专题01 平移重难点题型专训（1个知识点+6大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

本讲义聚焦初中数学“平移”核心知识点，系统梳理平移的定义、三要素（原位置、方向、距离）、性质（对应点连线平行且相等、对应线段平行且相等、对应角相等）及作图步骤，构建从概念理解到生活应用、图形变换、性质推理的学习支架。 资料以生活实例（如草地小路面积计算）培养数学眼光，通过多结论问题和动态探究发展数学思维（推理能力、运算能力），作图与证明题强化数学语言表达。课中辅助分层教学，课后即时训练与拓展训练助力学生查漏补缺，提升应用意识。

专题01 平移重难点题型专训 （1个知识点+6大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 生活中的平移现象 题型二 图形的平移 题型三 利用平移的性质求解 题型四 平移(作图) 题型五 利用平移解决实际问题 题型六 利用平移的性质解决多结论问题 拓展训练一 根据平移的性质证明 拓展训练二 平移的动态探究 知识点一：平移 1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种 移动，叫做平移变换，简称平移。 2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 3. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 【即时训练】 1．（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，线段按箭头所示方向平移，可以得出的平面图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形的平移，解题关键在于要有丰富的空间想象能力．根据平移的性质逐项判断即可． 【详解】解：线段按箭头所示方向平移，可以得出的平面图形是平行四边形，如图所示： 故选：B． 2．（25-26七年级下·江苏常州·课后作业）如图，经过平移得到，点，，分别平移到了点，，，则线段与线段__________是一组对应线段，与__________是一组对应角． 【答案】 【详解】解：由题意，线段与线段是一组对应线段，与是一组对应角. 【经典例题一 生活中的平移现象】 【例1】（25-26七年级下·江苏徐州·期末）如图所示，为美化校园，某校要在长12米，宽6米的长方形空地中划出三个小长方形（阴影部分），若小长方形的宽均为2米，则空白部分的面积为（   ）平方米． A．42 B．45 C．48 D．50 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的平移现象，利用平移得出空白的矩形是解题的关键．根据平移现象，可得阴影部分向上平移，可得空白部分为长是12米，宽是4米的矩形，根据矩形的面积公式，可得答案． 【详解】解：阴影部分向上平移，可得空白部分为长是12米，宽是4米的矩形， 则其面积为：． 故选：C ． 【例2】（24-25七年级下·北京西城·期中）如图，有一块长22米，宽12米的草坪，其中有两条宽2米的直道把草坪分为四块，则草坪的面积是______平方米．    【答案】200 【分析】草坪的面积矩形的面积两条直道的面积两条直道重合部分的面积，由此计算即可． 【详解】解：草坪的面积是（平方米）， 故答案为：200． 【点睛】本题考查了生活中的平移现象，解答本题的关键是正确找出各个面积之间的关系． 1．（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，人民公园内一块长方形草地上原有一条宽的笔直小路，现要将这条小路改造成弯曲小路，小路的上边线向下平移就是它的下边线，那么改造后小路的面积（    ） A．变大了 B．变小了 C．没变 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据平移的性质即可判断出小路的面积变化． 【详解】由平移的性质可得笔直小路和弯曲小路的面积相等， 故选：C 【点睛】本题考查了生活中的平移现象，正确理解题意，灵活运用平移的性质是解决问题的关键． 2．（24-25七年级下·山西晋城·期末）夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在水中行”的美好意境，某公园在如图所示的长方形荷塘上架设小桥．若荷塘的周长为240m，且小桥宽忽略不计，则小桥总长为__________． 【答案】120m 【分析】根据图形得出荷塘中小桥的总长为矩形的长与宽的和，进而得出答案． 【详解】荷塘周长为240m， 小桥总长为：240÷2=120（m）， 故答案为：120 m． 【点睛】本题主要考查了生活中的平移现象，得出荷塘中小桥的总长为矩形的长与宽的和是解题关键． 3．（25-26七年级下·江苏泰州·单元测试）邻居李大叔自家后院有一块长为、宽为的长方形菜地，为行走方便，准备修筑两条横竖方向互相垂直的小路如图所示，如果路宽为，请你帮助李大叔计算一下种植蔬菜的面积．    【答案】种植蔬菜的面积为 【分析】本题主要考查了生活中的平移现象，根据平移的知识，把横竖各两条道路平移到正方形的边上，求剩余空白部分的面积即可． 【详解】解：如图，    由平移，可把种植蔬菜的面积看成是边长为和的长方形的面积． 所以种植蔬菜的面积为． 答：种植蔬菜的面积为． 【经典例题二 图形的平移】 【例1】（24-25七年级下·甘肃甘南·月考）下列四个图形中，不能通过基本图形平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质和图形的平移的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据平移的性质和图形的平移的知识，进行作答，即可求解． 【详解】解：A、不能通过基本图形平移得到，符合题意； B、能通过基本图形平移得到，不符合题意； C、能通过基本图形平移得到，不符合题意； D、能通过基本图形平移得到，不符合题意； 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·江苏徐州·课后作业）如图，是由经过平移得到的，则点，，的对应点分别是点_______，平移的方向是_______，平移的距离是_______． 【答案】 射线（或）的方向 线段的长（或的长） 【分析】本题考查了平移的方向、距离、性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据平移的方向、距离、性质等知识点解答即可． 【详解】解：是由经过平移得到的，则点，，的对应点分别是点， 平移的方向是射线（或）的方向，平移的距离是线段的长（或的长）， 故答案为：；射线（或）的方向；线段的长（或的长）． 1．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，将沿射线平移得到，下列线段的长度能表示平移距离的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的概念判断即可． 【详解】解：∵沿射线平移得到， ∴点与点是对应点，点与点是对应点， ∴线段、可表示平移距离， 故选：． 【点睛】本题考查了平移，掌握平移的概念是解题的关键． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）“俄罗斯方块”是一款风靡全球的经典游戏，某局游戏当前情况如图所示，若上端小正方形移动最短的距离后能形成消除，则共有______种不同的移动方法．    【答案】10 【分析】本题考查图形的平移方式，结合图形可得往右需要移动3个单位，往下移动6个单位，逐一分析即可． 【详解】解：由图可得，该正方形需要移动到右下角的位置， 平移方式有：右3下6，右2下1右1下5，右2下2右1下4，右1下1右2下5，右1下1右1下1右1下4，右1下2右2下4，下2右3下4，下1右3下5，下1右1下1右2下4，下1右2下1右1下4，一共10种不同的移动方法， 故答案为：10． 3．（25-26七年级下·江苏徐州·课后作业）如图，如果把网格图中的三个涂了色的小正方形看作一个图形，把它在网格中进行多次平移，能不能将所有方格填满？如果填不满，怎样平移可使剩余的方格最少？最少剩余几个方格？ 【答案】不能，最少剩余2个方格，平移方式见解析 【分析】本题考查图形的平移，根据平移不改变图形的形状和大小，可知只能沿水平方向（向左或向右）或垂直方向（向上或向下）移动，由于图形的形状和网格的边界限制，可知不能将所有方格填满． 【详解】解：不能将所有方格填满．最少剩余2个方格， 平移方式为：向右平移到底，向上移一格，然后向左平移到底，再向上移一格，然后向右平移到底，再向上移一格，然后向左平移到底，最后只剩下左上角和右上角2个小格无法填充．如图： 【经典例题三 利用平移的性质求解】 【例1】 （24-25七年级下·陕西·期末）如图，将三角形沿着方向平移得到三角形，且，若三角形的面积是，则四边形的面积是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质，得到四边形为平行四边形，作，根据三角形的面积公式，平行四边形的面积公式以及，进行求解即可． 【详解】解：∵平移， ∴， ∴四边形为平行四边形， 作， ∴， ∴四边形的面积为； 故选D． 【例2】（24-25七年级下·四川南充·周测）如图，在四边形中，，，将，分别平移到和的位置．若，，则___________． 【答案】 【分析】在四边形中，、分别平移到和的位置，所以有，． 【详解】解：，将，分别平移到和的位置， ，， ， ． 1．（24-25七年级下·贵州遵义·月考）将直角梯形平移得梯形，若，，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．32 B．36 C．20 D．40 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质、平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题关键．先根据平移的性质可得，，，，再根据平移的性质可得，从而可得四边形和四边形都是直角梯形，然后根据图中阴影部分的面积等于直角梯形的面积求解即可得． 【详解】解：由图可知，在直角梯形中，， 由平移的性质可知，，，，， ∴， ∴四边形和四边形都是直角梯形， ∵， ∴， ∵， ∴图中阴影部分的面积为 ． 2．（24-25七年级下·山西长治·期末）如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，正确的有（   ） ①或与在同一条直线上 ②或与在同一条直线上 ③ ④ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】平移不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等，据此逐一判断即可得到答案． 【详解】解：由平移的性质可得或与在同一条直线上，或与在同一条直线上，，故①②③正确， 根据现有条件无法证明，故④错误． 3．（25-26七年级下·广西南宁·月考）如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，，平移距离为3，求图中阴影部分的面积． 【答案】21 【分析】根据平移的性质分别求出、，根据题意求出，然后利用梯形的面积公式计算即可． 【详解】解：由平移的性质知，，， ， 由平移可知，， ． ∴图中阴影部分的面积为21． 【经典例题四 平移(作图)】 【例1】（24-25七年级下·山西吕梁·期末）如图，在正方形网格中，如果把三角形的顶点C先向右平移3格，再向上平移1格到达点，连接，则线段与线段的关系是（    ） A．垂直 B．相等 C．平分 D．平分且垂直 【答案】D 【分析】此题考查了图形的平移，线段的位置及数量关系，根据平移的规律画出图形，即可得到答案，熟练掌握平移的性质是解题的关键 【详解】解：由平移可得把三角形先向右平移3格，再向上平移1格， ∴线段与线段的关系是平分且垂直， 故选：D 【例2】（24-25七年级下·北京朝阳·期中）如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与拼合成一个四边形，那么_______．    【答案】4或5或6 【分析】分图1，图2，图3，三种情况进行求解即可． 【详解】解：当平移到如图1所示的位置时，则此时， ∴；    当平移到如图2所示的位置时，则此时， ∴；    当平移到如图3所示的位置时，则此时， ∴；    综上所述，的值为4或5或6， 故答案为：4或5或6． 【点睛】本题主要考查了图形的平移，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 1．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）数学课上，老师提出了一个问题：如何作一条直线的平行线？如图是小明同学的作法，老师对小明的作法表示了肯定，那么小明作图的原理是（   ） A．两直线平行，同旁内角互补 B．同位角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】B 【分析】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．也考查了平行线的判定．先利用平移的性质得到，然后根据同位角相等两直线平行判断即可． 【详解】解：利用平移的性质得到， 可知小明作图的原理是同位角相等两直线平行， 故选：B． 2．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图所示的方格纸中，正方形要向右平移格，再向下平移格，得到正方形，则正方形与重叠部分面积为______．（每小方格的边长为） 【答案】 【分析】本题考查了图形的平移，先根据题意画出平移后的图形，然后根据图形即可得出正方形与重叠部分面积，正确理解图形经过或覆盖的区域的形状是解题的关键． 【详解】解：∵正方形要向右平移格，再向下平移格，得到正方形， ∴如图， 根据图形可得正方形与重叠部分面积为， 故答案为：． 3．（25-26七年级下·广东潮州·月考）如图，在方格中平移三角形，使点移到点， (1)作出平移后的三角形． (2)三角形可以看作三角形向右平移____个单位长度，再向下平移____个单位长度得到的图形． 【答案】(1)画图见解析 (2)， 【分析】（）根据平移的性质画图即可； （）根据平移的性质解答即可求解； 本题考查了平移作图，平移变换，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，三角形即为所求； （2）解：三角形可以看作三角形向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的图形， 故答案为：，． 【经典例题五 利用平移解决实际问题】 【例1】（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，大长方形的长是，宽是，阴影部分的宽都是，则空白部分的面积是（   ） A．18 B．24 C．32 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质．根据平移的性质，把两条小路都平移到矩形的边上，然后求出空白部分的长和宽，再根据矩形的面积公式计算即可得解． 【详解】解：把小路平移到矩形的边上，则空白部分的长为，宽为， 所以，空白部分的面积是：． 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·江苏常州·单元测试）如图，在长方形中，，，则长方形内的四个小长方形的周长之和为_________． 【答案】14 【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 把图中四个小长方形的边长进行平移，可得到图中四个小长方形的周长之和等于长方形的周长． 【详解】解：通过平移可知，图中四个小长方形的周长之和． 故答案为：． 1．（25-26七年级下·江苏徐州·课后作业）如图，小明家的三个地暖散热片分别接入1，2，3三个分水器，分水器与散热片之间用管道相连，竖直管道之间的距离相等，且相邻管道对应平行排列，则三个散热片所用管道（    ） A．1长 B．2长 C．3长 D．一样长 【答案】D 【分析】2，3两个分水器可以看作1分水器向右，向上平移得到，根据平移的性质，作答即可 ． 【详解】解：由题意，2，3两个分水器可以看作1分水器向右，向上平移得到， 故三个散热片所用管道一样长 ． 2．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为．则 （1）用含，的式子表示正方形的边长为_____， （2）图2中阴影部分的周长与正方形的周长之比为_____． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减的应用，以及平移的性质，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）结合图形先推出正方形的边长，进而推出正方形的边长，即可解题； （2）结合图1中的长方形周长为，推出，利用平移的性质可知，阴影部分的周长可化为长方形的周长，再分别求出正方形的周长，阴影部分的周长，即可解题． 【详解】解：（1）正方形的边长为，正方形的边长为， 正方形的边长为， 正方形的边长为， 故答案为：； （2）图1中的长方形周长为， ， 整理得， 利用平移的性质可知，阴影部分的周长可化为长方形的周长， 图2的长方形周长为， 正方形的周长为，阴影部分的周长为， 图2中阴影部分的周长与正方形的周长之比为， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·上海奉贤·期末）南湖公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米． (1)如图1，阴影部分为1米宽的小路（），长方形除去阴影部分后剩余部分为草地，则草地的面积为 平方米； (2)如图2，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），则草地的面积为 平方米； (3)如图3，非阴影部分为1米宽的小路沿着小路的中间从入口处走到出口处，所走的路线（图中虚线）长为 米． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）图1中，根据平移的性质可得到草地是长为米，宽为米的长方形，然后计算面积； （2）图2中，根据平移的性质可得到草地是长为米，宽为米的长方形，然后计算面积； （3）图3中，将路线的横向部分平移后总长度等于长方形的长，纵向部分平移后总长度为2(宽)米，相加得到路线总长． 【详解】（1）解：将图1中小路往左平移，直到E、F分别与A、B重合， 则平移后可得到草地是长为米，宽为米的长方形， ∴草地的面积为(平方米)． （2）解：将图2中将小路往、边平移，直到小路与草地的边重合，则平移后可得到草地是长为(米)，宽为(米)的长方形， ∴草地的面积为(平方米)． （3）解：将路线的横向部分平移，总长度为米； 将路线的纵向部分平移，总长度为(米)； ∴所走路线的长度为(米)． 【经典例题六 利用平移的性质解决多结论问题】 【例1】（24-25七年级下·北京朝阳·期末）如图，在三角形中，．将三角形沿方向平移，得到三角形，与相交于点H，连接．给出下面三个结论：①；②若，则四边形的周长为；③若三角形的面积比三角形的面积大，则．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．① B．①② C．①③ D．②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的面积、平行线的判定与性质、平移的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据平移的性质进行分析判断以及计算即可判定①②；根据的面积求出平行线与之间的距离，设三角形的面积为，三角形的面积为，四边形的面积为，则，根据和分别写出、、之间的等量关系，从而求出a的值即可． 【详解】解：∵将三角形沿方向平移，得到三角形， ∴，即①正确； ∵，， ∴若，则四边形的周长为． ∴②不正确； 设平行线与之间的距离为， 则，解得：， 设三角形的面积为，三角形的面积为，四边形的面积为，则， 根据和，得 ， ，得，解得，即③正确． 综上，①③正确． 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·广东汕头·月考）如图，中，．将向右平移得到，边经过的中点．下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）连结，则．其中正确的结论有______．(写出所有正确结论的序号) 【答案】（1）（3）（4） 【分析】本题考查的是平移的性质、三角形的外角性质，平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．根据平移的性质、三角形的外角性质判断即可． 【详解】解：由平移的性质可知，，，， 故（1）（3）（4）结论正确； 由三角形的外角性质可知，，不一定等于，故（2）结论错误； 故答案为：（1）（3）（4）． 1．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）如图，在中，，，，，将沿方向平移，得到，连接，则下列结论：，；；四边形的周长是．其中结论正确的个数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．根据平移的性质逐一判定即可． 【详解】解：将沿方向平移得到， ，，，故正确； ， ， ，故正确； 沿方向平移得到，，，， ，， 四边形的周长，故正确， 故选：D． 2．（24-25七年级下·江苏徐州·单元测试）如图，三角形中，，将其沿所在的直线向右平移得到三角形，以下四个结论：①；②；③；④．其中一定成立的结论有________个． 【答案】3 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的判定，掌握平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质，平移后不改变图形的形状和大小，也不改变图形的方向，得到，，，则，据此即可解答． 【详解】解：∵三角形中，，将其沿所在的直线向右平移得到三角形， ∴，，， ∴ ∴②，③，④选项正确，不能得出，故④不正确，一定成立的结论有3个． 故答案为：3． 3．（24-25七年级下·河南安阳·月考）光明中学现有一块长方形的草地，长为，宽为．现要在草地上规划一条小路，小路右侧边均为左侧边向右平移得到，现需要用鹅卵石给小路铺地面，鹅卵石铺地面的费用大约为150元/平方米． (1)若设计公司设计了以下三种方案（中间阴影部分为小路），如果仅从经济角度考虑，运用数学知识，你将如何选择方案？请写出你的理由并算出你所选小路的预算费用； (2)小颖想知道设计图2中和是否真正平行，她度量出，，，她就得出了，你认为她的思考正确吗？为什么？ (3)如图3，猜想之间有什么关系，请直接写出你的结论． 【答案】(1)方案任选一种，小路的预算费用约为6000元，理由见解析 (2)小颖的思考正确．理由见解析 (3) 【分析】本题考查了长方形的性质，平行线的判定及性质的实际应用． （1）由题意可知，小路的宽固定为，宽上的高都为，所以小路的面积是固定的，所以三种方案的费用是一样的，根据预算费用面积每平米的费用计算即可； （2）过点C作，根据两直线平行，内错角相等得，进而得，再得，再由内错角相等得两直线平行即可； （3）过点C作，过点D作，过点E作，根据平行线的判定及性质可得结论． 【详解】（1）解：三种方案的预算费用都是6000元，故任选一种即可，理由如下： 由题意可知，小路的宽固定为，宽上的高都为， ∴小路的面积为：， ∴小路的预算费用为：（元）， 即三种方案，小路的预算费用都约为6000元； （2）解：小颖的思考正确，理由如下： 如图，过点C作， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点C作，过点D作，过点E作， ∴，，， ∵草地为长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【拓展训练一 根据平移的性质证明】 【例1】（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，已知线段，将平移后点A的对应点为点C，求作平移后的线段（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）． 【答案】作图见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图，平移作图， 先作射线，以点A为圆心，任意长为半径画弧，交于点F，E，再以点C为圆心，为半径画弧，交于点G，然后以点G为圆心，为半径画弧，交前弧于点H，作射线，接下来以点C为圆心，为半径画弧，交于点D，则线段即为所求作． 【详解】解：如图所示． 【例2】（24-25七年级下·江西上饶·期中）如图，将向右平移，得到． (1)若，求的度数； (2)猜想与的数量关系，并加以证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，平移的性质： （1）由平移的性质可得，则由平行线的性质可得，据此求解即可； （2）由平移的性质可得，则由平行线的性质可得，，据此可得． 【详解】（1）解：由平移的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，证明如下： 由平移的性质可得， ∴，， ∴． 1．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）1.实践与操作：如图，平移三角形，使点平移到点，画出平移后的三角形 （点平移到，点平移到，保留画图痕迹，在图中标明相应字母，不写作法）； 推理与证明： （1）由平移可知，且．其依据是： ； （2）证明：． 【答案】实践与操作：见解析；推理与证明：（1）对应点连线平行且相等；（2）见解析 【分析】此题考查作图—平移变换，关键是利用平移的性质解答． 实践与操作：根据平移变换的定义画图可得． 推理与证明：（1）根据平移变换的性质可得答案； （2）根据平移的性质得，推出即由可得结论 【详解】解：实践与操作： 如图所示，即为所求， 推理与证明： （1）由平移可知，且． 其依据是：对应点连线平行且相等； 故答案为：对应点连线平行且相等； （2）证明：由， ∴ ∴ 又 ∴， ∴ ∴． 2．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）如图，已知线段，点C是线段外一点，连接，（）．将线段沿平移得到线段．点P是线段上一动点，连接，． (1)依题意在图1中补全图形，并证明：； (2)过点C作直线．在直线l上取点M，使．当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了平行线的性质、平移的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据题意补全图形即可，根据平移的性质可知，，过点作，则，由平行线的性质可得，，由此即可得证； （2）分两种情况：当在的外部时；当在的内部时；分别求解即可． 【详解】（1）解：补全图形如图所示： 证明：根据平移的性质可知，，             如图，过点作， 则， ，， ， ； （2）解：如图，当在的外部时， ∵，， ∴， 根据平移的性质可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当在的内部时， ∵，， ∴， 根据平移的性质可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，与之间的数量关系为或． 3．（24-25七年级下·江西南昌·期末）将三角形沿射线方向平移到三角形的位置．    (1)如图1，当点D与点B重合时． 判断：_______；（用“＞”、“＝”、“＜”填空） (2)如图2，当点D与点B不重合时，连接，．试探究，，三个角之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)= (2)或，见解析 【分析】（1）根据平移的性质得出结论； （2）根据点D的位置可分为点D在点左边和点在点右边两种情形，利用平行线的性质得出结果． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵三角形是由三角形平移得到， ∴， ∴； （2）解：根据点D的位置可分为两种情形， ① 若点D在点左边，如图．      由平移的性质可得：，，， ∵， ∴， ∴． ②    若点在点右边，如图：    由平移的性质可得：，，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查图形的平移和平行线的性质，灵活运用这些性质和特点是解题的关键. 【拓展训练二 平移的动态探究】 【例1】（24-25七年级下·江苏徐州·课后作业）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，三角形的顶点均在小正方形的格点上．    (1)将三角形向下平移3个单位长度得到三角形，画出三角形； (2)在（1）的运动过程中，请计算出三角形扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了网格作图．熟练掌握平移性质和作图，网格图形面积，是解题的关键． （1）A、B、C三点分别向下平移3单位长度，得三点，首尾顺次连接即得； （2）平移扫过的面积等于的矩形面积减去周围3个三角形面积，为． 【详解】（1）解：如图所示，三角形即为所求．    （2）解：平移前后两个三角形在一个的矩形内， ∴平移扫过的面积为：． 【例2】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图1，在中，，的周长为，边在直线上，将沿着直线平移得到，（，，的对应点分别为，，）， (1)如图1，连接，若平移距离为，则阴影部分的周长为 ； (2)如图2，当时，求的度数； (3)在整个运动中，当时，则的度数为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键； （1）根据平移可得，，进而可得根据阴影部分周长等于的周长，即可求解； （2）根据平移可得，，根据垂线的定义可得，进而根据平行线的性质即可得出，由，即可求解； （3）根据，设，则，根据平行线的性质以及平移的性质得出，进而列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：依题意，，， ∵的周长为， ∴ ∴阴影部分的周长为 故答案为：． （2）解：∵， ∴， 依题意，， ∴， （3）解： ∵，设，则 如图，连接， ∵， ∴ ∴ 解得： 即 故答案为：． 1．（25-26七年级下·江苏徐州·课后作业）五彩缤纷的世界之所以美丽，是由于多姿多彩的图形的和谐组合．日常生活中，线条的合理布局为美丽的世界和日常生活增添了亮丽的色彩，如图1、图2． (1)观察图1，你能从图中抽象出一些直线来，并说明它们之间的位置关系吗？从图2中能看到直线与直线之间的什么位置关系，并且说明包含了哪种图形运动． (2)在你生活的周围，你能发现这样美妙的线条组合吗？请以摄影或绘画的形式把它们记录下来，与同学们一起交流，看谁能在平常的生活中发现美丽的数学． 【答案】(1)图1，垂直；图2，平行，包含的运动是平移 (2)答案不唯一，见解析 【分析】本题主要考查垂直的定义和平行线的定义，熟练判断直线位置关系是解题的关键． （1）根据垂直的定义和平行线的定义可直接得出结论； （2）想象生活中的场景，属于垂直或平行关系即可． 【详解】（1）解：图1中支撑桥梁结构的直线与桥梁直线是垂直关系； 图2中楼梯的台阶边缘直线相互平行，电梯的上下运行可看作是平移运动； 故答案为：图1，垂直；图2，平行，包含的运动是平移； （2）生活中这样的线条组合很多，例如：桌角的两条直线属于垂直，铁轨等属于平行，答案不唯一，符合垂直关系或平行关系的直线均可． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知点C在射线OA上． （1）如图①，CDOE，若∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，求∠BOE的度数； （2）在①中，将射线OE沿射线OB平移得O′E'（如图②），若∠AOB＝α，探究∠OCD与∠BO′E′的关系（用含α的代数式表示） （3）在②中，过点O′作OB的垂线，与∠OCD的平分线交于点P（如图③），若∠CPO′＝90°，探究∠AOB与∠BO′E′的关系． 【答案】（1）150°；（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-α；（3）∠AOB=∠BO′E′ 【分析】（1）先根据平行线的性质得到∠AOE的度数，再根据直角、周角的定义即可求得∠BOE的度数； （2）如图②，过O点作OF∥CD，根据平行线的判定和性质可得∠OCD、∠BO′E′的数量关系； （3）由已知推出CP∥OB，得到∠AOB+∠PCO=180°，结合角平分线的定义可推出∠OCD=2∠PCO=360°-2∠AOB，根据（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-∠AOB，进而推出∠AOB=∠BO′E′． 【详解】解：（1）∵CD∥OE， ∴∠AOE=∠OCD=120°， ∴∠BOE=360°-∠AOE-∠AOB=360°-90°-120°=150°； （2）∠OCD+∠BO′E′=360°-α． 证明：如图②，过O点作OF∥CD， ∵CD∥O′E′， ∴OF∥O′E′， ∴∠AOF=180°-∠OCD，∠BOF=∠E′O′O=180°-∠BO′E′， ∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°-∠OCD+180°-∠BO′E′=360°-（∠OCD+∠BO′E′）=α， ∴∠OCD+∠BO′E′=360°-α； （3）∠AOB=∠BO′E′． 证明：∵∠CPO′=90°， ∴PO′⊥CP， ∵PO′⊥OB， ∴CP∥OB， ∴∠PCO+∠AOB=180°， ∴2∠PCO=360°-2∠AOB， ∵CP是∠OCD的平分线， ∴∠OCD=2∠PCO=360°-2∠AOB， ∵由（2）知，∠OCD+∠BO′E′=360°-α=360°-∠AOB， ∴360°-2∠AOB+∠BO′E′=360°-∠AOB， ∴∠AOB=∠BO′E′． 【点睛】此题考查了平行线的判定和性质，平移的性质，直角的定义，角平分线的定义，正确作出辅助线是解决问题的关键． 3．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）学完平移画图后，老师拓展了对平移作图的探究任务如下： 【阅读体验】 问题：已知一条线段平移后的一个对应点，用尺规作出平移后的线段． 作法：①连接； ②以为圆心，以为半径画弧； ③以为圆心，以为半径画弧，交前弧于点； ④连接； 如图所示，线段即为所求． 要求：按作法补全图形，保留作图痕迹． 【尝试运用】 问题：已知平移后的一个对应点，用尺规作出平移后的． 要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法． 【答案】阅读体验：见解析；尝试运用：见解析 【分析】此题考查了基本作图，平移的性质，熟练掌握平移的性质是作图的关键． 阅读体验：按照作图步骤补充作图即可； 尝试运用：根据阅读体验中的方法，分别作出，顺次连接即可． 【详解】解：阅读体验 如图，线段即为所求． 尝试运用：如图，即为所求， A基础训练 1．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）下面四个花窗图案，可看作由一个基本图形平移而成的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． 根据平移的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、不是由一个基本图形平移而成，故A选项不符合题意； B、不是由一个基本图形平移而成，是由一个基本图形旋转而成，故B选项不符合题意； C、是由一个基本图形平移而成，故C选项符合题意； D、不是由一个基本图形平移而成，是由一个基本图形旋转而成，故D选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）若将一块长，宽的长方形卡片剪成相同形状大小的两张卡片，可拼成一个长，宽的新长方形，则原长方形的剪切方案为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形的拼接和平移，画出剪切后拼成的长方形，求出对应的长和宽即可判断，注意平移后能重合，说明原图上左右和上下对应的线段相等． 【详解】 解：A、剪切后拼成的长方形为，新长方形的长，宽，不合题意； B、剪切后拼成的长方形为，新长方形的长，宽，不合题意； C、剪切后拼成的长方形为，新长方形的长，宽，符合题意； D、剪切后拼成的长方形为，新长方形的长，宽，不合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级上·四川泸州·开学考试）下面的方格图中标出了四个点，将点F（    ）后，再顺次连接四个点可以围成一个平行四边形． A．向左平移1格 B．向左平移2格 C．向右平移1格 D．向右平移2格 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及平移，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据题意即可得到点向右平移2格即可围成平行四边形． 【详解】解：根据平行四边形的定义可知， 需将点向右平移2格即可围成平行四边形． 故选D． 4．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移，得到三角形，且与相交于点G，连接．下列结论：①；②阴影部分的周长为；③如果，那么三角形的周长比四边形的周长少；④如果三角形的面积比三角形的面积小，那么；其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，平移的性质，由平移性质可得，，可判断①；推出阴影部分的周长为三角形的周长可判断②；计算四边形的周长为，的周长为，作差可判断③；过A点作于H，利用面积法求出，根据列方程可解得，从而可判断④． 【详解】解：由平移性质可得，，故①不正确； 阴影部分的周长为，故②正确； 时，四边形的周长为， 的周长为：， 四边形的周长比三角形的周长多，故③不正确； 过A点作于H，如图， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 解得，故④正确， 故选：B． 5．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图1、图2为一张纸片的两种剪拼方案（沿虚线剪开），记图1为方案甲，图2为方案乙，其中，，.对于方案甲，满足，；对于方案乙，满足，．若要拼一个与原纸片面积相等的正方形（纸片没有空隙也不重叠），则（    ） A．甲可以、乙不可以 B．甲不可以、乙可以 C．甲、乙都不可以 D．甲、乙都可以 【答案】D 【分析】本题主要考查图形的平移，通过计算可得所给纸片的面积为5，图1中以为边构造正方形，图2中以为边构造正方形，通过平移即可判断求解． 【详解】解：方案甲，如下图所示，将四边形移至处，将四边形移至处，将移至处，即可得到一个与原纸片面积相等的正方形； 方案乙，如下图所示，将移至处，将移至处，即可得到一个与原纸片面积相等的正方形． 因此甲、乙都可以， 故选D． B 提高训练 6．（24-25七年级下·湖北鄂州·期中）某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥，若荷塘中小桥的总长为40米，则荷塘周长为_________米． 【答案】80 【分析】根据图形得出荷塘中小桥的总长为矩形的长与宽的和，进而得出答案． 【详解】解：根据图形得出荷塘中小桥的总长为矩形的长与宽的和， ∵荷塘中小桥的总长为40米， ∴荷塘周长为：2×40=80(米) 故答案为：80． 【点睛】本题主要考查了生活中的平移现象，得出荷塘中小桥的总长为矩形的长与宽的和是解题关键． 7．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）如图，把直角梯形沿方向平移到梯形的位置，，，，则阴影部分的面积是_________． 【答案】 【分析】将阴影部分的面积转化为梯形的面积，进行计算即可. 【详解】解：∵平移， ∴，， ∴，. 8．（24-25七年级下·江苏徐州·单元测试）某商场重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯．已知这种地毯的批发价为每平方米10元，主楼梯的宽为3米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要______元． 【答案】252 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键； 利用平移和平行分别将楼梯水平方向的线段沿竖直方向向下平移到上，竖直方向的线段沿水平方向向左平移到上，于是铺地毯的横向线段的长度之和就等于横向直角边的长度，纵向线段的长度之和就等于纵向直角边的长度，然后求出面积进行计算，即可解答． 【详解】解：如图： 地毯的总长度至少为(米)． 此时，总面积为 (平方米)， 所以购买地毯至少需要(元)． 9．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）如图，如图所示，一块白色正方形板，边长，上面横竖各两道黑条，黑条宽都是，问黑色部分面积是______． 【答案】 【分析】本题题考查平移的知识，以及正方形面积，解答此题的关键是：利用“平移法”，求出空白部分正方形的边长，进而求其面积．根据平移的知识，把横竖各两道黑条平移到正方形的边上，利用黑色部分面积正方形面积空白部分的面积，即可解题． 【详解】解：将两道黑条平移，如图： 黑色部分面积是（）， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·浙江·期中）作图题：将如图的三角形先水平向右平移4格，再竖直向下平移4格得到三角形．观察线段与的关系是_____． 【答案】AB∥DE，AB=DE 【分析】根据网格结构找出平移后的点D、E、F的位置，然后解答即可． 【详解】解：△DEF如图所示， AB∥DE，AB=DE． 故答案为：AB∥DE，AB=DE． 【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． C 培优训练 11．（24-25七年级下·江苏无锡·课后作业）制作动画片时，经常要用到图形的平移．如图，小鸭子从到，再到，到，这几个过程中，分别进行了怎样的平移？ 【答案】见解析． 【分析】根据平移的性质解答即可． 【详解】解：小鸭子从A处向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度到达B处． 接着从B处向右平移3个单位长度到达C处． 最后从C处向右平移2个单位长度，向下平移1个单位长度到达D处． 【点睛】本题考查了平移的性质，注意仔细欣赏图案，利用平移的定义及性质解答即可． 12．（24-25七年级下·甘肃定西·月考）如图，平移三角形，使点移动到点，画出平移后的三角形． 【答案】见解析 【分析】连接，过点B、C分别作的平行线，再在对应的平行线上分别截取，，再顺次连接即可． 【详解】解：如图所示，三角形即为所求： 13．（24-25七年级下·江苏南京·课后作业）让我们先做一个简单的游戏． 如图表示一个乒乓球放在由四根木棒搭成的“杯子”里．你能只移动其中的两根木棒，使乒乓球跑到“杯子”外面吗？试一试． 【答案】见详解 【分析】将③号棒左移，②号棒移动到③号棒另一头，即可使乒乓球跑到“杯子”外面． 【详解】解：如图，即可使乒乓球跑到“杯子”外面． 【点睛】本题主要考查了图形的平移，培养学生的观察能力和动手能力，具有较强的空间想象能力是解题关键． 14．（24-25七年级下·四川南充·月考）如图将直角三角形沿点B到点C的方向平移得到直角三角形，，，， (1)求平移的距离的长度是多少？ (2)求平移后，图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据平移的性质可得，设，利用线段的和差列出方程，求出的值即可解答； （2）根据平移的性质得到，三角形的面积三角形的面积，根据等量代换可得阴影部分的面积等于梯形的面积，再利用梯形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：由平移的性质得，， 设， ∵， ∴， 解得：， ∴平移的距离的长度是； （2）解：由平移的性质得，，三角形的面积三角形的面积， ∴， ∴梯形的面积， ∴阴影部分的面积三角形的面积三角形的面积 三角形的面积三角形的面积 梯形的面积 ， ∴阴影部分的面积为． 15．（24-25七年级下·湖北宜昌·月考）白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地． (1)求图1中草地的面积． (2)如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积． (3)设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．（直接写出结果．） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了图形的平移变换在面积与长度计算中的应用，熟练掌握平移的性质（平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，能将不规则图形转化为规则图形 ）是解题的关键． （1）通过平移的思想，把小路平移后，草地可拼成一个新的长方形，利用长方形面积公式计算． （2）同样用平移，将两条小路平移到边缘，得到新长方形，再算面积． （3）把横向和纵向的小路长度分别分析，横向长度是长方形的长，纵向长度通过计算得出，再求和． 【详解】（1）解：把平行四边形小路平移，使草地部分拼成一个长为，宽为的长方形． 草地面积 , ∴草地的面积为； （2）解：将两条小路分别平移到长方形空地的边缘，此时草地拼成一个长为，宽为的长方形． 草地面积 ∴草地的面积为； （3）解：横向路线长度为长方形的长；纵向路线长度，把纵向部分平移后，相当于个 ． 路线总长 ∴所走的路线（图中虚线）长为 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平移重难点题型专训 （1个知识点+6大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 生活中的平移现象 题型二 图形的平移 题型三 利用平移的性质求解 题型四 平移(作图) 题型五 利用平移解决实际问题 题型六 利用平移的性质解决多结论问题 拓展训练一 根据平移的性质证明 拓展训练二 平移的动态探究 知识点一：平移 1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种 移动，叫做平移变换，简称平移。 2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 3. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 【即时训练】 1．（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，线段按箭头所示方向平移，可以得出的平面图形是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏常州·课后作业）如图，经过平移得到，点，，分别平移到了点，，，则线段与线段__________是一组对应线段，与__________是一组对应角． 【经典例题一 生活中的平移现象】 【例1】（25-26七年级下·江苏徐州·期末）如图所示，为美化校园，某校要在长12米，宽6米的长方形空地中划出三个小长方形（阴影部分），若小长方形的宽均为2米，则空白部分的面积为（   ）平方米． A．42 B．45 C．48 D．50 【例2】（24-25七年级下·北京西城·期中）如图，有一块长22米，宽12米的草坪，其中有两条宽2米的直道把草坪分为四块，则草坪的面积是______平方米．    1．（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，人民公园内一块长方形草地上原有一条宽的笔直小路，现要将这条小路改造成弯曲小路，小路的上边线向下平移就是它的下边线，那么改造后小路的面积（    ） A．变大了 B．变小了 C．没变 D．无法确定 2．（24-25七年级下·山西晋城·期末）夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在水中行”的美好意境，某公园在如图所示的长方形荷塘上架设小桥．若荷塘的周长为240m，且小桥宽忽略不计，则小桥总长为__________． 3．（25-26七年级下·江苏泰州·单元测试）邻居李大叔自家后院有一块长为、宽为的长方形菜地，为行走方便，准备修筑两条横竖方向互相垂直的小路如图所示，如果路宽为，请你帮助李大叔计算一下种植蔬菜的面积．    【经典例题二 图形的平移】 【例1】（24-25七年级下·甘肃甘南·月考）下列四个图形中，不能通过基本图形平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·江苏徐州·课后作业）如图，是由经过平移得到的，则点，，的对应点分别是点_______，平移的方向是_______，平移的距离是_______． 1．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，将沿射线平移得到，下列线段的长度能表示平移距离的是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）“俄罗斯方块”是一款风靡全球的经典游戏，某局游戏当前情况如图所示，若上端小正方形移动最短的距离后能形成消除，则共有______种不同的移动方法．    3．（25-26七年级下·江苏徐州·课后作业）如图，如果把网格图中的三个涂了色的小正方形看作一个图形，把它在网格中进行多次平移，能不能将所有方格填满？如果填不满，怎样平移可使剩余的方格最少？最少剩余几个方格？ 【经典例题三 利用平移的性质求解】 【例1】 （24-25七年级下·陕西·期末）如图，将三角形沿着方向平移得到三角形，且，若三角形的面积是，则四边形的面积是（    ）． A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·四川南充·周测）如图，在四边形中，，，将，分别平移到和的位置．若，，则___________． 1．（24-25七年级下·贵州遵义·月考）将直角梯形平移得梯形，若，，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．32 B．36 C．20 D．40 2．（24-25七年级下·山西长治·期末）如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，正确的有（   ） ①或与在同一条直线上 ②或与在同一条直线上 ③ ④ A．个 B．个 C．个 D．个 3．（25-26七年级下·广西南宁·月考）如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，，平移距离为3，求图中阴影部分的面积． 【经典例题四 平移(作图)】 【例1】（24-25七年级下·山西吕梁·期末）如图，在正方形网格中，如果把三角形的顶点C先向右平移3格，再向上平移1格到达点，连接，则线段与线段的关系是（    ） A．垂直 B．相等 C．平分 D．平分且垂直 【例2】（24-25七年级下·北京朝阳·期中）如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与拼合成一个四边形，那么_______．    1．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）数学课上，老师提出了一个问题：如何作一条直线的平行线？如图是小明同学的作法，老师对小明的作法表示了肯定，那么小明作图的原理是（   ） A．两直线平行，同旁内角互补 B．同位角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 2．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图所示的方格纸中，正方形要向右平移格，再向下平移格，得到正方形，则正方形与重叠部分面积为______．（每小方格的边长为） 3．（25-26七年级下·广东潮州·月考）如图，在方格中平移三角形，使点移到点， (1)作出平移后的三角形． (2)三角形可以看作三角形向右平移____个单位长度，再向下平移____个单位长度得到的图形． 【经典例题五 利用平移解决实际问题】 【例1】（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，大长方形的长是，宽是，阴影部分的宽都是，则空白部分的面积是（   ） A．18 B．24 C．32 D．36 【例2】（25-26七年级下·江苏常州·单元测试）如图，在长方形中，，，则长方形内的四个小长方形的周长之和为_________． 1．（25-26七年级下·江苏徐州·课后作业）如图，小明家的三个地暖散热片分别接入1，2，3三个分水器，分水器与散热片之间用管道相连，竖直管道之间的距离相等，且相邻管道对应平行排列，则三个散热片所用管道（    ） A．1长 B．2长 C．3长 D．一样长 2．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为．则 （1）用含，的式子表示正方形的边长为_____， （2）图2中阴影部分的周长与正方形的周长之比为_____． 3．（25-26七年级上·上海奉贤·期末）南湖公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米． (1)如图1，阴影部分为1米宽的小路（），长方形除去阴影部分后剩余部分为草地，则草地的面积为 平方米； (2)如图2，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），则草地的面积为 平方米； (3)如图3，非阴影部分为1米宽的小路沿着小路的中间从入口处走到出口处，所走的路线（图中虚线）长为 米． 【经典例题六 利用平移的性质解决多结论问题】 【例1】（24-25七年级下·北京朝阳·期末）如图，在三角形中，．将三角形沿方向平移，得到三角形，与相交于点H，连接．给出下面三个结论：①；②若，则四边形的周长为；③若三角形的面积比三角形的面积大，则．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．① B．①② C．①③ D．②③ 【例2】（24-25七年级下·广东汕头·月考）如图，中，．将向右平移得到，边经过的中点．下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）连结，则．其中正确的结论有______．(写出所有正确结论的序号) 1．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）如图，在中，，，，，将沿方向平移，得到，连接，则下列结论：，；；四边形的周长是．其中结论正确的个数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25七年级下·江苏徐州·单元测试）如图，三角形中，，将其沿所在的直线向右平移得到三角形，以下四个结论：①；②；③；④．其中一定成立的结论有________个． 3．（24-25七年级下·河南安阳·月考）光明中学现有一块长方形的草地，长为，宽为．现要在草地上规划一条小路，小路右侧边均为左侧边向右平移得到，现需要用鹅卵石给小路铺地面，鹅卵石铺地面的费用大约为150元/平方米． (1)若设计公司设计了以下三种方案（中间阴影部分为小路），如果仅从经济角度考虑，运用数学知识，你将如何选择方案？请写出你的理由并算出你所选小路的预算费用； (2)小颖想知道设计图2中和是否真正平行，她度量出，，，她就得出了，你认为她的思考正确吗？为什么？ (3)如图3，猜想之间有什么关系，请直接写出你的结论． 【拓展训练一 根据平移的性质证明】 【例1】（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，已知线段，将平移后点A的对应点为点C，求作平移后的线段（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）． 【例2】（24-25七年级下·江西上饶·期中）如图，将向右平移，得到． (1)若，求的度数； (2)猜想与的数量关系，并加以证明． 1．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）1.实践与操作：如图，平移三角形，使点平移到点，画出平移后的三角形 （点平移到，点平移到，保留画图痕迹，在图中标明相应字母，不写作法）； 推理与证明： （1）由平移可知，且．其依据是： ； （2）证明：． 2．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）如图，已知线段，点C是线段外一点，连接，（）．将线段沿平移得到线段．点P是线段上一动点，连接，． (1)依题意在图1中补全图形，并证明：； (2)过点C作直线．在直线l上取点M，使．当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系． 3．（24-25七年级下·江西南昌·期末）将三角形沿射线方向平移到三角形的位置．    (1)如图1，当点D与点B重合时． 判断：_______；（用“＞”、“＝”、“＜”填空） (2)如图2，当点D与点B不重合时，连接，．试探究，，三个角之间的数量关系，并证明你的结论． 【拓展训练二 平移的动态探究】 【例1】（24-25七年级下·江苏徐州·课后作业）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，三角形的顶点均在小正方形的格点上．    (1)将三角形向下平移3个单位长度得到三角形，画出三角形； (2)在（1）的运动过程中，请计算出三角形扫过的面积． 【例2】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图1，在中，，的周长为，边在直线上，将沿着直线平移得到，（，，的对应点分别为，，）， (1)如图1，连接，若平移距离为，则阴影部分的周长为 ； (2)如图2，当时，求的度数； (3)在整个运动中，当时，则的度数为 ． 1．（25-26七年级下·江苏徐州·课后作业）五彩缤纷的世界之所以美丽，是由于多姿多彩的图形的和谐组合．日常生活中，线条的合理布局为美丽的世界和日常生活增添了亮丽的色彩，如图1、图2． (1)观察图1，你能从图中抽象出一些直线来，并说明它们之间的位置关系吗？从图2中能看到直线与直线之间的什么位置关系，并且说明包含了哪种图形运动． (2)在你生活的周围，你能发现这样美妙的线条组合吗？请以摄影或绘画的形式把它们记录下来，与同学们一起交流，看谁能在平常的生活中发现美丽的数学． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知点C在射线OA上． （1）如图①，CDOE，若∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，求∠BOE的度数； （2）在①中，将射线OE沿射线OB平移得O′E'（如图②），若∠AOB＝α，探究∠OCD与∠BO′E′的关系（用含α的代数式表示） （3）在②中，过点O′作OB的垂线，与∠OCD的平分线交于点P（如图③），若∠CPO′＝90°，探究∠AOB与∠BO′E′的关系． 3．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）学完平移画图后，老师拓展了对平移作图的探究任务如下： 【阅读体验】 问题：已知一条线段平移后的一个对应点，用尺规作出平移后的线段． 作法：①连接； ②以为圆心，以为半径画弧； ③以为圆心，以为半径画弧，交前弧于点； ④连接； 如图所示，线段即为所求． 要求：按作法补全图形，保留作图痕迹． 【尝试运用】 问题：已知平移后的一个对应点，用尺规作出平移后的． 要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法． A基础训练 1．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）下面四个花窗图案，可看作由一个基本图形平移而成的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）若将一块长，宽的长方形卡片剪成相同形状大小的两张卡片，可拼成一个长，宽的新长方形，则原长方形的剪切方案为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·四川泸州·开学考试）下面的方格图中标出了四个点，将点F（    ）后，再顺次连接四个点可以围成一个平行四边形． A．向左平移1格 B．向左平移2格 C．向右平移1格 D．向右平移2格 4．（25-26七年级上·上海普陀·期中）如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移，得到三角形，且与相交于点G，连接．下列结论：①；②阴影部分的周长为；③如果，那么三角形的周长比四边形的周长少；④如果三角形的面积比三角形的面积小，那么；其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图1、图2为一张纸片的两种剪拼方案（沿虚线剪开），记图1为方案甲，图2为方案乙，其中，，.对于方案甲，满足，；对于方案乙，满足，．若要拼一个与原纸片面积相等的正方形（纸片没有空隙也不重叠），则（    ） A．甲可以、乙不可以 B．甲不可以、乙可以 C．甲、乙都不可以 D．甲、乙都可以 B 提高训练 6．（24-25七年级下·湖北鄂州·期中）某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥，若荷塘中小桥的总长为40米，则荷塘周长为_________米． 7．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）如图，把直角梯形沿方向平移到梯形的位置，，，，则阴影部分的面积是_________． 8．（24-25七年级下·江苏徐州·单元测试）某商场重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯．已知这种地毯的批发价为每平方米10元，主楼梯的宽为3米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要______元． 9．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）如图，如图所示，一块白色正方形板，边长，上面横竖各两道黑条，黑条宽都是，问黑色部分面积是______． 10．（24-25七年级下·浙江·期中）作图题：将如图的三角形先水平向右平移4格，再竖直向下平移4格得到三角形．观察线段与的关系是_____． C 培优训练 11．（24-25七年级下·江苏无锡·课后作业）制作动画片时，经常要用到图形的平移．如图，小鸭子从到，再到，到，这几个过程中，分别进行了怎样的平移？ 12．（24-25七年级下·甘肃定西·月考）如图，平移三角形，使点移动到点，画出平移后的三角形． 13．（24-25七年级下·江苏南京·课后作业）让我们先做一个简单的游戏． 如图表示一个乒乓球放在由四根木棒搭成的“杯子”里．你能只移动其中的两根木棒，使乒乓球跑到“杯子”外面吗？试一试． 14．（24-25七年级下·四川南充·月考）如图将直角三角形沿点B到点C的方向平移得到直角三角形，，，， (1)求平移的距离的长度是多少？ (2)求平移后，图中阴影部分的面积． 15．（24-25七年级下·湖北宜昌·月考）白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地． (1)求图1中草地的面积． (2)如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积． (3)设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．（直接写出结果．） 学科网（北京）股份有限公司 $