专题02 期中真题百炼通关96题32大常考题型（期中专项训练）九年级数学上学期新教材苏科版

专题02 期中真题百炼通关（96题32大常考题型） 常考·进阶突破 题型1 一元二次方程的含参问题 题型2 解一元二次方程 题型3 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型4 根据一元二次方程根的情况求参数 题型5 韦达定理 题型6 销售问题、增长率问题、图形问题 题型7 反比例函数的含参问题 题型8 比较反比例函数值或自变量的大小 题型9 反比例函数的增减性 题型10 反比例函数k值的几何意义 题型11 反比例函数与一次函数结合 题型12 反比例函数的实际应用 题型13 垂径定理 题型14 圆周角定理 题型15 点与圆、直线与圆的位置关系 题型16 扇形弧长、面积与圆锥的侧面积 题型17 数据的集中趋势和离散程度 题型18 等可能条件下的概率 题型19 二次函数的含参问题 题型20 二次函数的图象与性质 题型21 二次函数的对称性 题型22 二次函数的平移 题型23 二次函数的实际应用 题型24 二次函数中线段问题 题型25 二次函数中的角度问题 题型26 二次函数与几何图形结合 题型27 二次函数与方程、不等式结合 题型28 比例线段与黄金分割 题型29 位似图形 题型30 相似三角形的判定 题型31 相似三角形的性质 题型32 相似三角形的应用 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 常考·固本强基 题型1 一元二次方程的含参问题（共3小题） 【易错】二次项系数不为 0，结合判别式、韦达定理列不等式求参数取值。 1．（26-27九年级上·江苏徐州·期中）已知是关于x的一元二次方程，则_______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，得到的最高次数为且二次项系数不为，据此求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且 解方程得 又∵， ∴， ∴ 2．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）若关于x的一元二次方程的一个根为0，则k的值为___________． 【答案】 【分析】结合一元二次方程的定义可得，再将代入方程计算即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为0， ∴，且， 解得． 3．（26-27九年级上·江苏·期中）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据倒方程定义，交换二次项系数与常数项，直接写出倒方程； （2）先写出原方程的倒方程，再将解代入倒方程，解方程求出参数； （3）先写出倒方程，利用方程根的意义得到，整体代入降次，求出代数式的值． 【详解】（1）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是； （2）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的解， ∴把代入方程， 得， 解得； （3）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的一个实数根， ∴把代入方程， 得， ∴． 【点睛】本题为新定义题型，读懂“倒方程”：交换二次项系数和常数项，一次项系数不变，再结合方程根的意义、整体代入法求解． 题型2 解一元二次方程（共3小题） 【易错】直接开平、配方、公式、因式分解法，会根据方程特点优选解法。 4．（26-27九年级上·江苏镇江·期中）解下列一元二次方程 (1)； (2)（配方法）； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：， ， ∴或， ∴，； （2）解：， ， ， ， ∴， ∴，； （3）解：， ， ， ∴或， ∴，； （4）解：， ， ∴或， ∴，． 5．（26-27九年级上·江苏徐州·期中）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）利用因式分解法，即可求解； （2）先把移到方程右边，再利用直接开平方法，即可求解； （3）利用因式分解法，即可求解； （4）先把右边的移到方程左边，再利用因式分解法，即可求解； 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， ∴，． （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴，． （3）解：， ∴， ∴或， ∴，． （4）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 6．（26-27九年级上·江苏连云港·期中）用适当方法解下列方程． (1) (2)（配方法） (3) (4)（公式法） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ∴； （2）解： ∴； （3）解： 或 ∴； （4）解： 整理得 ∴． 题型3 根据判别式判断一元二次方程根的情况（共3小题） 【易错】计算 Δ，Δ>0 两不等实根；Δ=0 两相等实根；Δ<0 无实数根。 7．（26-27九年级上·江苏徐州·期中）关于x的一元二次方程 的根的情况是（     ） A．无法确定 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【详解】解：， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． 8．（26-27九年级上·江苏徐州·期中）已知关于x的一元二次方程（k为常数）． (1)若方程的一个根为2，求k的值及方程的另一个根； (2)求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1)，另一根为 (2) 证明：∵ ∴不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根 【分析】（1）把代入可求出，再把代入原方程，解方程即可； （2）先计算出根的判别式的值，再进行配方得到，则根据非负数的意义得到，然后根据根的判别式的意义得到结论． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程（k为常数）的一个根为2， ∴把代入得：， 解得：； 把代入原方程得， 解得：， 所以，方程的另一个根是； （2）略 9．（26-27九年级上·河南郑州·期中）定义新运算：，例如，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【答案】D 【分析】由新定义运算可得，再结合一元二次方程根的判别式计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程无实数根． 题型4 根据一元二次方程根的情况求参数（共3小题） 【易错】利用 Δ 列不等式，勿忘二次项系数≠0，最后检验参数取值。 10．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为___． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程二次项系数不为0，列不等式，再根据一元二次方程有两个不相等实数根即可得，据此列不等式，解出即可得m的取值范围. 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数不为， ∴，解得：， ∵原方程有两个不相等的实数根 ∴，解得：， 综上所述，的取值范围是且. 11．（26-27九年级上·江苏南通·期中）已知一元二次方程有两个相等的实数根． （1）当，时，则的值为______； （2）若，，，则的值为______． 【答案】 3 【分析】一元二次方程有两个相等实数根，则判别式，代入已知条件变形计算即可． 【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根， ． （1）当，时，得， 代入，得， 整理得， 解得， ； （2）当，，时， 代入，得， 展开整理得， 因式分解得， ， 移项得， 由题意， ． 12．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)已知是方程的一个解，求m的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）根据根的判别式求解即可； （2）将代入，求解关于的一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得：； （2）解：将代入得， 即， ∴， ∴或， 解得：． ∵均满足， ∴m的值是或． 题型5 韦达定理（共3小题） 【易错】两根之和、两根之积公式，使用前提是方程存在实数根，Δ≥0。 13．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个实数根； (2)若该方程有两个实数根、，若，求m的值． 【答案】(1)证明：在一元二次方程中，，，， 判别式 ∵ 无论取何值，，即， ∴ 无论取何值，方程总有两个实数根． (2)的值为． 【分析】（1）根据求证即可． （2）由根与系数的关系得出，，再根据完全平方公式得出，结合已知条件得出关于m的方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）略； （2）解：∵、是方程的两个根， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 解得：． 14．（26-27九年级上·江苏连云港·期中）如果、是两个不相等的实数，，那么代数式______． 【答案】 【分析】根据题意，，是两个不相等的实数，且满足，，则可将，看作是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系求得，，再由得，进而把代数式转化为，整理后代入、的值计算即可求解． 【详解】解：，是两个不相等的实数，且满足，， 可将，看作是一元二次方程即的两个实数根， ，， ， ， 原式 ． 15．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两实数根为，，满足，求k的值． 【答案】(1) 证明： 对于一元二次方程， ，，， . ∵， ∴，即， ∴方程总有两个不相等的实数根. (2) 的值为. 【分析】 （1）计算一元二次方程的判别式，证明其恒大于0，即可得证． （2）利用根与系数的关系表示两根之和与两根之积，代入已知等式求解． 【详解】（1） 解： 略 ． （2）解：∵方程的两实数根为，， ∴由根与系数的关系得： ， ． ∵， ∴， 解得． 题型6 销售问题、增长率问题、图形问题（共3小题） 【易错】找等量关系列一元二次方程，解后检验根是否符合实际意义。 16．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）太湖水域辽阔，水质清澈，水草丰茂，底栖生物丰富，在无锡、苏州等太湖沿岸城市，吃蟹是秋季最重要的民俗活动之一．某学校九年级利用国庆假期开展社会实践活动，调查螃蟹行情，帮某商家解决销售问题的同时为顾客谋实惠．调查发现，螃蟹的进价为元/千克．售价为元/千克时，每天可销售千克．售价每涨价元，每天少销售千克． (1)某天商家正好销售千克的螃蟹，则获利多少元？ (2)若商家一天销售螃蟹总利润为元，则当天螃蟹的售价为多少元/千克？ 【答案】(1)1750元 (2)60元/千克或80元/千克 【分析】（1）设螃蟹的售价为x元/千克，根据每涨价1元，每天少销售2千克，某天商家正好销售70千克的螃蟹，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题； （2）设螃蟹的售价为y元/千克，根据商家一天销售螃蟹获总利润为1600元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设螃蟹的售价为x元/千克，根据题意得： ， 解得：， ∴元， 答：某天商家正好销售70千克的螃蟹，则获利1750元； （2）解：设螃蟹的售价为y元/千克，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 答：当天螃蟹的售价为60元/千克或80元/千克． 17．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 2026年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪CP”刷屏社交平台．某商店购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，经统计，此套装该店2026年1月份的销售量为100套，2026年3月份的销售量为144套． 素材2 该店以每套30元的进价购入 “哭哭马笑笑马”组合套装，以每套40元的价格出售．从2026年4月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价1元，月销售量就会在3月份销售量的基础上增加10套． 问题解决 (1)求该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率． (2)当该组合套装的降价金额为多少元时，月销售利润为1312元？ 【答案】(1)该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率为． (2)当该组合套装的降价为2元时，月销售利润为1312元 【分析】（1）设该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率为x，根据1月与3月的销售量，利用月平均增长率的数量关系列方程求解； （2）根据总利润单件利润销售量的等量关系，设降价为未知数列方程求解． 【详解】（1）解：设该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率为x， 由题意得，， ∴， 解得或（舍去）， 答：该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该组合套装的降价为m元， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：当该组合套装的降价为2元时，月销售利润为1312元． 18．（26-27九年级上·江苏南京·期中）综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒． 如图1，有一张长，宽的矩形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） (1)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； (2)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒． ①剪去矩形的长为_____________； ②若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）设剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （2）①利用剪去矩形的长矩形硬纸片的长，即可求出结论； ②设剪去的正方形的边长为，根据折成的有盖长方体纸盒的表面积为，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为， 由题意得：， 解得：或（舍去）， ∴剪去正方形的边长为； （2）解：①根据题意得：剪去矩形的长为． ②设剪去的正方形的边长为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：剪去的正方形的边长为． 题型7 反比例函数的含参问题（共3小题） 19．（2025·江苏南京·一模）在平面直角坐标系内，点， ，，分别在三个不同的象限，若反比例函数的图象经过其中两点，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的定义，找出经过反比例函数图像的点是解题的关键．因为三点在三个不同象限，所以反比例函数经过两点，，待定系数法求反比例函数解析式即可． 【详解】解：点， ，，分别在三个不同的象限，点在第一象限，点在第二象限， ∴点一定在第四象限， ∵反比例函数的图像经过其中两点， ∴反比例函数的图像经过，， ， ． 故答案为：． 20．（2024·陕西西安·模拟预测）点在反比例函数的图象上，点A关于x轴对称的点在反比例函数的图象上，且，则的值为______． 【答案】3 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关于x轴对称的点的坐标特征，解二元一次方程组，熟知图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． 先求得点A关于x轴对称的点的坐标为，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得，则，再解二元一次方程组，进而可求解． 【详解】解：点在反比例函数的图象上，点A关于x轴对称的点在反比例函数的图象上， 点关于x轴对称的点为， ， 由， 解得 ， 故答案为：3． 21．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）已知反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数表达式； (2)若点在该函数图象上，求m的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查了反比例函数图像上点的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数图像上点的特征． （1）将点代入求解即可； （2）将点代入（1）求出的表达式中即可求出的值． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过， ∴将代入，得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵点在这个函数图像上， ∴把代入得， 解得：或， ∴的值为或． 题型8 比较反比例函数值或自变量的大小（共3小题） 【易错】分象限讨论，利用图像或解析式，注意不能跨象限直接比较 22．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）在反比例函数（k为常数）的图象上有三个点，，，则函数值，，的大小关系为______． 【答案】 【分析】根据解析式可判断函数图象所在的象限，以及在每个象限内的增减性，结合三个点的横坐标可得答案． 【详解】解：∵， ∴函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大， ∵，位于第二象限，， ∴； 又∵位于第四象限， ∴， ∴． 23．（26-27九年级上·江苏连云港·期中）已知点都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是______．（用“<”连接） 【答案】 【分析】根据反比例函数的图象性质，结合给定纵坐标的大小关系，判断各点位置后比较横坐标大小即可． 【详解】解：∵ 反比例函数中，， ∴ 函数图象分布在第二、四象限，且每个象限内，随的增大而增大， ∵ ， ∴ 点在第二象限，可得； ∵ ， ∴ 点、都在第四象限，可得，， ∵ 第四象限内随增大而增大，且， ∴ ； 综上可得，． 24．（26-27九年级上·江苏连云港·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)点F为反比例函数图象上一点，若，求点F的坐标． (3)若点，都在该反比例函数图象上，且，请直接写出，的大小关系． 【答案】(1) (2)或 (3)当或时，，当时， 【分析】（1）先通过一次函数求出点坐标，利用待定系数法即可求出反比例函数解析式； （2）根据，求出，分类讨论，代入反比例函数即可求解． （3）根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：因为点在直线上， 所以， 解得， 故点坐标为， 将点A坐标代入反比例函数解析式得， ， 反比例函数的解析式为； （2）解： ∵点A坐标为， 又， 即， ， 故点纵坐标为3或， 将代入得，， 将代入得，， 所以点的坐标为或． （3）解：当或时，则点在双曲线的同一支， 由于，则在每一象限内，随着的增大而减小，故此时 当时，此时点在第三象限，点E在第一象限，故， 综上：当或时，，当时，． 题型9 反比例函数的增减性（共3小题） 【易错】k>0每象限 y 随 x 增大减小；k<0每象限 y 随 x 增大增大。 25．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）已知点，均在反比例函数（为常数）的图像上，且，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】两个点的横坐标均为负数，已知两点纵坐标的大小关系，可通过代入解析式列不等式，结合反比例函数的增减性求解的范围． 【详解】解：点，都在的图像上， 将两点坐标代入解析式得，， ， ，不等式两边同乘得， 移项合并同类项得，解得． 26．（2026·陕西西安·三模）已知，反比例函数的图象上两点，当，时，有，则m的取值范围是__________． 【答案】m<1 【分析】根据反比例函数的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2）当时，有y1＜y2可以判断出原函数图像过一、三象限，从而得出反比例函数比例系数为正数，即1﹣m>0，进一步求解即可． 【详解】∵反比例函数的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），且当时，y1＜y2， ∴原函数图象过一、三象限， ∴1﹣m>0， 解得，m<1， 故答案为m<1． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与比例系数的关系，熟练掌握相关概念是解题关键． 27．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）在反比例函数的图象的每一支上，都随的增大而减小，且整式是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质、完全平方式．根据反比例函数的性质得到，再根据完全平方式求得k值即可求解． 【详解】解：∵在反比例函数的图象的每一支上，y都随x的增大而减小， ∴， ∴， ∵整式是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴该反比例函数的解析式为， 故答案为：． 题型10 反比例函数k值的几何意义（共3小题） 28．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）如图A是函数的图象上一点．过点A作轴于点C．交函数 的图象于点B，P是y轴的正半轴上一点，连接．若的面积为2，则k的值为（     ） A．4 B．6 C． D．12 【答案】C 【分析】设，则，继而确定，根据的面积为2，解答即可． 【详解】解：∵点是图像上任一点，过点A作轴于点C．交函数 的图象与点B， 设，则， ， 的面积为2， ， 解得． 29．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则为________． 【答案】 【分析】根据正比例函数和反比例函数交于、两点，得出两点的坐标关于原点对称，求出，过点作于点，由等腰三角形的性质可得，进而求出k的值． 【详解】解：如图， 根据正比例函数和反比例函数交于、两点， 两点关于原点对称， ∴． ∵，， ， ， ， 是等腰三角形， 过点作于点，根据等腰三角形的三线合一可得， ， ∴， ∵反比例函数的图象位于二、四象限 ． 30．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，点、是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段中点，连接、，若，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设点坐标为，由是中点且在轴上推出点坐标，再求直线解析式得到点纵坐标，最后利用三角形面积列方程求． 【详解】解：设，其中． 点是线段的中点，点在轴上，设， 由中点公式，，解得． 又点在的图象上， ∴． 设直线的解析式为， 将、代入，得： ， 解得，． 直线的解析式为． 令，得，即． 由题意，以轴上的为底，点的横坐标为高， ． ， ，解得． 题型11 反比例函数与一次函数结合（共3小题） 【易错】联立方程组求交点，利用图像确定函数值大小对应的自变量范围 31．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于、两点，点的横坐标为． (1)求的值； (2)关于的不等式的解集为 ； (3)若点在轴上，且的面积为，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）先求出点的坐标，再代入反比例函数的解析式，即可求解； （2）联立方程，求出点的横坐标，再结合图象，求出直线在双曲线上方时对应的自变量的取值范围即可； （3）直线交轴于点，先求出，设，则，根据，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：点在一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象上， 当时，， ， ； （2）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点， ，整理得，解得，， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 则由图可知，不等式的解集为或； （3）解：如图，直线交轴于点， 当时，， 则， 设，则， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， ，则或， 解得或， 【点睛】则或． 32．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）如图，直线与反比例函数的图象相交于，两点，连接和． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出的解集； (3)求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式即可； （2）利用图象求不等式的解集； （3）设直线交轴于点，利用求解即可． 【详解】（1）解：在反比例函数的图像上， ，， 反比例函数的解析式为：， 在反比例函数上， ， ， 将点代入一次函数中，得， 解得， 所以一次函数的表达式为：； （2）解：∵， ， 根据图象得：或； （3）解：把代入得，， 设点为与轴的交点，则， ， 33．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）如图，直线与双曲线交于，两点． (1)求和直线的表达式； (2)根据函数图象直接写出不等式的解集； (3)若将直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）把代入求，得到反比例函数的解析式，把代入反比例函数的解析式，确定点B的坐标，再利用待定系数法，确定直线的表达式即可； （2）根据数形结合思想，解答即可； （3）先确定将直线向下平移个单位长度后的函数表达式为，与反比例函数的表达式联立，转化为一元二次方程，根据图象有且只有一个公共点，利用根的判别式等于零，求的值即可． 【详解】（1）解：反比例函数经过点， ，解得， 故反比例函数的解析式为； 把代入，得， 根据题意，的解析式为， 根据题意，得， 解得， 的解析式为． （2）解：根据图象，得不等式的解集为． （3）解：根据题意，将直线向下平移个单位长度后的函数表达式为， 根据题意，得， 整理，得， 根据题意，两个函数的图象有且只有一个公共点， ， 或， 解得或， ，且，， 故n的值为或． 题型12 反比例函数的实际应用（共3小题） 【易错】建立反比例模型，确定自变量取值范围，用图像与解析式求解 34．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）某款吉祥物公仔从全运会开幕前天开始，其日销售量呈直线上升趋势，全运会期间热度增大，全运会结束后，日销售量与时间成反比例关系．日销售量（万件）随时间（天）变化的函数图象如图所示，全运会前为线段，全运会期间为线段，全运会后为曲线． (1)求线段和反比例函数的表达式，并写出自变量的取值范围； (2)已知日销售量不低于万件时为畅销期，则畅销期持续的天数为________天． 【答案】(1)线段的解析式为；反比例函数为 (2)18 【分析】（1）根据待定系数法即可求出线段和反比例函数的表达式，观察图像即可知道自变量取值范围． （2）将代入线段和反比例函数的表达式，即可求出对应的值，从而求出畅销持续的天数． 【详解】（1）解：设线段的解析式为， ，， ，解得， 线段的解析式为． 设反比例函数的解析式为， 经过， ， ， ． （2）解：， 满足的函数有线段的解析式和反比例函数， 时，代入得， 时，代入得． 时，， 畅销期持续的天数为（天）． 35．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图像，其中线段段为渐消毒阶段，线段段为深消毒阶段，曲线段是反比例函数图像的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)第6分钟时消毒效果为 效力； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，可产生消毒作用，通过计算说明本次消毒是否有效． 【答案】(1) (2)当时，与之间的函数关系式为，当时， (3)消毒有效 【分析】（1）求出线段的解析式，代入，即可求出第6分钟时消毒效果． （2）代入点B、C的坐标，即可求出线段的解析式． （3）先求出深消毒阶段消毒效果达到4效力时的时间，再求出降消毒阶段消毒效果达到4效力时的时间，用降消毒阶段消毒效果达到4效力时的时间减去深消毒阶段消毒效果达到4效力时的时间，与28分钟比较，比28分钟长则有效，反之无效．渐消毒阶段没有达到4效力，不做分析． 【详解】（1）解：根据图像知，线段过点B， 设线段的解析式为（）， 代入点B得到线段解析式： ，解得， ∴线段解析式： ， ∴当6分钟时，为（效力）． （2）解：当时， 设直线的函数关系式为，结合和， 根据题意，得，解得，所以． 根据题意，得反比例函数经过点， 当时， 设反比例函数的解析式为，故， 解得，故， ∴当时，与之间的函数关系式为，当时，． （3）解：根据解析式为，， 当时，； 当时，； 持续时长为， 故本次消毒有效． 36．（26-27九年级上·江苏南京·期中）有甲、乙两个车队，甲车队承担了某工程运送土石方的任务，需运送土石方共，甲车队每天运送土石方的体积为（单位：立方米/天），完成任务需要的时间为（单位：天）； (1)与的函数解析式为__________，当时，的取值范围是__________； (2)若原计划甲车队派出全部20辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方，才可按时完成任务，则完成任务的时间为___________________；实际甲车队工程进行8天后，交由乙车队完成，且需要提前4天完成，则乙车队至少要派出多少辆同样的卡车才能按新要求完成任务？ 【答案】(1)，； (2)天；乙车队至少要派出30辆同样的卡车才能按新要求完成任务 【分析】（1）每天运送体积运送时间总运送体积； （2）乙车队要派出辆同样的卡车才能按新要求完成任务，根据题意列出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴与的函数解析式为， ∴当时，随着的增大而减小， 当时，， ∴当时，的取值范围是； （2）解：原计划完成任务的时间为天， 设乙车队要派出辆同样的卡车才能按新要求完成任务， 由题意可得，， 解得， 故乙车队至少要派出30辆同样的卡车才能按新要求完成任务． 题型13 垂径定理（共3小题） 【易错】垂直弦的直径平分弦及其所对两条弧；平分弦（非直径）的直径垂直弦 37．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上，连接． (1)若点是的中点，求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 又∵点是的中点， ∴， ∴, ∴ 即， ∴ (2) 【分析】（1）根据垂径定理和弧的中点得出相等的弧，然后根据相等的弧所对的弦相等，得出结论； （2）连接，利用垂径定理求出相关线段的长度，利用半径表示出相关线段的长度，再根据勾股定理列出方程求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：如图所示，连接， ∵， ∴，， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得． 38．（26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，点，，，，在上，且． (1)求证：； (2)若，，则的半径为_______． 【答案】(1)证明见解析； (2)的半径为． 【分析】（1）结合等弧所对的弦相等即可得证； （2）连接、、、，作交于点，结合弧、弦、圆心角的关系证明，结合三线合一定理证明过点，设，，结合勾股定理推出后即可求得的半径． 【详解】（1）证明：， ， 即， ． （2）解：连接、、、，作交于点， ， ， 即， ， ∵，， ， ∵ 是中线，即， ∴过点， 设，， 中，， 中，， ， ， ， ， 代入， 解得， 即的半径为． 39．（26-27九年级上·浙江宁波·期中）如图，的直径与弦相交于点，且，若，则的半径为___________． 【答案】 【分析】过点O作于点E，连接，根据垂径定理得出，根据等腰三角形的判定和性质得出，整理得出，最后求出结果即可． 【详解】解：过点O作于点E，连接，如图所示： 则， ∵， ， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，负值舍去， 即的半径为． 题型14 圆周角定理（共3小题） 【易错】同弧圆周角等于圆心角一半；直径所对圆周角为直角，反之亦然 40．（26-27九年级上·江苏南京·期中）内接于，是的直径，点是的中点，连接，若，，则的长为_____ ． 【答案】4 【分析】连接，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，根据直径所对的圆周角为直角得出，根据直角三角形的性质得出． 【详解】解：如图：连接， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 41．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，以的边为直径作，点B在上，点D为上一点，连接，且B为的中点，于点E，连接交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵B为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由垂直关系得出，再由B为的中点得出，从而得到，故； （2）证明，利用勾股定理求出的长，由 结合可得出的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵B为的中点，， ∴， ∴． ∵，由（1）知， ∴． ∵ ， ∴ ， ∴． 42．（2026·辽宁·中考真题）如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，根据等角对等边及三角形内角和得，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得答案； （2）如图，过点作于点，根据等角对等边推出，证明得，然后根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵在中，所对的圆周角为、， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， 由（1）知：，， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即的长为． 题型15 点与圆、直线与圆的位置关系（共3小题） 【易错】比较距离 d 与半径 r 大小，判定位置，切线判定与性质常综合考查。 43．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的内切圆，、、为切点．若，，则的周长为_____． 【答案】12 【分析】根据切线长定理，得到，进而推出的周长等于，即可得出结果． 【详解】解：∵是的内切圆，、、为切点， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴的周长． 44．（2026九年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，以为直径作交BC于点D．过点D作，垂足为E，且交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接，， ∵是的直径， ∴． ∴ ． ∴ ∵， ∴是的中位线， ∴． ∵， ∴ ∴是的切线； (2)5 【分析】（1）通过连接，证明，结合得出，从而证明是的切线； （2）先判断为等边三角形，再利用等边三角形三线合一的性质和直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴为等边三角形， ∴， 在中， ， ∴长为5． 45．（2026·江苏无锡·二模）如图，中，，平分交于点，点在斜边上，以为半径的经过点，交于点，交于． (1)求证：为的切线； (2)若的半径为3，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质，易证，从而，进而，根据切线的判定，即可求证； （2）根据三角形相似的判定，可得，进而，计算即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， 平分， ， ， ， ， ， ，即， 是的半径， 为的切线； （2）解：的半径为3， ， ， ，， 由（1）知，， ， ，即， ． 题型16 扇形弧长、面积与圆锥的侧面积（共3小题） 【易错】弧长、扇形面积公式；圆锥侧面积转化为扇形面积，分清母线与半径。 46．（26-27九年级上·北京·单元测试）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分．历来中国有“制扇王国”之称．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子；用时须撒开，成半规形，聚头散尾．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，的长为，则的长为______________． 【答案】 【分析】根据弧长公式，进行计算即可求解． 【详解】解：，，， ， 的长为． 47．（2026·山东青岛·中考真题）如图，是的切线，是切点，过点作的平行线，交于点，若，，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留）． 【答案】 【分析】连接,根据,,可求得,由于与同底等高，用替换，阴影部分的面积就变成了求扇形的面积，所以求出扇形的面积即可求解． 【详解】解：如图所示，连接． ∵点是切点， ∴, ∵， ∴, ∵， ∴, ∵, ∴为等腰三角形， ∴, ∴, ∵与同底等高， ∴， ∵半径，圆心角， ∴扇形面积． 48．（25-26九年级上·云南昆明·期末）圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，圆锥状聚伞花序尖塔形，其寓意着希望、永恒、美满与团聚．如图是按照其形状制作的圆锥绣球模型，其底面周长为，高度为，则此圆锥的侧面积为______（结果保留）    【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，牢记公式是解题的关键．根据底面周长求得底面半径，然后利用勾股定理求出母线长，最后利用圆锥侧面积公式求解即可． 【详解】解：底面周长为， ，解得， 高度为， 母线长为， 此圆锥的侧面积为． 故答案为：． 题型17 数据的集中趋势和离散程度（共3小题） 【易错】平均数、中位数、众数描述集中趋势；方差衡量波动，方差大波动大。 49．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）已知样本数据10，11，9，13，10，9，12，12，则这组样本数据的第75百分位数是（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】先将数据从小到大排列，再分别用取中位数法和百分比法求第75百分位数． 【详解】解：将数据从小到大排列为9，9，10，10，11，12，12，13，共个数据． 解法一：中位数， 上半部分数据为11，12，12，13， ． 解法二：，位置为整数， ． 两种方法结果一致，第75百分位数为12． 50．（2026·江苏淮安·中考真题）国家体育总局、教育部等部门相关文件明确要求中小学生每天体育锻炼时间不少于．为响应号召，某校大幅增加学生在校体育锻炼时长，并动员学生节假日也要积极进行体育锻炼． 【数据收集】该校在动员前、后分别随机抽取了名学生进行问卷调查，了解学生节假日锻炼情况． 节假日锻炼情况调查问卷亲爱的孩子： 你好！为了解大家的节假日锻炼情况，诚邀你参与本次匿名调查．1．你喜欢的锻炼方式有（     ） A．跳绳    B．骑行    C．跑步    D．球类运动    E．游泳    F．其他 2．一般情况下，你节假日的每天锻炼时长为__________．（单位：） …… 【数据整理】对所收集问卷中的节假日每天锻炼时长数据进行整理，用（单位：）表示时长，分成五组：A组，B组，C组，D组，E组． 【数据描述】 【数据分析】 平均数 众数 中位数 动员前 动员后 2 2 【问题解决】 (1)填空：__________，动员前中位数落在__________组． (2)该校共有名学生，分别估计动员前与动员后该校学生中节假日每天锻炼时长不低于的人数． (3)结合两次调查数据，对该校学生节假日每天锻炼时长的变化情况作出评价． 【答案】(1)；C (2)动员前锻炼时长不低于的人数为人，动员后锻炼时长不低于的人数为人． (3)动员后该校学生节假日每天锻炼时长不低于的人数比动员前的人数有明显增加，故学校进行动员活动，可以鼓励学生每天锻炼时长的增加． 【分析】（1）用总人数减去其他四组的人数，即可得D组中的值，再根据中位数的定义求得动员前中位数落在C组． （2）先结合题意，分别求出动员前和动员后锻炼时长不低于的人数所占百分比，再分别乘以，即可求得该校有名学生时动员前与动员后该校学生中节假日每天锻炼时长不低于的人数． （3）结合动员前与动员后，对学生锻炼时长的变化进行评价即可，答案不唯一，合理即可． 【详解】（1）解：由图可得， ∵对名学生进行问卷调查， ∴动员前中位数是第人和第人时长的平均数， 又∵动员前A组、B组人数之和为，动员前A组、B组、C组人数之和为， ∴动员前中位数落在C组． （2）解：由图可得，动员前锻炼时长不低于的人数为人，动员后锻炼时长不低于的人数为人， ∴动员前锻炼时长不低于的人数所占百分比为， 动员后锻炼时长不低于的人数所占百分比为， ∴当该校有名学生时，估计动员前锻炼时长不低于的人数为（人）， 动员后锻炼时长不低于的人数为（人）． （3）略 51．（26-27九年级上·广西南宁·期中）智能科技点亮生活，人工智能成为时代发展的新风向．某商场计划启用导航机器人，为往来顾客提供指引服务，工作人员现对甲、乙两款导航模型进行轮性能测试，得到如下成功率数据（单位：）： 甲模型：，，，，，，，，，； 乙模型：，，，，，，，，，． 两组数据的平均数、四分位数和方差如表所示： 平均数 最小值 最大值 方差 甲模型 乙模型 根据以上信息，回答下列问题： (1)________，________； (2)请补全乙模型测试准确率的箱线图； (3)结合以上数据，请从甲、乙两个模型中选拔一个部署到智能安防系统，并说明理由． 【答案】(1)80，145 (2)补全乙模型测试准确率的箱线图如图所示： (3)选择乙模型，理由如下：乙模型的方差较小，四分位距更小，更稳定． 选择甲模型，理由如下：甲模型的平均数较高，上四分位数和中位数都要更好，整体高分较多． 【分析】（1）利用方差公式和下四分位的求解方法即可解答； （2）由表格数据画箱线图即可解； （3）根据表格中的平均数、方差、四分位数和箱线图等做出决策． 【详解】（1）解：由题意，； 将乙模型的测试数据从小到大排列为：，，，，，，，，，，共10个数，偶数个， 方法一：前半部分数据为70，75，80，80，80，有奇数个，正中间的数为80，则，即； 方法二：的位置为，不是整数，取第3位，则，即； （2）略 （3）略 题型18 等可能条件下的概率（共3小题） 【易错】列表或树状图列举所有等可能结果，用符合事件数除以总数求概率。 52．（24-25九年级下·江苏苏州·期中）酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，酚酞遇酸性或中性溶液均不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4瓶溶液分别是：A盐酸（呈酸性）、B硝酸钾溶液（呈中性）、C氢氧化钠溶液（呈碱性）、D氢氧化钙溶液（呈碱性）． (1)小明将酚酞试液随机滴入其中1瓶溶液中，结果变红的概率是______． (2)小明从上述4瓶溶液中挑选2瓶溶液中分别滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求小明所选的两瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有可能的结果，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色， 小明将酚酞试液随机滴入其中1瓶溶液里，盐酸（呈酸性）和 硝酸钾溶液（呈中性）不变色，氢氧化钠溶液（呈碱性）和氢氧化钙溶液（呈碱性）变红， 结果变红的概率：； （2）解：根据题意：列表如下： A B C D A B C D 由表知，共有12种可能出现的结果，其中1瓶变红、1瓶不变色有，，，，，，，共8种结果，1瓶变红、1瓶不变色的概率为：． 53．（2026·江苏镇江·中考真题）小明设计了一个“随机旋律生成器”，包含音名、音符两个转盘．如图，音名转盘被平均分成2个扇形区域，分别标有他喜欢的音名A，B；音符转盘被平均分成3个扇形区域，分别标有他喜欢的三个音符：（四分音符），（八分音符），（十六分音符）． (1)小明任意转动音名转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在标有音名A区域的概率为__________． (2)小明任意转动音名转盘、音符转盘各1次，当转盘停止转动时，用列表或画树状图的方法，求音名转盘指针落在标有音名B区域且音符转盘指针落在标有音符区域的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）等可能事件概率，所求区域份数÷总份数． （2）用列表列出全部等可能情况，数出符合条件的情况，然后根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：因为音名转盘平均分成2份，A占1份， 所以指针落在A区域的概率：． （2）解：用列表法： 音符音名 A B 所有等可能结果共6种， 满足B且的结果只有1种． 答：音名转盘指针落在B区域且音符转盘指针落在区域的概率为． 54．（2026·江苏南通·中考真题）2026年江苏省城市足球联赛火热进行中，7月11日南通队将在南通体育会展中心迎来扬州队的挑战．在，，，四个入口中，甲、乙两人随机选择一个开展志愿服务活动． (1)甲选入口开展志愿服务活动的概率为________． (2)求甲、乙两人选同一个入口开展志愿服务活动的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定甲选入口的等可能总结果数与选B入口的结果数，计算对应概率； （2）通过列表法或树状图法列举甲、乙选入口的所有等可能结果，统计两人选同一入口的结果数，计算对应概率． 【详解】（1）解：∵甲从A、B、C、D四个入口中随机选择一个，共有4种等可能的结果，其中选B入口的结果有1种， ∴甲选B入口开展志愿服务活动的概率为； （2）解：根据题意画树状图如下： 由图可以看出一共有16种结果，它们出现的可能性相等，其中甲、乙两人选同一入口开展志愿服务活动的结果有4种， ∴ 甲、乙两人选同一个入口开展志愿服务活动的概率为． 题型19 二次函数的含参问题（共3小题） 【易错】结合开口、对称轴、判别式，利用图像特征列不等式求参数范围。 55．（25-26九年级上·山东德州·期中）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，二次函数一般式是解决本题的关键． （1）根据二次函数的定义，即列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． 【详解】（1）解：根据二次函数的定义得， 由得， 由得且， ∴． （2）解：由（1）得：二次函数解析式为， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为． 56．（25-26八年级下·江苏·期中）已知函数，回答下列问题： (1)m取什么值时，此函数是二次函数？ (2)m取什么值时，此函数是一次函数？ 【答案】(1) (2)或或或或 【分析】（1）由二次函数的定义得，即可求解； （2）由一次函数的定义得①当时，②当时，③当时，进行求解，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：； 故时，此函数是二次函数； （2）解：①当时， 解得：， 此时函数，是一次函数； ②当时， 解得：，， 此时函数或，是一次函数； ③当时， 解得：，； 此时函数或，是一次函数； 综上所述：取或或或或，此函数为一次函数． 57．（25-26九年级上·安徽淮北·期中）已知函数． (1)若这个函数是关于的一次函数，求的值． (2)若这个函数是关于的二次函数，求的取值范围． 【答案】(1)当时，这个函数是关于的一次函数 (2)当且时，这个函数是关于的二次函数 【分析】（1）根据一次函数的定义即可解决问题； （2）根据二次函数的定义即可解决问题． 【详解】（1）解：依题意，得，解得， ∴当时，这个函数是关于的一次函数． （2）解：依题意，得，解得且， ∴当且时，这个函数是关于的二次函数． 【点睛】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型． 题型20 二次函数的图象与性质（共3小题） 【易错】由 a 判断开口，对称轴、顶点坐标，确定增减性与函数最值。 58．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）已知二次函数． (1)直接写出抛物线的开口方向及顶点坐标； (2)当在什么范围内，随的增大而减小？ (3)把此抛物线向左平移3个单位，再向下平移7个单位后，得到的新抛物线是否过点，请说明理由． 【答案】(1) 抛物线开口向上，顶点坐标为 (2) 当时，随的增大而减小 (3) 新抛物线不经过点 理由：平移后新抛物线解析式为 即为， 将代入得 ， 新抛物线不经过点． 【分析】（1）由二次函数顶点式直接判断开口方向与顶点坐标； （2）结合抛物线开口方向与对称轴，确定随增大而减小的的范围； （3）先推导平移后的抛物线解析式，再代入点的坐标验证． 【详解】（1）解：二次函数解析式为，二次项系数为，， 抛物线开口向上，顶点坐标为； （2）解：抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小； （3）略 59．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 【答案】5 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出，然后代入抛物线的表达式解方程即可． 【详解】解：， ∴顶点为， ∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 将点代入，则， 整理得，， 解得，（舍）， ∴． 60．（2026九年级下·江苏苏州·专题练习）我们把抛物线上纵坐标是横坐标三倍的点叫做这条抛物线的“三倍点”（原点除外）． (1)若抛物线上只有唯一的“三倍点”，求b的值及“三倍点”的坐标； (2)平移抛物线，若所得新抛物线经过原点，且顶点是新抛物线的“三倍点”，求新抛物线的表达式． 【答案】(1)当时，“三倍点”的坐标为；当时，“三倍点”的坐标为 (2) 【分析】（1）由题意可得“三倍点”在直线上，令，根据求解． （2）设新抛物线解析式为，由抛物线经过原点求解． 【详解】（1）解：由题意得“三倍点”在直线上， 令，整理得， ∴， 当时，方程有两个相等实数根，则抛物线上只有唯一的“三倍点”， ∴， 解得或． 当时，， 解得， 将代入中得， 当时，， 解得， 将代入中得， ∴时，“三倍点”的坐标为，时，“三倍点”的坐标为． （2）解：∵顶点是新抛物线的“三倍点”， ∴设平移后解析式为， 将代入得， 解得（舍）或， ∴． 题型21 二次函数的对称性（共3小题） 【易错】抛物线上纵坐标相同两点关于对称轴对称，利用对称轴求点坐标。 61．（25-26九年级上·江苏南通·期末）当x取和时，多项式的值相等．当x取和时，该多项式的值分别为和，则的值可能是（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据函数值相等得到对称轴，结合对称轴，图形开口得到，由此即可求解． 【详解】解：当x取和时，多项式的值相等， 设， ∴二次函数图象的对称轴为：，且图象开口向上， 当x取和时，该多项式的值分别为和， ∵， ∴时的函数值小于时的函数值， 根据对称性得到，的函数值与时的函数值相等， ∴， ∴B选项符合题意， 故选：B ． 62．（25-26九年级上·山东德州·期中）如果，，都在二次函数的图象上，且．则的取值范围是（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，由题意可得对称轴为直线，且点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，求出二次函数与轴的交点坐标为，则该点关于对称轴的对称点为，结合，且得出，解得，当点、都在对称轴左边时，由可得，，解得，当点、在对称轴两侧时，由可得，，解得，由此即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点和点纵坐标相同， ∴对称轴为直线， ∵二次函数解析式为， ∴，且点在对称轴左侧，点在对称轴右侧， 在中，当时，，即二次函数与轴的交点坐标为， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵，且， ∴， 解得：， 当点、都在对称轴左边时，由可得，， 解得， 当点、在对称轴两侧时，由可得，， 解得， 综上所述，由或，结合的条件， 的取值范围是或 故选：B． 63．（2026·江苏淮安·一模）已知二次函数（m为常数）． (1)当时，二次函数图像的顶点坐标为__________； (2)当时，y的最大值是8，求m的值； (3)如果点、点、点都在这个二次函数的图像上，且，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）将代入解析式，利用配方法求顶点坐标． （2）根据抛物线开口向下，按对称轴与的位置关系分三种情况讨论最大值． （3）由、纵坐标相同可知它们关于对称轴对称，到对称轴距离均为；根据开口向下，说明点比点、更远离对称轴，即． 【详解】（1）解：当时，， ， ， ， 顶点坐标为． （2）解：，对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， ①当时，函数在时增大而减小， 当时，取得最大值， ， 令，解得， ， 符合题意， ②当时，函数在处取得最大值， ， 令，解得， ， 舍去， ， 符合题意， ③当时，函数在在时增大而增大， 当时，取得最大值， ， 令，解得， ， 舍去， 综上所述，或． （3）解：，纵坐标相同， 点、关于对称轴对称， 点、到对称轴的距离均为， ，且抛物线开口向下， 点到对称轴的距离大于， 即， 或， 解得或． 题型22 二次函数的平移（共3小题） 【易错】顶点式 “左加右减，上加下减”，平移只改变顶点位置，a 保持不变 64．（25-26九年级上·浙江·期中）已知抛物线，当时，的取值范围是．若将该抛物线向右平移6个单位后经过点，则的值是______________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质、抛物线平移规律及因式分解，解题的关键是因式分解简化解析式，结合平移和取值范围求参数． 先因式分解抛物线解析式，利用平移规律得平移后解析式，代入已知点建立与关系；根据开口方向和取值范围，结合单调性求，进而得． 【详解】解：抛物线向右平移6个单位后解析式为． ∵过点，代入得， ，即，化简得． 将代入，得 ． ∴，开口向下，对称轴， ∵时，对称轴在区间内，顶点为最大值点． 顶点（最大值点）坐标为： ，， 给定取值范围 ，且最小值为 0，最大值为6． 由于开口向下，顶点为最大值：（因为，所以）： ∴， ∴． 故答案为：． 65．（2025·江苏无锡·二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点（在的左侧）． (1)二次函数的顶点坐标为__________； (2)若二次函数由平移所得， ①求线段的长； ②当时，二次函数的最大值与最小值的和等于，求的值． 【答案】(1) (2)①②或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移以及二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）直接根据顶点式的顶点公式进行作答即可； （2）①由平移得到，联立抛物线与直线的解析式，求出点的坐标，两点间距离公式求出的长即可； ②根据的范围，分3种情况，确定二次函数的最大值与最小值，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）①∵二次函数由平移所得， ∴， 联立，解得：或， ∵，在的左侧， ∴， ∴； ②由（1）知：， ∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，关于的对称点为， ∵，即：， （i）当，即：时， 则当时，函数取得最小值为：， 当时，函数取得最大值为：， ∴， 解得：，不符合题意，舍去； （ii）当，即：时， 当时，函数取得最大值为， 当时，函数取得最小值为， 则：，解得：，符合题意； （iii）当，即：时， 则：当时，函数取得最大值为， 当时，函数取得最小值为：， 则：，解得：或（舍去）； 综上：或． 66．（2025·河北沧州·一模）如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标为．已知点，，将函数图象向上平移个单位长度，若平移后的函数图象与线段只有一个公共点，则的取值范围为（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次和二次函数的性质、解不等式、图形的平移等，利用抛物线关于对称轴对称，求出抛物线与x轴的另一个交点，抛物线，可得抛物线向上平移m个单位后解析式为，平移后的抛物线的顶点坐标为，①当抛物线顶点落在上时，则，解得②当抛物线经过点时，当抛物线经过点时，构建方程求出m的值可得结论． 【详解】解：由题意抛物线的对称轴是直线，设抛物线与x轴的另一个交点为， 则有， ∴， ∴关于x的一元二次方程的解为，； ∴抛物线， 抛物线向上平移m个单位后解析式为， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为， ①当抛物线顶点落在上时，则， 解得， ②当抛物线经过点时，， 解得； 当抛物线经过点时，， 解得， ∴时满足题意． 综上所述， 或． 故选：A． 题型23 二次函数的实际应用（共3小题） 【易错】构建二次函数模型，限定自变量范围，求最大利润、高度等最值 67．（25-26九年级下·江苏南京·期中）2026年春节期间，南京夫子庙景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件，已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． (1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ (2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完，设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元． 【答案】(1)A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件 (2)（） (3)；A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元 【分析】根据题意设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元，进一步得到关于x的一元一次方程求解即可； 根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围； 结合（2）中A类特产降价x元与每天的销售量y件，得到A类特产的利润，同时求得B类特产的利润，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元． 根据题意得． 解得． 则每件B类特产的售价（元）． 答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件． （2）解：由题意得 ∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价 ∴． 答：（）． （3）解： ． ∴当时，w有最大值1840． 答：函数关系式为；A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元． 68．（2026·江苏宿迁·中考真题）投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．如图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度与距投掷点的水平距离之间的函数表达式为． (1)当投掷的距离为时，求的值； (2)当时，铅球处于下落状态，求的取值范围； (3)当时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据可知当投掷的距离为时，铅球落地，即时，，然后将点代入二次函数解析式即可求出a的值． （2）由题意可知抛物线对称轴直线在的左侧，且当时，，然后列出不等式组求解即可． （3）根据函数图象，分三种情况求解，即对称轴在4的右侧；对称轴在2的左侧；对称轴在2和4之间，然后结合二次函数的图象和性质分别求出最大值和最小值，结合已知条件列出方程求解并进行取舍即可得出答案. 【详解】（1）解：由题意可知，当投掷的距离为时，铅球落地，即时，， 将点代入，得： ， 解得． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴直线为， ∵当时，铅球处于下落状态， ∴抛物线的对称轴直线，且当时，， 解得：． （3）解：， ∴抛物线的对称轴直线为， 分三种情况： （1）当对称轴时，即，当时，y随着x的增大而增大， 即当时，， 当时，， 根据题意可知：， 解得， （2）当对称轴时，即，在时，y随着x的增大而减小， 此时即当时，， 当时，， 根据题意可知：， 解得，（舍去） （3）当时，即， 当时离对称轴直线较时离对称轴直线远时， 则当时，， 即当时，， 根据题意可知：， 解得(舍去)或． 当时离对称轴直线较时离对称轴直线近时， 则当时， 当时，， 根据题意可知：， 解得(舍)或（舍）． 综上：或． 69．（2026·江苏扬州·一模）综合与实践 问题情境：如图，某生态景观园区为打造“滨水乐仪”主题片区，安装了音乐喷泉装置．喷泉的水柱从底座（水平面上）O点喷出，其距水面的竖直高度y（单位：）与距喷口点O的水平距离x（单位：）近似满足二次函数关系，测得的几组数据如下表： 0 10 20 30 40 0 7.5 10 7.5 0 问题解决： (1)将表格中各组对应值作为点的坐标，在图1所示的平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象，并求出y与x的函数关系式． (2)为提升音乐喷泉表演的观赏效果，现要在该抛物线形水柱正下方的水面铺设一条观赏灯带，灯带的每一个位置均处于抛物线形水柱的正下方，为使得观赏效果最佳，要求抛物线形水柱上的每一个点到灯带的距离不低于，求这条观赏灯带可铺设的最大长度（结果保留根号）． (3)如图2，在一场主题活动中，调整了喷泉的喷射参数，使得水柱距水面的竖直高度y（单位：）与距喷水点O的水平距离x（单位：）近似满足关系式：．在距喷口点O水平距离处有一个互动装置点M，要求水柱能落在距互动装置点M的范围内（含），求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据表格确定每一个点的坐标，然后在坐标系中描点，再连线即可作图，再由待定系数法求解函数关系式； （2）对于，令，则，求出方程的根，即可求解这条观赏灯带可铺设的最大长度； （3）对于中，令，求出方程的根，根据题意可得，即可求解的取值范围． 【详解】（1）解：描点画图如答图所示： 根据表格中的数据可得，抛物线的顶点坐标为， 设与的函数关系式为， ∵当时， ∴ 解得 ∴与的函数关系式为； （2）解：由题意得，对于，令， 则 解得， ∴， 答：观赏灯带可铺设的最大长度为； （3）解：在中，令 则 解得（舍去）， 根据题意，要使水柱能落在距互动装置点M的范围内(含)， 则，即， ∴ 解得． 题型24 二次函数中线段问题（共3小题） 【易错】设动点横坐标，用函数表达式表示竖 / 横线段，求线段最值与范围 70．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，已知抛物线过点和点． (1)求该抛物线的函数关系式； (2)已知点是上方的抛物线上一点，作轴于点，求的最大值； (3)当，函数有最小值为0，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）设，表示出，根据二次函数的性质，即可求解； （3）先求得抛物线对称轴为直线，分，且，，三种情况结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点和点． ∴ 解得： ∴该抛物线的函数关系式为； （2）解：设，，其中， ∴， ∵， ∴的最大值为； （3）解：∵，对称轴为直线， 当时， 解得：， ∵ 在对称轴左侧函数随着的增大而增大，在对称轴右侧函数随着的增大而减小． 故分以下三种情况讨论： ①若，即 则当时，函数有最小值为 ，解得：（舍去） ②若且，即 当时，函数有最小值为， ，解得：． 当时，函数有最小值为， ，解得： ， 或 ③若，即 则当时，函数有最小值为， ，解得：舍）， 综上，的值为或． 71．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)用含的式子表示； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①若，，求的长； ②已知在点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)①4；②． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）分别将代入抛物线解析式，即可获得答案； （2）①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案；②首先设点，，确定，根据关于的函数解析式分析的变化即可得出结论． 【详解】（1）解：将点代入，抛物线， 可得， 解得； （2）①解：若，则抛物线的表达式为，直线的表达式为． 当时，则， 将代入，可得，即 将代入，可得，即 ∴； ②解：设点，， 则，， 联立，即， ∴， 解得， ∵， ∴函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴时，直线的图象在抛物线的图象的上方， ∴， 令， ∵，即， ∴函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∵点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大， ∴， ∴， ∴． 72．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知二次函数的图象交x轴于A，B两点（A在B左边），交y轴于C点，点P是直线上方抛物线上一动点（不与A，C重合），则P点到直线距离的最大值是______． 【答案】 【分析】本题是二次函数的综合题，求最大值的问题．作于点H，作轴于点N，交于点M，先求得直线的解析式为，当取最大值时，P点到直线的距离有最大值，设，．用表示的长，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：令，则， 解得或， 令，则， ∴，，，， ∵， ∴， 作于点H，作轴于点N，交于点M， 设直线的解析式为， 将代入得，，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 当取最大值时，P点到直线的距离有最大值， 设，． ∴． ∴． ∵， ∴当时，． ∴． 故答案为：． 题型25 二次函数中的角度问题（共3小题） 【易错】转化等角、直角，构造相似或三角函数，联立解析式求动点坐标 73．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，二次函数（m是常数，且）的图象与轴交于A，B两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含的式子表示），并求的度数； (2)若，点在抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】(1)，，， (2)或 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是学会分类讨论． （1）令，解方程可得，两点坐标，令，可得点的坐标，证明，可得； （2）分两种情况，即点在轴上方或点在轴下方，利用等腰三角形的判定和性质即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 解方程，得，， 点在点的左侧，且， ，， 当时，， ， ， ， ； （2）解：当时，，，，， 当点在轴上方时，如图，过点作的垂线段交于点， ，，， ， 设， ， 解得， ； 当点在轴下方时，如图，过点作的垂线段交于点， ， 同理可得， 设， ，即 解得， ； 综上所述，的坐标为或． 74．（2025·山东济宁·二模）如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． (1)求：，的值； (2)当时，函数的最小值是2，求出的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，2 (2) (3)存在，点或 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，涉及待定系数法求表达式，二次函数的性质，二次函数与角度问题等．第（3）问关键是构造三角全等． （1）由题意得：，利用待定系数法求解即可； （2）先求出点，点，抛物线的对称轴为直线，再根据二次函数的性质解答即可； （3）先求出，分点在左侧时，点在右侧时，两种情况讨论，利用三角形全等的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 则，则， 抛物线的解析式为：， 则； （2）解：当时，， 解得，， 点， 当时，， 点． 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 当时，函数的最小值是2，即时，函数取得最小值， 则，则（舍去）， ∴的值为； （3）解：存在点，理由如下： ∵，， ∴， ， ①当点在左侧时，如图，在轴上取点，延长交抛物线于点， 在和中， ，，， ， ， ， 设直线的解析式为， 由点、的坐标得，直线的解析式为， 联立上式和抛物线的表达式得：， 则（舍去）或，故点； ②当点在右侧时，如上图，作关于的对称，交二次函数于点， 则，，， ， ， 四边形是正方形， ， 令中，，则， 解得或， ，， ，， ， ， ， 在点抛物线上，即点满足条件， 故存在满足条件的点有两个，分别为：或． 75．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，二次函数（m是常数，且）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段交于点E，与x轴交于点F．连接AC．若，则m的值为_____________． 【答案】/ 【分析】先用的代数式表示出，，的坐标，再作的平分线交于点，过点作于点，根据全等和角平分线性质得到用的代数式表示的和的长，根据和的关系即可求出的值． 【详解】解：在中，当时，， 解方程，得，， 点在点的左侧，且， ，， 在中，当时，， ， ， ， ， ∵轴， ， ， ， 作的平分线交于点，过点作于点，则，如图，   ，， ， 在和中， ， ∴， ， ， ，， ∴是等腰直角三角形， ， 即， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，角平分线性质，通过作辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 题型26 二次函数与几何图形结合（共3小题） 【易错】抛物线上动点，求面积、线段、特殊图形存在性，数形结合求解 76．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，抛物线（为常数，）与轴交于点，两点，点为抛物线的顶点，且该二次函数有最大值，最大值不超过5． (1)求的取值范围； (2)若为等腰直角三角形，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解答本题的关键． （1）根据二次函数有最大值可得，将二次函数解析式配成顶点式，根据最大值不超过5可得，即可求出的取值范围； （2）分别求出三点坐标即可得出结论． 【详解】（1）解：，       ∵二次函数有最大值， ∴， ∵函数最大值不超过5， ， 解得： ， （2）解：当时，， 解得：，， ， ，      过点作轴于点 ， 为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， 解得： ∴的值为． 77．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)点在第二、四象限的抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，点的坐标为或 【分析】题目主要考查二次函数的综合问题，平行四边形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意设点A的坐标为，点B的坐标为，得出相应的方程组求解确定点A的坐标为，点B的坐标为，由待定系数法即可确定函数解析式； （2）设，分两种情况分析：当为对角线时，当为对角线时，由平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， 当时，， 设点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， 联立①②：解得：， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 将点A代入函数解析式得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）存在，理由如下： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∴当为对角线时， ∴，， ∴，， 解得：， ∴； ∴当为对角线时， ∴，， ∴，， 解得：， ∴； 综上可得：点的坐标为或． 78．（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，在正方形中，点、的坐标分别是、，点在抛物线的图象上，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图像上点的坐标特点，利用一线三等角，构造全等三角形，证明对应边相等，利用，坐标，即可得出点坐标，代入，即可得出的值 【详解】作轴于，于， 四边形是正方形， ，， ， ， 又， ， ，， 设， 点、的坐标分别是、， ，解得， ， 在抛物线的图像上， ， ， 故答案为：． 题型27 二次函数与方程、不等式结合（共3小题） 【易错】抛物线与 x 轴交点对应方程根；看图确定函数值大于或小于 0 的区间。 79．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）的自变量与函数的几组对应值如下表，则方程的解是___________． ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 5 0 ．．． 【答案】 ， 【分析】根据表格中值相等的对应点确定二次函数对称轴，再利用二次函数对称性得到对应的另一个自变量的值，即可得到方程的解． 【详解】解：由表可知和的函数值都是， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵时，，满足方程， ∴根据二次函数对称性，另一个满足的点的横坐标为， ∴方程的解是，． 80．（26-27九年级上·江苏南通·期中）已知二次函数． (1)若该二次函数图象与轴有两个交点，求的取值范围； (2)若图象与轴相交于、两点，且，求的值； (3)在（2）的条件下，若方程有实数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式计算即可得出结果； （2）设点的横坐标为，点的横坐标为，则，，再结合计算即可得出结果； （3）将代入方程得，则，再结合一元二次方程根的判别式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：在中，令，则， ∵该二次函数图象与轴有两个交点， ∴， 解得； （2）解：在中，令，则， ∵二次函数图象与轴相交于、两点， ∴设点的横坐标为，点的横坐标为，则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； （3）解：将代入方程得， ∴， ∵方程有实数解， ∴， 解得． 81．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【详解】解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴由图象可得，它的解集是． 题型28 比例线段与黄金分割（共3小题） 82．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）点把线段分成两部分，如果，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例线段与一元二次方程的求解；设，由题意得，，由得到关于的一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设， ，且， ，， ， ，即， ，，， ， 负值舍去， ， 故选：B． 83．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）阅读下面数学材料，并完成相应的任务： 黄金分割数一般地，若一条线段上的一点将这条线段分成不相等的两条线段，且较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，则这个点称为原线段的黄金分割点，这个相等的比值称为黄金分割数． 例如，如图，点为线段上一点，点把线段分成和两段，其中．若线段、、之间的关系满足，则点是线段的一个黄金分割点，称为黄金分割数． 下面是求黄金分割数k的解答过程：设，，则． 任务： (1)概念理解：根据材料可知，一条线段有______________个黄金分割点． (2)补全材料中求黄金分割数k的解答过程． (3)如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点．求证：点是线段的黄金分割点． 【答案】(1) (2)解：设，，则， ， ， 整理得：， 解得：， 线段的长度不能是负数， ， ， ； (3)证明：在中，，， 设，则， ， 以点为圆心，长为半径画弧交于点， 则，， 以点为圆心，长为半径画弧交于点， 则， ， ，， ， 点是线段的黄金分割点． 【分析】（1）根据黄金分割的定义可知一条线段有个黄金分割点； （2）根据黄金分割的定义可得方程：，解方程求出的值即为线段的长度，根据黄金分割的定义求出黄金分割数的值； （3）设，则，证明，即可证明点是线段的黄金分割点． 【详解】（1）解：如下图所示，点为线段上一点，点把线段分成和两段， 其中， 线段、、之间的关系满足， 则点是线段的一个黄金分割点； 如下图所示，点为线段上一点，点把线段分成和两段， 其中， 线段、、之间的关系满足， 则点是线段的一个黄金分割点； 综上所述，一条线段有个黄金分割点； （2）略 （3）略 84．（2026·江苏宿迁·二模）如图，点是线段上一点，如果满足，那么称线段被点黄金分割，点是线段的黄金分割点．完成下列问题： (1)填空：如图①，点是线段的黄金分割点，若，则__________；（用含根号的式子表示） (2)如图②，在中，，点在斜边上，，点在直角边上，，证明：点是线段的黄金分割点； (3)尺规作图：如图③，作出线段的一个黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1) (2)证明：∵在中，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点是线段的黄金分割点； (3)如图所示，即为所求． 【分析】（1）根据题意可得，解方程即可得到答案； （2）由勾股定理得，则，，再证明，即可证明结论； （3）如图1，作出线段的中点，过点B作的垂线，并在该垂线上截取，以点C为圆心，的长为半径画弧交于点D，再以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点P，则点P即为所求；同理在图2中作出靠近点A的黄金分割点即可． 【详解】（1）解：∵点是线段的黄金分割点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（已检验）或（舍去）； （2）略 （3）略 题型29 位似图形（共3小题） 【易错】位似图形一定相似，对应点连线交于位似中心，坐标缩放求点。 85．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比是______． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质，位似比等于对应点到位似中心的距离之比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此求解即可． 【详解】解：点，对应点，位似中心为点， ，， 与是位似图形， ， 与的相似比为， 的面积与的面积之比为． 86．（25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点和原点O都在单位长度为1的正方形网格的格点上． (1)以点O为位似中心，在网格纸中画出的位似图形，点A、B、C的对应点分别是点、和，使它与的相似比为，且位于点O的右侧； (2)点的坐标为_______． (3)的面积是 平方单位． 【答案】(1)解：如图，即为所求； (2) (3)14 【分析】（1）连接并延长至，使得，连接并延长至，使得，连接并延长至，使得，顺次连接、和即可； （2）根据（1）中作图可直接得出答案； （3）利用割补法求出的面积，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由图可得，点的坐标为； （3）解：， 与的相似比为， 与的面积比为， ． 87．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为顶点的． (1)以点为位似中心，将线段作位似变换，且放大到原来的2倍，得到线段(点、分别为、的对应点)，在网格内画出线段． (2)若点在第一象限，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为________ 【答案】(1)线段为所求： (2) 【分析】（1）根据位似变换的作图要求找到对应点连线即可； （2）结合点和点的位置，根据平行四边形的性质即可依托点求得点． 【详解】（1）略． （2）解：如图， ∵，， ∴根据平行四边形的性质将点向上平移1个单位，向右平移3个单位， ∵， ∴． 题型30 相似三角形的判定（共3小题） 【易错】AA、SAS、SSS 判定，挖掘图中公共角、对顶角、等角证明相似。 88．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在锐角三角形中，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵，且， ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理1和2． （1）根据两角对应相等，两三角形相似即可证明； （2）由得到，再由夹角相等，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 89．（2025·江苏无锡·二模）如图，点E在的对角线上，当平分，且时． 求证： (1)四边形是菱形； (2)． 【答案】(1) 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； (2) 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【分析】（1）根据角平分线的定义及平行线的性质得，，从而即可得证； （2）由菱形的性质可得，．则．由，，证明三角形相似即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，菱形的判定及性质，相似三角形的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 90．（2025九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， 又∵， ∴； (2) 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证，结合，则结论得证； （2）证明即可； 【详解】（1）略 （2）略 题型31 相似三角形的性质（共3小题） 【易错】对应角相等，对应边成比例；周长比等于相似比，面积比为平方 91．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）在正方形中，点在的延长线上，点在边上，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，求的值； (3)如图2，交于点，若，求的值． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，证明出，即可得到； （2）首先得到是等腰直角三角形，求出，，然后结合求出，证明出，进而求解即可； （3）延长，交于点H，设，则，证明，得到，然后证明，得到． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，延长，交于点H， 设，则， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，即 ∴， ∴， ∴， ∴． 92．（26-27九年级上·江苏常州·期中）如图，点B、D、E在一条直线上，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，的周长等于8，求的周长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）证明，得到，据此可证明； （2）由相似三角形的性质得到，则可证明，再根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∴， 又∵， ∴， ∴的周长与的周长的比， ∵， ∴的周长与的周长的比， ∵的周长等于8， ∴的周长为． 93．（25-26九年级下·江苏泰州·期中） 如图，正方形中，点是边上的动点（不与点、重合），，，连接交于点． (1)求证：； (2)连接，交与点，求证：是中点； (3)在（2）的条件下， ①当点是中点时， ； ②若正方形边长为2，当点是中点时，求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是正方形， ． ． ， ． ． ． (2) 解：如图，连接，， ∵四边形是正方形， ． ，， ． ． ，，，四点共圆． ． ． ， 是中点． (3)①2；② 【分析】（1）利用正方形的性质即可证明； （2）根据等腰直角三角形和正方形的性质得到，证明，，，四点共圆，可得，再根据等腰三角形三线合一即可求解； （3）①利用相似三角形的性质与判定即可求解； ②作、，垂足分别为、，先证明，得到，,利用正方形的判定推出四边形是正方形，再通过证明，即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：①∵点是中点， ∴． ∵四边形是正方形， ，． ． ∴． ②如图，作、，垂足分别为、，则， ∵正方形的边长为2， 则， ∵点是中点， ∴． ，，， ． ，． ． ． 又， ∴四边形是正方形． ，． ． ，， ． ． ∴． ∴． 题型32 相似三角形的应用（共3小题） 【易错】利用相似测高测距，构建相似模型，注意对应边匹配、单位统一 94．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）综合与实践 【情境】在学习完（相似）内容后，甲同学和乙同学在数学活动实践课上，对测量校园内的旗杆高度提出了两种不同的方案． 【思考】两个同学的测量方案如下： 甲同学方案 乙同学方案 测量过程及数据 如图1，在距离旗杆底点30米远的处竖立一根高2米的标杆．甲同学在处站立，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端三点在一条直线上．已知甲同学的眼睛到地面的距离米，米，，点、、在同一直线上时． 如图2，乙同学拿着一根长为16厘米的木棒站在离旗杆30米的地方（即点到的距离为30米），他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即点、、在一条直线上，点、、在一条直线上），已知点到木棒的距离为40厘米． 示意图 【探究】 (1)下列判断正确的是_____（填序号）： ①只有甲同学的方案可行： ②只有乙同学的方案可行： ③两个同学的方案都可行： (2)请结合（1）的判断，选择一种正确的测量方案，求出旗杆的高度． 【答案】(1)③ (2)解：选择甲同学的方案： 过点E作于点H，交于点G， 根据题意，得， 四边形是矩形，四边形是矩形 ，米，， 四边形是矩形， 米，米， 米， ， ∴， ∴， ∴， 解得（米）， ∴（米）． 选择乙同学的方案： 过点E作于点M，交于点N， 根据题意，得， 四边形是矩形 米，米，， ， 根据题意，得米，米， ， ∴， ∴， ∴， 解得（米）． 【分析】（1）根据相似三角形的知识，发现两种方案都是可以的： （2）选择一种方案，利用相似三角形的知识给出解答即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． 95．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）综合与实践： 在“如影随形”项目研究中，小明和小亮进行了“路灯照射下的影长”的探究活动． (1)【探究1】 如图1，竖立的两根灯杆、中，，小明的身高，他在两根灯杆之间走动．在灯A、灯C的照射下，出现了小明的影长恰好为、的情况，此时能否求出灯杆的高度？若能，请求出灯杆的高度；若不能，请说明理由； (2)【探究2】如图2，竖立的两根灯杆、之间的距离，，小亮的身高，他在两根灯杆之间走动，且点B、H、D在同一条直线上．在灯A、灯C的照射下，当小亮的影子落在线段BD上时，他的影长、是否存在特殊的等量关系？若存在，请求出、满足的等量关系；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)能，灯杆的高度为 (2)存在， 【分析】（1）由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可进行求解； （2）由题意易得，，然后可得，进而根据线段的和差关系可进行求解． 【详解】（1）解：能，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：存在，，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 96．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）【数学眼光】星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 （1）现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用a，b，c表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． （2）问题：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题关键在于熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）由反射特点可知，证明，，即可求得． （2）由反射特点可知，，证得，，有，，，，可得． 【详解】解：（1）由反射特点可知， ， ∴， ∴， ∵，，， 即， ∴， （2）由反射特点可知，， ， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴， 解得； 答：海关大楼的高度为． $ 专题02 期中真题百炼通关（96题32大常考题型） 常考·进阶突破 题型1 一元二次方程的含参问题 题型2 解一元二次方程 题型3 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型4 根据一元二次方程根的情况求参数 题型5 韦达定理 题型6 销售问题、增长率问题、图形问题 题型7 反比例函数的含参问题 题型8 比较反比例函数值或自变量的大小 题型9 反比例函数的增减性 题型10 反比例函数k值的几何意义 题型11 反比例函数与一次函数结合 题型12 反比例函数的实际应用 题型13 垂径定理 题型14 圆周角定理 题型15 点与圆、直线与圆的位置关系 题型16 扇形弧长、面积与圆锥的侧面积 题型17 数据的集中趋势和离散程度 题型18 等可能条件下的概率 题型19 二次函数的含参问题 题型20 二次函数的图象与性质 题型21 二次函数的对称性 题型22 二次函数的平移 题型23 二次函数的实际应用 题型24 二次函数中线段问题 题型25 二次函数中的角度问题 题型26 二次函数与几何图形结合 题型27 二次函数与方程、不等式结合 题型28 比例线段与黄金分割 题型29 位似图形 题型30 相似三角形的判定 题型31 相似三角形的性质 题型32 相似三角形的应用 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 常考·固本强基 题型1 一元二次方程的含参问题（共3小题） 【易错】二次项系数不为 0，结合判别式、韦达定理列不等式求参数取值。 1．（26-27九年级上·江苏徐州·期中）已知是关于x的一元二次方程，则_______． 2．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）若关于x的一元二次方程的一个根为0，则k的值为___________． 3．（26-27九年级上·江苏·期中）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 题型2 解一元二次方程（共3小题） 【易错】直接开平、配方、公式、因式分解法，会根据方程特点优选解法。 4．（26-27九年级上·江苏镇江·期中）解下列一元二次方程 (1)； (2)（配方法）； (3)； (4)． 5．（26-27九年级上·江苏徐州·期中）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．（26-27九年级上·江苏连云港·期中）用适当方法解下列方程． (1) (2)（配方法） (3) (4)（公式法） 题型3 根据判别式判断一元二次方程根的情况（共3小题） 【易错】计算 Δ，Δ>0 两不等实根；Δ=0 两相等实根；Δ<0 无实数根。 7．（26-27九年级上·江苏徐州·期中）关于x的一元二次方程 的根的情况是（     ） A．无法确定 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 8．（26-27九年级上·江苏徐州·期中）已知关于x的一元二次方程（k为常数）． (1)若方程的一个根为2，求k的值及方程的另一个根； (2)求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 9．（26-27九年级上·河南郑州·期中）定义新运算：，例如，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 题型4 根据一元二次方程根的情况求参数（共3小题） 【易错】利用 Δ 列不等式，勿忘二次项系数≠0，最后检验参数取值。 10．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为___． 11．（26-27九年级上·江苏南通·期中）已知一元二次方程有两个相等的实数根． （1）当，时，则的值为______； （2）若，，，则的值为______． 12．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)已知是方程的一个解，求m的值． 题型5 韦达定理（共3小题） 【易错】两根之和、两根之积公式，使用前提是方程存在实数根，Δ≥0。 13．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个实数根； (2)若该方程有两个实数根、，若，求m的值． 14．（26-27九年级上·江苏连云港·期中）如果、是两个不相等的实数，，那么代数式______． 15．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两实数根为，，满足，求k的值． 题型6 销售问题、增长率问题、图形问题（共3小题） 【易错】找等量关系列一元二次方程，解后检验根是否符合实际意义。 16．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）太湖水域辽阔，水质清澈，水草丰茂，底栖生物丰富，在无锡、苏州等太湖沿岸城市，吃蟹是秋季最重要的民俗活动之一．某学校九年级利用国庆假期开展社会实践活动，调查螃蟹行情，帮某商家解决销售问题的同时为顾客谋实惠．调查发现，螃蟹的进价为元/千克．售价为元/千克时，每天可销售千克．售价每涨价元，每天少销售千克． (1)某天商家正好销售千克的螃蟹，则获利多少元？ (2)若商家一天销售螃蟹总利润为元，则当天螃蟹的售价为多少元/千克？ 17．（26-27九年级上·江苏盐城·期中）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 2026年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪CP”刷屏社交平台．某商店购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，经统计，此套装该店2026年1月份的销售量为100套，2026年3月份的销售量为144套． 素材2 该店以每套30元的进价购入 “哭哭马笑笑马”组合套装，以每套40元的价格出售．从2026年4月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价1元，月销售量就会在3月份销售量的基础上增加10套． 问题解决 (1)求该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率． (2)当该组合套装的降价金额为多少元时，月销售利润为1312元？ 18．（26-27九年级上·江苏南京·期中）综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒． 如图1，有一张长，宽的矩形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） (1)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； (2)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒． ①剪去矩形的长为_____________； ②若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 题型7 反比例函数的含参问题（共3小题） 19．（2025·江苏南京·一模）在平面直角坐标系内，点， ，，分别在三个不同的象限，若反比例函数的图象经过其中两点，则的值为________． 20．（2024·陕西西安·模拟预测）点在反比例函数的图象上，点A关于x轴对称的点在反比例函数的图象上，且，则的值为______． 21．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）已知反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数表达式； (2)若点在该函数图象上，求m的值． 题型8 比较反比例函数值或自变量的大小（共3小题） 【易错】分象限讨论，利用图像或解析式，注意不能跨象限直接比较 22．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）在反比例函数（k为常数）的图象上有三个点，，，则函数值，，的大小关系为______． 23．（26-27九年级上·江苏连云港·期中）已知点都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是______．（用“<”连接） 24．（26-27九年级上·江苏连云港·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)点F为反比例函数图象上一点，若，求点F的坐标． (3)若点，都在该反比例函数图象上，且，请直接写出，的大小关系． 题型9 反比例函数的增减性（共3小题） 【易错】k>0每象限 y 随 x 增大减小；k<0每象限 y 随 x 增大增大。 25．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）已知点，均在反比例函数（为常数）的图像上，且，则的取值范围是________． 26．（2026·陕西西安·三模）已知，反比例函数的图象上两点，当，时，有，则m的取值范围是__________． 27．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）在反比例函数的图象的每一支上，都随的增大而减小，且整式是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为______． 题型10 反比例函数k值的几何意义（共3小题） 28．（26-27九年级上·江苏扬州·期中）如图A是函数的图象上一点．过点A作轴于点C．交函数 的图象于点B，P是y轴的正半轴上一点，连接．若的面积为2，则k的值为（     ） A．4 B．6 C． D．12 29．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则为________． 30．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，点、是反比例函数图象上的两点，延长线段交轴于点，且点为线段中点，连接、，若，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型11 反比例函数与一次函数结合（共3小题） 【易错】联立方程组求交点，利用图像确定函数值大小对应的自变量范围 31．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于、两点，点的横坐标为． (1)求的值； (2)关于的不等式的解集为 ； (3)若点在轴上，且的面积为，直接写出点的坐标． 32．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）如图，直线与反比例函数的图象相交于，两点，连接和． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出的解集； (3)求的面积． 33．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）如图，直线与双曲线交于，两点． (1)求和直线的表达式； (2)根据函数图象直接写出不等式的解集； (3)若将直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求的值． 题型12 反比例函数的实际应用（共3小题） 【易错】建立反比例模型，确定自变量取值范围，用图像与解析式求解 34．（26-27九年级上·江苏无锡·期中）某款吉祥物公仔从全运会开幕前天开始，其日销售量呈直线上升趋势，全运会期间热度增大，全运会结束后，日销售量与时间成反比例关系．日销售量（万件）随时间（天）变化的函数图象如图所示，全运会前为线段，全运会期间为线段，全运会后为曲线． (1)求线段和反比例函数的表达式，并写出自变量的取值范围； (2)已知日销售量不低于万件时为畅销期，则畅销期持续的天数为________天． 35．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图像，其中线段段为渐消毒阶段，线段段为深消毒阶段，曲线段是反比例函数图像的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)第6分钟时消毒效果为 效力； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，可产生消毒作用，通过计算说明本次消毒是否有效． 36．（26-27九年级上·江苏南京·期中）有甲、乙两个车队，甲车队承担了某工程运送土石方的任务，需运送土石方共，甲车队每天运送土石方的体积为（单位：立方米/天），完成任务需要的时间为（单位：天）； (1)与的函数解析式为__________，当时，的取值范围是__________； (2)若原计划甲车队派出全部20辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方，才可按时完成任务，则完成任务的时间为___________________；实际甲车队工程进行8天后，交由乙车队完成，且需要提前4天完成，则乙车队至少要派出多少辆同样的卡车才能按新要求完成任务？ 题型13 垂径定理（共3小题） 【易错】垂直弦的直径平分弦及其所对两条弧；平分弦（非直径）的直径垂直弦 37．（26-27九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上，连接． (1)若点是的中点，求证：； (2)若，，求的半径． 38．（26-27九年级上·江苏南京·期中）如图，点，，，，在上，且． (1)求证：； (2)若，，则的半径为_______． 39．（26-27九年级上·浙江宁波·期中）如图，的直径与弦相交于点，且，若，则的半径为___________． 题型14 圆周角定理（共3小题） 【易错】同弧圆周角等于圆心角一半；直径所对圆周角为直角，反之亦然 40．（26-27九年级上·江苏南京·期中）内接于，是的直径，点是的中点，连接，若，，则的长为_____ ． 41．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，以的边为直径作，点B在上，点D为上一点，连接，且B为的中点，于点E，连接交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 42．（2026·辽宁·中考真题）如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 题型15 点与圆、直线与圆的位置关系（共3小题） 【易错】比较距离 d 与半径 r 大小，判定位置，切线判定与性质常综合考查。 43．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的内切圆，、、为切点．若，，则的周长为_____． 44．（2026九年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，以为直径作交BC于点D．过点D作，垂足为E，且交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 45．（2026·江苏无锡·二模）如图，中，，平分交于点，点在斜边上，以为半径的经过点，交于点，交于． (1)求证：为的切线； (2)若的半径为3，，求的长． 题型16 扇形弧长、面积与圆锥的侧面积（共3小题） 【易错】弧长、扇形面积公式；圆锥侧面积转化为扇形面积，分清母线与半径。 46．（26-27九年级上·北京·单元测试）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分．历来中国有“制扇王国”之称．折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子；用时须撒开，成半规形，聚头散尾．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，的长为，则的长为______________． 47．（2026·山东青岛·中考真题）如图，是的切线，是切点，过点作的平行线，交于点，若，，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留）． 48．（25-26九年级上·云南昆明·期末）圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，圆锥状聚伞花序尖塔形，其寓意着希望、永恒、美满与团聚．如图是按照其形状制作的圆锥绣球模型，其底面周长为，高度为，则此圆锥的侧面积为______（结果保留）    题型17 数据的集中趋势和离散程度（共3小题） 【易错】平均数、中位数、众数描述集中趋势；方差衡量波动，方差大波动大。 49．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）已知样本数据10，11，9，13，10，9，12，12，则这组样本数据的第75百分位数是（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 50．（2026·江苏淮安·中考真题）国家体育总局、教育部等部门相关文件明确要求中小学生每天体育锻炼时间不少于．为响应号召，某校大幅增加学生在校体育锻炼时长，并动员学生节假日也要积极进行体育锻炼． 【数据收集】该校在动员前、后分别随机抽取了名学生进行问卷调查，了解学生节假日锻炼情况． 节假日锻炼情况调查问卷亲爱的孩子： 你好！为了解大家的节假日锻炼情况，诚邀你参与本次匿名调查．1．你喜欢的锻炼方式有（     ） A．跳绳    B．骑行    C．跑步    D．球类运动    E．游泳    F．其他 2．一般情况下，你节假日的每天锻炼时长为__________．（单位：） …… 【数据整理】对所收集问卷中的节假日每天锻炼时长数据进行整理，用（单位：）表示时长，分成五组：A组，B组，C组，D组，E组． 【数据描述】 【数据分析】 平均数 众数 中位数 动员前 动员后 2 2 【问题解决】 (1)填空：__________，动员前中位数落在__________组． (2)该校共有名学生，分别估计动员前与动员后该校学生中节假日每天锻炼时长不低于的人数． (3)结合两次调查数据，对该校学生节假日每天锻炼时长的变化情况作出评价． 51．（26-27九年级上·广西南宁·期中）智能科技点亮生活，人工智能成为时代发展的新风向．某商场计划启用导航机器人，为往来顾客提供指引服务，工作人员现对甲、乙两款导航模型进行轮性能测试，得到如下成功率数据（单位：）： 甲模型：，，，，，，，，，； 乙模型：，，，，，，，，，． 两组数据的平均数、四分位数和方差如表所示： 平均数 最小值 最大值 方差 甲模型 乙模型 根据以上信息，回答下列问题： (1)________，________； (2)请补全乙模型测试准确率的箱线图； (3)结合以上数据，请从甲、乙两个模型中选拔一个部署到智能安防系统，并说明理由． 题型18 等可能条件下的概率（共3小题） 【易错】列表或树状图列举所有等可能结果，用符合事件数除以总数求概率。 52．（24-25九年级下·江苏苏州·期中）酚酞试液是化学实验室中一种常见的酸碱指示剂，广泛应用于酸碱滴定过程中，通常情况下，酚酞遇酸性或中性溶液均不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学实验课上，老师让学生用酚酞溶液检测4瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这4瓶溶液分别是：A盐酸（呈酸性）、B硝酸钾溶液（呈中性）、C氢氧化钠溶液（呈碱性）、D氢氧化钙溶液（呈碱性）． (1)小明将酚酞试液随机滴入其中1瓶溶液中，结果变红的概率是______． (2)小明从上述4瓶溶液中挑选2瓶溶液中分别滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求小明所选的两瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率． 53．（2026·江苏镇江·中考真题）小明设计了一个“随机旋律生成器”，包含音名、音符两个转盘．如图，音名转盘被平均分成2个扇形区域，分别标有他喜欢的音名A，B；音符转盘被平均分成3个扇形区域，分别标有他喜欢的三个音符：（四分音符），（八分音符），（十六分音符）． (1)小明任意转动音名转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在标有音名A区域的概率为__________． (2)小明任意转动音名转盘、音符转盘各1次，当转盘停止转动时，用列表或画树状图的方法，求音名转盘指针落在标有音名B区域且音符转盘指针落在标有音符区域的概率． 54．（2026·江苏南通·中考真题）2026年江苏省城市足球联赛火热进行中，7月11日南通队将在南通体育会展中心迎来扬州队的挑战．在，，，四个入口中，甲、乙两人随机选择一个开展志愿服务活动． (1)甲选入口开展志愿服务活动的概率为________． (2)求甲、乙两人选同一个入口开展志愿服务活动的概率． 题型19 二次函数的含参问题（共3小题） 【易错】结合开口、对称轴、判别式，利用图像特征列不等式求参数范围。 55．（25-26九年级上·山东德州·期中）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 56．（25-26八年级下·江苏·期中）已知函数，回答下列问题： (1)m取什么值时，此函数是二次函数？ (2)m取什么值时，此函数是一次函数？ 57．（25-26九年级上·安徽淮北·期中）已知函数． (1)若这个函数是关于的一次函数，求的值． (2)若这个函数是关于的二次函数，求的取值范围． 题型20 二次函数的图象与性质（共3小题） 【易错】由 a 判断开口，对称轴、顶点坐标，确定增减性与函数最值。 58．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）已知二次函数． (1)直接写出抛物线的开口方向及顶点坐标； (2)当在什么范围内，随的增大而减小？ (3)把此抛物线向左平移3个单位，再向下平移7个单位后，得到的新抛物线是否过点，请说明理由． 59．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 60．（2026九年级下·江苏苏州·专题练习）我们把抛物线上纵坐标是横坐标三倍的点叫做这条抛物线的“三倍点”（原点除外）． (1)若抛物线上只有唯一的“三倍点”，求b的值及“三倍点”的坐标； (2)平移抛物线，若所得新抛物线经过原点，且顶点是新抛物线的“三倍点”，求新抛物线的表达式． 题型21 二次函数的对称性（共3小题） 【易错】抛物线上纵坐标相同两点关于对称轴对称，利用对称轴求点坐标。 61．（25-26九年级上·江苏南通·期末）当x取和时，多项式的值相等．当x取和时，该多项式的值分别为和，则的值可能是（    ） A． B． C． D．0 62．（25-26九年级上·山东德州·期中）如果，，都在二次函数的图象上，且．则的取值范围是（　　） A． B．或 C． D．或 63．（2026·江苏淮安·一模）已知二次函数（m为常数）． (1)当时，二次函数图像的顶点坐标为__________； (2)当时，y的最大值是8，求m的值； (3)如果点、点、点都在这个二次函数的图像上，且，请直接写出m的取值范围． 题型22 二次函数的平移（共3小题） 【易错】顶点式 “左加右减，上加下减”，平移只改变顶点位置，a 保持不变 64．（25-26九年级上·浙江·期中）已知抛物线，当时，的取值范围是．若将该抛物线向右平移6个单位后经过点，则的值是______________． 65．（2025·江苏无锡·二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点（在的左侧）． (1)二次函数的顶点坐标为__________； (2)若二次函数由平移所得， ①求线段的长； ②当时，二次函数的最大值与最小值的和等于，求的值． 66．（2025·河北沧州·一模）如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标为．已知点，，将函数图象向上平移个单位长度，若平移后的函数图象与线段只有一个公共点，则的取值范围为（    ） A．或 B．或 C． D．或 题型23 二次函数的实际应用（共3小题） 【易错】构建二次函数模型，限定自变量范围，求最大利润、高度等最值 67．（25-26九年级下·江苏南京·期中）2026年春节期间，南京夫子庙景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件，已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． (1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ (2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完，设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元． 68．（2026·江苏宿迁·中考真题）投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．如图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度与距投掷点的水平距离之间的函数表达式为． (1)当投掷的距离为时，求的值； (2)当时，铅球处于下落状态，求的取值范围； (3)当时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为，求的值． 69．（2026·江苏扬州·一模）综合与实践 问题情境：如图，某生态景观园区为打造“滨水乐仪”主题片区，安装了音乐喷泉装置．喷泉的水柱从底座（水平面上）O点喷出，其距水面的竖直高度y（单位：）与距喷口点O的水平距离x（单位：）近似满足二次函数关系，测得的几组数据如下表： 0 10 20 30 40 0 7.5 10 7.5 0 问题解决： (1)将表格中各组对应值作为点的坐标，在图1所示的平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象，并求出y与x的函数关系式． (2)为提升音乐喷泉表演的观赏效果，现要在该抛物线形水柱正下方的水面铺设一条观赏灯带，灯带的每一个位置均处于抛物线形水柱的正下方，为使得观赏效果最佳，要求抛物线形水柱上的每一个点到灯带的距离不低于，求这条观赏灯带可铺设的最大长度（结果保留根号）． (3)如图2，在一场主题活动中，调整了喷泉的喷射参数，使得水柱距水面的竖直高度y（单位：）与距喷水点O的水平距离x（单位：）近似满足关系式：．在距喷口点O水平距离处有一个互动装置点M，要求水柱能落在距互动装置点M的范围内（含），求t的取值范围． 根据表格中的数据可得，抛物线的顶点坐标为， 设与的函数关系式为， ∵当时， ∴ 解得 题型24 二次函数中线段问题（共3小题） 【易错】设动点横坐标，用函数表达式表示竖 / 横线段，求线段最值与范围 70．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，已知抛物线过点和点． (1)求该抛物线的函数关系式； (2)已知点是上方的抛物线上一点，作轴于点，求的最大值； (3)当，函数有最小值为0，求的值． 71．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)用含的式子表示； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①若，，求的长； ②已知在点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求的取值范围． 72．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知二次函数的图象交x轴于A，B两点（A在B左边），交y轴于C点，点P是直线上方抛物线上一动点（不与A，C重合），则P点到直线距离的最大值是______． 题型25 二次函数中的角度问题（共3小题） 【易错】转化等角、直角，构造相似或三角函数，联立解析式求动点坐标 73．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，二次函数（m是常数，且）的图象与轴交于A，B两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含的式子表示），并求的度数； (2)若，点在抛物线上，且，求点的坐标． 74．（2025·山东济宁·二模）如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． (1)求：，的值； (2)当时，函数的最小值是2，求出的值； (3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 75．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，二次函数（m是常数，且）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段交于点E，与x轴交于点F．连接AC．若，则m的值为_____________． 题型26 二次函数与几何图形结合（共3小题） 【易错】抛物线上动点，求面积、线段、特殊图形存在性，数形结合求解 76．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，抛物线（为常数，）与轴交于点，两点，点为抛物线的顶点，且该二次函数有最大值，最大值不超过5． (1)求的取值范围； (2)若为等腰直角三角形，求的值． 77．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)点在第二、四象限的抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 78．（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，在正方形中，点、的坐标分别是、，点在抛物线的图象上，则的值是________． 题型27 二次函数与方程、不等式结合（共3小题） 【易错】抛物线与 x 轴交点对应方程根；看图确定函数值大于或小于 0 的区间。 79．（26-27九年级上·江苏苏州·期中）的自变量与函数的几组对应值如下表，则方程的解是___________． ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 5 0 ．．． 80．（26-27九年级上·江苏南通·期中）已知二次函数． (1)若该二次函数图象与轴有两个交点，求的取值范围； (2)若图象与轴相交于、两点，且，求的值； (3)在（2）的条件下，若方程有实数解，求的取值范围． 81．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 题型28 比例线段与黄金分割（共3小题） 82．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）点把线段分成两部分，如果，那么的值为（   ） A． B． C． D． 83．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）阅读下面数学材料，并完成相应的任务： 黄金分割数一般地，若一条线段上的一点将这条线段分成不相等的两条线段，且较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，则这个点称为原线段的黄金分割点，这个相等的比值称为黄金分割数． 例如，如图，点为线段上一点，点把线段分成和两段，其中．若线段、、之间的关系满足，则点是线段的一个黄金分割点，称为黄金分割数． 下面是求黄金分割数k的解答过程：设，，则． 任务： (1)概念理解：根据材料可知，一条线段有______________个黄金分割点． (2)补全材料中求黄金分割数k的解答过程． (3)如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点．求证：点是线段的黄金分割点． 84．（2026·江苏宿迁·二模）如图，点是线段上一点，如果满足，那么称线段被点黄金分割，点是线段的黄金分割点．完成下列问题： (1)填空：如图①，点是线段的黄金分割点，若，则__________；（用含根号的式子表示） (2)如图②，在中，，点在斜边上，，点在直角边上，，证明：点是线段的黄金分割点； (3)尺规作图：如图③，作出线段的一个黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法） 题型29 位似图形（共3小题） 【易错】位似图形一定相似，对应点连线交于位似中心，坐标缩放求点。 85．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）如图在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比是______． 86．（25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点和原点O都在单位长度为1的正方形网格的格点上． (1)以点O为位似中心，在网格纸中画出的位似图形，点A、B、C的对应点分别是点、和，使它与的相似比为，且位于点O的右侧； (2)点的坐标为_______． (3)的面积是 平方单位． 87．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为顶点的． (1)以点为位似中心，将线段作位似变换，且放大到原来的2倍，得到线段(点、分别为、的对应点)，在网格内画出线段． (2)若点在第一象限，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为________ 题型30 相似三角形的判定（共3小题） 【易错】AA、SAS、SSS 判定，挖掘图中公共角、对顶角、等角证明相似。 88．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在锐角三角形中，． (1)求证：； (2)求证：． 89．（2025·江苏无锡·二模）如图，点E在的对角线上，当平分，且时． 求证： (1)四边形是菱形； (2)． 90．（2025九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； 题型31 相似三角形的性质（共3小题） 【易错】对应角相等，对应边成比例；周长比等于相似比，面积比为平方 91．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）在正方形中，点在的延长线上，点在边上，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，求的值； (3)如图2，交于点，若，求的值． 92．（26-27九年级上·江苏常州·期中）如图，点B、D、E在一条直线上，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，的周长等于8，求的周长． 93．（25-26九年级下·江苏泰州·期中） 如图，正方形中，点是边上的动点（不与点、重合），，，连接交于点． (1)求证：； (2)连接，交与点，求证：是中点； (3)在（2）的条件下， ①当点是中点时， ； ②若正方形边长为2，当点是中点时，求的长． 题型32 相似三角形的应用（共3小题） 【易错】利用相似测高测距，构建相似模型，注意对应边匹配、单位统一 94．（26-27九年级上·江苏泰州·期中）综合与实践 【情境】在学习完（相似）内容后，甲同学和乙同学在数学活动实践课上，对测量校园内的旗杆高度提出了两种不同的方案． 【思考】两个同学的测量方案如下： 甲同学方案 乙同学方案 测量过程及数据 如图1，在距离旗杆底点30米远的处竖立一根高2米的标杆．甲同学在处站立，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端三点在一条直线上．已知甲同学的眼睛到地面的距离米，米，，点、、在同一直线上时． 如图2，乙同学拿着一根长为16厘米的木棒站在离旗杆30米的地方（即点到的距离为30米），他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即点、、在一条直线上，点、、在一条直线上），已知点到木棒的距离为40厘米． 示意图 【探究】 (1)下列判断正确的是_____（填序号）： ①只有甲同学的方案可行： ②只有乙同学的方案可行： ③两个同学的方案都可行： (2)请结合（1）的判断，选择一种正确的测量方案，求出旗杆的高度． 95．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）综合与实践： 在“如影随形”项目研究中，小明和小亮进行了“路灯照射下的影长”的探究活动． (1)【探究1】 如图1，竖立的两根灯杆、中，，小明的身高，他在两根灯杆之间走动．在灯A、灯C的照射下，出现了小明的影长恰好为、的情况，此时能否求出灯杆的高度？若能，请求出灯杆的高度；若不能，请说明理由； (2)【探究2】如图2，竖立的两根灯杆、之间的距离，，小亮的身高，他在两根灯杆之间走动，且点B、H、D在同一条直线上．在灯A、灯C的照射下，当小亮的影子落在线段BD上时，他的影长、是否存在特殊的等量关系？若存在，请求出、满足的等量关系；若不存在，请说明理由； 96．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）【数学眼光】星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 （1）现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用a，b，c表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． （2）问题：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $