28.2.2 应用举例(第1课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级下册数学同步练习（人教版）

锐角三角函数 第二十八章 28.2.2应用举例（第一课时) 知识梳理@形成联系 【知识点】仰角与俯角 ©在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是 视线在水平线下方 的是 如图，某飞机于空中A处探测到目标C,此时飞行高度AC= 1200m,从飞机上看地平面指挥台B的俯角a=30°(B,C在同 1200m 一水平线上)，则目标C到指挥台B的距离为m.(结果 图28.2-3 保留根号) 例题点拨Q素养导向 -卡多多 【例】热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角α为27°， 看这栋楼底部的俯角B为58°，热气球与这栋楼的水平距离为120m,这栋 楼有多高？（结果取整数.参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈ 0.51,sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60) 【点拨】要求这栋楼的高度，就是要求BC的长度，根据仰角、俯角 图28.2-4 首先找到直角三角形，由正切的定义分别求出BD,DC的长，求和即可 夯实四基达标闯关 1.如图，为测学校旗杆的高度，在距旗杆10m的A处，测得旗杆顶部B 的仰角为α，则旗杆的高度BC为() A.10tana m B.10m tano 第1题图 C.10sina m D.10 m sing 13 数学 九年级下册（人教版） 2.如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图.自动扶梯AB的倾斜角 B 为37°，大厅两层之间的距离BC=6m,则自动扶梯AB的长约为() 16m (参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75) 137o A A.7.5m B.8m 第2题图 C.9m D.10m A 3.如图，某停车场入口的栏杆从水平位置AB绕点O旋转到A'B 的位置.已知AO=4m,若栏杆的旋转角∠AOA'=47°，则栏杆端点A上 -B 升的垂直距离A'H为 m.(结果保留0.1.参考数据：sin50°≈ H 0.77,c0s50°≈0.64) 第3题图 4.为了测量学校旗杆的高度，测量者在距离旗杆5m处用测角仪测得仰角为47°，测量 者眼睛距地面的距离为1.6m,求旗杆的高度约为多少米.（结果保留小数点后一位.参考数 据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07) E 第4题图 5.某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30m的D处， 无人机测得操控者A的俯角为37°，测得点C处的俯角为45°.又经过人工测量操控者A和 教学楼BC距离为57m,求教学楼BC的高度.（注：点A,B,C,D都在同一平面上.参考 数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) D 37风45 -- 第5题图 锐角三角函数 第二十八章 能力提升睡综合拓展 6.有一座独塔悬索桥，全长1.54km,主桥全长416m,宽45m,桥的主塔由曲线形拱 门组成.某数学“综合与实践”小组把“测量桥拱门的高度”作为一项课题活动，他们制订 了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量.测量结果如下表： 项目 测量桥拱门的高度 说明：他们利用无人机技术进行测量，AB代表 测量示意 桥拱门，C,D是两个观测点，已知CD⊥BM, 图及说明 AB⊥BM,点A,B,C,D在同一平面内，BM M B 为桥面 第6题图 C处的仰角 D处的俯角 观测点C距桥面的高度 DC之间的距离 测量数据 30° 450 50m 200m 请运用你所学的知识，根据上表中的测量数据，帮助“综合与实践”小组求出桥拱门的 高度AB.(结果保留整数.参考数据：V3≈1.73，V2≈1.41) 中考链接©真题演练 e 7.(2025·辽宁))如图，为了测量树AB的高度，在水平地面上取一点C,在C处测得 ∠ACB=51°，BC=6m,则树AB的高约为 m.(结果精确到0.1m.参考数据：sin51° ≈0.78，c0s51°≈0.63，tan51°≈1.23) Q'2201 120m 50 51 B 水面 第7题图 第8题图 8.(2025·武汉)某科技小组用无人机测量一池塘水面两端A,B的距离，具体过程如 下：如图，将无人机垂直上升至距水面120m的P处，测得A处的俯角为45°，B处的俯角 为22°，则A,B之间的距离是 m.(tan22°取0.4) 15(2).∠A=30°，∠B=90°-∠A=60° .amA=BC=V3,AC=3. AC 3 ..BC=V3,.AB=2BC=2V3. 1.C2.C3.B4.3 5.解：(1)∠C=90°，a=6,b=2V3, .c=V㎡+b=4V3. :tanB=b=Y3,∠B=30°，∠A=60, a 3 (2):∠C=90°，∠A=30°，c=100, ∠B-90-∠A-60,a7-50b=V3a50V3 6.解：(1)如图，过点A作AJ1BC于点J. 在Rt△ACJ中，AC=2,∠ACJ=60°， ∴AJ=AC.sin60°=V3, CJ=AC.cos6(0°=1， 在Rt△ABJ中，∠B=45°， ∴A=BJ=V3, w 第6题答图 .AB=V2AJV6. (2)由题意，得CH⊥AB. 由(1)可知BC=BJ+CJ=1+V3, ABCK=J :CH=V3(1+V3)-V2+V6 V6 2 ∴点C到线段AB的距离CH为V2+V6 2 (3)由题意，sin4=CH-V2+V6 AC 4 7.解：(I)延长CB,过点A作AD⊥BC. ∠ABC=135°，.∠ABD=45 在Rt△ABD中，AB=2V2,∠ABD=45°， AD=AB.sin45=2,△ABC的面积=)BCAD 2x12=l Di- B 第7题答图 (2)∠ABD=45°，∠D=90°， ∴.△ABD是等腰直角三角形 .AD=2,..DB=2,DC=DB+BC=2+1=3, 参考答案 在Rt△ACD中，AC=VADP+DC=V3. ∴sinC=AD 2-21V13 ACV13 13 8.C 9.解：如图，过点A作ADLBC于点D,则∠ADB= ∠ADC-90°.设BD=xm,而BC=222m,.CD=(22.2-x)m 第9题答图 在Rt△ABD中，∠B=34.2°， tanB=4D-4D=tan34.2≈0.68，AD=0.68x BD x 在Rt△ACD中，∠C=9.8°， tanC=AD=068r=tan9.8e≈0.17， CD22.2-x ∴3.774-0.17=0.68x,解得x=4.44, c0sC=CD=22.2-444-cos9.80≈0.99， AC AC 4C=1776≈17.9(m),4C的长度约为17.9m. Γ0.99 28.2.2应用举例（第一课时） 【知识点】仰角俯角1200V3 【例】解：在R△ABD中，ana=BD AD 则BD=AD.tana=120×0.51=61.2. 在R△ACD中，amB=CD ΓAD 则CD=AD-tan6=120x1.60=192(m), .∴BC=BD+CD=61.2+192=253.2≈253(m). 答：这栋楼高约为253m. 1.A2.D3.3.1 4.解：由题意得∠AED=90°，DC=EB=1.6m,DE= BC=5m,在Rt△ADE中，∠ADE=47°， .AE=DE.tan47°≈5×1.07=5.35(m), ∴AB=AE+BE=5.35+1.6≈7.0(m), .旗杆的高度约为7.0m. 5.解：过点D作DE⊥AB于点E,过点C作CFL DE于点F D 3745 E B 第5题答图 29 数学 九年级下册（人教版） 由题意得，AB=57m,DE=30m,∠A=37°，∠DCF Rt△ADP中，sinA=P四 45°.在Rt△ADE中，∠AED=90°， AP .tan37DE=0.75.AE=40 m. :PD=AP,sinM=AP,sin60°=80xY3≈68 AE .AB=57m,.BE=17m. (n mile) 四边形BCFE是矩形，.CF=BE=17m 在Rt△BDP中，sinB=PD 在Rt△DCF中，∠DFC=90°， BP' ∴.∠CDF=-∠DCF-45°. PB=PD=PD。≈68≈113(n mile） sinB sin37°0.6 .DF=CF=17m,∴.BC=EF=30-17=13(m). 答：教学楼BC高约13m. 答：轮船所在B处与灯塔P的距离约为 6.解：如图，延长DC与BM交于点N,过点A 113 n mile. 作AP⊥DC于点P. 北 i609 东 37 M N B 第6题答图 .CD⊥BM,AB⊥BM, .∠APN=∠PNB=∠ABN=90°， 例1题答图 例2题答图 .四边形APNB为矩形，.AB=PN. 【例2】解：(1)过点B作BH⊥AF于点H, 根据题意，可得∠ACP-90°-30°=60°， 则四边形BBFE为矩形，：.EF=BH ∠ADP-90°-45°=45°，CN=50m,DC=200m. 坡面AB的坡度为1：3， 在Rt△APC中，tanLACP-tan60°=4P=V3, PC ∴APV3PC. am==,2430e. V33 在RtAAPD中，tan /ADP=tan45e6=, :.BH=1AB=800x}=400(m), 2 ..DP=AP=V3 PC, ∴.EF-400m.故答案为400. ..DC=200 m,.PC+PD=PC+V3 PC=200 (m), (2)~坡面BC的坡度为1：1， .PC-=200,-100V3-1D≈100x173-1-73(m. .∠CBE=45°， V3+1 ..CE=V2_BC=100V2, .CN=50,.AB=PW=PC+CN=73+50=123(m). 2 答：桥拱门的高度AB约为123m. .CF-CE+EF=100V2+400≈541(m). 7.7.48.180 答：山峰的高度CF约为541m 28.2.2应用举例（第二课时） 【知识点1】(1)北偏东60°(2)东南或 1.D2.A3.1.84.2Y0 3 南偏东45°(3)南偏西30 5.解：过点B作BD⊥AC于点D, 【知识点2】坡角BCAC比值 B地位于A地北偏东67°方向，距A地390km. 【例1】解：过点P作PDLAB于点D, 在Rt△ABD中，∠ABD=67°， 由题意知，AB∥EF,∠ADP=∠BDP=90°， AB,COs67°=BD ·sin67=AD AB' AP=80 n mile. AD=AB-sin67°≈390x2-360(km）. .∴∠A=∠EPA=60°，∠B=∠BPF=37 13 30