专题19 一元一次方程 专项训练（7大题型）-2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题19 一元一次方程42道计算题专项训练（7大题型） 题型一 等式的性质 题型二 已知方程的解求参数 题型三 解方程 题型四 一元一次方程解的关系 题型五 用一元一次方程解决实际问题 题型六 用一元二次方程解决几何动点问题 题型七 一元一次方程新定义运算 【经典计算题一 等式的性质】 1．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段测试）计算： 【答案】 【分析】先左右两边同乘最小公倍数去分母，再解方程即可． 【详解】解： ． 2．（25-26七年级上·江苏常州·阶段测试）已知：，求的值． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）回答下列问题，并说明理由： (1)由能不能得到? (2)由能不能得到？ (3)由能不能得到? (4)由能不能得到? 【答案】(1)能，根据等式的两边同减去同一个数或式等式仍成立 (2)能，根据等式的两边同时除以同一个不为零的数等式仍成立 (3)能，根据等式的两边同时除以同一个不为零的数等式仍成立 (4)能，等式的两边同时乘以同一个不为零的数仍成立 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）请判断下列各式的变形是否正确，并说明理由． (1)如果，那么． (2)如果，那么． (3)如果，那么． (4)如果，那么． 【答案】(1)错误 (2)错误 (3)错误 (4)正确 【分析】本题考查了等式的性质，需要注意除数不能为零． （1）根据等式的性质2判断即可； （2）根据等式的性质1判断即可； （3）根据等式的性质2判断即可； （4）根据等式的性质1判断即可． 【详解】（1）解：错误，理由是： 已知， 如果，则两边同时除以，得， 但如果，则且，此时和可以是任意值，不一定相等， 因此，变形不一定正确，故错误； （2）解：错误，理由是： 已知， 两边同时加上，得，即， 除非，否则， 因此，变形不一定正确，故错误； （3）解：错误，理由是： 已知， 如果，则两边同时除以，得， 但如果，则分母为零，无意义， 因此，变形不一定正确，故错误； （4）解：正确，理由是： 已知， ∵， ∴， ∴， 因此，变形正确，故正确． 5．（25-26七年级上·浙江台州·期末）幻方是中国古代重要的数学成就．在每个小方格中各填入一个数，如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方． (1)现用2到10这9个整数构造三阶幻方（每个数只能用一次） ①将图1的三阶幻方补充完整； ②如图2，该同学经过多次尝试，发现幻方中不同位置的数之间有一定的数量关系，若将图中对应位置的数记作a，b，写出a，b满足的数量关系； (2)如图3，对于任意满足条件的三阶幻方，设对应位置的数分别为a，b，c，写出a，b，c满足的数量关系． 【答案】(1) ①∵， ∴每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为， 故满足题意的幻方可以是下图所示 ② (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，等式的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）①求出这9个数字的和，可得每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为18，据此填写幻方即可；②用含b的式子表示出右下角的数字，再用a、b分别表示出左上角的数字，从而可得关系式； （2）设最中间的数为d，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为s，可证明，表示出右上角的数字，进而表示出右下角和左上角的数字，据此可得关系式． 【详解】（1）解：①略 ②右下角的数， ∵左上角的数， ∴； （2）解：设最中间的数为d，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为s， ∴中间一行的三个数字之和加上中间一列三个数字之和，再加上两条对角线上6个数字（每条对角线都有3个数字）之和等于， ∴， ∴， ∴右上角的数字为， ∴右下角的数字为，左上角的数字为， ∴左上角的数字为， ∴， ∴． 6．（25-26七年级上·全国·单元测试）老师在黑板上写了一个等式：．王聪说：“．”刘敏说：“不一定，当时，这个等式也可能成立．”你认为他俩的说法正确吗？用等式的性质说明理由． 【答案】 王聪的说法错误，刘敏的说法正确， 理由如下：当时，为任意数； 当时，． 【分析】本题考查了等式的基本性质，利用等式的基本性质即可求解，利用讨论得出是解题的关键． 【详解】略 【经典计算题二 已知方程的解求参数】 7．（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“和解方程”．例如：方程和为“和解方程”． (1)请判断方程与方程是否为“和解方程”，请说明理由； (2)若关于的方程与方程是“和解方程”，求的值． 【答案】(1)这两个方程不是“和解方程”；理由如下： 解第一个方程， ， ， 解第二个方程， ， 解得：， ， 这两个方程不是“和解方程”． (2) 【分析】（1）分别解出这两个方程的解，看它们的和是否为，即可得到答案； （2）先求出第一个方程的解，再解第二个关于的方程的解，把两个解相加让结果为，再解关于的方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：解第一个方程：， ， 解得：， 解第二个方程， ， ， 解得， 关于的方程与方程是“和解方程”， ， ． 8．（2026七年级上·全国·专题练习）已知关于的方程是一元一次方程． (1)的值为________； (2)若已知方程与关于的方程的解相同，求的值； (3)若已知方程的解比方程的解小5，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）一元一次方程的定义：只有一个未知数，未知数的次数都是1，并且等号两边都是整式的方程，叫做一元一次方程； （2）由及，求出，由，求出，根据两个方程的解相同，求出． 【详解】（1）解：， 解得； （2）解：把代入， 得， 所以． 由，解得． 因为已知方程与关于的方程的解相同， 所以． 所以． 解得． 所以的值为． （3）解：由，解得． 因为已知方程的解比方程的解小5， 所以已知方程的解为． 所以把，代入 中，得， 所以， 解得， 所以的值为． 9．（25-26七年级上·山西晋城·期末）阅读与思考 请认真阅读并完成相应的任务． 规定：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为Q，我们称这两个方程为“值Q方程”． 例题分析：例如：方程的解是， 方程的解是， ∵， ∴方程与方程是“值3方程”． 任务： (1)①方程和方程是不是“值1方程”？________________（选填“是”或“不是”）； ②方程和方程是“值________________方程”． (2)若关于x的一元一次方程和是“值2方程”，求a的值． 【答案】(1)①是；②6 (2)34或18 【分析】（1）①先求出各个方程的解，再根据“值1方程”的定义进行判断即可； ②先求出各个方程的解，再根据“值Q方程”的定义进行判断即可； （2）根据“值2方程”的定义得出，去掉绝对值符号求出a的值即可． 【详解】（1）①解：方程的解为，方程的解为， ， ∴方程和方程是 “值1方程”． ②解：方程的解为，的解为， ， ∴方程和方程是 “值6方程”． （2）解：∵， ∴． 解得． ∵，解得． ∵关于x的一元一次方程和是“值2方程”， ∴． ∴． 当时，． 当时，． ∴a的值为34或18． 10．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）已知关于的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于的方程的解相同． (1)求，的值． (2)若关于的方程无解，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查一元一次方程的解以及一元一次方程的定义，注意掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． （1）根据题意利用一元一次方程的定义即可求出a的值，根据两个方程同解可得b的值； （2）由题意直接把a和b的值代入方程求出方程的解，根据方程无解的条件列式可得m的值． 【详解】（1）解：∵是关于的一元一次方程， ∴ 解得， 则原一元一次方程为， 解得， ∵两个方程同解， ∴， 解得； （2）解：把，代入， 得：， 即， ∵关于的方程无解， ∴ 解得． 11．（25-26七年级上·江苏常州·期末）已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (3)若该方程有负整数解，求整数的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查同解方程、一元一次方程的解法、求代数式的值，解题时要能读懂题意并列出方程是解题的关键． （1）依据题意得，当时，方程为，求解即可； （2）依据题意，由误将“”看成了“”，得到方程的解为，可得，再解关于的方程即可； （3）依据题意，由，可得，为使m最大，应取最大的、而且是7的倍数的负数，即，进而得解． 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取负整数，取最大值， ∴应取最大的、而且是7的倍数的负数． ∴， ∴， ∴的值为． 12．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）马小虎同学在解关于x的一元一次方程去分母时，方程右边的漏乘了3，因而求得方程的解为，请你帮助马小虎同学求出a的值，并求出原方程正确的解． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元一次方程及一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．先根据错误的方法解得的值，将的值代入原方程，再根据解一元一次方程的一般步骤即可求解， 【详解】解：根据错误的去分母得：， 将代入得：， 解得：， 则原方程为：， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：． ∴方程正确的解为． 【经典计算题三 解方程】 13．（26-27七年级上·江苏徐州·阶段测试）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）第一步移项，第二步合并同类项，第三步系数化为1，最后求解； （2）第一步去分母，第二步去括号，第三步移项，第四步合并同类项，第五步系数化为1，最后求解． 【详解】（1） 解： （2） 解： 【点睛】移项要变号，括号外面是负号，括号里面的每一项都变号． 14．（2026七年级上·全国·专题练习）计算：．某同学在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了（代表被污染的数字）． (1)如果被污染的数字是6，请计算：； (2)如果正确的结果为，那么被污染的数字是________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数混合运算的顺序，先计算乘方，以及括号内的减法，然后按照先乘除后加减的运算顺序计算即可． （2）将被污染的数字设为未知数，根据运算结果列方程求解． 【详解】（1）解： （2）解：设被污染的数字为x， 根据运算结果为，列出等式： 15．（2026七年级上·全国·专题练习）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据绝对值的性质，分两种情况讨论，进一步解一元一次方程即可； （2）根据绝对值的性质，分三种情况讨论，进一步解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：， 分两种情况讨论： 当时，原方程可化为：， 解得：，符合； 当时，原方程可化为：， 解得：，符合， 原方程的解为：或． （2）解： 分三种情况讨论： 当时，原方程可化为：， 解得：，符合； 当时，原方程可化为：， 解得：，符合； 当时，原方程可化为：， 解得：，不符合，故舍去， 原方程的解为：或． 16．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）求未知数x． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， ， ． 17．（26-27七年级上·江苏南京·阶段测试）计算 (1)； (2)解方程：； (3)定义运算“*”为：，求． 【答案】(1) (2) (3)35 【分析】（1）先将小数化为分数，再进行分数的乘除运算； （2）按照去括号，移项，合并同类项，系数化1的步骤求解； （3）分别按照新定义运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：， ， ， ， ． （3）解：∵， ∴ ． 18．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）解方程： 【答案】 【详解】解：原方程为 移项得 原方程整理为 ， 解得 ． 【经典计算题四 一元一次方程解的关系】 19．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）已知关于的一元一次方程的解与关于的一元一次方程的解互为相反数，求代数式的值． 【答案】 【分析】先分别解出两个一元一次方程，用、表示方程的解，根据解互为相反数得到、的关系式，再整体代入代数式计算即可． 【详解】解：， 移项得， 解得， ， 去分母得， 展开整理得， 解得， 两个方程的解互为相反数， ，即， 去分母得， 整理得， 两边同除以得， ． 20．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）已知关于的方程①：的解比方程②： 的解大2，求的值以及方程②的解． 【答案】，方程②的解为 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．用含的式子分别表示出方程①和方程②的解，根据方程①的解比方程②的解大2列出关于的方程，求解可得的值，将的值代入方程②中即可解得的值． 【详解】解：解得：， 解得：， ∵方程①的解比方程②的解大2， ∴，解得：， 将代入方程②中得：， 解得：． 21．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）【阅读理解】 在解一元一次方程时，有时根据方程的特点，巧妙利用“整体思想”，可以达到简化计算的目的．例如：在解方程时，可把看作一个整体，令，原方程变为，解得，即，解得． 【尝试运用】 (1)请用材料中介绍的方法解方程：． (2)已知关于x的方程的解为，则关于x的方程的解为________． (3)【拓展创新】已知关于x的一元一次方程的解为，直接写出关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，原方程变为，按照材料中介绍的方法求解即可； （2）令，则原方程变为，根据题意求得，据此求解即可； （3）将方程两边同除以2026可得，再根据题意可得，解得的值即可． 【详解】（1）解：令，原方程变为， 解得，即， 解得； （2）解：令，则原方程变为， ∵关于x的方程的解为， ∴， ∴， 解得； （3）解：已知关于的一元一次方程， 两边同除以2026变形得：， 关于的一元一次方程的解为， ，解得：， 关于的一元一次方程的解为． 22．（25-26七年级上·江苏南通·期末）已知关于的方程的解比方程的解大1，求的值． 【答案】． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程．先求得关于的方程的解，依此可得关于的方程的解，然后代入可得关于的方程，通过解该方程求得值即可． 【详解】解：， 去括号，得， 移项、合并同类项，得． 因为关于的方程的解比方程的解大1， 所以方程的解为， 所以，即， 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 23．（26-27七年级上·江苏·阶段测试）已知关于的方程． (1)若，求方程的解； (2)若方程有无数个解，求，的值； (3)若为正整数，时，求方程的整数解． 【答案】(1) (2)， (3)方程的整数解为或或 【分析】本题主要考查解一元一次方程： （1）根据解一元一次方程的步骤求解即可； （2）将方程变形得，因为方程有无数个解，所以且； （3）方程变形可得，因为为正整数，方程的解为整数，所以是的因数． 【详解】（1）解：等量代换，得 移项，得 合并同类项，得 因为， 所以 系数化为，得； （2）解：将方程变形，得 因为方程有无数个解， 所以且． 解得，； （3）解：将代入方程，得 移项，得 合并同类项，得 因为为正整数，方程的解为整数， 所以是的因数． 因为的因数为，， 当时，可得，则． 当时，可得 ，则． 当时，可得，则． 当时，可得，不符合为正整数，舍去． 综上所述，方程的整数解为或或． 24．（24-25七年级上·江苏常州·阶段检测）已知关于的方程的解也是关于的方程的解 (1)求，的值 (2)已知线段，在线段所在直线上取一点，恰好使，点是的中点，求线段的长． 【答案】(1)， (2)线段的长为7或10 【分析】本题考查了同解方程以及线段的中点的定义，熟练掌握同解方程性质，线段中点性质，线段的和差，分类讨论，是解题的关键． （1）先求出第一个方程的解，然后根据方程同解把第二个方程中的x换成m的值，求解即可得到n的值； （2）可得，，分当点P在线段上时，，得，再根据中点定义得的长度，即可求出；当点P在线段的延长线上时，，得，再根据中点定义得，即可得． 【详解】（1）解：解方程， 得， ∵方程的解也是的方程的解， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点P在线段上时， ， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴； 当点P在延长线上时， ， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴． 故线段的长为7或10． 【经典计算题五 用一元一次方程解决实际问题】 25．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）某车间每天能生产甲种零件180个或乙种零件60个，若2个甲种零件与1个乙种零件配成一套，那么要使50天内生产的两种零件恰好配套，应怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？ 【思路分析】： (1)设安排生产甲种零件x天，则安排生产乙种零件天，那么x天共生产甲种零件 个，天共生产乙种零件 个；（用含x的代数式表示） (2)根据题意可知“甲种零件数是乙种零件数的2倍”即可列出方程求解．请同学们自己完成解答过程． 【答案】(1)； (2)安排生产甲种零件20天，则安排生产乙种零件30天． 【详解】（1）解：安排生产甲种零件x天，则安排生产乙种零件天， 那么x天共生产甲种零件个，天共生产乙种零件个； （2）解：根据题意得， 解得， ， 答：安排生产甲种零件20天，则安排生产乙种零件30天． 26．（2026七年级上 江苏扬州·阶段测试）2026年是红军长征胜利90周年，某车间接到制作一批纪念章的任务，原计划每天制作400枚可以完成．实际制作时，每天比原计划多做100枚，结果提前5天完成任务，求这批纪念章一共有多少枚？设这批纪念章一共有x枚，请列方程解决问题． 【答案】10000枚 【分析】设这批纪念章一共有枚，原计划每天制作400枚，原计划完成时间为天，实际每天比原计划多做100枚，实际每天制作枚，实际完成时间为天，根据实际比原计划提前5天完成，列方程求解即可； 【详解】解：设这批纪念章一共有枚， 根据题意可得， 解得：， 答：这批纪念章一共有枚． 27．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段测试）已知甲商品进价为40元/件，利润率为；乙商品进价为50元/件，利润率为． (1)若同时采购甲、乙两种商品共50件，总进价为2300元，求采购甲商品的件数； (2)元旦期间，针对甲、乙两种商品进行如下优惠活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过500元 无 超过500元，但不超过800元 其中500元部分不打折，超过500元部分打9折 超过800元 其中800元部分打8.8折，超过800元部分打8折 小明一次性购买甲商品5件，乙商品若干件，实际付款752元，求小明购买乙商品的件数． 【答案】(1)采购甲商品20件 (2)小明购买乙商品6件或7件 【分析】（1）设采购甲商品x件，则采购乙商品件，根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）设小明购买乙商品y件，由优惠活动和小明实际付款金额可得，小明消费超过500元，分两种情况：①当小明消费超过500元但不超过800元时；②当小明消费超过800元时；分别列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设采购甲商品x件，则采购乙商品件， 由题意得：， 解得：． 答：采购甲商品20件； （2）解：设小明购买乙商品y件， 由优惠活动和小明实际付款金额可得，小明消费超过500元， ①当小明消费超过500元但不超过800元时， 由题意得：， 解得：， ②当小明消费超过800元时， 由题意得：， 解得：， 综上所述，小明购买乙商品6件或7件． 28．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）在月历中，每个字母都代表某个具体日期． (1)在图（1）中任意框出五个数，则______，这5个数的和为______(都用含x的式子表示)； (2)在图（1）中，的和与x的关系是什么？通过计算说明； (3)已知图（2）是某个月的月历，如果用框出的5个数的和为80，求中间的那个数． 【答案】(1)， (2) (3)中间的那个数为16 【分析】（1）根据月历的排列特征表示出，，，， 再求和即可得解； （2）根据月历的排列特征表示出，，再求和即可得解； （3）由题意得出一元一次方程，解方程即可． 本题考查了整式的加减的应用、一元一次方程的应用，掌握月历特点是解题的关键． 【详解】（1）解：，，，， ∴， 故答案为：，； （2）解： ； 理由： 由题意得，， ∴； （3）解：设中间的数为x， 由（1）题意得这5个数的和为， ∴， 解得：， 答：中间的那个数为． 29．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）根据以下素材，尝试解决问题 出行方式选择 素材1 随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的方式有了更多的选择．某市有出租车、快车和专车三种网约车，收费标准如图（假设网约车行驶的平均速度均为40千米/时）． 素材2 1．乘坐网约快车4千米路程收费为元； 2．网约快车和网约专车在春节期间有如下优惠方式： 快车：“满40元减10元”优惠券（一次限用一张优惠券） 专车：①免除时长费；②3千米及以内，里程费不变为3元/千米；超过3千米且不超过8千米的部分，里程费为2元/千米；超过8千米的部分，里程费为1.6元/千米． 问题1 乘坐出租车千米，费用为 元．（结果用的代数式表示） 问题2 春节期间，若小明乘坐出租车与网约快车的里程数相同且所付费用也相同，求此时的里程数． 问题3 春节期间，小明、小宁分别坐出租车、专车从地前往地．小宁坐专车的费用比小明坐出租车的费用贵7元，求，两地相距多少千米？ 【答案】问题1：；问题2：此时的里程数为16千米；问题3：，两地相距1或13千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 问题1：根据出租车的计费标准列代数式即可； 问题2：设里程数为千米，根据“小明乘坐出租车与网约快车的里程数相同且所付费用也相同”列方程求解即可； 问题3：设，两地相距千米，根据“小宁坐专车的费用比小明坐出租车的费用贵7元”列方程求解即可． 【详解】解：问题1、乘坐出租车千米，费用为元． 问题2、显然，里程数不可能为3千米以内，设此时的里程数为千米， ①快车没满40元，由题意得，此方程无正解； ②快车满40元，由题意得，解得． 答：此时的里程数为16千米． 问题3：设，两地相距千米， ①当时，由题意得，解得； ②当时，由题意得，解得（舍去）； ③当时，由题意得，解得． 答：，两地相距1或13千米． 30．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）对于一组互不相等的正有理数，若对于其中任意两个数与两数中至少有一个在这组数中，则称这组有理数是“好数组”．如在2，3，5中，因为对于在这组数中；对于在这组数中；对于在这组数中，所以2，3，5这组有理数是“好数组”， (1)1，2，3，5_______“好数组”；1，2，3，4，5_______“好数组”．（填“是”或“不是”） (2)若2，4，8，x是“好数组”，求出的值； (3)若含60的5个正有理数是“好数组”，直接写出所有符合条件的“好数组” 【答案】(1)不是；是 (2)6或10或12或16 (3)12，24，36，48，60或15，30，45，60，75或20，40，60，80，100或30，60，90，120，150或60，120，180，240，300 【分析】（1）根据新定义分析，分别求两数的和以及两数的绝对值的差，判断其结果在不在这组数中，即可求解； （2）根据题意将4个数列表，得出的所有可能，根据新定义进行判断，列出方程，即可求解． （3）根根据（1）（2）可得间距相等的3个数或4个数都是“好数组”，猜测间距相等的5个数是“好数组”若含的个正有理数是“好数组”， 设这个数分别为，a为正有理数，根据新定义进行检验，最后分别当为60时，求得这组数，即可求解． 【详解】（1）解：在1，2，3，5中， ∵都不在1，2，3，5中， ∴1，2，3，5不是“好数组”； 在1，2，3，4，5中， ∵对于1，2，，3在这组数中； 对于1，3，，4在这组数中； 对于1，4，，5在这组数中； 对于1，5，，4在这组数中； 对于在这组数中； 对于2，4，，2在这组数中； 对于在这组数中； 对于3，4，，1在这组数中； 对于在这组数中， 对于4，5，，1在这组数中； 所以1，2，3，4，5这组有理数是“好数组”， 故答案为：不是；是 （2）解：在2，4，8中， ∵， ∴2，4，8是“好数组”， 将2，4，8，x两两组合，列表如下， 2 4 8 x为正数 2 2或6 10或6 或 4 4或12（舍去） 或 8 或 x ∵2，4，8，x是“好数组”， ∴或4或8或x， 解得：（舍去）或2（舍去）或6； 或4或8或x， 解得：或10（0，4和负值舍去）； 或4或8或x，此时x的值均符合题意，舍去； 或4或8或x， 解得：或12（0，2，4，8和负值舍去）； 或4或8或x，此时x的值均符合题意，舍去； 或4或8或x， 解得：或12或16（0，2，4，8和负值舍去）； 综上所述，的值为6或10或12或16； （3）解：根据（1）（2）可得间距相等的3个数或4个数都是“好数组”，猜测间距相等的5个数是“好数组”若含的个正有理数是“好数组”， 设这个数分别为，a为正有理数， 对于，a在中，同理对于，在中， 对于，在中，同理对于，在中， 对于，在中，同理对于，在中， 对于，在中， ∴是“好数组”， 若，这五个正有理数组成的“好数组”为12，24，36，48，60； 若，这五个正有理数组成的“好数组”为15，30，45，60，75； 若，这五个正有理数组成的“好数组”为20，40，60，80，100； 若，这五个正有理数组成的“好数组”为30，60，90，120，150； 若，这五个正有理数组成的“好数组”为60，120，180，240，300； 综上所述，所有符合条件的“好数组”为12，24，36，48，60或15，30，45，60，75或20，40，60，80，100或30，60，90，120，150或60，120，180，240，300． 【点睛】本题考查了代数式求值，规律探究，解一元一次方程，找到规律是解题的关键． 【经典计算题六 用一元二次方程解决几何动点问题】 31．（26-27七年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在一张长方形纸条上画一条数轴． (1)折叠纸条使数轴上表示的点与表示的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是_________；如果数轴上两点之间的距离为，经过上述的折叠方式能够重合，那么左边这个点表示的数是_________； (2)如图，点、表示的数分别是、，数轴上有点，使点到点的距离是点到点距离的倍，那么点表示的数是_________； (3)如图，若将此纸条沿、两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折次后，再将其展开，求最左端的折痕与数轴的交点表示的数． 【答案】(1)， (2)点表示的数为或 (3) 【分析】（1）设折痕与数轴的交点表示的数为，根据折痕与数轴的交点是与5对应点的中点可得，求出的值即可得出折痕与数轴的交点表示的数；设左边点表示的数为，根据折痕与数轴的交点表示的数为得出，求出的值即可得出答案； （2）设点表示的数为，点在点左侧时，点在、两点之间时及点在点右侧时三种情况，根据两点间距离公式分别求解即可； （3）、两点之间距离为，连续对折次后，共有段，每两条相邻折痕间的距离为，则最左端的折痕与数轴的交点为，即可得出答案． 【详解】（1）解：设折痕与数轴的交点表示的数为， ∵折叠纸条使数轴上表示的点与表示的点重合， ∴， 解得， 即折痕与数轴的交点表示的数为， 设左边点表示的数为， ∵数轴上两点之间的距离为， ∴， 解得，即左边这个点表示的数是． （2）解：设点表示的数为， 当点在点左侧时，点到点的距离小于点到点距离， ∴不存在点到点的距离是点到点距离的倍， 当点在、两点之间时， ∵点到点的距离是点到点距离的倍， ∴ 解得， 当点在点右侧时， ∵点到点的距离是点到点距离的倍， ∴ 解得， 综上所述：点表示的数为或． （3）解：∵点、表示的数分别是、， ∴、两点之间距离为， ∵连续对折次， ∴对折后共有段， ∴每两条相邻折痕间的距离为， ∴最左端的折痕与数轴的交点表示的数为． 32．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）如图，在长方形中，厘米，厘米．点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动；点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动．如果、同时出发，用（秒）表示移动的时间， 那么： (1) 厘米， 厘米（用含的代数式表示）； (2)如图，当 秒时，线段与线段相等； (3)如图，、到达、后继续运动，点到达点后都停止运动．当为何值时，线段的长等于线段的长的一半． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】解题的关键在于根据题意找出等量关系，建立一元一次方程． （1）根据路程速度时间列出代数式即可； （2）根据题意求出厘米，再根据线段与线段相等建立方程求解，即可解题； （3）根据、到达、后继续运动，分别表示出、，再根据线段的长等于线段的长的一半建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，厘米，厘米； （2）解：在长方形中， 厘米， 厘米， 厘米， 线段与线段相等， ， 解得； （3）解：当、到达、后继续运动， 此时厘米， 厘米， 厘米， 线段的长等于线段的长的一半， ， 解得． 33．（2023七年级上 江苏宿迁）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，5．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字1对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度． (1)在图1的数轴上，个长度单位；数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的________； (2)求数轴上点B所对应的数b； (3)在图1的数轴上，点Q是直线上一点，满足，求点Q所表示的数． 【答案】(1)8；0.7 (2) (3)或 【分析】（1）用右边点表示的数减去左边点表示的数即可得到线段的长度，从尺子上读出线段实际长度除以对应的长度单位，即可求出一个长度单位对应实际的长度． （2）从尺子读出的实际长度，再结合（1）中的结论列方程计算即可． （3）右边点表示的数减去左边点表示的数即可得到线段的长度，结合，列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得，由图2可得， 数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的实际长度； （2）解：依题意有， 解得， 即数轴上点B所对应的数b为； （3）解：设点Q所表示的数是x， ①当Q在延长线上时， ， 解得， ②当Q在之间时， ， 解得， 综上所述点Q表示的数为或． 34．（2026七年级上·江苏·专题练习）在梯形中，，动点P从点A出发，以的速度沿运动，点P到达C点停止运动，设点P运动的时间为t秒，是否存在这样的t，使得的面积？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，秒或秒 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，三角形面积的计算，解答本题的关键是分段讨论，画出每段的图形，根据的面积为3建立方程，注意数形结合思想的运用．分两段考虑，①点P在上（不与点B重合），②点P在上，分别用含t的式子表示出的面积，再由建立方程，解出t的值即可． 【详解】解：①当点P在上时（不与点B重合），点P的速度为，，如图①所示： ， 则， ， 解得：； ②当点P在上时，点P的速度为，，如图②所示： ， 则， ， 解得：； 综上可得：当秒或秒时，使得的面积． 35．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，，．点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿的路径向终点C运动；点P出发的同时点Q从C出发，以每秒1个单位长度的速度沿的路径向点B运动．当点P到达终点时，点Q也随之停止运动．设点P的运动时间是t秒． (1)用含t的代数式表示的长； (2)当点P在线段上运动，Q在线段上运动时，若，求t的值； (3)当的面积等于面积的时，求t的值； (4)当线段将的周长分成两部分的比为时，直接写出t的值． 【答案】(1)，；， (2) (3)t的值为8或 (4)t的值为或 【分析】（1）分点P在上和上两种情况讨论即可； （2）根据题意，得，，则有，然后问题可求解； （3）根据题意得，则可分当时，点在线段上，此时，当时，点在线段上，此时； （4）根据题意得的周长为，则可分当在上，点在上（），则有，当在上，点在上（），则有，当在上，点在上（），则有，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点P运动的总时间为18秒， ∴当时，点P在上，时，点P在上， ∴当时，； 当时，； （2）解：根据题意，点P在线段上，，点Q在边上时，， ∴， ∵， ∴， 解得； （3）解：根据题意得：， ∵的面积等于面积的， ∴， 由题意可分：当时，点在线段上，此时， ∴， 解得：； 当时，点在线段上，此时， ∴， 解得：； 综上，t的值为8或； （4）解：根据题意得的周长为， 当在上，点在上（），则有， ∵线段将的周长分成两部分的比为， ∴或， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当在上，点在上（），则有， ∵线段将的周长分成两部分的比为， ∴或， 解得：或（都不符合题意，舍去）； 当在上，点在上（），则有， ∵线段将的周长分成两部分的比为， ∴或， 解得：（不符合题意，舍去）或； 综上，当线段将的周长分成两部分的比为时，t的值为或． 36．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图：长方形中，，，点从点出发，以每秒的速度沿方向运动，同时点从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点在上运动时，______． (2)当点在上运动时，时，求线段的长． (3)当时，求出的值． (4)当点在上运动时，连接、，直接写出的面积是时，的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）根据题意，，则； （2）计算得，此时点与点重合，因此； （3）分类讨论，点在边上时，，，根据题意可列方程，解得或；当点在边上时，同样的方法计算出的值，并删去不符合题意的值即可； （4）先利用三角形面积计算出，再分类讨论，当点在点上方时，，可列方程，解得；当点在点下方时，，列方程，解得，舍去不符合题意的情况即可． 【详解】（1）解：∵长方形中，，点从点出发，以每秒的速度沿方向运动，当点在上运动时， ∴， ∴； （2）解：∵长方形中，，点从点出发，以每秒的速度沿方向运动，当点在上运动时，， ∴点的运动路程为，（秒）， ∵同时点从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动， ∴， ∵， ∴点与点重合， ∴； （3）解：∵长方形中，，，点从点出发，以每秒的速度沿方向运动， ∴点走完需要的时间为：（秒）；点走完需要的时间为： （秒）， ①当时，点在边上， ∴，， ∵， ∴，即， 解得或（与题设矛盾，舍去）； ②当时，点在边上， ∴， 同理可得，，即， 解得或（与题设矛盾，舍去）； 综上所述，的值为或； （4）解：∵点在上运动， ∴， ∴， ∵， ∴， ①当点在点上方时，如图， ∴， ∵， ∴， 解得； ②当点在点下方时，如图， ∴， 同理，， 解得， ∵， ∴不符合题意； 综上所述，． 【经典计算题七 一元一次方程新定义运算】 37．（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）我们用一个数对表示从左到右排列的两个数，把变换成称为1次“移轴变换”，例如：经过1次“移轴变换”变成，即为，再经过1次“移轴变换”变成． (1)把先经过1次“移轴变换”变成[________，________]，再连续经过3次“移轴变换”变成[________，________]； (2)把连续经过2026次“移轴变换”变成，求的值； (3)若经过1次、2次、3次、…、k次（k为正整数）“移轴变换”所得的k个数对中，左边所有数的和与x的取值无关，则k的取值可能为________．（填序号） ①2024；②2027；③2030；④2031． 【答案】(1)0，2；， (2)1 (3)①②④ 【分析】（1）按照新定义求解即可； （2）找出规律可发现每4次一循环，即可求解； （3）找出规律，再分别判断四个选项即可． 【详解】（1）解：由题意可得：经过1次“移轴变换”：， 经过2次“移轴变换”：， 经过3次“移轴变换”：， 经过4次“移轴变换”：， ∴再连续经过3次“移轴变换”变成； （2）解：由题意可得：经过1次“移轴变换”：， 经过2次“移轴变换”：， 经过3次“移轴变换”：， 经过4次“移轴变换”：， 经过5次“移轴变换”：， ……， ， ∴连续经过2026次“移轴变换”变成， ∵连续经过2026次“移轴变换”变成， ∴ ， 解得， ∴； （3）解：由题意可得：经过1次“移轴变换”：， 经过2次“移轴变换”： ， 经过3次“移轴变换”：， 经过4次“移轴变换”：， 经过5次“移轴变换”：， 经过6次“移轴变换”：， 经过7次“移轴变换”：， 经过8次“移轴变换”：， ……， 每4次一循环，一次循环的左边数之和为：，此时左边所有数的和与x的取值无关， ∵，余数为0，符合左边所有数的和与x的取值无关； ，余数为，，符合左边所有数的和与x的取值无关； ，余数为，，不符合左边所有数的和与x的取值无关； ，余数为，，符合左边所有数的和与x的取值无关， ∴k的取值可能为2024，2027，2031． 38．（25-26七年级上·四川广元·期末）定义：若，则称与是关于整数的“平衡数”．比如2与是关于的“平衡数”，4与11是关于15的“平衡数”．请回答下列问题： (1)与是关于________的“平衡数”． (2)现有与（为常数），且与始终是整数的“平衡数”，且的大小与取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“平衡数”的定义求解即可； （2）先根据整式的加减法则求出，再根据a与b始终是整数n的“平衡数”，与x取值无关得出关于k的方程，求解后即可得出n的值． 【详解】（1）解：∵， ∴与是关于的“平衡数” （2）解：∵，， ∴ ， ∵与始终是整数的“平衡数”， ∴，即 ∵的大小与取值无关， ∴， ∴， ∴． 39．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）定义：若代数式A和代数式B满足（n为正整数），则称A是B的n阶关系式．例如：，我们就称是的1阶关系式． 根据上述知识，解答以下问题： (1)是的 阶关系式； (2)若是的3阶关系式，求x 的值； (3)若关于a，b（，m，n为整数）的代数式是的k 阶关系式，求k 的值． 【答案】(1)7 (2) (3) 【分析】（1）计算两式的差，根据n阶关系式的定义直接得到阶数； （2）根据3阶关系式的定义列方程，求解x的值； （3）根据k阶关系式的定义列等式，令含a，b的项系数为0，求m，n后计算k的值． 【详解】（1）解：∵， ∴是的7阶关系式； （2）解：根据题意，得 ， 去分母，得， 整理，得， 解得 ； （3）解： 由题意得：， 整理得：， ∵k为固定正整数，与a，b的取值无关，且， ∴含a，b的项的系数均为0，即且， 解得， 将，代入，得， 综上所述，． 40．（25-26七年级上·山东威海·期中）阅读下面的内容，并完成相应任务． 成双方程 新定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为 “成双方程”．例如：方程的解为，方程的解为 因为，所以这两个方程互为“成双方程”． 任务： (1)请写出一个一元一次方程，使它与方程互为“成双方程”． (2)若关于x的方程 和 互为“成双方程”，求m的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】求已知方程的解，再根据“成双方程”的定义求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得， 根据“成双方程”的定义，两个方程的解之和为2， ∴另一个方程的解为， 那么这个一元一次方程可以是（答案不唯一）． （2）解方程得， ∵两个方程互为“成双方程”， ∴方程的解为， 将代入方程得， 解得． 41．（25-26七年级上·山西长治·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为4，我们就称这两个方程为“毓德方程”．例如：方程和为“毓德方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“毓德方程”； (2)若关于的方程与方程互为“毓德方程”，求的值； (3)若关于的方程与互为“毓德方程”，则关于的方程的解为________． 【答案】(1)方程与方程是互为“毓德方程” (2) (3) 【分析】（1）求出两个方程的解，再根据“毓德方程”的定义，进行判断即可； （2）求出两个方程的解，再根据“毓德方程”的定义，列出关于的方程，进行求解即可； （3）先求出的解，根据“毓德方程”的定义，得到的解，进而得到中的值，进一步求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得：； 解方程，得：， ∵， ∴方程与方程是互为“毓德方程”； （2）解：解方程得， 解方程得， ∵关于的方程与方程互为“毓德方程”， ∴， ∴； （3）解：解方程得， ∵关于的方程与互为“毓德方程”， ∴的解为， ∵， ∴ ∴， 解得：． 42．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团方程”，例如：方程和为“集团方程”． (1)若关于x的方程与方程是“集团方程”，则m的值为___________； (2)若“集团方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“集团方程”，直接写出关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1)6 (2)或 (3) 【分析】（1）先分别求解两个方程的解，再根据“集团方程”定义（解的和为1）列方程求m； （2）设两个解，利用“集团方程”解的和为1及差为6列方程求n； （3）先求已知方程的解，根据“集团方程”定义求另一个方程的解，再通过方程变形求y的值． 【详解】（1）解：解方程，得， 解方程，得， ∵关于x的方程与方程是“集团方程”， ∴， ∴． （2）解：∵“集团方程”的两个解的和为1，设其中一个解为n， ∴另一个解是， ∵两个解的差是6， ∴，即， ∴或， 解得或． （3）解：∵， ∴， ∵和是“集团方程”， ∴的解为， ∵可化为， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19 一元一次方程42道计算题专项训练（7大题型） 题型一 等式的性质 题型二 已知方程的解求参数 题型三 解方程 题型四 一元一次方程解的关系 题型五 用一元一次方程解决实际问题 题型六 用一元二次方程解决几何动点问题 题型七 一元一次方程新定义运算 【经典计算题一 等式的性质】 1．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段测试）计算： 2．（25-26七年级上·江苏常州·阶段测试）已知：，求的值． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）回答下列问题，并说明理由： (1)由能不能得到? (2)由能不能得到？ (3)由能不能得到? (4)由能不能得到? 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）请判断下列各式的变形是否正确，并说明理由． (1)如果，那么． (2)如果，那么． (3)如果，那么． (4)如果，那么． 5．（25-26七年级上·浙江台州·期末）幻方是中国古代重要的数学成就．在每个小方格中各填入一个数，如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方． (1)现用2到10这9个整数构造三阶幻方（每个数只能用一次） ①将图1的三阶幻方补充完整； ②如图2，该同学经过多次尝试，发现幻方中不同位置的数之间有一定的数量关系，若将图中对应位置的数记作a，b，写出a，b满足的数量关系； (2)如图3，对于任意满足条件的三阶幻方，设对应位置的数分别为a，b，c，写出a，b，c满足的数量关系． 6．（25-26七年级上·全国·单元测试）老师在黑板上写了一个等式：．王聪说：“．”刘敏说：“不一定，当时，这个等式也可能成立．”你认为他俩的说法正确吗？用等式的性质说明理由． 【经典计算题二 已知方程的解求参数】 7．（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“和解方程”．例如：方程和为“和解方程”． (1)请判断方程与方程是否为“和解方程”，请说明理由； (2)若关于的方程与方程是“和解方程”，求的值． 8．（2026七年级上·全国·专题练习）已知关于的方程是一元一次方程． (1)的值为________； (2)若已知方程与关于的方程的解相同，求的值； (3)若已知方程的解比方程的解小5，求的值． 9．（25-26七年级上·山西晋城·期末）阅读与思考 请认真阅读并完成相应的任务． 规定：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为Q，我们称这两个方程为“值Q方程”． 例题分析：例如：方程的解是， 方程的解是， ∵， ∴方程与方程是“值3方程”． 任务： (1)①方程和方程是不是“值1方程”？________________（选填“是”或“不是”）； ②方程和方程是“值________________方程”． (2)若关于x的一元一次方程和是“值2方程”，求a的值． 10．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）已知关于的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于的方程的解相同． (1)求，的值． (2)若关于的方程无解，求的值． 11．（25-26七年级上·江苏常州·期末）已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (3)若该方程有负整数解，求整数的最大值． 12．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）马小虎同学在解关于x的一元一次方程去分母时，方程右边的漏乘了3，因而求得方程的解为，请你帮助马小虎同学求出a的值，并求出原方程正确的解． 【经典计算题三 解方程】 13．（26-27七年级上·江苏徐州·阶段测试）解方程 (1) (2) 14．（2026七年级上·全国·专题练习）计算：．某同学在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了（代表被污染的数字）． (1)如果被污染的数字是6，请计算：； (2)如果正确的结果为，那么被污染的数字是________． 15．（2026七年级上·全国·专题练习）解方程： (1)． (2)． 16．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）求未知数x． (1) (2) 17．（26-27七年级上·江苏南京·阶段测试）计算 (1)； (2)解方程：； (3)定义运算“*”为：，求． 18．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）解方程： 【经典计算题四 一元一次方程解的关系】 19．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）已知关于的一元一次方程的解与关于的一元一次方程的解互为相反数，求代数式的值． 20．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）已知关于的方程①：的解比方程②： 的解大2，求的值以及方程②的解． 21．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）【阅读理解】 在解一元一次方程时，有时根据方程的特点，巧妙利用“整体思想”，可以达到简化计算的目的．例如：在解方程时，可把看作一个整体，令，原方程变为，解得，即，解得． 【尝试运用】 (1)请用材料中介绍的方法解方程：． (2)已知关于x的方程的解为，则关于x的方程的解为________． (3)【拓展创新】已知关于x的一元一次方程的解为，直接写出关于y的一元一次方程的解． 22．（25-26七年级上·江苏南通·期末）已知关于的方程的解比方程的解大1，求的值． 23．（26-27七年级上·江苏·阶段测试）已知关于的方程． (1)若，求方程的解； (2)若方程有无数个解，求，的值； (3)若为正整数，时，求方程的整数解． 24．（24-25七年级上·江苏常州·阶段检测）已知关于的方程的解也是关于的方程的解 (1)求，的值 (2)已知线段，在线段所在直线上取一点，恰好使，点是的中点，求线段的长． 【经典计算题五 用一元一次方程解决实际问题】 25．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）某车间每天能生产甲种零件180个或乙种零件60个，若2个甲种零件与1个乙种零件配成一套，那么要使50天内生产的两种零件恰好配套，应怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？ 【思路分析】： (1)设安排生产甲种零件x天，则安排生产乙种零件天，那么x天共生产甲种零件 个，天共生产乙种零件 个；（用含x的代数式表示） (2)根据题意可知“甲种零件数是乙种零件数的2倍”即可列出方程求解．请同学们自己完成解答过程． 26．（2026七年级上 江苏扬州·阶段测试）2026年是红军长征胜利90周年，某车间接到制作一批纪念章的任务，原计划每天制作400枚可以完成．实际制作时，每天比原计划多做100枚，结果提前5天完成任务，求这批纪念章一共有多少枚？设这批纪念章一共有x枚，请列方程解决问题． 27．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段测试）已知甲商品进价为40元/件，利润率为；乙商品进价为50元/件，利润率为． (1)若同时采购甲、乙两种商品共50件，总进价为2300元，求采购甲商品的件数； (2)元旦期间，针对甲、乙两种商品进行如下优惠活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过500元 无 超过500元，但不超过800元 其中500元部分不打折，超过500元部分打9折 超过800元 其中800元部分打8.8折，超过800元部分打8折 小明一次性购买甲商品5件，乙商品若干件，实际付款752元，求小明购买乙商品的件数． 28．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）在月历中，每个字母都代表某个具体日期． (1)在图（1）中任意框出五个数，则______，这5个数的和为______(都用含x的式子表示)； (2)在图（1）中，的和与x的关系是什么？通过计算说明； (3)已知图（2）是某个月的月历，如果用框出的5个数的和为80，求中间的那个数． 29．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）根据以下素材，尝试解决问题 出行方式选择 素材1 随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的方式有了更多的选择．某市有出租车、快车和专车三种网约车，收费标准如图（假设网约车行驶的平均速度均为40千米/时）． 素材2 1．乘坐网约快车4千米路程收费为元； 2．网约快车和网约专车在春节期间有如下优惠方式： 快车：“满40元减10元”优惠券（一次限用一张优惠券） 专车：①免除时长费；②3千米及以内，里程费不变为3元/千米；超过3千米且不超过8千米的部分，里程费为2元/千米；超过8千米的部分，里程费为1.6元/千米． 问题1 乘坐出租车千米，费用为 元．（结果用的代数式表示） 问题2 春节期间，若小明乘坐出租车与网约快车的里程数相同且所付费用也相同，求此时的里程数． 问题3 春节期间，小明、小宁分别坐出租车、专车从地前往地．小宁坐专车的费用比小明坐出租车的费用贵7元，求，两地相距多少千米？ 30．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）对于一组互不相等的正有理数，若对于其中任意两个数与两数中至少有一个在这组数中，则称这组有理数是“好数组”．如在2，3，5中，因为对于在这组数中；对于在这组数中；对于在这组数中，所以2，3，5这组有理数是“好数组”， (1)1，2，3，5_______“好数组”；1，2，3，4，5_______“好数组”．（填“是”或“不是”） (2)若2，4，8，x是“好数组”，求出的值； (3)若含60的5个正有理数是“好数组”，直接写出所有符合条件的“好数组” 【经典计算题六 用一元二次方程解决几何动点问题】 31．（26-27七年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在一张长方形纸条上画一条数轴． (1)折叠纸条使数轴上表示的点与表示的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是_________；如果数轴上两点之间的距离为，经过上述的折叠方式能够重合，那么左边这个点表示的数是_________； (2)如图，点、表示的数分别是、，数轴上有点，使点到点的距离是点到点距离的倍，那么点表示的数是_________； (3)如图，若将此纸条沿、两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折次后，再将其展开，求最左端的折痕与数轴的交点表示的数． 32．（25-26七年级上·江苏徐州·期末）如图，在长方形中，厘米，厘米．点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动；点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动．如果、同时出发，用（秒）表示移动的时间， 那么： (1) 厘米， 厘米（用含的代数式表示）； (2)如图，当 秒时，线段与线段相等； (3)如图，、到达、后继续运动，点到达点后都停止运动．当为何值时，线段的长等于线段的长的一半． 33．（2023七年级上 江苏宿迁）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，5．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字1对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度． (1)在图1的数轴上，个长度单位；数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的________； (2)求数轴上点B所对应的数b； (3)在图1的数轴上，点Q是直线上一点，满足，求点Q所表示的数． 34．（2026七年级上·江苏·专题练习）在梯形中，，动点P从点A出发，以的速度沿运动，点P到达C点停止运动，设点P运动的时间为t秒，是否存在这样的t，使得的面积？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 35．（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，，．点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿的路径向终点C运动；点P出发的同时点Q从C出发，以每秒1个单位长度的速度沿的路径向点B运动．当点P到达终点时，点Q也随之停止运动．设点P的运动时间是t秒． (1)用含t的代数式表示的长； (2)当点P在线段上运动，Q在线段上运动时，若，求t的值； (3)当的面积等于面积的时，求t的值； (4)当线段将的周长分成两部分的比为时，直接写出t的值． 36．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图：长方形中，，，点从点出发，以每秒的速度沿方向运动，同时点从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点在上运动时，______． (2)当点在上运动时，时，求线段的长． (3)当时，求出的值． (4)当点在上运动时，连接、，直接写出的面积是时，的值． 【经典计算题七 一元一次方程新定义运算】 37．（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）我们用一个数对表示从左到右排列的两个数，把变换成称为1次“移轴变换”，例如：经过1次“移轴变换”变成，即为，再经过1次“移轴变换”变成． (1)把先经过1次“移轴变换”变成[________，________]，再连续经过3次“移轴变换”变成[________，________]； (2)把连续经过2026次“移轴变换”变成，求的值； (3)若经过1次、2次、3次、…、k次（k为正整数）“移轴变换”所得的k个数对中，左边所有数的和与x的取值无关，则k的取值可能为________．（填序号） ①2024；②2027；③2030；④2031． 38．（25-26七年级上·四川广元·期末）定义：若，则称与是关于整数的“平衡数”．比如2与是关于的“平衡数”，4与11是关于15的“平衡数”．请回答下列问题： (1)与是关于________的“平衡数”． (2)现有与（为常数），且与始终是整数的“平衡数”，且的大小与取值无关，求的值． 39．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）定义：若代数式A和代数式B满足（n为正整数），则称A是B的n阶关系式．例如：，我们就称是的1阶关系式． 根据上述知识，解答以下问题： (1)是的 阶关系式； (2)若是的3阶关系式，求x 的值； (3)若关于a，b（，m，n为整数）的代数式是的k 阶关系式，求k 的值． 40．（25-26七年级上·山东威海·期中）阅读下面的内容，并完成相应任务． 成双方程 新定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为 “成双方程”．例如：方程的解为，方程的解为 因为，所以这两个方程互为“成双方程”． 任务： (1)请写出一个一元一次方程，使它与方程互为“成双方程”． (2)若关于x的方程 和 互为“成双方程”，求m的值． 41．（25-26七年级上·山西长治·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为4，我们就称这两个方程为“毓德方程”．例如：方程和为“毓德方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“毓德方程”； (2)若关于的方程与方程互为“毓德方程”，求的值； (3)若关于的方程与互为“毓德方程”，则关于的方程的解为________． 42．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团方程”，例如：方程和为“集团方程”． (1)若关于x的方程与方程是“集团方程”，则m的值为___________； (2)若“集团方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“集团方程”，直接写出关于y的一元一次方程的解． 学科网（北京）股份有限公司 $