所有棱长的和为，求这个长方体盒子的表面积． 33．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）综合与实践： 【提出问题】 有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是、、，现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？ 实践操作：我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示： 【探究结论】 (1)请计算图1、图2、图3中的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充下表： 长 宽 高 表面积 图1 图2 图3 完成上表，根据上表可知，表面积最小的是______所示的长方体．(填“图1”、“图2”、“图3”)． 【解决问题】 (2)现在有4个小长方体纸盒，每个的长、宽、高都分别是、、、且，若用这4个长方体纸盒搭成一个大长方体，共有______种不同的方式，搭成的大长方体的表面积最小为______．(用含、、的代数式表示)．请简单说明理由． 【实践应用】 春节将至，小张在网上定制了若干个大小相同的长方体礼盒，商家准备将所有礼盒打成一个包裹寄走．下图是从三个方向看到的小张定制的礼盒的三个视图(阴影)，请帮忙计算打包用的包装纸最少要用多少平方米呢？(接头处忽略不计) 34．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）【提出问题】 小涵把长方体纸盒展开，得到图1，可以看成由长方形纸片和长方形纸片按照一定要求．拼接成的“”型图．小涵尝试了反向思考，对“两长方形纸片需满足什么条件，拼接成的“”型图可以是长方体的展开图．”进行了思考． 【探索问题】 探索一：两张相同长方形纸片拼接成的“”型图． 经过尝试，发现两张相同长方形纸片拼接成的“”型图都是长方体的展开图． （1）如图2，当长方形纸片和长方形纸片的长都是，宽都是时，求的长． （2）现有一张长为，宽为的长方形纸片，如果将它先剪成两个相同长方形，再拼接成“”型图，则该展开图折叠成的长方体的体积是_____． 探索二：两张不同长方形纸片拼接成的“”型图 再次尝试，发现两张不同长方形纸片拼接成的“”型图不一定是长方体的展开图，两长方形的长和宽需满足某种条件． （3）如图1，若长方形纸片和长方形纸片拼接成的“”型图是某长方体的展开图，设，，，，，则、、、之间满足的关系是_____． 【结论应用】 对于（3）中的结论，反之亦成立，请解决下面的问题． （4）甲、乙两张长方形纸片的宽分别是和，拼接成的“”型图是表面积是的长方体展开图，求甲长方形纸片的长． 35．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）长方形硬纸板长为10，宽为8，将这个纸板按图1方式剪裁，阴影部分可制作成一个无盖的长方体纸盒．设小正方形边长为x，图中y是纸盒底面M的一边长． (1)纸盒高为__________，侧面A的周长为__________；（用含x的代数式表示） (2)①若，则__________； ②x、y的等量关系式是__________； (3)当时，在另一张长为10，宽为8的硬纸板四个角处剪去四个边长等于x的小正方形，如图2，能制作成一个新的无盖长方体纸盒．问图1、图2制成的长方体体积是否能相等？若能则求出此时长方体体积，若不能请说明理由． 题型八 正方体几种展开图的识别 36．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列图形中，不是立方体的表面展开图的是（   ） A． B． C． D． 37．（24-25六年级上·山东烟台·期中）如图是一个正方体纸盒的展开图，当折成纸盒时，与数2重合的数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．11 38．（24-25七年级上·江西九江·期中）如图是的正方形网格，选择两个空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 39．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）下列是无盖正方体的展开图的有（    ）个 A．2 B．1 C．3 D．4 40．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）活动课上，学生们设计制作正方体包装盒，老师发给每名学生一张长方形纸板，其长为，宽为，可以在纸板上画出设计图，将阴影部分剪下再折叠，三名学生的设计如图所示：    （1）其中剪下后不能折成正方体的设计有 （填小张、小李或小王）； （2）有一张宽为，长为（为整数）的长方形网格纸，按照如下方式设计制作正方体包装盒，涂色的部分能够折成正方体，若的网格中没有被涂色的部分占到，则的值为 ．    题型九 正方体相对两个面上的字 由正方体平面展开图的特点可知，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形或位于“Z”字形的两端，且没有公共边和公共顶点，即“对面无邻点”. 41．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）将如图所示的平面展开图折叠成正方体后，“家”的对面的汉字是 ． 42．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）一个正方体的相对的表面上所标的数的和都相等，如图是这个正方体的表面展开图，那么的值是 ． 43．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，正方体的六个面上标着六个连续的整数，若相对的两个面上所标之数的和相等，则这6个数的和为 ． 44．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图是一个正方体纸盒的表面展开图，已知纸盒中相对两个面上的数互为倒数． (1) ， ， (2)先化简，再求值：． 45．（23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）如图是一个正方体的表面展开图，每个面均有个代数式，请解答下列问题： (1)与面“A”相对的是面“______________”，与面“B”相对的是面“______________”，与面“C”相对的是面“______________”； (2)若，，，且相对两个面上的代数式的和都相等，求代数式F，并求当，b是a的相反数时，代数式F的值． 题型十 含图案的正方体的展开图 1）先利用对立面排除：能看到的三个面必然不是对立面. 2）再利用某图形指向进行排除：特殊图形的指向是不会改变的. 3）最后再利用顺逆时针排除.依次连接三个面，顺逆时针的方向是不会改变的. 46．（24-25七年级上·江苏南京·期末）按图示切割正方体就可以切割出正六边形（正六边形的各顶点恰是其棱的中点），以下此正方体的平面展开图及切割线的画法正确的有 ．（填序号） 47．（2024七年级上·全国·专题练习）把如图所示的图形折叠（图案朝外）起来会变成（   ） A． B． C． D． 48．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（　　） A． B． C． D． 49．（21-22七年级上·全国·课后作业）如图，右面哪一个图形是左面正方体的展开图？ （1）    A．     B.     C.     D. （2）    A．     B.     C.     D. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题03 走进几何世界 题型一 常见几何体的识别 1．（24-25七年级上·江苏·阶段练习）（1）写出下列几何体的名称 ①_________  ②__________  ③__________  ④__________  ⑤__________ （2）将上述几何体按名称分类（请填写序号） 柱体有_________；锥体有__________；球体有___________． 【答案】（1）正方体；圆柱体；长方体；球体；圆锥体；（2）①②③；⑤；④ 【分析】本题主要了立体图形的分类，理解立体图形的分类是解答关键． （1）根据几何体特征解答即可； （2）根据柱体、锥体、球体进行分类求解． 【详解】（1）解：①正方体；②圆柱体；③长方体；④球体；⑤圆锥体 故答案为：正方体；圆柱体；长方体；球体；圆锥体 （2）柱体有①②③；锥体有⑤；球体有④． 故答案为：①②③；⑤；④ 2．（24-25七年级上·贵州毕节·阶段练习）指出如图所示的立体图形中的柱体、锥体、球． (1)如果按“柱、锥、球”来分，柱体有 ，锥体有 ，球有 ； (2)如果按“有无曲面”来分，有曲面的有 ，无曲面的有 ． 【答案】(1)（），（），（）；（）（）；（）； (2)（），（），（）；（），（），（）． 【分析】（）根据立体图形的分类即可求解； （）根据立体图形的分类即可求解； 本题考查了立体图形，熟练掌握立体图形的特点是解题的关键． 【详解】（1）按“柱、锥、球”来分，柱体有（），（），（），锥体有（）（），球有（）， 故答案为：（），（），（）；（）（）；（）； （2）按“有无曲面”来分，有曲面的有（），（），（），无曲面的有（），（），（）， 故答案为：（），（），（）；（），（），（）． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面多面体的模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 　　　　　　 长方体 8 6 12 正八面体 　　　　　　 8 12 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是　　； (2)一个多面体的棱数与顶点数的和为50，且有12个面，则这个多面体的棱数是　　； (3)某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，每个顶点处都有3条棱，共有棱36条．若该多面体外表面三角形的个数比八边形的个数的2倍多2，求该多面体外表面三角形的个数． 【答案】(1)6；6；； (2)30 (3)10 【分析】本题考查欧拉公式，熟记多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系是解题关键． （1）从表格观察发现：顶点数面数棱数； （2）根据多面体的棱数与顶点数的和为50，且有12个面，得到关于E，F，将其代入顶点数面数棱数即可求解； （3）设八边形的个数为y个，则三角形的个数为个，由题意可得，解方程求出y的值即可． 【详解】（1）解：； ； ∵， ∴顶点数、面数、棱数之间存在的关系式是； 故答案为：6；6；； （2）解：根据题意得，，则有： ∴， 解得，； 故答案为30； （3）解：因为，所以 又因为， 所以 设八边形的个数为，则三角形的个数为根据题意，得 ， 解得 所以，即该多面体外表面三角形的个数为． 4．（24-25七年级上·陕西西安·期中）小丽利用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的直五棱柱形笔筒（有盖）． (1)这个五棱柱有多少个面？它的侧面是什么形状？这个五棱柱一共有多少条棱？ (2)这个五棱柱所有侧面的面积之和是多少？ 【答案】(1)这个五棱柱有个面，五棱柱每个侧面为长方形，一共有条棱． (2)这个五棱柱所有侧面的面积之和是． 【分析】本题考查了棱柱的特征，侧棱，侧面积： （1）直接根据五棱柱的特征，即可求解． （2）根据侧面是长方形，侧面长方形的长为，宽为． 【详解】（1）根据题意，这个五棱柱有个面，五棱柱每个侧面为长方形，一共有条棱． （2）侧面长方形的长为，宽为． ． 所以，这个五棱柱所有侧面的面积之和是． 5．（2024七年级上·江苏·专题练习）如图，要在一块正方形土地上修筑两条笔直的道路，使道路把这块土地分成形状相同且面积相等的4部分，若道路的宽度忽略不计，请你设计三种不同的修筑方案．（只需画简图） 【答案】见解析（答案不唯一） 【分析】①由正方形的性质知，它的两个对角线把正方形分成面积相等的四部分， 故作出正方形的对角线即可；②由正方形的性质知，连接对边的中点，也能把正方形分成四个小的正方形，且每个的面积相等；③过两条对角线的交点的两条互相垂直的直线也能把正方形分成面积相等的四部分面积，本题考查了平面图形—正方形的认识． 【详解】解：方法一，如图，对角线，能把正方形分成面积相等的四部分； 方法二，连接对边的中点，能把正方形分成面积相等的四部分； 方法三，过两条对角线的交点的两条互相垂直的直线，能正方形分成面积相等的四部分 ． 题型二 点、线、面、体之间的关系 6．（2024七年级上·河北·专题练习）飞机表演“飞机拉线”时，我们用数学的知识可解释为点动成线．用数学知识解释下列现象： （1）流星从空中划过留下的痕迹可解释为 ； （2）自行车的辐条运动可解释为 ； （3）一只蚂蚁行走的路线可解释为 ； （4）打开折扇得到扇面可解释为 ； （5）一个圆面沿着它的一条直径旋转一周成球可解释为 ． 【答案】 点动成线 线动成面 点动成线 线动成面 面动成体． 【分析】此题主要考查了点、线、面、体，关键是掌握四者之间的关系．根据点线面体之间的关系为：点动成线，线动成面，面动成体的规律来解答即可． 【详解】解：（1）流星是点，光线是线，流星划出一条长线，所以流星从空中划过留下的痕迹可解释为点动成线； 故答案为：点动成线； （2）自行车的辐条是线，在运动过程中形成面，所以自行车的辐条运动可解释为线动成面； 故答案为：线动成面； （3）蚂蚁可看做是点，行走的路线是线，所以一只蚂蚁行走的路线可解释为点动成线； 故答案为：点动成线； （4）折扇合起来时是一条线，打开折扇得到扇面可解释为线动成面； 故答案为：线动成面； （5）一个圆是面，球是立体图形，一个圆面沿着它的一条直径旋转一周成球可解释为面动成体． 故答案为：面动成体； 7．（23-24六年级下·全国·假期作业）（1）一张纸对折后，纸上会留下一道折痕，用数学知识可解释为 ； （2）夏夜，天上飞逝的流星形成一道亮光，用数学知识可解释为 ； （3）黑板擦在黑板上擦出一片干净的区域，用数学知识可解释为 ； （4）长方形绕它的一边在的直线旋转，形成一个圆柱，用数学知识可解释为 ． 【答案】 面与面相交得到线 点动成线 线动成面 面动成体 【分析】题目考查了点、线、面之间的动态关系，理解生活中的点、线、面关系是解题的关键． 【详解】（1）一张纸对折后，纸上会留下一道折痕，用数学知识可解释为面与面相交得到线； 故答案为：面与面相交得到线 （2）夏夜，天上飞逝的流星形成一道亮光，用数学知识可解释为点动成线； 故答案为：点动成线 （3）黑板擦在黑板上擦出一片干净的区域，用数学知识可解释为线动成面； 故答案为：线动成面 （4）长方形绕它的一边所在的直线旋转，形成一个圆柱，用数学知识可解释为面动成体． 故答案为：面动成体 8．（22-23七年级上·江苏淮安·阶段练习）有下面四种现象：①旋转一扇门，门运动的痕迹；②扔一块小石子，石子在空中飞行的路线；③夜晚天空划过流星的痕迹；④汽车雨刷在挡风玻璃上画出的痕迹．其中能说明“线动成面”的现象是 （填序号）． 【答案】④ 【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体的特征对各选项分析判断后利用排除法求解即可． 【详解】①旋转一扇门，门运动的痕迹是面动成体，不符合题意； ②扔一块小石子，石子在空中飞行的路线是点动成线，不符合题意； ③夜晚天空划过流星的痕迹是点动成线，不符合题意； ④汽车雨刷在挡风玻璃上画出的痕迹是线动成面，符合题意． 故答案为：④． 【点睛】本题考查了点、线、面、体的知识，主要是考查学生立体图形的空间想象能力及分析问题，解决问题的能力． 9．（20-21七年级上·全国·课后作业）飞机表演“飞机拉线”时，我们用数学的知识可解释为点动成线.用数学知识解释下列现象： (1)流星从空中划过留下的痕迹可解释为______； (2)自行车的辐条运动可解释为_____； (3)一只蚂蚁行走的路线可解释为_____； (4)打开折扇得到扇面可解释为_____； (5)一个圆面沿着它的一条直径旋转一周成球可解释为____. 【答案】(1)点动成线； (2)线动成面； (3)点动成线； (4)线动成面； (5)面动成体． 【分析】根据点线面体之间的关系为：点动成线，线动成面，面动成体的规律来解答即可． 【详解】（1）解：流行是点，光线是线，流星划出一条长线，所以流星从空中划过留下的痕迹可解释为点动成线； （2）解：自行车的辐条是线，在运动过程中形成面，所以自行车的辐条运动可解释为线动成面； （3）解：蚂蚁可看做是点，行走的路线是线，所以一只蚂蚁行走的路线可解释为点动成线； （4）解：折扇合起来时是一条线，打开折扇得到扇面可解释为线动成面； （5）解：一个圆是面，球是立体图形，一个圆面沿着它的一条直径旋转一周成球可解释为面动成体. 【点睛】此题主要考查了点、线、面、体，关键是掌握四者之间的关系． 题型三 判断平面图形旋转后所得的立体图形 10．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，将直角三角形绕直角边所在直线l旋转一周，得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点、线、面、体，面动成体，根据题意作出图形，即可进行判断． 【详解】解：直角三角形绕它的直角边旋转一周可形成圆锥， 故选：A． 11．（22-23七年级上·广东佛山·阶段练习）下列平面图形沿轴旋转一周，可以得到如图所示的几何体的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟悉并判断出旋转后的立体图形是解题的关键．根据面动成体判断出各选项中旋转得到立体图形即可得出答案． 【详解】A、旋转一周为圆锥，不符合题意； B、旋转一周为倒立的圆锥且底面凹进去一个圆锥，不符合题意； C、旋转一周能够得到的几何体与原题图形位置反过来了，不符合题意； D、旋转一周能够得到原题图形，符合题意； 故选：D． 12．（23-24七年级上·全国·课后作业）如图所示的图形绕轴旋转一周，便能形成中的某个几何体，请你用线把它们连起来．    【答案】见解析 【分析】根据几何体的形成特点即可判断． 【详解】解：如图所示：    【点睛】此题主要考查几何体的旋转构成特点，解题的关键是熟知简单几何体的特点． 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列平面图形绕虚线旋转一周能得到一个立体图形，请将对应图形用线连接起来． 【答案】 【分析】本题考查了点、线、面、体的知识，是基础题，熟悉常见几何体的形成是解题的关键． 根据面动成体结合常见立体图形的形状连接即可． 【详解】解：连接如图． 题型四 求平面图形旋转后所得立体图形的体积 14．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，分别以直角梯形的下底和上底所在的直线为轴，将梯形旋转一周得到A，B两个几何体，则，两个几何体的体积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆柱和圆锥的体积、图形的旋转，熟练掌握图形的旋转是解题关键．几何体的体积等于圆柱的体积与圆锥的体积之和，几何体的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，由此即可得． 【详解】解：几何体的体积为， 几何体的体积， 则，两个几何体的体积之比是， 故选：C． 15．（24-25七年级上·陕西·阶段练习）如图，已知长方形的长为a、宽为b（其中），将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙，则这两个圆柱的侧面积和体积的关系为（　　） A．甲乙的侧面积不相同，体积也不相同 B．甲乙的侧面积相同，体积也相同 C．甲乙的侧面积不相同，体积相同 D．甲乙的侧面积相同，体积不同 【答案】D 【分析】本题考查平面图形的旋转体，圆柱的侧面积和体积，根据长方形旋转后得到圆柱体，分别求出两个圆柱体的侧面积和体积，即可得出结果． 【详解】解：甲图圆柱的侧面积为，体积为； 乙图圆柱的侧面积为：，体积为； ， ， 故甲乙的侧面积相同，体积不同； 故选：D． 16．（22-23七年级上·江苏扬州·期末）已知一个长方形的长、宽分别是4cm、3cm，若以这个长方形的一条边为轴旋转一周，则形成的立体图形的体积是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分情况讨论绕长所在的直线旋转一周得到圆柱体积和绕宽所在的直线旋转一周得到圆柱体积． 【详解】绕长所在的直线旋转一周得到圆柱体积为： 绕宽所在的直线旋转一周得到圆柱体积： 故选：D 【点睛】本题考查求圆柱的体积，解题的关键是分情况进行讨论． 17．（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图长方体纸片绕直线l旋转一周形成圆柱体，已知，则该圆柱体的体积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点、线、面、体，熟练掌握圆柱的特征，以及圆柱的体积计算公式是解题的关键．根据题意可得，圆柱的底面半径为，高为，再根据圆柱的体积公式进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴该圆柱体的体积为， 故答案为：． 18．（23-24七年级上·河南·开学考试）将如图的直角三角形分别绕两条直角边所在的直线旋转一周，得到不同的立体图形，其中体积最大的立体图形的体积是 立方厘米．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了点、线、面、体，根据圆锥的体积公式：，把数据代入公式求出它们的体积，然后进行比较即可． 【详解】解：以为轴时： 立体图形的体积为（立方厘米）， 以为轴时： 立体图形的体积为（立方厘米）， ， 最大的立体图形的体积是立方厘米， 故答案为：． 19．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，长方形的相邻两边的长分别为x，y，将它分别绕相邻两边旋转一周． (1)两次旋转所形成的几何体都是_________； (2)若（k是常数），分别记绕长度为x，y的边旋转一周的几何体的体积为，，其中x，，的部分取值如表所示： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 m n ①通过表格中的数据计算：_____，_____，_____； ②当x逐渐增大时，的变化情况为______； A．逐渐增大；  B．逐渐减小；  C．先增大再减小；  D．先减小再增大； ③当x变化时，请直接写出与的大小关系． 【答案】(1)圆柱 (2)①10，，；②C；③当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查了矩形的旋转，圆柱的形成，圆柱的体积，函数的性质，熟练掌握圆柱的定义，熟练掌握圆柱的体积公式，函数的性质是解题的关键． （1）根据圆柱的概念求解即可． （2）①根据题意和圆柱的体积公式分别求解即可． ②根据题意和圆柱的体积公式填写表格，然后求解即可． ③根据②中的表格，分类求解即可． 【详解】（1）根据题意可得，两次旋转所形成的几何体都是圆柱， 故答案为：圆柱． （2）①根据题意，得，， 当时，，， ∴， 解得， 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， 故答案为：10，，； ②根据题意，得 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 m ∴当x逐渐增大时，的变化情况：先增大后减小；故选C． ③根据题意，得，， 当时，得， 解得； 当时，得， ∴， ∴， 解得； 当时，得， ∴， ∴， 解得； 故当时，；当时，；当时，． 20．（25-26七年级上·河南·阶段练习）课本重现：如图，已知长方形的长为、宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙． (1)甲乙圆柱体形成的过程可以解释为（   ） A．点动成线    线动成面    面动成体 (2)求甲、乙圆柱体的侧面积的大小．用字母和表示） (3)请直接写出甲、乙圆柱体的侧面积有什么关系？ 【答案】(1)C (2)甲、乙圆柱体的侧面积都是 (3)甲、乙圆柱体的侧面积相等 【分析】此题考查了点、线、面、体之间的关系以及圆柱的侧面积公式，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据平面旋转后得到圆柱体即可知道是面动成体； （2）根据底面圆周长乘高，分别计算出甲、乙圆柱体的侧面积； （3）根据（2）的答案可得结论． 【详解】（1）解：甲乙圆柱体形成的过程可以解释为面动成体， 故选：C； （2）解：甲圆柱的侧面积为：， 乙圆柱的侧面积为：； （3）解：∵甲圆柱体的侧面积为：，乙圆柱体的侧面积为：， ∴甲、乙圆柱体的侧面积相等． 题型五 用七巧板拼图形 解题的关键是了解七巧板（七巧板是由五块等腰直角三角形(两块小形三角形、一块中形三角形和两块大形三角形，一块正方形和一块平行四边形组成）. 21．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，是一个同学用一副七巧板拼出的一个三角形，下列说法不正确的是（    ） A．第⑥块的面积是第③块的4倍 B．图中的等腰直角三角形一共有8个 C．第①块的面积是整个面积的 D．第②块的面积与第⑤块的面积相等 【答案】C 【分析】本题考查了三角形，．设①和③的面积为，计算其他几块的面积即可解答． 【详解】解：设①和③的面积为， 则②的面积为，④的面积为，⑤的面积为，⑥和⑦的面积为， ∴整个三角形的面积为， ∴第⑥块的面积是第③块的倍，A选项不符合题意； 图中的等腰直角三角形一共有个，B选项不符合题意； 第①块的面积是整个面积的，C选项符合题意； 第②块的面积与第⑤块的面积相等，D选项不符合题意， 故选∶C． 22．（21-22七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小房子”，则图中阴影部分的面积是（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】A 【分析】根据阴影部分的组成与原正方形面积之间的关系解答． 【详解】解：阴影部分由一个等腰直角三角形和一个直角梯形组成， 由第一个图形可知：阴影部分的两部分可构成正方形的四分之一， 正方形的面积=4×4=16， ∴图中阴影部分的面积是16÷4=4． 故选：A． 【点睛】本题考查了剪纸问题．注意得到阴影部分面积与原正方形面积的关系是解决本题的突破点． 23．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，用边长为8的正方形，做了如图1所示的七巧板．将这个七巧板拼成如图2所示的图形，则图2中阴影部分的面积为 ． 【答案】16 【分析】由七巧板的制作过程可知，阴影部分是用平行四边形和一个小正方形拼成的，所以面积是正方形面积的． 【详解】解：阴影部分面积等于大正方形的面积减去两个大三角形的面积和两个中等三角形的面积所得的值， 而两个中等三角形的面积等于一个大三角形的面积，四个大三角形的面积等于正方形的面积， ∴阴影部分的面积等于正方形面积的 即． 故答案为：16． 24．（23-24七年级下·广东佛山·期末）七巧板是中国传统的智力玩具，由七块板组成，包括五个等腰直角三角形、一个正方形、一个平行四边形．若正方形的边长为4，按图1的方式画线，然后沿实线分割，得到一副七巧板，如图2所示． (1)求的面积； (2)选择图2中的若干块（每块只能用一次），拼成面积为8的正方形，请画出三种不同类型的拼法，并标好各块序号． 【答案】(1)1 (2)见解析 【分析】本题主要考查了七巧板的问题： （1）根据题意得：正方形是由16个完全一样的三角形组成的，从而得到，即可求解； （2）根据①与②的面积之和为8，①与③与⑤与⑦的面积之和为8，③与④与⑤与⑥与⑦的面积之和为8，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：正方形是由16个完全一样的三角形组成的， ∴， ∵正方形的边长为4， ∴； （2）解：如图， 题型六 几何体展开图的识别 根据展开图判断立体图形时，若展开图全是长方形或正方形时，应考虑_____________或____________;若展开图含有三角形时，应考虑_____________或_____________若展开图中含有圆和长方形时，一般应考虑_____________;若展开图中含有扇形时，应考虑_____________. 答案：长方体 正方体 棱锥 三棱柱 圆柱 圆锥 25．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）下列图形中，可以折叠成三棱柱的是（　　） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查几何体展开图的判断，根据展开图的特点即可判断． 【详解】解：A、根据图形判断是圆锥展开图，不符合题意； B、根据图形判断是三棱柱展开图，符合题意； C、根据图形判断是正方体展开图，不符合题意； D、根据图形判断是四棱锥展开图，不符合题意． 故选：B． 26．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何体的展开图，根据展开图得到几何体为五棱锥，得到底面是五边形，即可． 【详解】解：由图形可知：几何体为五棱锥， ∴底面是五边形， 故选C． 27．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）下列四个图中，是三棱锥的表面展开图的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三棱锥的表面展开图，熟练掌握三棱锥的几何特征，及利用展开图围成几何体是解题的关键．利用三棱锥是由四个三角形组成，并利用四个三角形看是否可以围成三棱锥即可解答． 【详解】解：选项A中，是长方体的表面展开图，不是三棱锥的表面展开图，故选项不符合题意； 选项B中，是三棱锥的表面展开图，故选项符合题意； 选项C中，是四棱锥的表面展开图，故选项不符合题意； 选项D中，是三棱柱的表面展开图，故选项不符合题意； 故选：B． 28．（2024七年级上·云南·专题练习）如图是一个多面体的表面展开图，则该多面体的名称是 ． 【答案】三棱柱 【分析】本题考查了几何体展开图的认识，熟练掌握常见几何体的平面展开图是解题的关键．需要注意的是：同一个立体图形按不同的方式展开得到的平面展开图是不一样的；虽然不同的几何体以不同的方式展开会得到不同的图形，但组成这些图形的基本图形是一致的，常常是三角形、四边形、圆等；我们常见的棱柱主要是直棱柱（侧面垂直于底面），但一个棱柱的侧面不一定是完全相同的长方形．由该多面体的表面展开图即可直接得出答案． 【详解】解：由该多面体的表面展开图可知，该多面体的名称是：三棱柱， 故答案为：三棱柱． 29．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）元旦节即将来临，七年级（1）班、（2）班合作，用硬纸板做如图所示的盒子来装礼物，已知盒子的形状是一个正四棱锥，现有400张硬纸板，（1）班用每张纸板可以剪4个侧面，（2）班用每张纸板可以剪3个底面，（1）班应该用多少张硬纸板做侧面，剩下的留给（2）班做，才能使得做出的每个面刚好做成套的盒子？    (1)请你画出四棱锥的两种展开图． (2)用一元一次方程解决这个问题． 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 【分析】本题考查几何体的展开图，一元一次方程的应用： （1）根据四棱锥的特点，画出2种展开图即可； （2）设（1）班应该用张硬纸板做侧面，根据侧面的数量是底面的4倍，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：如图：    （2）设（1）班应该用张硬纸板做侧面，则：（2）班用张纸板， 由题意，得：， 解得：； 答：（1）班应该用300张硬纸板做侧面． 30．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）如图（1）所示的长方体，长、宽、高分别为4，3，6．若将它的表面沿某几条棱剪开，展成一个平面图形，则①～④中，可能是该长方体展开图的有 ；（请填写序号） （2）图（2）、图（3）分别是（1）中长方体的两种展开图，求得图（2）的外围周长为52，请你求出图（3）的外围周长． 【答案】（1）①，②；（2）58 【分析】本题考查了长方体展开图，熟练掌握长方体展开图的特征是解题的关键． （1）根据长方体展开图的特征，即可解答； （2）观察图形可知，图（3）有4条高，4个宽，6条长，即可解答． 【详解】解：（1）由图可知，可能是该长方体展开图的有①②， ③只有5个面，不能围成长方体，④有7个面，且折叠后有面重叠，不是长方体展开图， 故答案为：①②； （2）由图可知：图（3）的外围周长． 题型七 由展开图计算几何体的表面积/体积 31．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图1，这是形状为长方体的某种包装盒，它的长：宽：高，其展开图如图2所示（不包含包装盒的黏合处）． (1)设该包装盒的长为分米，展开图中的长度为 分米（用含x的代数式表示）． (2)若的长度为18分米，现对包装盒外表面涂色（含底面），且每平方分米涂料的价格为0.25元，求整个包装盒外表面涂色的费用． 【答案】(1) (2)27元 【分析】本题考查了列代数式、整式加减的应用、一元一次方程的应用、长方体的展开图，熟练掌握整式加减的应用是解题关键． （1）先求出该包装盒的宽为分米，高为分米，再根据的长度等于长与高之和的2倍即可得； （2）先求出，则可得该包装盒的长、宽与高，再求出该包装盒的表面积，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意得：该包装盒的宽为分米，高为分米， 则（分米）， 故答案为：． （2）解：∵的长度为18分米， ∴， 解得， ∴该包装盒的长为6分米，宽为4分米，高为3分米， ∵现对包装盒外表面涂色（含底面），且每平方分米涂料的价格为元， ∴（元）， 答：整个包装盒外表面涂色的费用为27元． 32．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，掌握了长方体盒子的制作方法．下图是他制作的一个半成品的平面图： (1)在下图中补充一个长方形，使该平面图能折叠成一个长方体盒子； (2)已知小明制作长方体的盒子长是宽的2倍，宽是高的2倍，且长方体所有棱长的和为，求这个长方体盒子的表面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了长方体的展开图，一元一次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据长方体的展开图补充图形即可求解； （2）根据题意，设长方体的高为，则宽为，长为，根据长方体所有棱长的和为，列出方程，进而根据表面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：设长方体的高为，则宽为，长为， 根据题意得， 解得：， ∴这个长方体的高为，宽为，长为， ∴这个长方体盒子的表面积为：． 33．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）综合与实践： 【提出问题】 有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是、、，现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？ 实践操作：我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示： 【探究结论】 (1)请计算图1、图2、图3中的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充下表： 长 宽 高 表面积 图1 图2 图3 完成上表，根据上表可知，表面积最小的是______所示的长方体．(填“图1”、“图2”、“图3”)． 【解决问题】 (2)现在有4个小长方体纸盒，每个的长、宽、高都分别是、、、且，若用这4个长方体纸盒搭成一个大长方体，共有______种不同的方式，搭成的大长方体的表面积最小为______．(用含、、的代数式表示)．请简单说明理由． 【实践应用】 春节将至，小张在网上定制了若干个大小相同的长方体礼盒，商家准备将所有礼盒打成一个包裹寄走．下图是从三个方向看到的小张定制的礼盒的三个视图(阴影)，请帮忙计算打包用的包装纸最少要用多少平方米呢？(接头处忽略不计) 【答案】（1）图1，表格见解析；（2）且或或或且，；（3）最少需要平方米包装纸． 【分析】本题考查了几何体的表面积，三视图，找出各种不同搭法是解题的关键． （1）根据长方体的表面积的计算方法分别计算即； （2）根据（2）的方法，分且找出各种搭法，进而可得出共有且或或或且种不同的方式，利用长方体的表面积计算公式，找出各种搭法的表面积，取其中的最小值即可得出结论； （3）要使包装的纸最少，应该把长方体最大的面重合在一起，即把的面重合在一起，这样包装后的长方体，长是厘米，宽为厘米，高为厘米，根据长方体的表面积公式，求出包装后的长方体的表面积即可解答． 【详解】解：（1）图1中，长方体的高为4，表面积． 图2中，长为32，表面积． 图3中，宽为12，表面积． ∴图1的表面积最小． 长 宽 高 表面积 图1 图2 图3 （2）解：当且时，共有种搭法，可分为两类： 第一类有三种情况，表面积分别为，，； 第二类有三种情况，表面积分别为，，． 第三类：当时，表面积为；当时，表面积为． 第三类：当时，表面积为；当时，表面积为． 共有且或或或且种不同的方式． 又且 搭成的大长方体的表面积最小为． 故答案为：且或或或且，； （3）解：根据三视图可得礼盒的长宽高分别为，，，这要使包装的纸最少，应该把长方体最大的面重合在一起，即把的面重合在一起，这样包装后的长方体，长是厘米，宽为厘米，高为(厘米)， 依题意，  (平方米) 答：最少需要平方米包装纸． 34．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）【提出问题】 小涵把长方体纸盒展开，得到图1，可以看成由长方形纸片和长方形纸片按照一定要求．拼接成的“”型图．小涵尝试了反向思考，对“两长方形纸片需满足什么条件，拼接成的“”型图可以是长方体的展开图．”进行了思考． 【探索问题】 探索一：两张相同长方形纸片拼接成的“”型图． 经过尝试，发现两张相同长方形纸片拼接成的“”型图都是长方体的展开图． （1）如图2，当长方形纸片和长方形纸片的长都是，宽都是时，求的长． （2）现有一张长为，宽为的长方形纸片，如果将它先剪成两个相同长方形，再拼接成“”型图，则该展开图折叠成的长方体的体积是_____． 探索二：两张不同长方形纸片拼接成的“”型图 再次尝试，发现两张不同长方形纸片拼接成的“”型图不一定是长方体的展开图，两长方形的长和宽需满足某种条件． （3）如图1，若长方形纸片和长方形纸片拼接成的“”型图是某长方体的展开图，设，，，，，则、、、之间满足的关系是_____． 【结论应用】 对于（3）中的结论，反之亦成立，请解决下面的问题． （4）甲、乙两张长方形纸片的宽分别是和，拼接成的“”型图是表面积是的长方体展开图，求甲长方形纸片的长． 【答案】（1）；（2）或；（3）；（4） 【分析】本题考查长方体的展开图，一元一次方程的应用， （1）根据题意，得：，，，设，则，求解即可； （2）分两种情况求解：①剪成长为，宽为的两个长方形；②剪成长为，宽为的两个长方形； （3）根据题意，得：，，继而得到，代入数据可得结论； （4）利用（3）的结论：设甲长方形纸片的长为，则乙长方形纸片的长为，根据“拼接成的“”型图是表面积是的长方体展开图”列出方程求解即可； 掌握长方体的展开图是解题的关键． 【详解】解：（1）如图2， ∵两张相同长方形纸片拼接成的“”型图是长方体的展开图，且长方形纸片和长方形纸片的长都是，宽都是， ∴，，， 设，则， 依题意，得：， 解得：， ∴， 即的长为； （2）①剪成长为，宽为的两个长方形，拼成“”型图如下图， 此时长方体的体积为：； ②剪成长为，宽为的两个长方形，拼成“”型图如下图， 此时长方体的体积为：； 综上所述，该展开图折叠成的长方体的体积是或， 故答案为：或； （3）∵长方形纸片和长方形纸片拼接成的“”型图是某长方体的展开图，且，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （4）设甲长方形纸片的长为，则乙长方形纸片的长为， 依题意，得：， 解得：， ∴甲长方形纸片的长为． 35．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）长方形硬纸板长为10，宽为8，将这个纸板按图1方式剪裁，阴影部分可制作成一个无盖的长方体纸盒．设小正方形边长为x，图中y是纸盒底面M的一边长． (1)纸盒高为__________，侧面A的周长为__________；（用含x的代数式表示） (2)①若，则__________； ②x、y的等量关系式是__________； (3)当时，在另一张长为10，宽为8的硬纸板四个角处剪去四个边长等于x的小正方形，如图2，能制作成一个新的无盖长方体纸盒．问图1、图2制成的长方体体积是否能相等？若能则求出此时长方体体积，若不能请说明理由． 【答案】(1)； (2)①2；② (3)能， 【分析】本题考查了认识立体图形，列代数式等知识，用代数式表示图1、图2中阴影部分所做成的长方体长、宽、高和体积是正确解答的关键． （1）观察图1的特征即可解答； （2）①当时，先算出侧面A的长和宽，然后用大长方形的宽减去侧面A的长和宽，即可求出y的值； ②用大长方形的宽减去侧面A的长和宽，即可求出y与x的关系； （3）分别用x表示出图1、图2制成的长方体体积，然后令两式相等，求出x，再判断x与4的大小即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分所做成的纸盒高为x， 侧面A的周长为， 故答案为：x，； （2）解：①图1中，当时，侧面A的长为4，宽为， 此时， 故答案为：2； ②根据题意，得， 故答案为：； （3）解：能； 图1中阴影部分所做成的纸盒的长为，宽为，高为x， 因此体积为， 图2中阴影部分所做成的纸盒的长为，宽为，高为x， 因此体积为， 当，即， 解得， 因为 所以图1、图2制成的长方体体积能相等，此时体积为． 题型八 正方体几种展开图的识别 36．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列图形中，不是立方体的表面展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方体的展开图，熟练掌握正方体的表面展开图是解题的关键． 由平面图形的折叠及正方体的展开图解答即可． 【详解】解：A、B、D经过折叠后，可以围成立方体，故是立方体的展开图； C、围成几何体时，最上边的小正方形和最右边的小正方形重合，故不是立方体的展开图． 故选：C． 37．（24-25六年级上·山东烟台·期中）如图是一个正方体纸盒的展开图，当折成纸盒时，与数2重合的数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了正方体的展开图，由正方体展开图的特征得出结论，熟练掌握正方体的展开图是解此题的关键． 【详解】解：由正方体展开图的特征得出，当折成纸盒时，与数2重合的数是6， 故选：A． 38．（24-25七年级上·江西九江·期中）如图是的正方形网格，选择两个空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】此题主要考查了几何体的展开图，关键是掌握正方体展开图的特点．依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论． 【详解】解：如图，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有： 共8种， 故选：C． 39．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）下列是无盖正方体的展开图的有（    ）个 A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方体的展开图， 根据正方体的展开图的特点一一判断即可得出答案． 【详解】解：根据正方体的展开图的特点可以判断（5）不能叠成无盖正方体， 故无盖正方体的展开图的有（1）（2）（3）（4）一共4个 故选：D ． 40．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）活动课上，学生们设计制作正方体包装盒，老师发给每名学生一张长方形纸板，其长为，宽为，可以在纸板上画出设计图，将阴影部分剪下再折叠，三名学生的设计如图所示：    （1）其中剪下后不能折成正方体的设计有 （填小张、小李或小王）； （2）有一张宽为，长为（为整数）的长方形网格纸，按照如下方式设计制作正方体包装盒，涂色的部分能够折成正方体，若的网格中没有被涂色的部分占到，则的值为 ．    【答案】 小张 40 【分析】此题主要考查了正方体的展开图，一元一次方程的应用． （1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解答即可； （2）的网格中有小正方形，没有被涂色的部分有6个，根据“没有被涂色的部分占到”列方程求解即可． 【详解】解：（1）小李和小王的设计经过折叠均能围成正方体， 小张的设计经过折叠不能折成正方体． 故答案为：小张； （2）由题意得， 解得． 故答案为：40． 题型九 正方体相对两个面上的字 由正方体平面展开图的特点可知，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形或位于“Z”字形的两端，且没有公共边和公共顶点，即“对面无邻点”. 41．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）将如图所示的平面展开图折叠成正方体后，“家”的对面的汉字是 ． 【答案】爱 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“我”字对面的字是“丽”，“爱”字对面的字是“家”，“美”字对面的字是“乡”． 故答案为：爱． 42．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）一个正方体的相对的表面上所标的数的和都相等，如图是这个正方体的表面展开图，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的数字，熟练掌握正方体表面展开图的特征判定相对的面是关键． 根据正方体表面展开图的特征判定相对的面，再根据相反数的意义求解即可． 【详解】解：依题意可知，x与是相对面，y与x是相对面，与2是相对面， 相对的表面上所标的数的和都相等， ，， 解得，， ． 故答案为：． 43．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，正方体的六个面上标着六个连续的整数，若相对的两个面上所标之数的和相等，则这6个数的和为 ． 【答案】69 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的数字，熟练掌握正方体表面展开图的特征判定相对的面是关键． 由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题，根据题意分析可得：六个面上分别写着六个连续的整数，故六个整数可能为9，10，11，12，13，14或8，9，10，11，12，13，然后分析是否符合题意即可． 【详解】解：根据题意分析可得：六个面上分别写着六个连续的整数， 故六个整数可能为9，10，11，12，13，14或8，9，10，11，12，13； 且每个相对面上的两个数之和相等， ，，， ，，（9与12相邻，不合题意，舍去） 故可能为9，10，11，12，13，14其和为69． 故答案为：． 44．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图是一个正方体纸盒的表面展开图，已知纸盒中相对两个面上的数互为倒数． (1) ， ， (2)先化简，再求值：． 【答案】(1)1，2， (2)，2 【分析】本题考查了正方体的平面展开图、倒数、整式加减中的化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键． （1）根据正方体的平面展开图的特点可得与1处在相对两个面上，与处在相对两个面上，与处在相对两个面上，再根据倒数的定义即可得； （2）先去括号，再计算整式的加减，然后将的值代入计算即可得． 【详解】（1）解：由正方体的平面展开图的特点可知，与1处在相对两个面上，与处在相对两个面上，与处在相对两个面上， ∵正方体纸盒中相对两个面上的数互为倒数， ∴， 故答案为：1，2，． （2）解：原式 ， 将代入得：原式． 45．（23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）如图是一个正方体的表面展开图，每个面均有个代数式，请解答下列问题： (1)与面“A”相对的是面“______________”，与面“B”相对的是面“______________”，与面“C”相对的是面“______________”； (2)若，，，且相对两个面上的代数式的和都相等，求代数式F，并求当，b是a的相反数时，代数式F的值． 【答案】(1)D，F，E (2)28 【分析】本题考查了正方体的展开图形，整式的加减运算，解题关键是从相对面入手进行分析及解答问题． （1）正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答． （2）根据A与D是相对两个面，且所表示的代数式的和都相等，求得其和，进而分别找到B与F相对的面，A、D根据两个面的代数式的和减去B所表示的代数式，即可求得F分别代表的代数式． 【详解】（1）正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形， ∴与面“A”相对的是面“D”，与面“B”相对的是面“F”，与面“C”相对的是面“E”； 故答案为：D，F，E （2）因为面“A”与面“D”相对，面“B”与面“F”相对， 所以， 所以 ． b是a的相反数，， ， 所以． 题型十 含图案的正方体的展开图 1）先利用对立面排除：能看到的三个面必然不是对立面. 2）再利用某图形指向进行排除：特殊图形的指向是不会改变的. 3）最后再利用顺逆时针排除.依次连接三个面，顺逆时针的方向是不会改变的. 46．（24-25七年级上·江苏南京·期末）按图示切割正方体就可以切割出正六边形（正六边形的各顶点恰是其棱的中点），以下此正方体的平面展开图及切割线的画法正确的有 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了正方体的展开图和截一个几何体，熟练掌握正方体的展开图，观察思考与动手操作结合是解决本题的关键．根据正方体的展开图和正六边形截面的特征，将题目中的展开图重新折叠，再与原来的正方体（含切割线）比较即可得到答案． 【详解】解：对于①，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意； 对于②，将展开图重新折叠不能得出原来的正方体（含切割线），不符合题意； 对于③，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意； 对于④，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意． 故答案为：①③④． 47．（2024七年级上·全国·专题练习）把如图所示的图形折叠（图案朝外）起来会变成（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题以小立方体的侧面展开图为背景，考查学生对立体图形展开图的认识．在本题的解决过程中，可以动手进行具体折纸、翻转活动也可以． 【详解】解：通过实际动手操作可知正确的为B． 故选：B． 48．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方体的展开图，根据圆面、正方形面、三角形面是相邻面，且圆面、正方形面与三角形面只有一个公共顶点，可得答案． 【详解】解：根据图形得： A、C、D选项中折叠后带图案的三个面不能相交于同一个点，与原立方体不符； B选项中折叠后与原立方体符合，所以正确的是B． 故选：B 49．（21-22七年级上·全国·课后作业）如图，右面哪一个图形是左面正方体的展开图？ （1）    A．     B.     C.     D. （2）    A．     B.     C.     D. 【答案】（1）D；（2）C 【分析】根据正方体三个面上的图案特征以及位置分析，进而可得展开图． 【详解】（1）根据正方体的展开图，分析三个面上的特征与位置对应关系，展开图为D选项； （2）根据正方体的展开图，分析三个面上的特征与位置对应关系，展开图为C选项 【点睛】本题考查了含图案的正方体的表面展开图，找到图案的特征与位置对应关系是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $