专题20 观察 抽象重难点题型专训（2个知识点+5大题型+1大提高题型+自我检测）2026-2027学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题20 观察 抽象重难点题型专训 （2个知识点+5大题型+1大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 常见的几何体】 3 【基础题型二 组合几何体的构成】 4 【基础题型三 几何体中的点、棱、面】 7 【基础题型四 立体图形的分类】 11 【基础题型五 截一个几何体】 15 第二部分·练提高题型 【提高题型一 解决几何体截面图形的相关问题】 20 第三部分・自我检测 知识点01 立体图形的相关概念 1.定义：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． 立体图形除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面划分：①有曲面：圆柱、圆锥、球等；②没有曲面：棱柱、棱锥等. 2.棱柱的有关概念及其特征: ①在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四边形. ②棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n条侧棱，有n+2个面，n个侧面. 【即时训练】 1．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）下列物品的形状可以近似的看作圆柱体的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据常见几何体判定求解即可； 【详解】解：A.是正方体； B.是球； C.是长方体； D.是圆柱体； 2．（25-26七年级上·江苏常州·期末）小王和小张在课间玩“猜几何体”游戏，小张说：“我心中想的几何体是一个共有个面的棱柱．”请你写出这个几何体的名称：________． 【答案】六棱柱 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，棱柱的性质，设底面边数为，根据棱柱的面数底面边数列出方程解答即可求解，掌握棱柱的性质是解题的关键． 【详解】解：设底面边数为，则， 解得， ∴几何体是六棱柱， 故答案为：六棱柱． 知识点02 截面 定义：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面. 【即时训练】 1．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，泗阳电视塔塔身高158米，素有“小东方明珠”的美誉．塔球上这部分可以近似看成一个六棱柱，如果用一个平面去截六棱柱，边数最多的截面形状是（   ）边形 A．六 B．七 C．八 D．九 【答案】C 【分析】考查了截一个几何体； 截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关，六棱柱有八个面，用平面去截六棱柱时最多与八个面相交得八边形． 【详解】解：用一个平面去截六棱柱时最多与八个面相交得八边形， 所以边数最多的截面形状是八边形． 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）将正方体切去一块后，得到如图所示的几何体有______个面，有______个顶点，有______条棱． 【答案】 【分析】本题考查了截一个几何体，根据几何体的特征，即可解答． 【详解】解：将正方体切去一块后，得到如图所示的几何体有个面，有个顶点，有条棱， 故答案为：；；． 【基础题型一 常见的几何体】 【例1】（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）下面的几何体中，棱柱有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了棱柱，根据棱柱的结构特征判断即可求解，熟悉常见几何体的结构特征是解题的关键． 【详解】解：、是长方体，属于棱柱； 、是圆柱，不属于棱柱； 、是球体，不属于棱柱； 、是三棱柱，属于棱柱； ∴棱柱有个， 故选：． 【例2】（24-25七年级上·江苏南京·阶段测试）一个长方体切 6 刀，可分成 24 个棱长为 1 厘米的小正方体，这个长方体的表面积是________平方厘米． 【答案】 【分析】本题考查立体图形，解题的关键是根据切割方法和小正方体的个数，明确切割方法以及原长方体的长宽高的值．一个长方体切6刀，可以分成24个棱长1厘米的小正方体，那么可以如图切割，正好是切了6刀，得到24个小正方体，因为每个小正方体的棱长是1厘米，所以原长方体的长宽高分别是4厘米、3厘米、2厘米，据此利用长方体的表面积公式计算即可解答问题． 【详解】解：一个长方体切6刀，可以分成24个棱长1厘米的小正方体，那么可以如图切割， ∴原长方体的长宽高分别是4厘米、3厘米、2厘米， 所以表面积是： （平方厘米） 答：原长方体的表面积是52平方厘米． 故答案为：52． 1．（26-27七年级上·江苏盐城·阶段测试）如图是由若干个小正方体组成的，数一数一共有（     ）个这样的小正方体． A．9 B．10 C．12 D．13 【答案】D 【分析】分别数出每一层小正方体的个数，相加即可． 【详解】解：从下至上，第一层共有9个小正方体，第二层有4个小正方体， ∴一共有个小正方体． 2．（24-25七年级上·山东淄博·期中）正方体的棱长扩大到原来的3倍，表面积扩大到原来的（   ）倍 A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【分析】本题主要根据因数与积的变化规律和正方体的表面积公式、体积公式进行解答． 根据正方体体积公式，则正方体的表面积扩大的倍数是棱长扩大倍数的平方，据此即可解答． 【详解】解：由正方体的表面积公式以及，则正方体的棱长扩大到原来的3倍，表面积扩大到原来的9倍． 故选：C． 3．（23-24七年级上·宁夏银川·阶段检测）下图中每个小玻璃球的体积是_________ cm3，大玻璃球的体积是_________ cm3．    【答案】 3 14 【分析】加入两个小玻璃球后，让排出水的体积增加了6cm3，据此即可求解． 【详解】解：由第二幅图和第三幅图可知： 再加入两个小玻璃球后，让排出水的体积增加了cm3 故每个小玻璃球的体积是：cm3 由第一幅图和第三幅图可知： 加入一个小玻璃球和一个大玻璃球后，让排出水的体积增加了17cm3 故每个大玻璃球的体积是：cm3 故答案为：3；14 【点睛】本题考查了生活中的立体图形．抓住排出水的体积变化是解题关键． 4．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）如图，一个长方体，如果长增加3厘米，宽和高都不变，体积增加6立方厘米；如果宽增加4厘米，长和高都不变，体积增加32立方厘米；如果高增加5厘米，长和宽都不变，体积增加20立方厘米：求这个长方体的表面积和体积． 【答案】这个长方体的表面积是28平方厘米，体积是8立方厘米 【分析】本题考查了长方体的表面积和体积，此题关键是理解长增加宽和高不变，宽增加长和高不变，高增加长和宽不变．由题意，长增加3厘米，体积增加6立方厘米，可知宽高平方厘米；同理可知长高平方厘米，长宽平方厘米，根据长方体的表面积（长宽长高宽高）．长方体的体积长宽高，把数据分别代入公式解答． 【详解】解：宽高平方厘米，长高平方厘米，长宽平方厘米， （长宽长高宽高） （平方厘米）； 因为，长宽高长宽高， 所以长宽高（立方厘米）； 答：这个长方体的表面积是28平方厘米，体积是8立方厘米． 【基础题型二 组合几何体的构成】 【例1】（23-24七年级上·江苏盐城·阶段检测）用n个棱长为1的小正方体组成一个棱长为3的大正方体，则n为（　　） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】D 【分析】用大正方体体积除以小正方体体积即可得到答案． 【详解】解：∵大正方体的体积为 ，每个小正方体的体积为， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查立体图形认识，解题的关键是掌握体积公式． 【例2】（24-25七年级上·江苏·阶段检测）如图，能看到的正方体有 __块，看不到的正方体有 __块． 【答案】 16 14 【分析】本题考查的是立体图形，解决本题的关键是利用总的正方体个数减去看到的正方体个数，得到看不到的正方体的个数．看到的正方体个数直接数出来就可以了，看不到的正方体个数用总的正方体个数减去看到的正方体个数即可． 【详解】解：看到的正方体有（块， 总的正方体个数有（块， 看不到的正方体有（块． 故答案为：16，14． 1．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）有甲、乙、丙三种三角形木片，其边长如图所示，阿林、小博打算利用这三种木片各自组合成一个正三棱锥．首先两人皆选一片甲当作底面，接着阿林选三片乙当作侧面，小博选三片丙当作侧面，关于两人选的木片能不能组合成一个正三棱锥，下列判断何者正确？（　　） A．两人皆能 B．两人皆不能 C．阿林能，小博不能 D．阿林不能，小博能 【答案】D 【分析】本题考查了正三棱锥，熟练掌握正三棱锥的特点是解题关键．根据正三棱锥的特点解答即可得． 【详解】解：因为图甲是边长为3的等边三角形，作底面， 所以正三棱锥的侧面是底边长为3的等腰三角形， 所以阿林选三片乙当作侧面，不能组合成一个正三棱锥；小博选三片丙当作侧面能组合成一个正三棱锥． 故选：D． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法中错误的是（   ） A．棱柱有两个互相平行，形状相同，大小相等的面 B．棱锥除一个面外，其余各面都是三角形 C．圆柱的侧面可能是长方形 D．正方体是四棱柱，也是六面体 【答案】C 【分析】根据棱柱、棱锥、圆柱、正方体的概念选择即可． 【详解】解：A．棱柱有两个完全相同且相互平行的面，故选项正确，符合题意； B．棱锥的底面是多边形，侧面是三角形，故选项正确，符合题意； C．圆柱的侧面是曲面，侧面展开图是长方形，故选项不正确，不符合题意；． D．正方体是四棱柱，棱柱都是多面体，正方体有六个面，所以是六面体，故选项正确，符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了棱柱、棱锥、圆柱、正方体的概念，解题的关键是熟悉相关概念． 3．（26-27七年级上·全国·阶段测试）如图，从一个棱长为的正方体的一顶点处挖去一个棱长为的正方体，则剩余部分的表面积是________．      【答案】 【分析】从顶点处挖去一个小正方体，挖去小正方体后，小正方体外露的三个面正好可以补上原正方体缺失部分，故表面积不变． 【详解】解：挖去小正方体后，其实剩下的图形的表面积与原正方体的面表积相等， 剩余部分的表面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何体体积、表面积的计算，明确挖去的正方体中相对的面的面积都相等是此题关键． 4．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，把一个棱长8厘米的正方体的六个面都涂上红色，再将它的棱四等分，然后从等分点把正方体锯开． (1)能得到多少个棱长为2厘米的小正方体？ (2)三个面有红色的小正方体有多少个？ (3)两个面有红色的小正方体有多少个？ (4)一个面有红色的小正方体有多少个？ (5)有没有各面都没有红色的小正方体？如果有，那么有多少个？ 【答案】(1)64个 (2)8个 (3)24个 (4)24个 (5)有，8个 【分析】（1）棱长是8cm的立方体体积512cm3，棱长为2cm的小正方体体积为8cm3，由此能求出共得到多少个棱长为2cm的小正方体； （2）三面涂色的小正方体是位于棱长是8cm的立方体的顶点处的小正方体，由此能求出三面涂色的小正方体有多少个； （3）二面涂色的小正方体是位于棱长是8cm的立方体的各边上的正方体，由此能求出二面涂色的小正方体有多少个； （4）一个面有红色的小正方体位于棱长是8cm的立方体的表面上既不是顶点又不是各边上的正方体，由此能求出二面涂色的小正方体有多少个； （5）六个面均没涂色的小正方体为棱长是8cm的立方体中心的正方体，由此能求出六个面均没有涂色的小正方体有多少个． 【详解】（1）棱长是8cm的立方体体积为：8×8×8=512（cm3）， 棱长为2cm的小正方体体积为8cm3， ∴共得到512÷8=64个小正方体． （2）三面涂色的小正方体是位于棱长是8cm的立方体的顶点处的小正方体， ∵立方体共有8个顶点， ∴三面涂色的小正方体有8个， （3）二面涂色的小正方体是位于棱长是8cm的立方体的各边上的正方体， ∵立方体共有12条边，每边有2个正方体， ∴二面涂色的小正方体有24个， （4）一面涂色的小正方体在棱长是8cm的立方体的表面上既不是顶点又不是各边上的正方体， ∵立方体共有6个面，每个面有4个正方体， ∴一面涂色的小正方体有24个， （5）六个面均没涂色的小正方体为棱长是8cm的立方体中心的正方体，共有64-8-24-24=8个， 【点睛】本题考查大正方体分割成小正方体的计算，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握正方体的结构特征． 【基础题型三 几何体中的点、棱、面】 【例1】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征．甲同学：它有4个面是长方形；乙同学：它有12条棱．该模型的形状对应的立体图形可能是（   ） A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥 【答案】B 【分析】本题主要考查了棱柱和棱锥的特点，根据甲同学描述有4个面是长方形，乙同学描述有12条棱，结合选项立体图形的性质，判断符合条件的几何体是四棱柱． 【详解】解：A．三棱柱有9条棱，不符合“有12条棱”的描述，故不符合条件； B．若为直四棱柱，其有4个侧面为长方形，共有12条棱，符合条件； C．三棱锥有6条棱，不符合“有12条棱”的描述，故不符合条件； D．四棱锥有8条棱，不符合“有12条棱”的描述，故不符合条件． 故选：B． 【例2】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）一个棱柱的顶点数有个，面数有个，那么它的棱有___________条． 【答案】 【分析】根据题意得计算棱数． 【详解】解：根据题意得：顶点数棱数面数． 已知，， 代入得， 解得． 1．（2024七年级上·江苏徐州·专题练习）一个长方体，表面全部涂上红色后，被分割成若干个体积都等于1立方厘米的小正方体．如果在这些小正方体中，不带红色的小正方体的个数有7个，则两面带红色的小正方体有（　　）个． A．20 B．25 C．28 D．36 【答案】D 【分析】本题考查了立体图形，由不带红色的小正方体的个数等于7 ，说明这个长方体是的长方体，那么三面涂色的顶点处，两面带红色的小正方体都在这个长方体的棱上，正确理解立体图形的特点是解题的关键． 【详解】解：因为7是质数， 所以不带红色的小正方体只能是排成一排， 所以这个长方体由即个小正方体组成， 把它看成3层，第一层两面带红色的小正方体个数为：（个）， 第二层两面带红色的小正方体个数为：4个， 第三层两面带红色的小正方体个数为：（个）， 所以两面带红色的小正方体个数为：（个）， 故选D． 2．（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）下列说法不正确的是（    ）． ①长方体一定是柱体；②八棱柱有10个面；③六棱柱有12个顶点；④用一个平面去截几何体，若得到的图形是三角形，则这个几何体一定有一个面的形状是三角形． A．① B．④ C．①④ D．②③ 【答案】B 【分析】根据柱体、棱柱的性质、截一个几何体的特点逐个判断即可得． 【详解】解：①长方体一定是柱体，则原说法正确； ②八棱柱有个面，则原说法正确； ③六棱柱有个顶点，则原说法正确； ④反例：正方体的面都是正方形，但用一个平面去截正方体，得到的图形可能是三角形，则原说法不正确； 综上，说法不正确的是④， 故选：B． 【点睛】本题考查了棱柱的性质、截一个几何体，熟练掌握截一个几何体的特点是解题关键． 3．（24-25七年级上·四川雅安·阶段检测）一个棱长的正方体容器中装有一些水，将一个高的长方体铁块竖直着放入水中（铁块底面与容器底面平行），铁块还没有完全浸没时，水就满了（如下图）．这个铁块的体积是________． 【答案】 【分析】本题考查的是立体几何中的浸水问题，注意区分完全淹没与不完全淹没的区别．容器的容积是立方厘米，水的体积是立方厘米，铁块被淹没的体积是立方厘米，被淹没的高度是厘米，求出铁块的底面积，再计算其体积． 【详解】解：容器的容积：，     水的体积：， 铁块被淹没的体积：， 铁块的底面积：， 铁块的体积：， 故答案为：． 4．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）将图①的正方体木块切去一块，得到如图①〜⑤所示的木块 图号 顶点数 棱数 面数 ① ___________ 12 6 ② 6 5 ③ 8 12 ___________ ④ 8 ___________ 7 ⑤ 10 15 ___________ (1)请将图①〜⑤中几何体的顶点数、棱数、面数填入表格； (2)根据表格，用式子表示这些几何体顶点数、棱数、面数之间的关系___________ 【答案】(1) 解：填表如下： 图号 顶点数 棱数 面数 ① 8 12 6 ② 6 9 5 ③ 8 12 6 ④ 8 13 7 ⑤ 10 15 7 (2) 【分析】本题考查探究规律，找出规律是解题的关键． （1）只要将图①〜⑤中各个木块的顶点数、棱数、面数数一下就行；数的时候要注意：图中不能直接看到的那一部分不要遗漏，也不要重复，可通过想象计数，正确填入表内； （2）通过观察找出每个图中“顶点数、棱数、面数”之间隐含的数量关系，将这个数量关系用公式表示出来即可． 【详解】（1）略 （2）解：用式子表示这些几何体顶点数、棱数、面数之间的关系为， 故答案为：． 【基础题型四 立体图形的分类】 【例1】（25-26七年级上·江苏苏州·期末）一个密封的圆柱形水杯中装了半杯水，无论怎么放置水杯，水杯中水面的形状都不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查认识平面图形，解题的关键是掌握圆柱体的截面形状． 根据圆柱体的截面图形可得． 【详解】解：对于选项A， 当圆柱形水杯倾斜一定的角度时，水面的形状是椭圆， 该选项不符合题意； 对于选项B， 无论将圆柱形水杯怎样放置，水面的形状都不是一般的平行四边形， 该选项符合题意； 对于选项C， 当圆柱形水杯水平放置时，水面的形状是长方形， 该选项不符合题意； 对于选项D， 当圆柱形水杯竖直放置时，水面的形状是圆， 该选项不符合题意， 故选：B． 【例2】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）“检查”的原理是通过扫描和计算，把人体从不同角度“切”成无数薄层，每一层就是一个截面图像，医生通过这些图像能精准看到内部细节．已知一个物体外形是圆柱体，如图1所示．为探明其内部构造，我们可以给这个物体做“检查”，即用一个竖直的平面从左到右截这个物体，得到一组自左向右的截面（如图2），则这个物体的内部构造可能为一个______体． 【答案】圆锥 【分析】本题考查了几何体的认识，熟练掌握几何体的特征是解题的关键．观察图形，除第四个图形外都是一条曲线，可以判断几何体内部是由曲面围成的，而且上小下大；再由第四个图形内部是一个三角形，可推断这个几何体是圆锥，即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，这个物体的内部构造可能为一个圆锥体， 故答案为：圆锥． 1．（25-26七年级上·江苏常州·阶段测试）一根长方体木料，长米，宽米，厚分米，把它锯成段，表面积最少增加（    ）平方分米． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了长方体表面积问题，依据题意，把它锯成段，需要锯次，每锯次就增加个面，一共增加了个面，要使增加的表面积最少，就要平行于最小面切割才满足条件，根据长方形面积公式可以求出单个截面面积，最后乘即可，求出最小截面面积是解题的关键． 【详解】解：米分米， ∴表面积最少增加平方分米， 故选：． 2．（2026七年级上·江苏南通·阶段测试）如图，用一个平面截下面的几何体，截面形状不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三棱柱的特征，其表面全部由平面多边形组成，用平面去截该几何体，截面边界只能是线段，不可能出现曲线，据此判断即可． 【详解】 该几何体是三棱柱，其表面由个平面围成， 用一个平面去截该几何体，截面与各个面的交线均为线段， 截面形状只能是多边形（如三角形、四边形等），不可能是圆， 选项A、C、D均为多边形，选项B为圆， 截面形状不可能是B． 3．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，一个正方体截去一个角后，剩下的几何体面的个数和棱的条数的和是______.    【答案】19 【分析】如图所示的正方体切一个顶点多一个面，少三条棱，又多三条棱，得到面增加一个，棱增加3，据此解答即可． 【详解】解：如图，    一个正方体截去一个角后，剩下的几何体面的个数是，棱的条数是， 所以剩下的几何体面的个数和棱的条数的和是． 故答案为：19． 【点睛】此题考查了截一个几何体，解决本题的关键是找到在原来几何体的基础上增加的面和棱数． 4．（23-24七年级上·陕西咸阳·期中）如图，用经过A、B、C三点的平面截去正方体的一角，变成一个新的多面体，若这个多面体的面数为m，棱数为n，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方体的截面，根据截去正方体一个角变成一个多面体，这个多面体多了一个面，棱数不变即可进行解答． 【详解】解：由图可知，这个多面体的面数是7，即． 又因为正方体有12条棱，被截去了3条棱，截面为三角形， 所以增加了3条棱，故棱数不变，即． 所以． 【基础题型五 截一个几何体】 【例1】（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）下面几何体中与其余三个不相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查了立体图形的认识．立体图形：有些几何图形如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．根据立体图形的特征判断即可． 【详解】解：A是三棱柱、B是四棱柱、D是五棱柱，都是柱体， C是三棱锥，是锥体， 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·全国·课后作业）对几何体分类时，首先确定标准，即： （1）从形状方面，按柱体、________、球划分； （2）从面的方面，按组成的面有无__________划分； （3）从顶点方面，按有无________划分． 【答案】 锥体 曲的面 顶点 【分析】根据不同的分类标准的要求即可求解． 【详解】解：（1）从形状方面，按柱体、__锥体______、球划分； （2）从面的方面，按组成的面有无____曲的面______划分； （3）从顶点方面，按有无____顶点____划分． 故答案为（1）锥体，（2）曲的面，（3）顶点． 【点睛】本题考查立体图形的不同分类方法，掌握各种分类标准及要求是解题关键． 1．（23-24七年级上·陕西宝鸡·阶段检测）下列说法中，正确的个数是（    ） ①柱体的两个底面一样大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③棱柱的底面是四边形；④长方体一定是柱体；⑤棱柱的侧面一定是长方形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据柱体，锥体的定义及组成作答． 【详解】解：①柱体包括圆柱、棱柱；∴柱体的两个底面一样大；故此选项正确， ②圆柱、圆锥的底面都是圆，正确； ③棱柱的底面可以为任意多边形，错误； ④长方体符合柱体的条件，一定是柱体，正确； ⑤棱柱分为直棱柱和斜棱柱，直棱柱的侧面应是长方形，故错误； 共有3个正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了命题，解题的关键是掌握相应的概念，应注意棱柱由上下两个底面以及侧面组成；上下两个底面可以是全等的多边形，侧面是四边形． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）物理实验室有高度同为10cm的圆柱形容器A和B（如图），它们的底面半径分别为2cm和4cm，用一水龙头单独向A注水，3分钟后可以注满容器．在实验室课上，某同学将两容器在它们高度的一半用一个细水管连通（连接细管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，问6分钟后容器A中水的高度是（    ）cm．（注：若圆柱体底面半径为r，高为h，体积为V，则） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】3分钟后可以注满容器A，可以算出水的流速，从而可以得出6分钟内水龙头的出水量，然后得出答案． 【详解】解：3分钟后可以注满容器A，A容器的体积为． 则6分钟的注入水量为， 设6分钟后容器A中水的高度是， 当时，，注入水量． 当时，，注入水量． 当时，，注入水量 故选：B． 【点睛】本题考查了认识立体图形，解题关键是要读懂题目的意思，也考查了同学们的物理知识和分类讨论的思想． 3．（25-26七年级上·山东·期末）如图的图形属于棱柱的是______． 【答案】①②⑥ 【分析】本题考查了棱柱的定义． 根据棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻的四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫棱柱，即可作判断． 【详解】解：如图的图形属于棱柱的是：①②⑥． 故答案为：①②⑥． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的物体中都类似于哪些几何体？将这些几何体进行分类，并说明分类理由． 【答案】①类似于长方体，②类似于圆锥，③类似于圆柱，④类似于球体，⑤类似于正方体，⑥类似于棱锥．可按锥体、柱体、球体进行分类：则有图①③⑤为柱体；图②⑥为锥体；图④为球体 【分析】本题考查了几何体的分类，掌握几何体的形状和特征，制定恰当的分类标准是关键． 根据所给的几何体的形状和特征，找出由一个曲面围成的几何体；由常见几何体的形状和特征，找出其中有顶点的锥体；观察所给图形的形状和特征，把剩下的放到一组． 【详解】解：①类似于长方体，②类似于圆锥，③类似于圆柱，④类似于球体，⑤类似于正方体，⑥类似于棱锥． 可按锥体、柱体、球体进行分类：则有图①③⑤为柱体；图②⑥为锥体；图④为球体． 【提高题型一 解决几何体截面图形的相关问题】 【例1】（25-26七年级上·河南·期末）按如图所示的方式将一个正方体截去一个角后．剩下的几何体的面和棱的数量为（    ） A．7个，13个 B．6个，12个 C．7个，12个 D．6个，11个 【答案】C 【分析】本题考查了正方体的面和棱，熟练掌握一定的空间想象能力是解题关键．按如图所示的方式将一个正方体截去一个角后，正方体增加1个面；棱减少3条，又增加3条，由此即可得． 【详解】解：正方体共有6个面，12条棱， 按如图所示的方式将一个正方体截去一个角后，正方体增加1个面；棱减少3条，又增加3条， 所以剩下的几何体的面的数量为（个）；棱的数量为（条）， 故选：C． 【例2】（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，用一个平面从不同的角度去截一个正方体，则截面大小、形状相同的是_____．（填序号） 【答案】 ①③ 【分析】观察四个图形中截面与正方体棱、面的位置关系，判断截面的形状及边长特征，进而比较大小和形状． 【详解】解：①长方形，长等于对角线长，宽等于棱长； ②正方形，边长等于棱长； ③长方形，长等于对角线长，宽等于棱长； ④长方形，长、宽无法判断， ∴截面大小、形状相同的是①③． 1．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）一个正方体切掉一个角后，剩下的几何体顶点的个数是（    ） A．7或8 B．8或9 C．7或8或9 D．7或8或9或10 【答案】D 【分析】正方体原有8个顶点，根据切割面经过原正方体顶点的不同情况分类讨论，即可得到剩下几何体的顶点个数． 【详解】解：∵正方体原有8个顶点，切掉一个角可分4种情况讨论， ①当切割面经过原正方体的3个顶点时，切掉1个原顶点，无新增顶点， ∴顶点个数为 ； ②当切割面经过被切掉角所在的三条棱中的两个顶点和第三条棱上的一个非顶点时，切掉1个原顶点，新增1个顶点， ∴顶点个数为 ； ③当切割面经过被切掉角所在的三条棱中的一个顶点和另外两条棱上的两个非顶点时，切掉1个原顶点，新增2个顶点， ∴顶点个数为 ； ④当切割面与被切掉角所在的三条棱相交于三个非顶点时，切掉1个原顶点，新增3个顶点， ∴顶点个数为 ； ∴剩下几何体顶点的个数是7或8或9或10， 故选：D． 2．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）数学课上，研究正方体的截面特征时，以下说法正确的是（　　） ①用一个平面去截正方体，能得到三条边都相等的三角形截面； ②用一个平面去截正方体，当这个平面同时与正方体其中的四个面都相交时，所得截面一定是正方形； ③用一个平面去截正方体，可能截出七边形； ④用一个平面去截正方体，截面的边数最多有六条． A．①③ B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了截一个几何体的应用，主要考查学生的观察图形的能力、空间想象能力和动手操作能力．根据用一个平面截正方体，从不同角度截取所得形状会不同，进而得出答案． 【详解】解：①用一个平面去截正方体，能得到三条边都相等的三角形截面，说法正确； ②用一个平面去截正方体，当这个平面同时与四个平面相交时，所得的截面不一定是正方形，原来的说法是错误的； ③正方体不可能截出七边形，原来的说法是错误的； ④用一个平面去截正方体，截面的边数最多有六条，说法正确． 故选：C． 3．（23-24七年级上·福建宁德·阶段检测）将一个长方体的一个角切去，所得的立体图形的棱的数量为______． 【答案】15条或14条或12条或13条 【分析】根据长方体的特征：长方体有12条棱．在顶点处截去一个角就多出三条棱，但是长方体原本的12条棱少了几条要画图分类讨论． 【详解】 ①（条）； ② （条）； ③ （条）； ④ （条）； 答：所得立体图形的棱的条数为15条或14条或12条或13条 故答案为：15条或14条或12条或13条 【点睛】本题考查了长方体的特征和截长方体，明确在顶点处截去一个角就多出3条棱是解题关键． 4．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段测试）如图，沿正方体的两个平面和切割，将此正方体切成4块．请问含有顶点的那一块占正方体体积的几分之几？ 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的拆分的应用； 根据沿平面切割，此时含有顶点的那一块占正方体体积的，再沿平面切割，含有顶点的那一块占沿面切割后的，即可求解． 【详解】解：如图1，沿平面切割，此时含有顶点的那一块占正方体体积的， 如图2，再沿平面切割，含有顶点的那一块占沿平面切割后的， ∴含有顶点的那一块占正方体体积的， 答：含有顶点的那一块占正方体体积的． 1．（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，小明在一个有盖可密封的正方体盒子里装了一定量的水，他不断改变正方体盒子的放置方式（假设盒子可以采用任何方式放置），盒子里的水便形成不同的几何体，则下列选项中可能是盒子里的水形成的几何体是：（   ） ①长方体；②正方体；③圆柱体；④三棱锥；⑤三棱柱 A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①④⑤ 【答案】D 【分析】根据几何体的特点判断解答即可． 【详解】解：①长方体：将正方体盒子水平放置，装部分水时，水形成的几何体就是长方体，可能． ②正方体：要让水成为正方体，需要把正方体盒子完全装满水才能得到，题目说明是“一定量的水”，且未装满，因此不可能． ③圆柱体：水静止时水面是平面，正方体盒子的所有面都是平面，因此水形成的几何体所有面都是平面，而圆柱体有曲面，不可能． ④三棱锥：将正方体一个顶点朝下放置，让水面刚好过该顶点相邻三条棱的各一点，水就形成三棱锥，可能． ⑤三棱柱：将正方体侧放，让水面经过正方体一组相对的平行棱，水就能形成三棱柱，可能． 综上，可能的是①④⑤，答案选D． 2．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）如图：有A，B，C三种三角形木板，小美想将其拼接成三棱锥，以下说法正确的是（  ） A．用1块A与3块B可拼成正三棱锥 B．用1块A与3块C可拼成正三棱锥 C．用2块A与2块C可拼成三棱锥 D．用2块B与2块C可拼成三棱锥 【答案】B 【分析】根据相邻面的公共边长度必须相等，才能无缝拼接成封闭的三棱锥，判断即可． 【详解】解：选项A：用1块A作底面，3块B作侧面，不能拼成正三棱锥； 选项B：用1块A作底面，3块C作侧面，可拼成正三棱锥； 选项C：用1块A作底面，2块C和1块A作侧面，不能拼成三棱锥； 选项D：用1块B作底面，2块C和1块B作侧面，不能拼成三棱锥． 3．（2023七年级上·江苏扬州·阶段测试）由若干个单位立方体组成一个较大的立方体，然后把这个大立方体的某些面上涂上油漆，油漆干后，把大立方体拆开成单位立方体，发现有45个单位立方体上任何一面都没有漆．那么大立方体被涂过油漆的面数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】题目主要考查立方体的逻辑判断，理解题意是解题关键 设大立方体棱长为n，显然；若，即使六面都油漆过，未油漆的小方块也有个，大于45，确定或5，除掉已油漆的单位立方体后，剩下未漆的构成一个长方体，设其长宽高为a，b，c，结合题意求解即可 【详解】解：若，即使六面都油漆过，未油漆的小方块也有个，大于45． ∴或5． 除掉已油漆的单位立方体后，剩下未漆的构成一个长方体， 设其和长宽高为a，b，c， 则，且， ∴只能是， 即，它的4个面油漆过． 故选：D． 4．（2023七年级上·全国·阶段测试）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角称为多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查新定义问题，解题的关键是理解曲率的定义，结合正八面体的性质进行计算． 根据曲率的定义，先求出正八面体一个顶点的曲率，再结合正八面体顶点的数量，求出总曲率． 【详解】解：由正八面体的性质，每个面均为等边三角形， ∴在一个顶点处的四个角均为，故一个顶点的曲率等于， 故正八面体的总曲率等于． 故选：B． 5．（25-26七年级上·陕西汉中·阶段检测）如图为一个长方体截去两个角后的立体图形，如果照这样截去长方体的八个角，则新几方体的棱有（     ） A．26条 B．30条 C．36条 D．42条 【答案】C 【分析】一个正方体有12条棱，一个角上截出3条棱，即8个角共条棱，相加即可． 【详解】解：∵一个正方体有12条棱，一个角上截出3条棱，即8个角共条棱， ∴条． 故新的几何体的棱有36条． 6．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，圆柱高为8，底面半径为2，若截面是长方形，则长方形的最大面积为(　　) A．16 B．20 C．32 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了求圆柱体截面面积，由题意可知垂直于圆柱底面且经过底面圆直径所截得的长方形面积最大，得出过底面圆直径且垂直于底面的截面最大的长方形是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，垂直于圆柱底面且经过底面圆直径所截得的长方形面积最大， ∵圆柱的高为8，底面半径为2， ∴截面的面积为：． 故选：C． 7．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段测试）如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（   ） A．五棱柱 B．六棱柱 C．八棱柱 D．九棱柱 【答案】B 【分析】先根据棱锥的特点可知九棱锥侧面有9条棱，底面有9条棱，共有条棱，然后分析四个选项中棱柱的棱的条数得出答案． 【详解】解：九棱锥侧面有9条棱，底面有9条棱，共有条棱， 因为五棱柱有条棱，所以A不正确； 因为六棱柱有条棱，所以B正确； 因为八棱柱有条棱，所以C不正确； 因为九棱柱有条棱，所以D不正确． 8．（25-26七年级上·全国·单元测试）在①球体；②柱体；③锥体；④棱柱；⑤棱锥中，必是多面体的是(　　) A．①～⑤ B．②③ C．④ D．④⑤ 【答案】D 【详解】解：①球体只有一个曲面，故球体不是多面体； ②柱体，圆柱有三个面，故柱体不一定是多面体； ③锥体，圆锥有两个面，故锥体不一定是多面体； ④棱柱至少有两个底面，三个侧面，故棱柱是多面体； ⑤棱锥至少有一个底面，三个侧面，故棱锥是多面体． 故选D． 9．（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）如果一个棱柱共有24条棱，那么下面说法正确的是（     ） A．这个棱柱有5个侧面 B．这个棱柱有10个顶点 C．这个棱柱的底面为八边形 D．这个棱柱有6条侧棱 【答案】C 【分析】根据一个棱柱的总棱数是，求出该棱柱为八棱柱，逐项判断即可求解． 【详解】解：设该棱柱为棱柱，则， 即该棱柱为八棱柱，底面为八边形，有8个侧面，16个顶点，8条侧棱， 故选项C符合题意． 10．（23-24七年级上·江西上饶·期末）如图，一个密封的瓶子里装着一些水，已知瓶子的底面积为，请你根据图中标明的数据，则瓶子的容积是（   ） A．50 B．60 C．70 D．80 【答案】B 【分析】由左图求得水的体积，由右图求得空白部分的体积，即可解答． 【详解】解：由左图知，水体积为， 由右图知，空白部分的体积为， ∴瓶子的容积是． 11．（23-24七年级上·山东青岛·期中）如图，模块①由15个棱长为1的小正方体构成，模块②一⑥均由4个棱长为1的小正方体构成，现在从模块②一⑥中选出三个模块放到模块①上，与模块①组成一个棱长为3的大正方体，则符合上述要求的三个模块序号是 _____． 【答案】④⑤⑥ 【分析】观察所给的模块，结合构成的棱长为3的大正方体的特征即可求解． 【详解】解：由图形可知，模块⑥补模块①上面的左上角，模块⑤补模块①上面的右下角，模块④补模块①上面的⑥⑤之间，使得模块①成为一个棱长为3的大正方体． 故能够完成任务的为模块④，⑤，⑥． 故答案为：④⑤⑥（答案不唯一）． 【点睛】考查了认识立体图形，本题类似七巧板的游戏，考查了拼接图形，可以培养学生动手能力，展开学生的丰富想象力． 12．（23-24七年级上·贵州黔西南·阶段检测）将一个棱长为整数的正方体木块的表面涂红色，然后分割成棱长为1的小正方体，若各个面未染色的小正方体个，则只有两个面染色的小正方体有 个． 【答案】 【分析】本题考查正方体涂色分割问题，掌握相关知识是解决问题的关键．设原正方体棱长为（为整数），则未染色小正方体个数为，根据未染色小正方体数量列方程，求得原正方体棱长，再根据只有两个面染色的小正方体位于正方体的棱上且非顶点处，计算只有两个面染色的小正方体数量． 【详解】解：设原正方体棱长为（为整数），则未染色小正方体个数为， 由， 得， ， 只有两个面染色的小正方体位于正方体的棱上且非顶点处， 大正方体每条棱上只有两个面染色的小正方体有个， ∵正方体有条棱， 故总数为． 故答案为． 13．（23-24七年级上·全国·期末）用平面截几何体可得到平面图形，在表示几何体的字母后填上它可截出的平面图形的号码． 如A（1、5、6）；则B( )；C( )；D( )；E ( )． 【答案】 1、3、4 1、2、3、4 5 3、5、6 【分析】截面的形状既与被截得几何体的形状有关，还与截面的角度和方向有关，此题需要展开空间想象力分别分析，最好的话还可以动手操作一下即可做出判断． 【详解】解：B几何体为三棱锥，截面有可能是三角形，正方形，梯形； C几何体为正方体，截面有可能是三角形，四边形（矩形，正方形，梯形），五边形，六边形； D几何体为球体，截面只可能是圆； E几何体为圆柱体，截面有可能是椭圆，圆，矩形， 因此应该写B（1、3、4）；C（1、2、3、4）；D（5）；E（3、5、6）． 14．（2025七年级上·全国·专题练习）在一个不透明的布袋中，装有一个简单几何体模型，甲乙两人在摸模型后各说出了它的一个特征，甲：它有曲面；乙：它有顶点．该几何体模型可能是_________． 【答案】圆锥 【分析】本题考查认识立体图形，解题关键是熟记常见几何体的特征．根据甲和乙所述特征，几何体需同时具备曲面和顶点，常见几何体中圆锥满足条件 【详解】解：球有曲面但无顶点，三棱锥有顶点但无曲面，圆柱有曲面但无顶点，圆锥既有曲面（侧面）又有顶点， ∴该几何体模型可能是圆锥． 故答案为：圆锥． 15．（23-24七年级上·山东青岛·期末）观察下列由长为1的小正方体摆成的图形，如图①所示共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见：如图②所示：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见：如图③所示：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见…按照此规律继续摆放： （1）第④个图中，看不见的小立方体有_________个： （2）第n个图中，看不见的小立方体有____________个． 【答案】 27 【分析】（1）根据规律可以得第④个图中，看不见的小立方体有27个． （2）由题意可知，共有小立方体个数为序号数×序号数×序号数，看不见的小正方体的个数=（序号数-1）×（序号数-1）×（序号数-1），看得见的小立方体的个数为共有小立方体个数减去看不见的小正方体的个数． 【详解】解：∵当第1个图中，1=1，0=（1-1）3=03； 当第2个图中，8=23，1=13=（2-1）3； 当第3个图中，27=33，8=（3-1）3=23； 当第4个图中，64=43，27=（4-1）3=33； 当第5个图中，125=53，64=（5-1）3=43； ∴当第n个图中，看不见的小立方体的个数为（n-1）3个． 故答案为：（1）27；（2）（n-1）3． 【点睛】本题考查的是立体图形，分别根据排成的立方体的高为1个立方体、2个立方体、3个立方体、4个立方体时看见的正方体与看不见的正方体的个数，找出规律即可进行解答． 16．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）通过第五章的学习，我们了解到简单多面体中顶点数、面数、棱数之间存在的一个有趣的关系（称为欧拉公式）．足球的表面是一个球面，在实际构造中，皮革片是弯曲的．但在数学建模时，我们可以将其近似为一个由平面多边形拼接而成的多面体，基于这个模型，数学兴趣小组想分析其顶点、面和棱的数量关系是否也满足欧拉公式． (1)买来一个足球（图1）观察：发现这个足球是由12块黑色的正五边形和20块白色的正六边形构成的，每个顶点处有1个正五边形和2个正六边形．所以顶点数等于所有正五边形的顶点数或所有正六边形的顶点数的一半；因为每条棱连着两个面，所以棱数是正六边形和正五边形的边数之和的一半，发现也满足欧拉公式，请完成下表． 块数 一个顶点处的块数 边数 正五边形 12 1 正六边形 20 2 多面体 面数：32 顶点数：________ 棱数：________ (2)查阅资料发现，也可以用正五边形、正方形和正三角形制作足球，如图2所示，每个顶点处有1个正五边形、2个正方形和1个正三角形，已知这个多面体有60个顶点，计算这个多面体的面数和棱数，并验证是否满足欧拉公式． 【答案】(1)60，90 (2)面数为，棱数；满足欧拉公式， 验证欧拉公式： ，，满足． 【分析】本题考查几何体的点、棱、面，有理数的四则运算，一元一次方程的应用等知识，理解多面体的顶点数、面数和棱数之间的关系并灵活运用． （1）根据多边形的个数、每一顶点被三个面共享，每条棱被两个面共享，，根据直接求解即可； （2）已知顶点数60，每个顶点处有1个正五边形、2个正方形和1个正三角形，即可得出多面体的面数，根据每个顶点有4条棱，或根据每条棱被两个面共享计算棱数． 【详解】（1）解：多面体的顶点数：， 多面体的棱数：， （2）解：由正五边形、正方形和正三角形构成的多面体 已知顶点数60，每个顶点处有1个正五边形、2个正方形和1个正三角形 正五边形数量： 正方形数量： 正三角形数量： 因此，面数 计算棱数：法一：每个顶点有4条棱，则棱数为： 法二：所有面的边数之和为， 每条棱被两个面共享，故棱数． 17．（25-26七年级上·江苏南京·期末）小明在参观科技馆时，发现很多矿物的结晶体有着其独特的几何形态和内在规律．黄铁矿的晶体（如图1）是一个正方体：它由六个面组成，每个面都是全等的正方形，每个顶点都连接3条棱．小明查阅资料后了解到，这种各面都是完全相同的正n边形，且各顶点连接r条棱的立体图形称为正多面体，如正方体又称为正六面体． 一个正F面体的每个面都是全等的正n边形，有V个顶点，E条棱，且每个顶点都连接r条棱．小明对部分正F面体（如图2）进行了观察，列出以下数据． 正多面体 F n V E r 正四面体 4 3 4 6 3 正方体 6 4 8 12 3 正八面体 8 3 6 12 4 (1)根据表中的数据，请写出F，V，E之间存在的等量关系式：________． (2)小明进一步发现，正F面体中棱数与各面的边数之和以及棱数与各面的顶点数之和存在着一定的关系． ①从面出发：以正方体为例，它有6个面，每个面都有4条边，则六个面的边数之和为24．又因为正方体的两个面共用一条边，所以正方体的棱数为12．正F面体的棱数________；（用含n，F的代数式表示） ②从顶点出发：正F面体的棱数________．（用含r，V的代数式表示） (3)已知一个正多面体有30条棱，且每个顶点连接5条棱，求这个正多面体的一个面是几边形． 【答案】(1) (2)①；② (3)三角形 【分析】本题主要考查了多面体的顶点、面、棱之间的关系、一元一次方程的应用等知识点，观察并发现规律是解题的关键． （1）观察数据即可解答； （2）①正F面体，它有F个面，每个面都有n条边，则F个面的边数之和为，又因为正F面体的两个面共用一条边，所以正F面体的棱数为；②正F面体，它有V个顶点，且每个顶点都连接r条棱，则V个顶点的棱数之和为，又因为正F面体的一条棱连接两个顶点，所以正F面体的棱数为； （3）运算上述公式列出关于F的方程可得，再根据求解即可． 【详解】（1）解：根据观察可得． 故答案为：． （2）解：①正F面体，它有F个面，每个面都有n条边，则F个面的边数之和为， 又∵正F面体的两个面共用一条边， ∴正F面体的棱数为． 故答案为：． ②正F面体，它有V个顶点，且每个顶点都连接r条棱，则V个顶点的棱数之和为， 又因为正F面体的一条棱连接两个顶点，所以正F面体的棱数为． 故答案为：． （3）解：由题意可得：， ∴, ∴， 根据（1）中公式可得，可得，解得：， ∴这个正多面体的面数为20． ∵， ∴. ∴这个正多面体的一个面是三角形． 18．（26-27七年级上·四川达州·阶段检测）如图所示的正方体被截去了一部分，求剩余部分的体积．（棱柱的体积底面积高） 【答案】 【分析】先求出完整正方体的体积，再算出被截去的直三棱柱体积，用整体减去部分的思路求得剩余几何体的体积． 【详解】解：∵正方体棱长为， ∴正方体体积：， ∵截去部分是直三棱柱，底面直角三角形两条直角边分别为、， 底面直角三角形面积：， ∵棱柱体积底面积高，棱柱高为， ∴截去部分体积：， 剩余体积正方体体积截去部分体积， ． 19．（23-24七年级上·广东佛山·阶段检测）阅读材料，解决下面的问题： 柏拉图体 柏拉图体即为正多面体，它的所有面都是完全相同的正多边形． 正多边形有无数种，而正多面体只有五种，均以面的数量来命名——正四面体、正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体．如图1、就是一个六个面均为正方形的正六面体． （注：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形．如等边三角形也叫正三角形，正方形也叫正四边形…） (1)如图2，连接正六面体中相邻面的中心，可得到一个柏拉图体． ①它是正______面体，有______个顶点，______条棱；②已知该正多面体的体积与原正方体体积的比为，若原正方体的棱长为，该正多面体的体积为______： (2)如图3，用6个棱长为1的小正方体搭成一个几何体．小明要再用一些完全相同的小正方体搭一个几何体，若要使新搭的几何体恰好能与原几何体拼成一个无空隙的正六面体，则小明至少需要_____个小正方体，他新搭几何体的表面积最小是______； (3)小华用4个棱长为1的小正四面体搭成一个如图4所示的造型，可以看做是一个不完整的大四面体．小华发现此造型中间空缺部分也是一个柏拉图体！请写出该柏拉图体的名称：______． 【答案】(1)①八，6，12；②4.5 (2)21，50 (3)正四面体 【分析】（1）①根据图形可数出该正多面体的面数，顶点数和棱数；②先求出正方体的体积，然后根据该正多面体的体积与原正方体体积的比为求解即可； （2）根据第1层需要4个，第2层需要8个，第3层需要9个即可求出所需的小正方体的个数，然后即可求出表面积； （3）直接根据图形解答即可． 【详解】（1）解：①由图可知，它是正八面体，有6个顶点，12条棱； ②． 故答案为：①八，6，12；②4.5； （2）解：至少需要个， 表面积最小是． 故答案为：21，50； （3）解：由图可知，周围有3个空缺的面，与上面小正四面体还有1个相邻的面，所以该柏拉图体的名称是正四面体． 故答案为：正四面体． 【点睛】本题考查了新定义，正方体的体积，正方体的表面积，以及学生的空间想象能力，正确理解柏拉图体的定义是解答本题的关键． 20．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）某公司生产一种仿蜂巢形状的直立式储物箱，框架如图所示，它是一种常见的几何体，底面边长都是，侧面棱长是，观察这个框架，解答下列问题： (1)该几何体的名称是_______棱柱，共有_______个面； (2)用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是_______；（填序号） ①六边形；②七边形；③八边形；④九边形 (3)若用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边，所需丝带的长度是多少厘米？ 【答案】(1)六棱柱，8 (2)①②③ (3) 【分析】本题考查了几何体，认识几何体的底面和侧面是解题的关键． （1）根据几何体的底面边数确定几何体的名称，再数出底面个数和侧面个数，相加即可； （2）要判断棱柱截面的形状，核心依据是：平面切割棱柱时，切到几个面，截面就是几边形；且截面边数最少为3（三角形），最多等于棱柱的总面数（侧面+2个底面）； （3）棱长总和=底面棱总长+侧棱总长，分别计算两类棱的长度和再求和． 【详解】（1）解：该几何体的名称是六棱柱，共8个面 故答案为：六棱柱，8； （2）解：用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是六边形、七边形，八边形，不可能是九边形； 故答案为:①②③； （3）解：若用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边所需丝带的长为， ． 答:所需丝带的长为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20 观察 抽象重难点题型专训 （2个知识点+5大题型+1大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 常见的几何体】 2 【基础题型二 组合几何体的构成】 3 【基础题型三 几何体中的点、棱、面】 4 【基础题型四 立体图形的分类】 6 【基础题型五 截一个几何体】 7 第二部分·练提高题型 【提高题型一 解决几何体截面图形的相关问题】 10 第三部分・自我检测 知识点01 立体图形的相关概念 1.定义：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． 立体图形除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面划分：①有曲面：圆柱、圆锥、球等；②没有曲面：棱柱、棱锥等. 2.棱柱的有关概念及其特征: ①在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四边形. ②棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n条侧棱，有n+2个面，n个侧面. 【即时训练】 1．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）下列物品的形状可以近似的看作圆柱体的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·江苏常州·期末）小王和小张在课间玩“猜几何体”游戏，小张说：“我心中想的几何体是一个共有个面的棱柱．”请你写出这个几何体的名称：________． 知识点02 截面 定义：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面. 【即时训练】 1．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，泗阳电视塔塔身高158米，素有“小东方明珠”的美誉．塔球上这部分可以近似看成一个六棱柱，如果用一个平面去截六棱柱，边数最多的截面形状是（   ）边形 A．六 B．七 C．八 D．九 2．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）将正方体切去一块后，得到如图所示的几何体有______个面，有______个顶点，有______条棱． 【基础题型一 常见的几何体】 【例1】（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）下面的几何体中，棱柱有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例2】（24-25七年级上·江苏南京·阶段测试）一个长方体切 6 刀，可分成 24 个棱长为 1 厘米的小正方体，这个长方体的表面积是________平方厘米． 1．（26-27七年级上·江苏盐城·阶段测试）如图是由若干个小正方体组成的，数一数一共有（     ）个这样的小正方体． A．9 B．10 C．12 D．13 2．（24-25七年级上·山东淄博·期中）正方体的棱长扩大到原来的3倍，表面积扩大到原来的（   ）倍 A．3 B．6 C．9 D．18 3．（23-24七年级上·宁夏银川·阶段检测）下图中每个小玻璃球的体积是_________ cm3，大玻璃球的体积是_________ cm3．    4．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）如图，一个长方体，如果长增加3厘米，宽和高都不变，体积增加6立方厘米；如果宽增加4厘米，长和高都不变，体积增加32立方厘米；如果高增加5厘米，长和宽都不变，体积增加20立方厘米：求这个长方体的表面积和体积． 【基础题型二 组合几何体的构成】 【例1】（23-24七年级上·江苏盐城·阶段检测）用n个棱长为1的小正方体组成一个棱长为3的大正方体，则n为（　　） A．3 B．6 C．9 D．27 【例2】（24-25七年级上·江苏·阶段检测）如图，能看到的正方体有 __块，看不到的正方体有 __块． 1．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）有甲、乙、丙三种三角形木片，其边长如图所示，阿林、小博打算利用这三种木片各自组合成一个正三棱锥．首先两人皆选一片甲当作底面，接着阿林选三片乙当作侧面，小博选三片丙当作侧面，关于两人选的木片能不能组合成一个正三棱锥，下列判断何者正确？（　　） A．两人皆能 B．两人皆不能 C．阿林能，小博不能 D．阿林不能，小博能 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法中错误的是（   ） A．棱柱有两个互相平行，形状相同，大小相等的面 B．棱锥除一个面外，其余各面都是三角形 C．圆柱的侧面可能是长方形 D．正方体是四棱柱，也是六面体 3．（26-27七年级上·全国·阶段测试）如图，从一个棱长为的正方体的一顶点处挖去一个棱长为的正方体，则剩余部分的表面积是________．      4．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，把一个棱长8厘米的正方体的六个面都涂上红色，再将它的棱四等分，然后从等分点把正方体锯开． (1)能得到多少个棱长为2厘米的小正方体？ (2)三个面有红色的小正方体有多少个？ (3)两个面有红色的小正方体有多少个？ (4)一个面有红色的小正方体有多少个？ (5)有没有各面都没有红色的小正方体？如果有，那么有多少个？ 【基础题型三 几何体中的点、棱、面】 【例1】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征．甲同学：它有4个面是长方形；乙同学：它有12条棱．该模型的形状对应的立体图形可能是（   ） A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥 【例2】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）一个棱柱的顶点数有个，面数有个，那么它的棱有___________条． 1．（2024七年级上·江苏徐州·专题练习）一个长方体，表面全部涂上红色后，被分割成若干个体积都等于1立方厘米的小正方体．如果在这些小正方体中，不带红色的小正方体的个数有7个，则两面带红色的小正方体有（　　）个． A．20 B．25 C．28 D．36 2．（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）下列说法不正确的是（    ）． ①长方体一定是柱体；②八棱柱有10个面；③六棱柱有12个顶点；④用一个平面去截几何体，若得到的图形是三角形，则这个几何体一定有一个面的形状是三角形． A．① B．④ C．①④ D．②③ 3．（24-25七年级上·四川雅安·阶段检测）一个棱长的正方体容器中装有一些水，将一个高的长方体铁块竖直着放入水中（铁块底面与容器底面平行），铁块还没有完全浸没时，水就满了（如下图）．这个铁块的体积是________． 4．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）将图①的正方体木块切去一块，得到如图①〜⑤所示的木块 图号 顶点数 棱数 面数 ① ___________ 12 6 ② 6 5 ③ 8 12 ___________ ④ 8 ___________ 7 ⑤ 10 15 ___________ (1)请将图①〜⑤中几何体的顶点数、棱数、面数填入表格； (2)根据表格，用式子表示这些几何体顶点数、棱数、面数之间的关系___________ 【基础题型四 立体图形的分类】 【例1】（25-26七年级上·江苏苏州·期末）一个密封的圆柱形水杯中装了半杯水，无论怎么放置水杯，水杯中水面的形状都不可能是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）“检查”的原理是通过扫描和计算，把人体从不同角度“切”成无数薄层，每一层就是一个截面图像，医生通过这些图像能精准看到内部细节．已知一个物体外形是圆柱体，如图1所示．为探明其内部构造，我们可以给这个物体做“检查”，即用一个竖直的平面从左到右截这个物体，得到一组自左向右的截面（如图2），则这个物体的内部构造可能为一个______体． 1．（25-26七年级上·江苏常州·阶段测试）一根长方体木料，长米，宽米，厚分米，把它锯成段，表面积最少增加（    ）平方分米． A． B． C． D． 2．（2026七年级上·江苏南通·阶段测试）如图，用一个平面截下面的几何体，截面形状不可能是（     ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，一个正方体截去一个角后，剩下的几何体面的个数和棱的条数的和是______.    4．（23-24七年级上·陕西咸阳·期中）如图，用经过A、B、C三点的平面截去正方体的一角，变成一个新的多面体，若这个多面体的面数为m，棱数为n，求的值． 【基础题型五 截一个几何体】 【例1】（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）下面几何体中与其余三个不相同的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·全国·课后作业）对几何体分类时，首先确定标准，即： （1）从形状方面，按柱体、________、球划分； （2）从面的方面，按组成的面有无__________划分； （3）从顶点方面，按有无________划分． 1．（23-24七年级上·陕西宝鸡·阶段检测）下列说法中，正确的个数是（    ） ①柱体的两个底面一样大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③棱柱的底面是四边形；④长方体一定是柱体；⑤棱柱的侧面一定是长方形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）物理实验室有高度同为10cm的圆柱形容器A和B（如图），它们的底面半径分别为2cm和4cm，用一水龙头单独向A注水，3分钟后可以注满容器．在实验室课上，某同学将两容器在它们高度的一半用一个细水管连通（连接细管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，问6分钟后容器A中水的高度是（    ）cm．（注：若圆柱体底面半径为r，高为h，体积为V，则） A．6 B．5 C．4 D．3 3．（25-26七年级上·山东·期末）如图的图形属于棱柱的是______． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的物体中都类似于哪些几何体？将这些几何体进行分类，并说明分类理由． 【提高题型一 解决几何体截面图形的相关问题】 【例1】（25-26七年级上·河南·期末）按如图所示的方式将一个正方体截去一个角后．剩下的几何体的面和棱的数量为（    ） A．7个，13个 B．6个，12个 C．7个，12个 D．6个，11个 【例2】（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，用一个平面从不同的角度去截一个正方体，则截面大小、形状相同的是_____．（填序号） 1．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）一个正方体切掉一个角后，剩下的几何体顶点的个数是（    ） A．7或8 B．8或9 C．7或8或9 D．7或8或9或10 2．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）数学课上，研究正方体的截面特征时，以下说法正确的是（　　） ①用一个平面去截正方体，能得到三条边都相等的三角形截面； ②用一个平面去截正方体，当这个平面同时与正方体其中的四个面都相交时，所得截面一定是正方形； ③用一个平面去截正方体，可能截出七边形； ④用一个平面去截正方体，截面的边数最多有六条． A．①③ B．②③ C．①④ D．③④ 3．（23-24七年级上·福建宁德·阶段检测）将一个长方体的一个角切去，所得的立体图形的棱的数量为______． 4．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段测试）如图，沿正方体的两个平面和切割，将此正方体切成4块．请问含有顶点的那一块占正方体体积的几分之几？ 1．（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，小明在一个有盖可密封的正方体盒子里装了一定量的水，他不断改变正方体盒子的放置方式（假设盒子可以采用任何方式放置），盒子里的水便形成不同的几何体，则下列选项中可能是盒子里的水形成的几何体是：（   ） ①长方体；②正方体；③圆柱体；④三棱锥；⑤三棱柱 A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①④⑤ 2．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）如图：有A，B，C三种三角形木板，小美想将其拼接成三棱锥，以下说法正确的是（  ） A．用1块A与3块B可拼成正三棱锥 B．用1块A与3块C可拼成正三棱锥 C．用2块A与2块C可拼成三棱锥 D．用2块B与2块C可拼成三棱锥 3．（2023七年级上·江苏扬州·阶段测试）由若干个单位立方体组成一个较大的立方体，然后把这个大立方体的某些面上涂上油漆，油漆干后，把大立方体拆开成单位立方体，发现有45个单位立方体上任何一面都没有漆．那么大立方体被涂过油漆的面数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2023七年级上·全国·阶段测试）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角称为多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（   ）． A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·陕西汉中·阶段检测）如图为一个长方体截去两个角后的立体图形，如果照这样截去长方体的八个角，则新几方体的棱有（     ） A．26条 B．30条 C．36条 D．42条 6．（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，圆柱高为8，底面半径为2，若截面是长方形，则长方形的最大面积为(　　) A．16 B．20 C．32 D．18 7．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段测试）如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（   ） A．五棱柱 B．六棱柱 C．八棱柱 D．九棱柱 8．（25-26七年级上·全国·单元测试）在①球体；②柱体；③锥体；④棱柱；⑤棱锥中，必是多面体的是(　　) A．①～⑤ B．②③ C．④ D．④⑤ 9．（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）如果一个棱柱共有24条棱，那么下面说法正确的是（     ） A．这个棱柱有5个侧面 B．这个棱柱有10个顶点 C．这个棱柱的底面为八边形 D．这个棱柱有6条侧棱 10．（23-24七年级上·江西上饶·期末）如图，一个密封的瓶子里装着一些水，已知瓶子的底面积为，请你根据图中标明的数据，则瓶子的容积是（   ） A．50 B．60 C．70 D．80 11．（23-24七年级上·山东青岛·期中）如图，模块①由15个棱长为1的小正方体构成，模块②一⑥均由4个棱长为1的小正方体构成，现在从模块②一⑥中选出三个模块放到模块①上，与模块①组成一个棱长为3的大正方体，则符合上述要求的三个模块序号是 _____． 12．（23-24七年级上·贵州黔西南·阶段检测）将一个棱长为整数的正方体木块的表面涂红色，然后分割成棱长为1的小正方体，若各个面未染色的小正方体个，则只有两个面染色的小正方体有 个． 13．（23-24七年级上·全国·期末）用平面截几何体可得到平面图形，在表示几何体的字母后填上它可截出的平面图形的号码． 如A（1、5、6）；则B( )；C( )；D( )；E ( )． 14．（2025七年级上·全国·专题练习）在一个不透明的布袋中，装有一个简单几何体模型，甲乙两人在摸模型后各说出了它的一个特征，甲：它有曲面；乙：它有顶点．该几何体模型可能是_________． 15．（23-24七年级上·山东青岛·期末）观察下列由长为1的小正方体摆成的图形，如图①所示共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见：如图②所示：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见：如图③所示：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见…按照此规律继续摆放： （1）第④个图中，看不见的小立方体有_________个： （2）第n个图中，看不见的小立方体有____________个． 16．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）通过第五章的学习，我们了解到简单多面体中顶点数、面数、棱数之间存在的一个有趣的关系（称为欧拉公式）．足球的表面是一个球面，在实际构造中，皮革片是弯曲的．但在数学建模时，我们可以将其近似为一个由平面多边形拼接而成的多面体，基于这个模型，数学兴趣小组想分析其顶点、面和棱的数量关系是否也满足欧拉公式． (1)买来一个足球（图1）观察：发现这个足球是由12块黑色的正五边形和20块白色的正六边形构成的，每个顶点处有1个正五边形和2个正六边形．所以顶点数等于所有正五边形的顶点数或所有正六边形的顶点数的一半；因为每条棱连着两个面，所以棱数是正六边形和正五边形的边数之和的一半，发现也满足欧拉公式，请完成下表． 块数 一个顶点处的块数 边数 正五边形 12 1 正六边形 20 2 多面体 面数：32 顶点数：________ 棱数：________ (2)查阅资料发现，也可以用正五边形、正方形和正三角形制作足球，如图2所示，每个顶点处有1个正五边形、2个正方形和1个正三角形，已知这个多面体有60个顶点，计算这个多面体的面数和棱数，并验证是否满足欧拉公式． 17．（25-26七年级上·江苏南京·期末）小明在参观科技馆时，发现很多矿物的结晶体有着其独特的几何形态和内在规律．黄铁矿的晶体（如图1）是一个正方体：它由六个面组成，每个面都是全等的正方形，每个顶点都连接3条棱．小明查阅资料后了解到，这种各面都是完全相同的正n边形，且各顶点连接r条棱的立体图形称为正多面体，如正方体又称为正六面体． 一个正F面体的每个面都是全等的正n边形，有V个顶点，E条棱，且每个顶点都连接r条棱．小明对部分正F面体（如图2）进行了观察，列出以下数据． 正多面体 F n V E r 正四面体 4 3 4 6 3 正方体 6 4 8 12 3 正八面体 8 3 6 12 4 (1)根据表中的数据，请写出F，V，E之间存在的等量关系式：________． (2)小明进一步发现，正F面体中棱数与各面的边数之和以及棱数与各面的顶点数之和存在着一定的关系． ①从面出发：以正方体为例，它有6个面，每个面都有4条边，则六个面的边数之和为24．又因为正方体的两个面共用一条边，所以正方体的棱数为12．正F面体的棱数________；（用含n，F的代数式表示） ②从顶点出发：正F面体的棱数________．（用含r，V的代数式表示） (3)已知一个正多面体有30条棱，且每个顶点连接5条棱，求这个正多面体的一个面是几边形． 18．（26-27七年级上·四川达州·阶段检测）如图所示的正方体被截去了一部分，求剩余部分的体积．（棱柱的体积底面积高） 19．（23-24七年级上·广东佛山·阶段检测）阅读材料，解决下面的问题： 柏拉图体 柏拉图体即为正多面体，它的所有面都是完全相同的正多边形． 正多边形有无数种，而正多面体只有五种，均以面的数量来命名——正四面体、正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体．如图1、就是一个六个面均为正方形的正六面体． （注：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形．如等边三角形也叫正三角形，正方形也叫正四边形…） (1)如图2，连接正六面体中相邻面的中心，可得到一个柏拉图体． ①它是正______面体，有______个顶点，______条棱；②已知该正多面体的体积与原正方体体积的比为，若原正方体的棱长为，该正多面体的体积为______： (2)如图3，用6个棱长为1的小正方体搭成一个几何体．小明要再用一些完全相同的小正方体搭一个几何体，若要使新搭的几何体恰好能与原几何体拼成一个无空隙的正六面体，则小明至少需要_____个小正方体，他新搭几何体的表面积最小是______； (3)小华用4个棱长为1的小正四面体搭成一个如图4所示的造型，可以看做是一个不完整的大四面体．小华发现此造型中间空缺部分也是一个柏拉图体！请写出该柏拉图体的名称：______． 20．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）某公司生产一种仿蜂巢形状的直立式储物箱，框架如图所示，它是一种常见的几何体，底面边长都是，侧面棱长是，观察这个框架，解答下列问题： (1)该几何体的名称是_______棱柱，共有_______个面； (2)用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是_______；（填序号） ①六边形；②七边形；③八边形；④九边形 (3)若用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边，所需丝带的长度是多少厘米？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $