专题03 旋转重难点题型专训（5个知识点+15大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题03 旋转重难点题型专训 （5个知识点+15大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 旋转对称图形的识别 题型二 判断生活中的旋转现象 题型三 中心对称图形的识别 题型四 判断中心对称图形的对称中心 题型五 判断由一个图形旋转而成的图案 题型六 找旋转中心、旋转角、对应点 题型七 根据旋转的性质求解 题型八 旋转的性质及辨析 题型九 画旋转图形 题型十 旋转中的规律性问题 题型十一 根据旋转的性质说明线段或角相等 题型十二 画已知图形关于某点对称的图形 题型十三 画两个图形的对称中心 题型十四 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型十五 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 拓展训练一 求旋转对称图形的旋转角度 拓展训练二 旋转中的最值探究 拓展训练三 利用中心对称图形的性质求解 拓展训练四 中心对称图形规律问题 知识点一：中心对称 1.概念 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称； 2.性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3.判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·山东烟台·期末）有4张扑克牌，不让别人看见，只将其中一张牌旋转180°，旋转后的四张牌与旋转前四张牌看起来未发生变化，你能确定哪张牌一定被旋转过吗？（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中心对称图形的定义：旋转180°后与原图形重合进行判断即可得． 【详解】解：选项中A、B、D旋转180°后与原图形不能完全重合， 选项C中图形旋转180°后与原图形重合， 故选：C． 【点睛】题目主要考查中心对称图形的识别，理解中心对称图形的定义是解题关键． 2．（24-25七年级下·云南昭通·期中）一条线段______（填“是”或“不是”）中心对称图形，因为它绕______旋转______度后能与原线段重合． 【答案】 是 中点 180 【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，由此可以对本题作出解答 . 【详解】解：∵一条线段绕中点旋转180°后能与原线段重合， ∴一条线段是中心对称图形， 故答案为：①是②中点③180．　 【点睛】本题考查中心对称的应用，熟练掌握中心对称图形的意义是解题关键． 知识点二：作图步骤 （1）连接原图形上所有的特殊点和对称中心。 （2）将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。 （3）将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的 【即时训练】 1．（2025·北京丰台·二模）以下图形绕点O旋转一定角度后都能与原图形重合，其中旋转角最小的是（    ） A．  B．   C．   D．   【答案】D 【分析】求出各旋转对称图形的最小旋转角度，再比较即可． 【详解】解：A选项：最小旋转角度； B选项：最小旋转角度； C选项：最小旋转角度； D选项：最小旋转角度； 综上可得：旋转的角度最小的是D． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转对称图形中旋转角度的确定，求各图形的最小旋转角度时，关键要看各图形可以被平分成几部分，被平分成n部分，旋转的最小角度就是． 2．（24-25七年级下·江苏扬州·课前预习）旋转作图的基本步骤： （1）确定___________、_____________和____________； （2）找出图形的关键点，一般是图形中的转折点，例如，多边形的关键点 是它的顶点． （3）作旋转后的对应点，方法如下： ①连：连接图形的每个关键点与__________； ②转：把连线绕旋转中心按旋转方向旋转相同的角度（作旋转角）； ③截：在作得的角的另一边截取与关键点到旋转中心的距离相等的线段，得到各个关键点的对应点； （4）按原图形的顺序连接这些对应点，所得到的图形就是___________． （5）写出结论，说明作出的图形即为所求的图形． 【答案】 旋转中心 旋转方向 旋转角 旋转中心 旋转后的图形 【解析】略 知识点三：旋转的概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点. 注意 :（1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键。 （2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。 （3）旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。 【即时训练】 1．（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图，将图1绕某点旋转后得到图2，则下列旋转方式中，符合题意的是（    ） A．顺时针旋转90° B．逆时针旋转90° C．顺时针旋转45° D．逆时针旋转45° 【答案】A 【分析】由旋转的性质进行分析即可得到正确答案． 【详解】解：由旋转性质知，将图１顺时针旋转90°即可得到图2 故选：A 【点睛】本题考查旋转的性质，牢记相关的知识点是解题的关键． 2．（2025七年级下·江苏泰州·专题练习）如图，将右边的图案变成左边的图案，是通过________变化得到的． 【答案】旋转 【分析】根据图形旋转的性质即可得出结论． 【详解】解：将右边的图案旋转90°即可得到左边的图案． 故答案为：旋转． 【点睛】本题考查的是几何变换的类型，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键． 知识点四：旋转的性质 旋转的性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 注意 ： （1）旋转中心、旋转方向、旋转角度是确定旋转的关键. （2）性质是通过学生操作验证得出的结论，性质（1）和（2）是旋转作图的关键，整个性质是旋转这部分内容的核心，是解决有关旋转问题的基础. （3）要正确理解旋转中的变与不变，寻找等量关系，解决问题。 【即时训练】 1．（24-25七年级下·内蒙古锡林郭勒·单元测试）如图，绕点逆时针旋转到的位置，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的性质得，即可求出的度数． 【详解】∵绕点逆时针旋转到的位置， ∴， ∵， 则． 2．（25-26七年级下·广东江门·期末）如图2中的图案是由图1中的基本图形以点为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转角度，依次旋转若干次而组成的，则旋转角的度数最小为_____度． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质． 由图可知，将图1无缝旋转5次得到图2，进而用除以即可． 【详解】解：由图可知，将图1无缝旋转5次得到图2， 即旋转角的度数最小为． 故答案为：． 知识点五：旋转作图 （1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。 （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·江苏泰州·单元测试）如图，将方格纸中的图形绕点逆时针旋转后得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知将图形绕点逆时针旋转得出符合题意的图形即可．本题考查了生活中的旋转现象，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：如图所示：将方格纸中的图形绕点逆时针旋转后得到的图形是 故选：C． 2．（24-25七年级下·江苏南京·月考）如图，可以看作是经过怎样的图形变换得到的？下列结论中：①1次旋转；②2次翻折；③1次平移和1次翻折．所有正确结论的序号是_________． 【答案】①② 【分析】本题主要考查了图形的平移，旋转和翻折，可以看作是绕与的交点旋转得到，可以看作是沿垂直于且过中点的直线翻折，再沿直线向下翻折得到，不可以由经过1次平移和1次翻折得到，据此可得答案． 【详解】解：可以看作是绕与的交点旋转得到，①正确． 可以看作是沿垂直于且过中点的直线翻折，再沿直线向下翻折得到，②正确； 不可以由经过1次平移和1次翻折得到，③错误． 故答案为：①②． 【经典例题一 旋转对称图形的识别】 【例1】（24-25七年级下·江苏宿迁·单元测试）下列各图中，既可经过平移，又可经过旋转，由图形①得到图形②的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平移和旋转的概念，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动；把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转．根据平移和旋转的概念解答即可． 【详解】解：A、B、C只能由旋转得到，不能由平移得到，只有D既可经过平移，又可经过旋转得到， 故选：D． 【例2】（2025·青海·模拟预测）如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转后可以和自身重合（不考虑和阴影），若每个叶片的面积为，为，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转对称图形，如果一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，根据题意得出图中阴影部分的面积之和等于三叶片的面积和的三分之一，计算即可得解． 【详解】解：∵图案由三个叶片组成，绕点O旋转后可以和自身重合，为， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·江苏泰州·单元测试）将图中所示的风车绕点顺时针旋转，得到的图案是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，读懂题意是解答的关键． 将图案绕中心顺时针先旋转，再旋转，得出图形即可； 【详解】解：根据旋转的定义， 图案先旋转，再旋转，得出的图案是选项A． 故选：A． 2．（25-26七年级下·江苏泰州·课后作业）如图所示的是某公司商品标志图案，有下列说法：①图案是按轴对称设计的；②图案是按旋转设计的；③图案的外层“S”是按旋转设计的；④图案的内层“A”是按轴对称设计的．其中正确的是______（填序号）． 【答案】③④ 【分析】此题主要考查了轴对称图形的性质以及旋转图形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键. 利用轴对称图形的性质以及旋转的性质分别分析得出答案即可. 【详解】根据图形的特殊性可以得出，内层图案是按轴对称设计的，外层图案是按旋转设计的，说法①②错误，说法③④正确． 故答案为：③④. 3．（25-26七年级下·江西南昌·期中）在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一个角度后，能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，为这个旋转对称图形的一个旋转角．例如：正方形绕着它的对角线交点旋转90°，180°，270°都能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，90°，180°，270°都可以是这个旋转对称图形的一个旋转角． (1)下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是120°的是___________；（写出所有正确结论前的序号） ①等边三角形；②正六边形；③正八边形． (2)正五边形显然满足下面两个条件：①是旋转对称图形，且有一个旋转角是72°；②是轴对称图形，但不是中心对称图形．请你找出一种图形也同时满足上述两个条件． 【答案】(1)①② (2)正十五边形 【分析】本题考查正多边形的性质和图形旋转的性质： （1）根据题意求出，其中n为正多边形的边数，120°能被整除则满足题意； （2），要满足题意，则可为正多边形，其中边数为奇数且为5的整数倍． 【详解】（1）解：如图： ，，， 能被整除，不能被整除， ∴①等边三角形和②正六边形是旋转对称图形，且有一个旋转角是120°． 故答案为：①②； （2）②，是轴对称图形，但不是中心对称图形， 故可为正多边形，其中边数为奇数且为5的整数倍，如正十五边形． 故答案为：正十五边形． 【经典例题二 判断生活中的旋转现象】 【例1】（25-26七年级下·江苏泰州·课后作业）有以下现象：①荡秋千；②雪橇在雪地里滑动；③传送带传送物品；④雨刮器来回摆动．其中属于旋转的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查了旋转和平移的概念，解题的关键是熟练掌握旋转和平移的概念，能够把生活问题转化为数学问题． 根据旋转的定义，物体围绕一个固定点或轴做圆周运动属于旋转，逐一判断每个现象即可． 【详解】∵ ①荡秋千是围绕固定点摆动，属于旋转； ②雪橇滑动是平移运动，不属于旋转； ③传送带传送物品是平移运动，不属于旋转； ④雨刮器摆动是围绕固定轴旋转，属于旋转． ∴ 属于旋转的是①和④． 故选：D． 【例2】（25-26七年级上·山东青岛·月考）时钟秒针扫过的痕迹，由此说明了______的数学事实． 【答案】线动成面 【分析】本题主要考查了点、线、面、体，解题的关键是掌握点动成线，线动成面，面动成体． 根据线动成面进行回答． 【详解】解：时钟秒针扫过的痕迹，由此说明了线动成面， 故答案为：线动成面． 1．（24-25七年级上·河北承德·月考）将4张扑克牌按图1的方式放在桌面上，将其中1张扑克牌旋转了后得到图2，则被旋转过的扑克牌是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是旋转的性质，根据图形旋转的性质解答即可． 【详解】解：由图可知，将图1其中1张扑克牌旋转了后得到图形与图2相同，只有当梅花3被旋转过时才能出现这种情况． 故选：B． 2．（24-25七年级上·辽宁沈阳·月考）在平移现象后面画“△”，在旋转现象后面画“○”． _____________________ 【答案】 ○ △ 【分析】根据方向盘是旋转，开此窗户是平移，即可解答． 【详解】解：方向盘是旋转，故后面画“○”； 开此窗户是平移，故后面画“△”， 故答案为：○，△． 【点睛】本题考查了旋转与平移现象的识别，熟练掌握和运用旋转与平移现象的识别方法是解决本题的关键． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·单元测试）我们小时候都玩过荡秋千的游戏．在夏天，我们会打开电扇，扇叶会绕着中心转轴转动起来．如图，单摆上小木球会从位置运动到位置． (1)上述几种运动是做直线运动还是做曲线运动？ (2)运动有何共同点？ 【答案】(1)曲线运动 (2)见解析 【分析】本题考查了生活中的旋转． （1）根据几种运动的路线分析得出答案； （2）根据运动方式得出几种运动都属于旋转，根据旋转的性质，即可解答． 【详解】（1）解：上述几种运动是做曲线运动； （2）解：运动的共同点是都属于旋转，运动前后对应线段相等，对应角相等，对应点到旋转中线的距离相等． 【经典例题三 中心对称图形的识别】 【例1】（2025·北京顺义·二模）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； 【例2】（25-26七年级上·上海·月考）下列图形中，绕某个点旋转能与自身重合的有______． ①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤角；⑥平行四边形． 【答案】①②④⑥ 【分析】本题主要考查了中心对称图形的概念，熟练掌握“中心对称图形是绕某点旋转后能与自身重合的图形”是解题的关键． 判断每个图形是否为中心对称图形（绕某点旋转能与自身重合的图形），依次分析每个图形的旋转性质． 【详解】解：①正方形：绕对角线交点旋转能与自身重合； ②长方形：绕对角线交点旋转能与自身重合； ③等边三角形：绕某点旋转不能与自身重合； ④线段：绕中点旋转能与自身重合； ⑤角：绕某点旋转不能与自身重合； ⑥平行四边形：绕对角线交点旋转能与自身重合． 故答案为：①②④⑥． 1．（24-25七年级下·云南迪庆·期末）“瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产下面“瓦当”图案中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一个图形绕一点旋转度，能与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形，进行判断即可． 【详解】解：根据中心对称图形的概念，选项中，B选项图形绕某点旋转，旋转后的图形与原来的图形完全重合， A、C、D、这三个选项图形绕某点旋转，旋转后的图形不与原来的图形完全重合， 故B选项是中心对称图形． 2．（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）观察下列图形，请把符合要求的图形的标号填在相应的横线上． 是轴对称图形的有______． 是中心对称图形的有_______． 既是轴对称图形又是中心对称图形的有_______． 既不是中心对称图形又不是轴对称图形的有_____． 【答案】 （2）、（3）、（5）、（6） （1）、（3）、（4） （3） （7）、（8） 【分析】考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，解题的关键是掌握相关概念．轴对称图形：把图形沿某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够重合，那么这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；中心对称图形：把一个图形绕着某个点旋转后能够与原图形重合，则这个图形称为中心对称图形，据此求解即可． 【详解】解：是轴对称图形的有（2）、（3）、（5）、（6）； 是中心对称图形的有（1）、（3）、（4）； 既是轴对称图形又是中心对称图形的有（3）； 既不是中心对称图形又不是轴对称图形的有（7）、（8）；． 故答案为：（2）、（3）、（5）、（6）；（1）、（3）、（4）；（3）；（7）、（8） 3．（24-25七年级下·广西钦州·周测）如下图的个图标，这些图标中哪些是中心对称图形吗？如果是，请指出对称中心；如果不是，请说明理由． 【答案】第一个图形不是中心对称图形，第二、三个图形是中心对称图形，点为对称中心 【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.根据中心对称图形的定义找出中心对称图形及对称中心即可． 【详解】解：第一个图形不能找到一个点，绕这点旋转后的图形能够与原来的图形重合，故不是中心对称图形． 第二、三两个图形，绕一点旋转后的图形能够与原来的图形重合，故是中心对称图形． 如图所示，点为对称中心． 【经典例题四 判断中心对称图形的对称中心】 【例1】（25-26七年级下·贵州黔西南·期末）兴仁市开展“非遗文化进校园”活动，将布依族刺绣图案进行旋转设计，若将一个图案绕某点旋转后与原图案重合，则该图案的旋转中心是对应点连线的（    ） A．中点 B．端点 C．三等分点 D．四等分点 【答案】A 【分析】图案旋转后与原图案重合，说明图案是中心对称图形，旋转中心是对应点连线的中点． 本题考查了中心对称的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设点P旋转后得到点，旋转中心为O， ∵ 旋转相当于关于点O的中心对称， ∴ O是线段的中点， 因此，旋转中心是对应点连线的中点， 故选：A． 【例2】（25-26七年级下·江苏镇江·课后作业）如图，四边形与四边形关于某一点成中心对称，则这个点是______． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称图形的知识点，解题的关键是了解呈中心对称的两个图形的对应点的连线经过对称中心． 连接任意两对对应点，连线的交点即为对称中心，即可解答. 【详解】解：如图所示： 可知：连线的交点为，故对称中心为 故答案为：． 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，若线段与线段关于某个点对称，则这个点是（     ）．    A．点G B．点H C．点I D．点J 【答案】C 【分析】本题主要考查中心对称的图形的对称中心，掌握两组对应点连线的交点即是对称中心是解题的关键． 根据对称中心的确定方法即可解答． 【详解】解：如图，连接，它们的相交点，即为对称中心．    则线段与线段的对称中心为点I． 故选：C． 2．（25-26七年级下·江苏泰州·课后作业）如图，E是的斜边上一点，作点E关于的对称点F，G，连接． （1）点F和点G的对称关系为___________． （2）若，则的最小值为______． 【答案】 关于点A成中心对称 【分析】本题考查了作图−轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质、三角形的面积公式、勾股定理． （1）根据轴对称的性质和中心对称的定义求解； （2）根据勾股定理、三角形的面积公式求解. 【详解】（1）如图，连接． 由轴对称的性质可知，，， ，， 三点共线，点F和点G关于点A成中心对称． 故答案为：关于点A成中心对称. （2）在中，． 由（1）知，，当最小时，最小， ∴当时，最小，此时为中边上的高． 设中边上的高为h，则，解得， 的最小值为． 故答案为： 3．（24-25七年级下·江苏泰州·假期作业）如图，四边形绕D点旋转，请作出旋转后的图案，写出作法并回答． (1)这两个图形成中心对称吗？如果是，对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由． (2)如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点？ 【答案】(1)作图见解析，这两个图形成中心对称，对称中心是点D (2)A、B、C、D关于中心的对称点为和D 【分析】本题主要考查了作中心对称图形，判定一个图形是否为中心对称图形，找出其对称中心是关键，先延长，使得；同理作：；连接，则四边形为所求的四边形． （1）根据对称中心对称的定义解答即可； （2）根据对称中心对称的定义解答即可． 【详解】（1）解：作法：①延长，并且使得；②同理可得：；③连接，则四边形为所求的四边形，如图所示． 根据作图，可得：这两个图形成中心对称，对称中心是点D； （2）解：A、B、C、D关于中心的对称点为和D． 【经典例题五 判断由一个图形旋转而成的图案】 【例1】（25-26七年级下·江西赣州·期末）下面图形不能通过旋转变换得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了通过旋转变换设计而成的图形的特点．利用旋转设计而成的图形应有一个旋转点，图形旋转后的形状和大小不变，即可得解． 【详解】解：A、B、D都可以通过旋转变换设计而成，不符合题意； C、不可以通过旋转变换设计而成，符合题意； 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·江苏泰州·课后作业）如图，可以通过平移变换但不能通过旋转变换得到的图案有________；可以通过旋转变换但不能通过平移变换得到的图案有________；既可以通过平移变换，又可以通过旋转变换得到的图案有________．（填序号） 【答案】 【分析】本题考查图形的平移、旋转，掌握平移、旋转的性质是解题的关键． 平移变换是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向做相同距离的移动，据此可判断给出的图形中哪些图可由平移变换得到； 旋转变换是由一个图形改变为另一个图形，在改变过程中，原图上所有的点都绕一个固定的点按同一方向，转动同一个角度，据此可判断给出的图形中哪些图可由旋转变换得到； 最后，根据上面判断的结果，找出符合平移变换、旋转变换的图形填空即可． 【详解】可以通过平移换，但不可以通过旋转变换得到的图案是：； 可以通过旋转变换，但不可以通过平移变换得到的图案是：； 既可以由平移，也可以由旋转变换得到的图案是：. 故答案为:． 1．（25-26七年级下·上海·月考）在Word文档的图形编辑功能中，菜单“旋转”下有下图中显示的四个功能，分别简称为R、L、V、H．现有图甲，如果对其先操作R再操作V，所得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形的旋转和翻转，理解R、L、V、H的意思是解决本题的关键． 根据题意得，先向右旋转，再垂直翻转即可得到图形． 【详解】解：由题意可得，先操作R，即向右旋转， 可得如下图： 再操作V，即垂直翻转， 可得如下图： 故选A． 2．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）关于如图的形成过程：（1）由一个三角形平移形成的；（2）由一个三角形绕中心依次旋转形成的；（3）由一个三角形作轴对称形成的；（4）由一个三角形先平移再旋转形成的，说法正确的有_______；（填序号） 【答案】（2），（3），（4） 【详解】解：由题意可知，原图形可以由一个三角形绕中心依次旋转形成；或由一个三角形作轴对称形成的；或由一个三角形先平移再旋转形成的． 故(2)、(3)、(4)正确， 故答案为：(2)、(3)、(4) ． 【点睛】本题考查平移、旋转等知识，解题的关键是掌握旋转变换、平移变换的性质． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·假期作业）分析左边的树形图案，经过怎样的图形变换就可能得到右边的树形图案． 【答案】见解析 【分析】本题考查图形的旋转、轴对称、平移变换，根据图形的位置进行适当的旋转、轴对称、平移变换即可求解． 【详解】解：据左右两图形的位置关系可知，若要由左图得到右图，可以通过以下的途径： （1）把左图绕点A沿顺时针方向旋转一个角度，使左边的树形图案与直线垂直，然后再作轴对称变换（要注意对称轴的正确选择），即可得到右边的树形图案． （2）把左图先做轴对称变换（要注意对称轴的正确选择），使左边的树形图案与直线垂直，然后再作平移变换，即可得到右边的树形图案． 【经典例题六 找旋转中心、旋转角、对应点】 【例1】（25-26七年级下·广西钦州·月考）如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上．根据旋转的性质可得． 【详解】解:∵绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上．， ∴． 【例2】（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，点、、、分别在正方形网格的格点上，设点的坐标为，B点的坐标为，小明发现，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是____． 【答案】或 【分析】分点A的对应点为C或D两种情况考虑：①当点A的对应点为点C时， 连接， 分别作线段的垂直平分线交于点E， 点E即为旋转中心；②当点A的对应点为点D时， 连接，分别作线段的垂直平分线交于点M， 点M即为旋转中心． 【详解】解：①当点A的对应点为点C时，连接，分别作线段的垂直平分线交于点E，如图1所示， 点的坐标为，B点的坐标为， E点的坐标为； ②当点A的对应点为点D时，连接，分别作线段的垂直平分线交于点M，如图2所示， 点的坐标为，B点的坐标为， M点的坐标为． 综上所述：这个旋转中心的坐标为或． 【点睛】利用分类讨论的思想方法，理解对应点连线的线段垂直平分线的交点就是旋转中心是解题的关键． 1．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图中的四个三角形不能由最左侧的三角形经过平移或旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平移或旋转的定义，熟练掌握平移或旋转的定义是解题的关键．根据平移或旋转的定义进行判断即可． 【详解】解：如图，选项A，C，D中的三角形可以利用平移或旋转的方法得到．选项B中的三角形不能利用平移或旋转的方法得到． 故选：B． 2．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，已知，则旋转角 ______． 【答案】 【分析】先利用旋转的性质得到，，再利用四边形内角和计算出，然后利用互余计算出，从而得到的值． 【详解】解：矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（24-25七年级下·北京大兴·期末）如图，在正方形网格中，将格点绕某点顺时针旋转角得到格点，点，，的对应点分别为，，． (1)请通过画图找到旋转中心，将其标记为点； (2)直接写出旋转角的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图确认旋转中心、旋转角，牢记相关的知识点是解题的关键． （1）连接，结合网格特点分别作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线交于点，则点即为所作； （2）根据旋转的性质，以及网格特点写出旋转角的度数即可． 【详解】（1）解： 所作旋转中心点如图所示： （2）解： 由图知，旋转角． 【经典例题七 根据旋转的性质求解】 【例1】（25-26七年级下·天津河东·期末）如图，绕点逆时针旋转得到，连接，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转前后对应角相等，对应边相等，即可得出结论． 【详解】解：由旋转得，，，， 故选项D结论正确，符合题意； 现有条件不能得出，，， 故选项A，B，C结论不正确，不合题意； 故选：D． 【例2】（25-26七年级下·江苏泰州·课后作业）如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点在线段BC的延长线上，则的大小为__________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质与等腰三角形的性质，掌握利用旋转得到等腰三角形，结合等腰三角形内角和计算角度是解题的关键． 根据旋转的性质得到等腰三角形，结合等腰三角形的角度计算，再通过角的和求出的大小． 【详解】解：由旋转的基本性质，得，，， ∴，， ∴． 故答案为：． 1．（25-26七年级下·云南昆明·月考）如图，将四边形绕点O顺时针旋转一定角度得到四边形，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质．根据旋转的性质：旋转前后的图形，对应边相等，对应角相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，据此逐一判断即可． 【详解】解：由旋转的性质可得，，，， 观察四个选项，选项B符合题意， 故选：B． 2．（25-26七年级下·河北廊坊·期中）如图，将绕点O顺时针旋转到．若，则m的值为______． 【答案】60 【分析】本题考查旋转的性质；由旋转的性质得，由得，，可得，旋转角度，即可得出结果. 【详解】解：由旋转的性质得， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴为60. 故答案为：60. 3．（25-26七年级上·上海·期末）如图，在中，，如果将绕点B顺时针旋转得到，将沿着射线方向平移得到． (1)画出． (2)若平移的距离为a．求四边形的面积．（用的代数式表示）． (3)若的面积和的面积相等，直接写出平移的距离．（用的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了画旋转图形，平移的性质和旋转的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）根据画旋转图形的方法作图即可； （2）证明点与点B重合，三点共线，再根据列式求解即可；（3）求出，则根据三角形面积计算公式可得到的距离为，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由平移的性质可得，，，， ∴点与点B重合， 由旋转的性质可得， ∴三点共线， ∴， ∴ ； （3）解：由平移的性质可得， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∵的面积和的面积相等， ∴； 设到的距离为h， ∴， ∴， ∴平移的距离为或． 【经典例题八 旋转的性质及辨析】 【例1】（24-25七年级下·北京大兴·期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论： ①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC； 其中一定正确的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，得到对应边相等，旋转角相等，从而去判断命题的正确性． 【详解】解：∵旋转， ∴， 但是旋转角不一定是， ∴不一定是等边三角形， ∴不一定成立，即①不一定正确； ∵旋转， ∴，故③正确； ∵旋转， ∴， ∵等腰三角形ACD和等腰三角形BCE的顶角相等， ∴它们的底角也相等，即，故④正确； ∵不一定成立， ∴不一定成立， ∴不一定成立，即②不一定正确． 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握图形旋转的性质． 【例2】（24-25七年级下·江苏泰州·课后作业）在平面内把一个图形绕着某__________沿着某个方向转动__________的图形变换叫做旋转．这个点O叫做__________，转动的角叫做__________．因此，图形的旋转是由__________，__________和__________决定的． 【答案】 点O 一个角度 旋转中心 旋转角 旋转中心 旋转方向 旋转角 【分析】根据旋转的定义解答即可. 【详解】在平面内把一个图形绕着某点O沿着某个方向转动一个角度的图形变换叫做旋转．这个点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．因此，图形的旋转是由旋转中心，旋转方向和旋转角决定的． 故答案为：点O；一个角度；旋转中心；旋转角；旋转中心；旋转方向；旋转角 【点睛】此题考查了旋转的定义，掌握定义是解答此题的关键. 1．（2025七年级下·江苏泰州·专题练习）全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC和△A1B1C1是全等(合同)三角形，点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A，及A1→B1→C1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形(如图1)，若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形(如图2)，两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180°，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】抓住关键语句，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180． 【详解】B选项中的两个三角形经过翻转180°就可以重合，符合题意； 其它三个选项都需要通过平移或旋转使它们重合，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了图形平移，旋转的性质，轴对称的性质，分析题意是解题的关键． 2．（2025七年级下·江苏泰州·专题练习）如图，将右边的图案变成左边的图案，是通过________变化得到的． 【答案】旋转 【分析】根据图形旋转的性质即可得出结论． 【详解】解：将右边的图案旋转90°即可得到左边的图案． 故答案为：旋转． 【点睛】本题考查的是几何变换的类型，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键． 3．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在由边长为1的正方形组成的网格中，将格点绕某点顺时针旋转（）得到格点，点与点，点与点，点与点是对应点． (1)请通过画图找到旋转中心，将其标记为点； (2)旋转角的度数是______； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)90° (3) 【分析】（1）连接CC1、AA1，再分别作两线段的中垂线，两中垂线的交点即为所求； （2）连接CO、C1O，结合网格特点可得旋转角∠COC1=α=90°； （3）利用割补法即可求面积． 【详解】（1）如图所示，连接CC1、AA1，再分别作两线段的中垂线，两中垂线的交点O即为所求； （2）如图所示，连接CO、C1O，结合网格特点可得∠COC1=α=90°， 故答案为； （3） ． 【点睛】本题主要考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质． 【经典例题九 画旋转图形】 【例1】（25-26七年级下·江苏泰州·课后作业）如图，将该图案绕中心O逆时针旋转后，得到的图案是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形旋转的概念，特别是绕中心点旋转后图形位置的变化.通过观察原图和选项，判断旋转之后图形的正确位置. 【详解】解：首先分析圆的位置： 原图中圆位于左上角的方格内，绕中心O逆时针旋转后，圆会旋转到右下角的方格内，通过选项可得：C和D符合； 其次，分析阴影三角形的位置变化： 原图中左下角的阴影三角形，绕中心O逆时针旋转后，旋转到右上角且斜边的方向不变.原图中右上角的阴影三角形，绕中心O逆时针旋转后，会旋转到左下角，观察C和D,C选项中阴影三角形的位置和形状符合，而D选项中位置不符合. 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC与边重合，，．接着如图2保持三角板ACD不动，将三角板绕着点C按逆时针旋转后停止．在此旋转过程中，当与三角板ACD的一条边恰好平行时，________．    【答案】或 【分析】分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可． 【详解】解：由题意可知，， 在旋转过程中，若与三角板的一条边恰好平行， 则有两种情况： ①当时，如图，    此时， ∴旋转角； ②当时，如图，作，    此时，， ∴旋转角． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了三角板拼接、旋转问题，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 1．（25-26七年级下·河北廊坊·期中）数学课上，老师画出了线段，并通过数学软件中的几何变换得到四条线段（①－④），让同学们对这四条线段进行讨论，下列结论错误的是（   ） A．线段①与线段关于轴对称 B．线段①，③，④是由线段连续旋转得到的 C．线段④与线段②关于点成中心对称 D．线段③绕点，逆时针旋转，得到线段④ 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的图形，轴对称的图形．根据旋转的图形，轴对称的图形的性质判断即可． 【详解】解：A、线段①与线段关于轴对称，正确，该选项不符合题意； B、线段①与线段关于轴对称，不是旋转得到的，原说法错误，，该选项符合题意； C、线段④与线段②关于点成中心对称，正确，该选项不符合题意； D、线段③绕点，逆时针旋转，得到线段④，正确，该选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，，如果将绕点按逆时针方向旋转，得到，那么点，的对应点，的坐标分别是_______． 【答案】， 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，根据题意画出旋转后的三角形即可解决问题，能根据题意画出旋转后的图形是解题的关键． 【详解】解：的绕点逆时针旋转后所得图形如图所示， 所以点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：，． 3．（25-26七年级下·安徽安庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的； (2)将绕点顺时针旋转得到，画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：如图所示． 【经典例题十 旋转中的规律性问题】 【例1】（24-25七年级下·陕西西安·自主招生）小王正在玩“俄罗斯方块”游戏，现在屏幕上出现的图形（见下图），每按一下旋转键，图形就会逆时针旋转，小王趁它未“落地”之前，连续按了15次后出现的图案是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的旋转变换，熟练掌握图形旋转的知识是解题的关键，根据题意找到图形旋转后变换的规律即可求解． 【详解】解：由题意得图形每按一次旋转键，图形就会逆时针旋转， 那么连续按4次旋转键后，图形会旋转， 即旋转一周后图形会回到原来的位置， 由此可知，该图形的旋转是以4次为一个循环周期， ， 则第15次逆时针旋转变为： 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·江苏泰州·课后作业）下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2025个图案与第1个至第4个中的第________个箭头方向相同．（填序号） 【答案】1 【分析】本题考查了图形的旋转规律，解题的关键是找出图案循环的周期并通过除法运算确定对应位置． 通过分析图案的旋转规律，确定循环周期为4，用总个数除以周期，根据余数判断对应图案． 【详解】观察可知，图案每4个为一个循环周期．计算，其中余数为1．这表明第2025个图案经过了506个完整周期后，处于新周期的第1个位置，与第1个图案的箭头方向相同．所以第2025个图案与第1个图案箭头方向相同． 故答案为：1． 1．（2026·河北沧州·一模）如图1，书架上按顺序摆放着五本复习书，现把最右边的文综抽出，放在英语与数学之间；再把最右边的理综抽出，放在数学与语文之间，得到如图2，称为1次整理，接着把最右边的英语抽出，放在数学与理综之间，再把最右边的文综抽出，放在理综与语文之间，得到如图3，称为2次整理⋯；若从如图1开始，经过次整理后，得到的顺序与如图1相同，则的值可以是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】A 【分析】本题考查图形规律，解题的关键是读懂题干整理规律，写出几种变换得到重复规律．根据题干信息得到整理规律，按照规律将接下来的几次整理罗列出来，找到重复规律，即可得到答案； 【详解】解：用12345分别表示语文、数学、英语、理综、文综， 12345第一次：14253，第二次：15432，第三次：13524，第四次：12345（与图一相同)， ∴经4次整理后可得到的顺序与图1相同， ∴n的值应为4的倍数， 故选：A． 2．（2025七年级下·江苏苏州·专题练习）如图，在直角三角形中，，，，且在直线l上，将绕点顺时针旋转到位置①，得到点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点，…，按此规律继续旋转，直到得到点为止，则 ______ ． 【答案】8081 【分析】本题考查了旋转的性质及图形的规律问题，得到的长度依次增加，，，且三次一循环是解题的关键． 观察不难发现，每旋转次为一个循环组依次循环，用除以求出循环组数，然后列式计算即可得解． 【详解】解：∵中，，，， ∴将绕点顺时针旋转到，可得到点，此时； 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时； 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时； 由图形可知：每旋转次为一个循环组依次循环， 又∵， ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图1、图2中的三角形①～⑤的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)如图1，三角形②可以看成由三角形①经过一次 得到；三角形③可以看成由三角形①经过一次 得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）． (2)如图2，三角形⑤可以看成由三角形④经过怎样的图形运动得到？下列结论： A. 1次轴对称   B. 1次旋转    C． 1次平移和1次旋转  D. 1次旋转和1次轴对称 其中，所有正确结论是 ． 【答案】(1)旋转，轴对称 (2)BC 【分析】本题考查几何变换的类型，轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称变换，平移变换，旋转变换的性质． （1）根据轴对称变换，旋转变换的性质判断即可； （2）三角形⑤可以看成由三角形④绕点O顺时针旋转得到或先向右平移一个单位，再绕点A顺时针旋转得到． 【详解】（1）解：如图1，三角形②可以看成由三角形①经过一次旋转得到；三角形③可以看成由三角形①经过一次轴对称得到． 故答案为：旋转，轴对称； （2）三角形⑤可以看成由三角形④经过绕点O顺时针旋转得到或先向右平移一个单位，再绕点A顺时针旋转得到． 故答案为：BC． 【经典例题十一 根据旋转的性质说明线段或角相等】 【例1】（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，由绕О点旋转而得到，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对应点 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等．进行判断即可． 【详解】解：由绕O旋转而得到， 点A与是一组对应点，，，故A，B，D都不合题意． 与不是对应角， 与不一定相等，不成立，故C符合题意． 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·上海闵行·期末）如图，将绕点顺时针旋转后得到，点与点是对应点，点与点是对应点．如果，那么______° 【答案】125 【分析】本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握：旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小．据此解答即可． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转后得到， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，将绕点逆时针旋转得到，其中点与点是对应点，点与点是对应点，若点落在边上，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转求角度，涉及旋转性质、等腰三角形判定与性质、角的和差等知识，根据旋转性质得到，，进而由等腰三角形的判定与性质得到，结合邻补角定义，数形结合表示角的和差是解决问题的关键． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， 故选：D． 2．（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，将△ABC绕着点C顺时针方向旋转后得到．若，，则的度数是_________． 【答案】80° 【分析】根据将△ABC绕着点C顺时针方向旋转50°后得到△A'B'C'，得∠BCB'=50°，∠A=∠A'=40°，即得∠A'CB'=180°-∠B'-∠A'=30°，从而∠BCA'=∠BCB'+∠A'CB'=80°． 【详解】解：∵将△ABC绕着点C顺时针方向旋转50°后得到△A'B'C'， ∴∠BCB'=50°，∠A=∠A'=40°， ∵∠B'=110°， ∴∠A'CB'=180°∠B'∠A'=30°， ∴∠BCA'=∠BCB'+∠A'CB'=50°+30°=80°， 故答案为：80°． 【点睛】本题考查三角形中的旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质． 3．（25-26七年级下·江苏泰州·单元测试）如图，在中，，于点，于点，． (1)请简述图①变换为图②的过程． (2)若，，求图②中的面积． 【答案】(1)把绕点逆时针旋转得到 (2)6 【分析】本题主要考查图形变换，三角形的面积，理解题意是解题的关键． （1）通过旋转变换理解图形的变化过程即可； （2）根据旋转的性质得到，，再通过平行线的性质、等量代换、两个锐角互余的三角形为直角三角形得到是直角三角形，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：把绕点逆时针旋转得到． （2）解：由（1）可知，由通过旋转得到的， ，． ，， ， ． ， ， ． ， ． 【经典例题十二 画已知图形关于某点对称的图形】 【例1】（24-25七年级下·浙江杭州·月考）在平面直角坐标系中，与关于点中心对称．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中线对称图形的性质，掌握中点坐标的计算是解题的关键． 根据中点对称图形的性质，得到点在线段的中点处，由此得到，再根据点的对应点，设，由中点坐标的计算即可求解． 【详解】解：点的对应点为，且关于点成中线对称， ∴，即， ∴设，且， ∴， 解得，， ∴， 故选：A ． 【例2】（24-25七年级下·江苏泰州·课后作业）如图，和 关于点O成中心对称，那么连接线段、、，它们都经过点_______，且_______＝_______，_______＝_______，_______＝_______. 【答案】 O； ； ； ； ； ； 【分析】根据中心对称及中心对称图形的性质可直接进行求解． 【详解】解：∵和 关于点O成中心对称， ∴线段、、它们都经过点O；且，，； 故答案为O；，；，；，． 【点睛】本题主要考查中心对称图形的性质：对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分，熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键． 1．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图所示，三角形和三角形关于某一点成中心对称，其中边的对应边是．请在图中画出中心对称点，并补全三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作中心对称图形，根据题意先作关键点的对应点，最后连接即可． 【详解】解：如图，连接，相交于点O，连接并延长至点，使，连接，， 则点O和三角形即为所求． 2．（25-26七年级下·广东广州·开学考试）如图，已知点O和．请在网格中画图： (1)画出，使与关于点O成中心对称； (2)把绕点O顺时针旋转，画出旋转后对应的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作出各点关于点O的对称点，再顺次连接即可； （2）作出各点绕点按顺时针旋转所得的对应点，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，△即为所求； （2）解：如图所示，△即为所求． ． 3．（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·月考）如图，已知和其内一点． (1)求作，使与关于点成中心对称； (2)指出各对应边以及各对应角． 【答案】(1)见解析 (2)对应边为和，和，和；对应角为和，和，和 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，中心对称的性质，找出点、、关于点的对称点是解题的关键． （1）连接并延长至，使，连接并延长至，使，连接并延长至，使，然后顺次连接即可； （2）根据中心对称的性质写出对应边与对应角即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：对应边为：和，和，和． 对应角为：和，和，和． 【经典例题十三 画两个图形的对称中心】 【例1】（25-26八年级上·河北唐山·期末）如图，与关于某点成中心对称，则对称中心是点（   ） A．M B．N C．P D．Q 【答案】C 【分析】此题主要考查了中心对称．熟练掌握中心对称的性质，是解决问题的关键．中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 连接交于点P，则点P即为所求． 【详解】解：如图，连接交于点P， 所以对称中心是点P． 故选：C 【例2】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，旋转得到△A′B′C′，则旋转中心的坐标是________．   【答案】（1，1） 【分析】根据旋转的性质“一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等”可求解． 【详解】解：如图点O′即为所求．旋转中心的坐标是(1，1)． 故答案为(1，1)． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，旋转变换等知识，解题的关键是知道旋转中心是对应点的连线段的垂直平分线的交点即可； 1．（24-25八年级下·浙江湖州·期中）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成面积相等的两个部分．如图，直线经过对角线的交点，则    (1)如图，两个正方形如图所示摆放，为小正方形对角线的交点，请利用直尺求作过点的直线将整个图形分成面积相等的两部分． (2)个大小相同的正方形如图所示摆放，利用直尺求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用两种不同的方法分割）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）先找出两个矩形的中心，然后过中心作直线即可； （2）先分成两个矩形，找到中心，然后过中心作直线即可． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：如图所示：   ． 2．（24-25七年级下·江西新余·月考）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，与关于点O成中心对称，与的顶点均在格点上． (1)请在图中直接画出点O； (2)将绕点C顺时针旋转得到，请画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查中心对称、旋转作图： （1）连接与的两组对称点，交点即为点O； （2）利用格点找出点A，B绕点C顺时针旋转得到的对应点，顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，点O即为所求； （2）解：如图，即为所求． 3．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位． (1)把绕点C顺时针旋转90°得到，在网格中画出； (2)若与关于点O成中心对称，在网格中标出点O ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）将点A、B绕点C顺时针旋转90°得到对应点，再顺次连接即可得; （2）连接与交点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：如图所示，点O即为所求． 【点睛】本题考查了旋转作图及确定中心对称图形的对称中心，解题的关键是掌握旋转变换及中心对称的特点，规范作图． 【经典例题十四 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 【例1】（25-26七年级下·辽宁大连·期末）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中心对称的性质，中心对称的性质： 1．对称中心是连接对称点的线段的中点； 2．两个中心对称图形全等； 3．对应线段平行（或共线）且相等； 4．对称点的连线必过对称中心且被对称中心平分．掌握中心对称的性质是求解本题的关键． 根据中心对称的性质判断即可． 【详解】解：与关于点O成中心对称， ∴，，故C选项成立，不符合题意， ，，故B， D选项成立，不符合题意， 不一定成立，故A选项结论不一定成立．符合题意 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，与关于点成中心对称，为的高，若，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称的性质，三角形面积公式，由题意得，，求出即可，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·广东汕头·期中）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A． B． C． D．点B与点E是对应点 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称，解题的关键是熟练掌握中心对称的定义以及性质． 根据中心对称的两个图形，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，逐一判断． 【详解】A．， ∵与关于点O成中心对称， ∴， ∴此选项正确，不符合题意； B．， ∵， ∴， ∴此选项正确，不符合题意； C．， ∵， ∴此选项不正确，符合题意； D．点B与点E是对应点， ∵点B与点E是对应点， ∴此选项正确，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25七年级下·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，是边长为1的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，继续作与关于点成中心对称，…．按此规律作下去，则的顶点的坐标是__________． 【答案】 【分析】首先根据是边长为1的等边三角形，可得A1的坐标为，B1的坐标为（1，0）；然后根据中心对称的性质，分别求出点A2、A3的坐标各是多少；最后总结出An的坐标的规律，求出A2n＋1的坐标是多少即可． 【详解】解：∵是边长为1的等边三角形， ∴A1的坐标为：，B1的坐标为：（1，0）， ∵与关于点成中心对称， ∴点A2与点A1关于点B1成中心对称， ∵， ∴点A2的坐标是：， ∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称， ∴点A3与点A2关于点B2成中心对称， ∵ ∴点A3的坐标是：， ∴An的横坐标是：n−，当n为奇数时，An的纵坐标是：，当n为偶数时，An的纵坐标是：， ∵2022是偶数， ∴的坐标是， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了中心对称的性质、坐标与图形性质、等边三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质，分别判断出An的横坐标和纵坐标是解题的关键． 3．（25-26七年级下·安徽淮南·期中）【阅读材料】对于中心对称图形，过对称中心的任意一条直线都把这个图形的面积分成相等的两部分，如图1所示． 【尝试应用】将图2，图3分成面积相等的两部分（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】尝试应用：作图见解析 【分析】本题考查了中心对称图形，掌握其概念是解题关键．由平行四边形的性质可知，对角线的交点为平行四边形的中心，的中心为圆心，结合中心对称的知识，不难发现过中心的直线将图形分割成面积相等的部分． 【详解】解：如图所示： 【经典例题十五 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形】 【例1】（24-25七年级下·广西钦州·周测）在如图所示的方格纸中，将标有序号的小正方形中的一个涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形，该小正方形的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可得出结果． 【详解】解：根据中心对称图形的定义可得，该小正方形的序号是②． 【例2】（25-26七年级下·浙江·课后作业）如图，在4×4的网格纸中，的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点，，，中找一点作为旋转中心．将绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有 _______． 【答案】点，点 【分析】本题主要考查旋转的性质，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．画出中心对称图形即可判断． 【详解】解：画出中心对称图形， 观察图象可知，点，点满足条件． 故答案为：点，点． 1．（2025·河北邢台·一模）如图是的网格图，将图中标有①、②、③、④的一个小正方形涂灰，使所有的灰色图形构成中心对称图形，则涂灰的小正方形是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【解析】根据中心对称图形的意义解答． 【详解】解：如图， 如果以O为对称中心，则A与B、C与D、E与F分别对应， 从图中可以看出，G应该与③对应， 故选C． 【点睛】本题考查中心对称的应用，熟练掌握中心对称图形及对称中心的意义是解题关键． 2．（25-26七年级下·湖北咸宁·期末）如图，图1和图2均为正方形网格，按下列要求作图： (1)如图1，网格中已将4个小正方形涂上了阴影，请再把其中一个白色小方格涂上阴影，使整个阴影部分成为中心对称图形； (2)如图2，网格中已将3个正方形涂上了阴影，请将其绕着点顺时针旋转后，得到的图形涂上阴影． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查中心对称图形的概念与作图，旋转作图，掌握好相关知识是关键． （1）根据中心对称图形的定义进行作图即可； （2）由旋转的要求进行作图即可． 【详解】（1）解：如图1所示； （2）解：如图2所示． 3．（25-26七年级下·江苏泰州·周测）结论开放题 图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫作格点，点A，B，C均在格点上，要求作一个多边形，使这三个点在这个多边形的边（包括顶点）上，且多边形的顶点在格点上． (1)在图①中作一个三角形，使它是轴对称图形． (2)在图②中作一个四边形，使它是中心对称图形但不是轴对称图形． (3)在图③中作一个四边形，使它既是轴对称图形又是中心对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的定义及网格作图，掌握轴对称图形沿某条直线折叠后能完全重合，中心对称图形绕某点旋转后能完全重合是解题的关键． （1）根据轴对称图形的定义，找一个格点与构成三角形，使三角形有一条对称轴，且在三角形的边上． （2）根据中心对称图形的定义，构造一个普通平行四边形，使在四边形的边上． （3）根据既是中心对称又是轴对称图形的特征，构造矩形，使在矩形的边上． 【详解】（1）解：如图①，即为所求．（答案不唯一） （2）解：如图②，四边形即为所求．（答案不唯一） （3）解：如图③，四边形即为所求．（答案不唯一） 【拓展训练一 求旋转对称图形的旋转角度】 【例1】 （25-26七年级下·江苏泰州·课后作业）如图，将绕点逆时针旋转得到．已知，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转变换，掌握旋转前后两图形全等、对应点与旋转中心的连线所成的夹角等于旋转角是解答本题的关键． 由旋转的性质可得，然后根据角度的和差关系即可求出的度数． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ， ， 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·上海普陀·期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝50°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC（点D、E分别与点A、B对应），如果∠ACD与∠ACE的度数之比为3：2，当旋转角大于0°且小于180°时，旋转角的度数为 _____． 【答案】或 【分析】分两种情况：当旋转角小于50°时和当旋转角大于50°时，分别画出图形，由∠ACD与∠ACE的度数之比为3：2，求出∠ACE，即可得到旋转角度数． 【详解】解：当旋转角小于50°时，如图： ∵∠ACB＝50°，△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC， ∴∠DCE＝50°， ∵∠ACD与∠ACE的度数之比为3：2， ∴∠ACE＝×50°＝20°， ∴旋转角∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝30°， 当旋转角大于50°时，如图： ∵∠ACD与∠ACE的度数之比为3：2，∠DCE＝∠ACB＝50°， ∴∠ACE＝2∠DCE＝100°， ∴旋转角∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝150°， 故答案为：30°或150°． 【点睛】本题考查旋转变换，是重要考点，掌握分类讨论法是解题关键． 1．（24-25七年级下·天津·期末）如图，中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点C恰好为的中 点． (1)指出旋转中心，并求出旋转的度数． (2)求出的度数和的长． 【答案】(1)旋转中心是点A，旋转角度是 (2)， 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键． （1）根据旋转的定义即可解答； （2）根据旋转的性质可得即可求出，再由，C是中点即可求解． 【详解】（1）解：∵逆时针旋转一定角度后与重合，A为顶点， 旋转中心是点A； 根据旋转的性质可以知道：， 旋转角度是150°； （2）解：∵逆时针旋转一定角度后与重合， ∴， ∴， 又∵C为中点， ． 2．（24-25七年级上·福建泉州·期末）在同一平面内，三角形和三角形，，，，．三角形保持不动，三角形绕点顺时针旋转，即． (1)如图，当与重合时，写出和的度数； (2)三角形从（1）中的图1位置开始旋转，在旋转过程中，两个三角形有一组边互相平行时，画出图形，写出相应的度数； (3)如图，若和分别是和的平分线，写出的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)画图见解析；或或 (3)；理由见解析 【分析】本题考查了作图旋转变换，余角的定义和性质以及角平分线，关键是明确同角的余角相等，灵活运用角的和差关系进行计算． （1）根据直角三角形的性质即可解决问题； （2）分三种情况画图，根据平行线的性质即可解决问题； （3）根据角平分线定义与角的和差即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，当与重合时， 三角形和三角形，，，，， ，； （2）解：①如图，， ， ②如图，， ， ③如图，延长交于点， ， ， ， ， ， 综上所述：度数为或或； （3），理由如下： 如图2，平分， ， 平分， ， ． 3．（24-25七年级下·湖南岳阳·期末）如图1，直线，直角三角形按如图放置，，、分别与、相交于点、，若． （1）求的度数； （2）如图2，将三角形绕点逆时针旋转，使点落在上，得到三角形，若，求的度数． 【答案】（1）39°；（2）21° 【分析】（1）过点C作CH∥MN，由平行线的性质可得∠HCE=∠CEQ=51°，∠CDN=∠DCH，即可求解； （2）由外角的性质可求∠ACA'的度数，由旋转的性质可求解． 【详解】解：（1）如图，过点C作CH∥MN， ∵MN∥PQ， ∴MN∥CH∥PQ， ∴∠HCE=∠CEQ=51°，∠CDN=∠DCH， ∵∠ACB=90°， ∴∠DCH=39°=∠CDN； （2）如图2，∵∠CDN=∠DA'C+∠ACA'， ∴∠ACA'=39°-18°=21°， ∵将三角形ABC绕点C逆时针旋转，使点A落在MN上， ∴∠BCB'=∠ACA'=21°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 【拓展训练二 旋转中的最值探究】 【例1】（25-26七年级下·广东汕头·期末）如图是由若干个全等的菱形组成，将图形按顺时针方向绕点旋转某一个角度后与原图形重合，则旋转角的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键． 根据旋转对称图形的特征，求出最小旋转角即可． 【详解】解：， ∴旋转角的最小值为， 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·广西贵港·期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，AC＝6，将△ABC绕顶点C逆时针旋转一定的角度得到，设与BC相交于点P，则在旋转的过程中线段BP长度的最大值为______． 【答案】/3.2 【分析】当时，PC有最小值，即此时BP有最大值，利用直角三角形的面积即可求解． 【详解】∵与BC相交于点P即P在上， ∴当即时，PC有最小值，即此时BP有最大值，如图所示， ∵旋转， ∴=AB＝10，=BC＝8，=AC＝6，=∠ACB＝90°， ， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质、垂线段最短等知识，确定点P的位置是解题关键． 1．（24-25七年级下·山西晋城·期末）如图①，△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=45°，点D、E分别在边AB、AC上 （1）如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转到如图位置，若∠BAD=30°， 求∠BAE的度数； （2）如图②，在（1）的基础上继续旋转，当旋转角度α=______时，直线AC与DE垂直；（0º＜α≤360º） （3）如图③，△ADE绕点A在平面内自由旋转，连接BD，且AD=4，AB=10，求BD的最大值和最小值． 【答案】（1）120°；（2）45°或225°；（3）最大为14，最小为6 【分析】（1）根据∠DAE=90°，即可得∠BAE的度数； （2）分两种情况画出图形，根据角的和差即可求解； （3）当AD旋转到射线BA的延长线上时，BD最大；当AD旋转到线段AB上时，BD最小，分别画出图形即可求解． 【详解】解：（1）由旋转的性质可知，∠CAE=∠BAD=30°， ∵∠DAE=90°， ∴∠BAE=∠BAD+∠CAE=30°+90°=120°； （2）①垂足在线段AC上时， ∵AC⊥DE，∠ADE=45°， ∴∠DAC=45°， ∵∠BAC=90°， ∴∠BAD=45°，即旋转角度α=45°； ②垂足在线段AC延长线上时， ∵AC⊥DE，∠ADE=45°， ∴∠DAH=45°， ∵∠BAC=90°， ∴旋转角度α=90°+180°-45°=225°； 故答案为：45°或225°； （3）当AD旋转到射线BA的延长线上时，BD最大，此时BD=AB+AD=10+4=14． 当AD旋转到线段AB上时，BD最小，此时BD=AB-AD=10-4=6． ∴BD的最大值是14，最小值是6． 【点睛】此题考查了旋转的性质，垂直的定义，角的计算等，以及线段的计算，本题中根据题意画出图形，利用数形结合的思想是解题的关键． 2．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出将向下平移5个单位后得到的，点A，，的对应点分别为点，，； (2)画出将绕原点逆时针旋转后得到的，点A，，对应点分别为点，，； (3)在y轴上有一个动点P，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据平移法则“上加下减、左加右减”确定对应点，，的坐标，然后顺次连接即可； （2）根据旋转的性质确定对应点、、，然后顺次连接即可； （3）如图：连接与y轴的交点P，根据两点之间线段最短即可解答 本题主要考查了平移作图、旋转作图、轴对称的性质等知识点，正确理解旋转的性质、平移规律是解题的关键． 【详解】（1）解：将向下平移5个单位后得到的， ∴， 故画图如下： 则即为所求． （2）解：根据旋转的性质作图如下： 即为所求． （3）解：如图： 则点P即为所求． ∵， ∴的最小值为． 3．（24-25七年级上·河南郑州·月考）如图1，在直线上摆放一副直角三角板，两三角板顶点重合于点O，，，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针方向转动，设转动时间为t秒． (1)如图2，若平分，则t的最小值为 ；此时﹣ 度；（直接写答案） (2)当三角板转动如图3的位置，此时、同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由；（数量关系中不含t） (3)若当三角板开始转动的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针转动，当旋转至射线上时，两三角板同时停止运动： ①当t为何值时，； ②在转动过程中，请写出与的数量关系，并说明理由．（数量关系中不含t） 【答案】(1)5； (2),理由见解析 (3)①或；②，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． （1）的最小值即第一次平分时的值；求出的度数即可求出的值； （2）用含的代数式分别表示出和，然后相减即可； （3）①分在的左侧时和在的右侧时两种情况求解； ②由题意得，，，，从而，，进而可得； 【详解】（1）解：由题意可得：, ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5；； （2）解：∵，， ∴； （3）解：①如图4， ， 当在内部时， ∵，，， ∴， ∴， 如图5： ， 当在外部时， ∵，，， ∴， ∴， 综上所述：或； ②如图6： ， ∵，， ∴； 【拓展训练三 利用中心对称图形的性质求解】 【例1】（24-25七年级下·福建漳州·期末）如图，与关于点D成中心对称，连接AB，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称图形的性质可得结论． 【详解】解：∵与关于点D成中心对称， ∴，， ∴ ∴选项A、C、D正确，选项B错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的性质，即对应点在同一条直线上，且到对称中心的距离相等． 【例2】（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，正方形①和②关于点对称，正方形②和③关于点对称，若正方形①经过一次旋转后和正方形③重合，则旋转角至少为__________°． 【答案】 【分析】此题考查了中心对称和旋转，根据中心对称的定义和旋转的性质进行求解即可． 【详解】解：如图，设正方形①、②、③的对角线交点分别为，连接，，， ∵正方形①和②关于点对称，正方形②和③关于点对称， ∴必过点A，必过点B，且， ∴， 由图可知，正方形①经过一次旋转后和正方形③重合，则旋转角至少为， 故答案为： 1．（25-26七年级下·广西钦州·期中）如图，绕点O旋转得到，下列说法错误的是（　　） A． B．点B和点E关于点O对称 C． D．与关于点B成中心对称 【答案】D 【分析】本题考查中心对称的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．绕点旋转得到，图形旋转后对应点关于对称中心对称，对应线段平行且相等，对应角相等，据此逐项判断即可． 【详解】解：A：∵绕点旋转得到， ∴， ∴，该选项正确； B：∵绕点旋转得到， ∴点和点关于点对称，该选项正确． C：由旋转性质可知，， ∴， 即，该选项正确． D：与是绕点旋转得到的， ∴是关于点成中心对称，而非点，该选项错误． 故选：D． 2．（24-25七年级下·江苏泰州·课后作业）如图，和关于点成中心对称，则下列结论中正确的有__________个． ①；②；③；④． 【答案】4 【分析】根据中心对称的性质，逐个进行判断即可． 【详解】解：①∵和关于点成中心对称， ∴，故①正确，符合题意； ②∵和关于点成中心对称， ∴，故②正确，符合题意； ③∵和关于点成中心对称， ∴，， ∴， ∴， ∴，故③正确，符合题意； ④∵和关于点成中心对称， ∴，故④正确，符合题意； 综上，正确的有①②③④，共4个， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了中心对称的性质，解题的关键是掌握成中心对称的两个图形，对应边相等，对应角相等，对应点到对称中心距离相等． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）（1）如图①，四边形是中心对称图形，直线经过对称中心O，则　　（填“”“”“”）； （2）如图②，正方形是中心对称图形，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分． 【答案】（1）；（2）详见解析 【分析】本题考查了复杂作图，中心对称图形性质，掌握中心对称图形的性质是解题的关键 （1）根据中心对称图形的性质作答； （2）根据中心对称图形的性质作图． 【详解】解：（1）∵四边形是中心对称图形，直线经过对称中心O， ， 故答案为：； （2）如图②：直线即为所求． 【拓展训练四 中心对称图形规律问题】 【例1】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（    ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【答案】B 【分析】探究规律后利用规律解决问题即可． 【详解】观察图形可知每4次循环一次，， ∴第2022次旋转后得到的图形应与图②相同， 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称、旋转变换，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律利用规律解决问题． 【例2】（24-25七年级下·新疆·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标是，若点A与点B关于中心对称，则_________． 【答案】6 【分析】先根据“点A与点B关于中心对称”求出，，再代入求值即可． 【详解】解：∵点A与点B关于中心对称， ∴，， ∴，， 此时， 故答案为6． 【点睛】本题考查了中心对称，点A与点B关于中心对称，即，． 1．（24-25八年级上·山东济宁·月考）在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称的性质解答即可． 【详解】解：∵P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）， 由点P关于点O成中心对称的点Q可得：点Q的极坐标为（3，240°），（3，-120°），（3，600°）， 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称的问题，关键是根据中心对称的性质解答． 2．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A、C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到……，按照顺序以此类推，则的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称．根据题意，探究规律，得出坐标按照，，，四个为一个循环，再利用规律求解即可． 【详解】解：P点坐标为，将P点关于A对称得到， ， 将关于O点对称得到， ， 将关于C点对称得到， ， 将关于B点对称得到， ， 将关于A点对称得到 ， 按照顺序以此类推，坐标按照，，，四个为一个循环， ， 则的坐标为； 故答案为：． 3．（24-25七年级下·安徽淮北·月考）古希腊科学家把一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个三角形，构成这些三角形点的数量被称为三角形数．某数学兴趣小组对三角形数进行了如下探索： (1)如图，将围棋子摆成连续三角形探索连续三角形数（表示第n个三角形数），由图形可得，，，， ； (2)为探索的值，将摆成三角形进行旋转，再与原图拼成一个矩形，通过矩形计算棋子数目达到计算的值，∴ ；（用含n的代数式表示） (3)根据上面的结论，判断24和28是不是三角形数？并说明理由． 【答案】(1)15 (2) (3)24不是，28是，理由见解析 【分析】( 1 )根据规律求出即可； ( 2 )利用规律，解决问题即可； ( 3)利用(2)中结论求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：15 （2）由题意得： ， ， ， ， ， …… ∴． 故答案为： （3）24不是三角形数，28是三角形数， 理由：∵ 6和8相差2， 不符合等式中因数与相差1的规律， ∴24不是三角形数； 又∵， ∴， ∴， ∴28是三角形数． 【点睛】本题考查中心对称，列代数式，规律型∶图形的变化类等知识，解题的关键是利用数形结合找出规律． A基础训练 1．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）对下列“握手”图片从左向右的顺序依次变换，描述正确的是（　　） A．轴对称→平移→旋转 B．轴对称→旋转→平移 C．旋转→轴对称→平移 D．平移→旋转→轴对称 【答案】A 【分析】本题考查几何变换的类型，解题的关键是读懂图象信息． 根据平移变换，旋转变换，轴对称变换的定义判断即可． 【详解】解：“握手”的变换顺序是轴对称→平移→旋转． 故选：A． 2．（24-25七年级下·江苏泰州·课后作业）如果把一个图形绕某一点旋转一定角度后，能与原来的图形重合，那么这个图形叫作旋转对称图形．如图是一个旋转对称图形，以为旋转中心，下列旋转角度中，能使旋转后的图形与原图形重合的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，旋转角的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据旋转后与原图形重合，找出对应的旋转角即可解答． 【详解】解：由题意知， 旋转后与原图形重合， 故选：C． 3．（2025·贵州贵阳·一模）如图，网格中所有点都在格点上，将绕点B逆时针旋转后得到，则下列四个图形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转．熟练掌握旋转、折叠和平移的特点，图形位置变换特点，是解决问题的关键． 根据绕点B逆时针旋转后得到的特点，逐一判断．即得． 【详解】A、将绕过点B且垂直的直线折叠后得到，不正确； B、将绕点B逆时针旋转后得到，正确； C、将绕点B顺时针旋转后得到，不正确； D、将绕的垂直平分线折叠后向下平移2个单位长度得到，不正确． 故选：B． 4．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，E是正方形中边上任意一点，以点A为中心，把顺时针旋转得到，点F在的延长线上，则下列角中是旋转角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由旋转的概念可直接求解． 【详解】解：∵以点A为中心，把顺时针旋转，得到， ∴旋转角为或， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的概念，掌握对应线段的夹角等于旋转角是解题的关键． 5．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，教室的水平地面上有一个倒地的簸箕，与地面的夹角为，，小明同学将它扶起（绕点C逆时针旋转）后平放在地面上，的对应线段为，在这一过程当中，簸箕柄绕点C旋转了 （      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据题意得到，，找出旋转角即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 由题意可得，， ∴旋转角为． 故选：C． B 提高训练 6．（24-25七年级上·上海黄浦·期末）在正方形、等腰梯形、线段、等边三角形、平行四边形、圆这六种图形中，是旋转对称图形但不是中心对称图形的个数是_____． 【答案】1个 【分析】根据中心对称图形的定义以及旋转图形的性质分别判断得出即可． 【详解】解：正方形、等腰梯形、线段、等边三角形、平行四边形、圆这六种图形中，正方形、线段、平行四边形、圆都是中心对称图形， 只有等边三角形是旋转对称图形但不是中心对称图形， 故答案为：1个． 【点睛】本题考查了旋转对称图形，熟练掌握两种图形是解题的关键． 7．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，已知，则旋转角 ______． 【答案】 【分析】先利用旋转的性质得到，，再利用四边形内角和计算出，然后利用互余计算出，从而得到的值． 【详解】解：矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．（25-26七年级下·江苏无锡·课后作业）如图①，和都是等腰直角三角形，点在上．绕着点逆时针旋转_____后能够与重合．将图①作为“基本图形”绕着点逆时针连续旋转_____可得到图②． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是理解旋转的性质，能找对旋转中心、旋转角． 观察图①可知旋转角是，再结合等腰直角三角形的性质求出的度数；图②中是把图①作为基本图形，分析可知旋转角就是，结合图①得到的度数，据此解答． 【详解】解：根据图①可知， ∵和都是等腰直角三角形， ， 即绕点逆时针旋转后能够与重合． 根据图①可知， ∵和都是等腰直角三角形， ， ， ∴将图①作为“基本图形”绕着点逆时针连续旋转可得到图②． 故答案为：、． 9．（24-25八年级下·湖南邵阳·月考）如图，与关于点O成中心对称，下列结论成立的是 ________（填序号）． ①点A与点是对应点； ②； ③； ④． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了中心对称的性质，利用中心对称的性质解决问题即可． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴， ∴点A与点是对称点，，， 故①②③正确， 故答案为：①②③． 10．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，，如果将绕点按逆时针方向旋转，得到，那么点，的对应点，的坐标分别是_______． 【答案】， 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，根据题意画出旋转后的三角形即可解决问题，能根据题意画出旋转后的图形是解题的关键． 【详解】解：的绕点逆时针旋转后所得图形如图所示， 所以点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：，． C 培优训练 11．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，线段是由线段经过旋转变换得到的．求作：旋转中心O点． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图-旋转变换，掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质可得：点O到A和C点的距离相等，点O到B和D点的距离相等．利用线段垂直平分线的性质，只要作出AC和BD的垂直平分线，则它们的交点即为旋转中心O点． 【详解】解：如图：点O即为所求． 12．（25-26七年级下·江苏淮安·单元测试）如图，在中，，于点，于点，． (1)请简述图①变换为图②的过程． (2)若，，求图②中的面积． 【答案】(1)把绕点逆时针旋转得到 (2)6 【分析】本题主要考查图形变换，三角形的面积，理解题意是解题的关键． （1）通过旋转变换理解图形的变化过程即可； （2）根据旋转的性质得到，，再通过平行线的性质、等量代换、两个锐角互余的三角形为直角三角形得到是直角三角形，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：把绕点逆时针旋转得到． （2）解：由（1）可知，由通过旋转得到的， ，． ，， ， ． ， ， ． ， ． 13．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，方格纸上每个小方格的边长都是1，与成中心对称． (1)画出对称中心； (2)画出将向上平移6个单位长度得到的； (3)绕点按顺时针方向至少旋转多少度，才能与重合？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平移作图，确定旋转中心，解题的关键是熟练掌握相关知识，并灵活运用． （1）连接、，相交于点O，点O即为所求； （2）先画出点、、平移后的对应点，再依次连接即可； （3）连接，根据图形，求出的度数即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：由图可知，， 则绕点按顺时针方向至少旋转，能与重合． 14．（25-26七年级下·安徽淮南·期中）【阅读材料】对于中心对称图形，过对称中心的任意一条直线都把这个图形的面积分成相等的两部分，如图1所示． 【尝试应用】将图2，图3分成面积相等的两部分（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】尝试应用：作图见解析 【分析】本题考查了中心对称图形，掌握其概念是解题关键．由平行四边形的性质可知，对角线的交点为平行四边形的中心，的中心为圆心，结合中心对称的知识，不难发现过中心的直线将图形分割成面积相等的部分． 【详解】解：如图所示： 15．（25-26七年级下·广东广州·开学考试）如图，已知点O和．请在网格中画图： (1)画出，使与关于点O成中心对称； (2)把绕点O顺时针旋转，画出旋转后对应的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作出各点关于点O的对称点，再顺次连接即可； （2）作出各点绕点按顺时针旋转所得的对应点，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，△即为所求； （2）解：如图所示，△即为所求． ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 旋转重难点题型专训 （5个知识点+15大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 旋转对称图形的识别 题型二 判断生活中的旋转现象 题型三 中心对称图形的识别 题型四 判断中心对称图形的对称中心 题型五 判断由一个图形旋转而成的图案 题型六 找旋转中心、旋转角、对应点 题型七 根据旋转的性质求解 题型八 旋转的性质及辨析 题型九 画旋转图形 题型十 旋转中的规律性问题 题型十一 根据旋转的性质说明线段或角相等 题型十二 画已知图形关于某点对称的图形 题型十三 画两个图形的对称中心 题型十四 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型十五 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 拓展训练一 求旋转对称图形的旋转角度 拓展训练二 旋转中的最值探究 拓展训练三 利用中心对称图形的性质求解 拓展训练四 中心对称图形规律问题 知识点一：中心对称 1.概念 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称； 2.性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3.判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·山东烟台·期末）有4张扑克牌，不让别人看见，只将其中一张牌旋转180°，旋转后的四张牌与旋转前四张牌看起来未发生变化，你能确定哪张牌一定被旋转过吗？（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·云南昭通·期中）一条线段______（填“是”或“不是”）中心对称图形，因为它绕______旋转______度后能与原线段重合． 知识点二：作图步骤 （1）连接原图形上所有的特殊点和对称中心。 （2）将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。 （3）将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的 【即时训练】 1．（2025·北京丰台·二模）以下图形绕点O旋转一定角度后都能与原图形重合，其中旋转角最小的是（    ） A．  B．   C．   D．   2．（24-25七年级下·江苏扬州·课前预习）旋转作图的基本步骤： （1）确定___________、_____________和____________； （2）找出图形的关键点，一般是图形中的转折点，例如，多边形的关键点 是它的顶点． （3）作旋转后的对应点，方法如下： ①连：连接图形的每个关键点与__________； ②转：把连线绕旋转中心按旋转方向旋转相同的角度（作旋转角）； ③截：在作得的角的另一边截取与关键点到旋转中心的距离相等的线段，得到各个关键点的对应点； （4）按原图形的顺序连接这些对应点，所得到的图形就是___________． （5）写出结论，说明作出的图形即为所求的图形． 知识点三：旋转的概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点. 注意 :（1）图形的旋转就是一个图形围绕一点旋转一定的角度，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键。 （2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向。 （3）旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点。 【即时训练】 1．（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图，将图1绕某点旋转后得到图2，则下列旋转方式中，符合题意的是（    ） A．顺时针旋转90° B．逆时针旋转90° C．顺时针旋转45° D．逆时针旋转45° 2．（2025七年级下·江苏泰州·专题练习）如图，将右边的图案变成左边的图案，是通过________变化得到的． 知识点四：旋转的性质 旋转的性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 注意 ： （1）旋转中心、旋转方向、旋转角度是确定旋转的关键. （2）性质是通过学生操作验证得出的结论，性质（1）和（2）是旋转作图的关键，整个性质是旋转这部分内容的核心，是解决有关旋转问题的基础. （3）要正确理解旋转中的变与不变，寻找等量关系，解决问题。 【即时训练】 1．（24-25七年级下·内蒙古锡林郭勒·单元测试）如图，绕点逆时针旋转到的位置，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·广东江门·期末）如图2中的图案是由图1中的基本图形以点为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转角度，依次旋转若干次而组成的，则旋转角的度数最小为_____度． 知识点五：旋转作图 （1）旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。 （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角、旋转方向、旋转中心，其中任一元素不同，位置就不同，但得到的图形全等. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·江苏泰州·单元测试）如图，将方格纸中的图形绕点逆时针旋转后得到的图形是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏南京·月考）如图，可以看作是经过怎样的图形变换得到的？下列结论中：①1次旋转；②2次翻折；③1次平移和1次翻折．所有正确结论的序号是_________． 【经典例题一 旋转对称图形的识别】 【例1】（24-25七年级下·江苏宿迁·单元测试）下列各图中，既可经过平移，又可经过旋转，由图形①得到图形②的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·青海·模拟预测）如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转后可以和自身重合（不考虑和阴影），若每个叶片的面积为，为，则图中阴影部分的面积为______． 1．（25-26七年级下·江苏泰州·单元测试）将图中所示的风车绕点顺时针旋转，得到的图案是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏泰州·课后作业）如图所示的是某公司商品标志图案，有下列说法：①图案是按轴对称设计的；②图案是按旋转设计的；③图案的外层“S”是按旋转设计的；④图案的内层“A”是按轴对称设计的．其中正确的是______（填序号）． 3．（25-26七年级下·江西南昌·期中）在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一个角度后，能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，为这个旋转对称图形的一个旋转角．例如：正方形绕着它的对角线交点旋转90°，180°，270°都能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，90°，180°，270°都可以是这个旋转对称图形的一个旋转角． (1)下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是120°的是___________；（写出所有正确结论前的序号） ①等边三角形；②正六边形；③正八边形． (2)正五边形显然满足下面两个条件：①是旋转对称图形，且有一个旋转角是72°；②是轴对称图形，但不是中心对称图形．请你找出一种图形也同时满足上述两个条件． 【经典例题二 判断生活中的旋转现象】 【例1】（25-26七年级下·江苏泰州·课后作业）有以下现象：①荡秋千；②雪橇在雪地里滑动；③传送带传送物品；④雨刮器来回摆动．其中属于旋转的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【例2】（25-26七年级上·山东青岛·月考）时钟秒针扫过的痕迹，由此说明了______的数学事实． 1．（24-25七年级上·河北承德·月考）将4张扑克牌按图1的方式放在桌面上，将其中1张扑克牌旋转了后得到图2，则被旋转过的扑克牌是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·辽宁沈阳·月考）在平移现象后面画“△”，在旋转现象后面画“○”． _____________________ 3．（24-25七年级下·江苏泰州·单元测试）我们小时候都玩过荡秋千的游戏．在夏天，我们会打开电扇，扇叶会绕着中心转轴转动起来．如图，单摆上小木球会从位置运动到位置． (1)上述几种运动是做直线运动还是做曲线运动？ (2)运动有何共同点？ 【经典例题三 中心对称图形的识别】 【例1】（2025·北京顺义·二模）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·上海·月考）下列图形中，绕某个点旋转能与自身重合的有______． ①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤角；⑥平行四边形． 1．（24-25七年级下·云南迪庆·期末）“瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产下面“瓦当”图案中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）观察下列图形，请把符合要求的图形的标号填在相应的横线上． 是轴对称图形的有______． 是中心对称图形的有_______． 既是轴对称图形又是中心对称图形的有_______． 既不是中心对称图形又不是轴对称图形的有_____． 3．（24-25七年级下·广西钦州·周测）如下图的个图标，这些图标中哪些是中心对称图形吗？如果是，请指出对称中心；如果不是，请说明理由． 【经典例题四 判断中心对称图形的对称中心】 【例1】（25-26七年级下·贵州黔西南·期末）兴仁市开展“非遗文化进校园”活动，将布依族刺绣图案进行旋转设计，若将一个图案绕某点旋转后与原图案重合，则该图案的旋转中心是对应点连线的（    ） A．中点 B．端点 C．三等分点 D．四等分点 【例2】（25-26七年级下·江苏镇江·课后作业）如图，四边形与四边形关于某一点成中心对称，则这个点是______． 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，若线段与线段关于某个点对称，则这个点是（     ）．    A．点G B．点H C．点I D．点J 2．（25-26七年级下·江苏泰州·课后作业）如图，E是的斜边上一点，作点E关于的对称点F，G，连接． （1）点F和点G的对称关系为___________． （2）若，则的最小值为______． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·假期作业）如图，四边形绕D点旋转，请作出旋转后的图案，写出作法并回答． (1)这两个图形成中心对称吗？如果是，对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由． (2)如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点？ 【经典例题五 判断由一个图形旋转而成的图案】 【例1】（25-26七年级下·江西赣州·期末）下面图形不能通过旋转变换得到的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·江苏泰州·课后作业）如图，可以通过平移变换但不能通过旋转变换得到的图案有________；可以通过旋转变换但不能通过平移变换得到的图案有________；既可以通过平移变换，又可以通过旋转变换得到的图案有________．（填序号） 1．（25-26七年级下·上海·月考）在Word文档的图形编辑功能中，菜单“旋转”下有下图中显示的四个功能，分别简称为R、L、V、H．现有图甲，如果对其先操作R再操作V，所得到的图形是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）关于如图的形成过程：（1）由一个三角形平移形成的；（2）由一个三角形绕中心依次旋转形成的；（3）由一个三角形作轴对称形成的；（4）由一个三角形先平移再旋转形成的，说法正确的有_______；（填序号） 3．（24-25七年级下·江苏泰州·假期作业）分析左边的树形图案，经过怎样的图形变换就可能得到右边的树形图案． 【经典例题六 找旋转中心、旋转角、对应点】 【例1】（25-26七年级下·广西钦州·月考）如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（     ）    A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，点、、、分别在正方形网格的格点上，设点的坐标为，B点的坐标为，小明发现，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是____． 1．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图中的四个三角形不能由最左侧的三角形经过平移或旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，已知，则旋转角 ______． 3．（24-25七年级下·北京大兴·期末）如图，在正方形网格中，将格点绕某点顺时针旋转角得到格点，点，，的对应点分别为，，． (1)请通过画图找到旋转中心，将其标记为点； (2)直接写出旋转角的度数． 【经典例题七 根据旋转的性质求解】 【例1】（25-26七年级下·天津河东·期末）如图，绕点逆时针旋转得到，连接，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·江苏泰州·课后作业）如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点在线段BC的延长线上，则的大小为__________． 1．（25-26七年级下·云南昆明·月考）如图，将四边形绕点O顺时针旋转一定角度得到四边形，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河北廊坊·期中）如图，将绕点O顺时针旋转到．若，则m的值为______． 3．（25-26七年级上·上海·期末）如图，在中，，如果将绕点B顺时针旋转得到，将沿着射线方向平移得到． (1)画出． (2)若平移的距离为a．求四边形的面积．（用的代数式表示）． (3)若的面积和的面积相等，直接写出平移的距离．（用的代数式表示） 【经典例题八 旋转的性质及辨析】 【例1】（24-25七年级下·北京大兴·期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论： ①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC； 其中一定正确的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【例2】（24-25七年级下·江苏泰州·课后作业）在平面内把一个图形绕着某__________沿着某个方向转动__________的图形变换叫做旋转．这个点O叫做__________，转动的角叫做__________．因此，图形的旋转是由__________，__________和__________决定的． 1．（2025七年级下·江苏泰州·专题练习）全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC和△A1B1C1是全等(合同)三角形，点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A，及A1→B1→C1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形(如图1)，若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形(如图2)，两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180°，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是(    ) A． B． C． D． 2．（2025七年级下·江苏泰州·专题练习）如图，将右边的图案变成左边的图案，是通过________变化得到的． 3．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在由边长为1的正方形组成的网格中，将格点绕某点顺时针旋转（）得到格点，点与点，点与点，点与点是对应点． (1)请通过画图找到旋转中心，将其标记为点； (2)旋转角的度数是______； (3)求的面积． 【经典例题九 画旋转图形】 【例1】（25-26七年级下·江苏泰州·课后作业）如图，将该图案绕中心O逆时针旋转后，得到的图案是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC与边重合，，．接着如图2保持三角板ACD不动，将三角板绕着点C按逆时针旋转后停止．在此旋转过程中，当与三角板ACD的一条边恰好平行时，________．    1．（25-26七年级下·河北廊坊·期中）数学课上，老师画出了线段，并通过数学软件中的几何变换得到四条线段（①－④），让同学们对这四条线段进行讨论，下列结论错误的是（   ） A．线段①与线段关于轴对称 B．线段①，③，④是由线段连续旋转得到的 C．线段④与线段②关于点成中心对称 D．线段③绕点，逆时针旋转，得到线段④ 2．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，，如果将绕点按逆时针方向旋转，得到，那么点，的对应点，的坐标分别是_______． 3．（25-26七年级下·安徽安庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的； (2)将绕点顺时针旋转得到，画出． 【经典例题十 旋转中的规律性问题】 【例1】（24-25七年级下·陕西西安·自主招生）小王正在玩“俄罗斯方块”游戏，现在屏幕上出现的图形（见下图），每按一下旋转键，图形就会逆时针旋转，小王趁它未“落地”之前，连续按了15次后出现的图案是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·江苏泰州·课后作业）下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2025个图案与第1个至第4个中的第________个箭头方向相同．（填序号） 1．（2026·河北沧州·一模）如图1，书架上按顺序摆放着五本复习书，现把最右边的文综抽出，放在英语与数学之间；再把最右边的理综抽出，放在数学与语文之间，得到如图2，称为1次整理，接着把最右边的英语抽出，放在数学与理综之间，再把最右边的文综抽出，放在理综与语文之间，得到如图3，称为2次整理⋯；若从如图1开始，经过次整理后，得到的顺序与如图1相同，则的值可以是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 2．（2025七年级下·江苏苏州·专题练习）如图，在直角三角形中，，，，且在直线l上，将绕点顺时针旋转到位置①，得到点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点，…，按此规律继续旋转，直到得到点为止，则 ______ ． 3．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图1、图2中的三角形①～⑤的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)如图1，三角形②可以看成由三角形①经过一次 得到；三角形③可以看成由三角形①经过一次 得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）． (2)如图2，三角形⑤可以看成由三角形④经过怎样的图形运动得到？下列结论： A. 1次轴对称   B. 1次旋转    C． 1次平移和1次旋转  D. 1次旋转和1次轴对称 其中，所有正确结论是 ． 【经典例题十一 根据旋转的性质说明线段或角相等】 【例1】（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，由绕О点旋转而得到，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对应点 B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·上海闵行·期末）如图，将绕点顺时针旋转后得到，点与点是对应点，点与点是对应点．如果，那么______° 1．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，将绕点逆时针旋转得到，其中点与点是对应点，点与点是对应点，若点落在边上，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，将△ABC绕着点C顺时针方向旋转后得到．若，，则的度数是_________． 3．（25-26七年级下·江苏泰州·单元测试）如图，在中，，于点，于点，． (1)请简述图①变换为图②的过程． (2)若，，求图②中的面积． 【经典例题十二 画已知图形关于某点对称的图形】 【例1】（24-25七年级下·浙江杭州·月考）在平面直角坐标系中，与关于点中心对称．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·江苏泰州·课后作业）如图，和 关于点O成中心对称，那么连接线段、、，它们都经过点_______，且_______＝_______，_______＝_______，_______＝_______. 1．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图所示，三角形和三角形关于某一点成中心对称，其中边的对应边是．请在图中画出中心对称点，并补全三角形． 2．（25-26七年级下·广东广州·开学考试）如图，已知点O和．请在网格中画图： (1)画出，使与关于点O成中心对称； (2)把绕点O顺时针旋转，画出旋转后对应的． 3．（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·月考）如图，已知和其内一点． (1)求作，使与关于点成中心对称； (2)指出各对应边以及各对应角． 【经典例题十三 画两个图形的对称中心】 【例1】（25-26八年级上·河北唐山·期末）如图，与关于某点成中心对称，则对称中心是点（   ） A．M B．N C．P D．Q 【例2】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，旋转得到△A′B′C′，则旋转中心的坐标是________．   1．（24-25八年级下·浙江湖州·期中）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成面积相等的两个部分．如图，直线经过对角线的交点，则    (1)如图，两个正方形如图所示摆放，为小正方形对角线的交点，请利用直尺求作过点的直线将整个图形分成面积相等的两部分． (2)个大小相同的正方形如图所示摆放，利用直尺求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用两种不同的方法分割）． 2．（24-25七年级下·江西新余·月考）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，与关于点O成中心对称，与的顶点均在格点上． (1)请在图中直接画出点O； (2)将绕点C顺时针旋转得到，请画出． 3．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位． (1)把绕点C顺时针旋转90°得到，在网格中画出； (2)若与关于点O成中心对称，在网格中标出点O ． 【经典例题十四 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 【例1】（25-26七年级下·辽宁大连·期末）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，与关于点成中心对称，为的高，若，，则_____． 1．（24-25七年级下·广东汕头·期中）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A． B． C． D．点B与点E是对应点 2．（24-25七年级下·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，是边长为1的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，继续作与关于点成中心对称，…．按此规律作下去，则的顶点的坐标是__________． 3．（25-26七年级下·安徽淮南·期中）【阅读材料】对于中心对称图形，过对称中心的任意一条直线都把这个图形的面积分成相等的两部分，如图1所示． 【尝试应用】将图2，图3分成面积相等的两部分（不写作法，保留作图痕迹）． 【经典例题十五 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形】 【例1】（24-25七年级下·广西钦州·周测）在如图所示的方格纸中，将标有序号的小正方形中的一个涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形，该小正方形的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【例2】（25-26七年级下·浙江·课后作业）如图，在4×4的网格纸中，的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点，，，中找一点作为旋转中心．将绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有 _______． 1．（2025·河北邢台·一模）如图是的网格图，将图中标有①、②、③、④的一个小正方形涂灰，使所有的灰色图形构成中心对称图形，则涂灰的小正方形是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（25-26七年级下·湖北咸宁·期末）如图，图1和图2均为正方形网格，按下列要求作图： (1)如图1，网格中已将4个小正方形涂上了阴影，请再把其中一个白色小方格涂上阴影，使整个阴影部分成为中心对称图形； (2)如图2，网格中已将3个正方形涂上了阴影，请将其绕着点顺时针旋转后，得到的图形涂上阴影． 3．（25-26七年级下·江苏泰州·周测）结论开放题 图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫作格点，点A，B，C均在格点上，要求作一个多边形，使这三个点在这个多边形的边（包括顶点）上，且多边形的顶点在格点上． (1)在图①中作一个三角形，使它是轴对称图形． (2)在图②中作一个四边形，使它是中心对称图形但不是轴对称图形． (3)在图③中作一个四边形，使它既是轴对称图形又是中心对称图形． 【拓展训练一 求旋转对称图形的旋转角度】 【例1】 （25-26七年级下·江苏泰州·课后作业）如图，将绕点逆时针旋转得到．已知，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·上海普陀·期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝50°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC（点D、E分别与点A、B对应），如果∠ACD与∠ACE的度数之比为3：2，当旋转角大于0°且小于180°时，旋转角的度数为 _____． 1．（24-25七年级下·天津·期末）如图，中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点C恰好为的中 点． (1)指出旋转中心，并求出旋转的度数． (2)求出的度数和的长． 2．（24-25七年级上·福建泉州·期末）在同一平面内，三角形和三角形，，，，．三角形保持不动，三角形绕点顺时针旋转，即． (1)如图，当与重合时，写出和的度数； (2)三角形从（1）中的图1位置开始旋转，在旋转过程中，两个三角形有一组边互相平行时，画出图形，写出相应的度数； (3)如图，若和分别是和的平分线，写出的大小，并说明理由． 3．（24-25七年级下·湖南岳阳·期末）如图1，直线，直角三角形按如图放置，，、分别与、相交于点、，若． （1）求的度数； （2）如图2，将三角形绕点逆时针旋转，使点落在上，得到三角形，若，求的度数． 【拓展训练二 旋转中的最值探究】 【例1】（25-26七年级下·广东汕头·期末）如图是由若干个全等的菱形组成，将图形按顺时针方向绕点旋转某一个角度后与原图形重合，则旋转角的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·广西贵港·期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，AC＝6，将△ABC绕顶点C逆时针旋转一定的角度得到，设与BC相交于点P，则在旋转的过程中线段BP长度的最大值为______． 1．（24-25七年级下·山西晋城·期末）如图①，△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=45°，点D、E分别在边AB、AC上 （1）如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转到如图位置，若∠BAD=30°， 求∠BAE的度数； （2）如图②，在（1）的基础上继续旋转，当旋转角度α=______时，直线AC与DE垂直；（0º＜α≤360º） （3）如图③，△ADE绕点A在平面内自由旋转，连接BD，且AD=4，AB=10，求BD的最大值和最小值． 2．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出将向下平移5个单位后得到的，点A，，的对应点分别为点，，； (2)画出将绕原点逆时针旋转后得到的，点A，，对应点分别为点，，； (3)在y轴上有一个动点P，求的最小值． 3．（24-25七年级上·河南郑州·月考）如图1，在直线上摆放一副直角三角板，两三角板顶点重合于点O，，，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针方向转动，设转动时间为t秒． (1)如图2，若平分，则t的最小值为 ；此时﹣ 度；（直接写答案） (2)当三角板转动如图3的位置，此时、同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由；（数量关系中不含t） (3)若当三角板开始转动的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针转动，当旋转至射线上时，两三角板同时停止运动： ①当t为何值时，； ②在转动过程中，请写出与的数量关系，并说明理由．（数量关系中不含t） 【拓展训练三 利用中心对称图形的性质求解】 【例1】（24-25七年级下·福建漳州·期末）如图，与关于点D成中心对称，连接AB，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，正方形①和②关于点对称，正方形②和③关于点对称，若正方形①经过一次旋转后和正方形③重合，则旋转角至少为__________°． 1．（25-26七年级下·广西钦州·期中）如图，绕点O旋转得到，下列说法错误的是（　　） A． B．点B和点E关于点O对称 C． D．与关于点B成中心对称 2．（24-25七年级下·江苏泰州·课后作业）如图，和关于点成中心对称，则下列结论中正确的有__________个． ①；②；③；④． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）（1）如图①，四边形是中心对称图形，直线经过对称中心O，则　　（填“”“”“”）； （2）如图②，正方形是中心对称图形，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分． 【拓展训练四 中心对称图形规律问题】 【例1】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（    ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【例2】（24-25七年级下·新疆·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标是，若点A与点B关于中心对称，则_________． 1．（24-25八年级上·山东济宁·月考）在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A、C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到……，按照顺序以此类推，则的坐标为__________． 3．（24-25七年级下·安徽淮北·月考）古希腊科学家把一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个三角形，构成这些三角形点的数量被称为三角形数．某数学兴趣小组对三角形数进行了如下探索： (1)如图，将围棋子摆成连续三角形探索连续三角形数（表示第n个三角形数），由图形可得，，，， ； (2)为探索的值，将摆成三角形进行旋转，再与原图拼成一个矩形，通过矩形计算棋子数目达到计算的值，∴ ；（用含n的代数式表示） (3)根据上面的结论，判断24和28是不是三角形数？并说明理由． A基础训练 1．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）对下列“握手”图片从左向右的顺序依次变换，描述正确的是（　　） A．轴对称→平移→旋转 B．轴对称→旋转→平移 C．旋转→轴对称→平移 D．平移→旋转→轴对称 2．（24-25七年级下·江苏泰州·课后作业）如果把一个图形绕某一点旋转一定角度后，能与原来的图形重合，那么这个图形叫作旋转对称图形．如图是一个旋转对称图形，以为旋转中心，下列旋转角度中，能使旋转后的图形与原图形重合的是（    ）． A． B． C． D． 3．（2025·贵州贵阳·一模）如图，网格中所有点都在格点上，将绕点B逆时针旋转后得到，则下列四个图形正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，E是正方形中边上任意一点，以点A为中心，把顺时针旋转得到，点F在的延长线上，则下列角中是旋转角的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，教室的水平地面上有一个倒地的簸箕，与地面的夹角为，，小明同学将它扶起（绕点C逆时针旋转）后平放在地面上，的对应线段为，在这一过程当中，簸箕柄绕点C旋转了 （      ） A． B． C． D． B 提高训练 6．（24-25七年级上·上海黄浦·期末）在正方形、等腰梯形、线段、等边三角形、平行四边形、圆这六种图形中，是旋转对称图形但不是中心对称图形的个数是_____． 7．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，已知，则旋转角 ______． 8．（25-26七年级下·江苏无锡·课后作业）如图①，和都是等腰直角三角形，点在上．绕着点逆时针旋转_____后能够与重合．将图①作为“基本图形”绕着点逆时针连续旋转_____可得到图②． 9．（24-25八年级下·湖南邵阳·月考）如图，与关于点O成中心对称，下列结论成立的是 ________（填序号）． ①点A与点是对应点； ②； ③； ④． 10．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，，如果将绕点按逆时针方向旋转，得到，那么点，的对应点，的坐标分别是_______． C 培优训练 11．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，线段是由线段经过旋转变换得到的．求作：旋转中心O点． 12．（25-26七年级下·江苏淮安·单元测试）如图，在中，，于点，于点，． (1)请简述图①变换为图②的过程． (2)若，，求图②中的面积． 13．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，方格纸上每个小方格的边长都是1，与成中心对称． (1)画出对称中心； (2)画出将向上平移6个单位长度得到的； (3)绕点按顺时针方向至少旋转多少度，才能与重合？ 14．（25-26七年级下·安徽淮南·期中）【阅读材料】对于中心对称图形，过对称中心的任意一条直线都把这个图形的面积分成相等的两部分，如图1所示． 【尝试应用】将图2，图3分成面积相等的两部分（不写作法，保留作图痕迹）． 15．（25-26七年级下·广东广州·开学考试）如图，已知点O和．请在网格中画图： (1)画出，使与关于点O成中心对称； (2)把绕点O顺时针旋转，画出旋转后对应的． 学科网（北京）股份有限公司 $