专题03 一元一次方程易错题型22大题型（专项训练）数学新教材苏科版七年级上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程核心易错点，构建从概念性质到实际应用的递进训练体系，强化运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念与性质|题型1-6（6类）|围绕方程概念、等式性质、列方程等基础易错点设题|从概念生成到性质应用，夯实方程认知基础| |解法与参数问题|题型7-10（4类）|含常规解法、参数求解、解的关系及绝对值方程|深化方程变形能力，培养推理意识| |实际应用|题型11-22（12类）|覆盖配套、工程、行程等12类应用题，突出建模过程|以问题为载体，构建“抽象-建模-求解”逻辑链，发展应用意识|

专题03 一元一次方程易错题型 常考题型·精准突破 考点一 一元一次方程易错题型 题型01 方程的概念 题型02 等式的性质1、2 题型03 列方程 题型04 方程的解 题型05 已知方程的解求参数 题型06 一元一次方程的概念 题型07 一元一次方程的解法 题型08 已知一元一次方程的解求参数 题型09 一元一次方程解的关系 题型10 绝对值方程 题型11 配套问题 题型12 工程问题 题型13 销售盈亏 题型14 方案选择 题型15 数字问题 题型16 几何问题 题型17 动点问题 题型18 和差倍分问题 题型19 水电费问题 题型20 行程问题 题型21 日历问题 题型22 古代问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 一元一次方程易错题型 ◆题型01 方程的概念 1．下列各式中，属于方程的是（     ） A． B． C． D． 2．下列式子中是方程的是（　　） A． B． C． D． 3．下列各式中___是等式，___是方程(填序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． ◆题型02 等式的性质1、2 4．根据等式的性质，下列变形不正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 5．运用等式的性质变形正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 6．若，则在：①；②；③；④；⑤中，正确的有______．（填序号） ◆题型03 列方程 7．若m的2倍与n的倍的和等于6，则可列方程为___________． 8．某数的3倍与5的差比这个数大9，设这个数为x，可列方程为（   ） A． B． C． D． 9．根据下列条件列出方程： (1)的倍与的和等于的倍与的差． (2)某数的比它本身小6．（设这个数为） (3)一个数的倍加上等于这个数的倍减去．（设这个数为） ◆题型04 方程的解 10．下列方程中，解为的是（     ） A． B． C． D． 11．解为的方程是（     ） A． B． C． D． 12．整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一次方程的解为（     ） 0 1 2 0 2 A． B． C．0 D．2 ◆题型05 已知方程的解求参数 13．若是方程的解，则a的值为（     ） A． B． C． D． 14．若是关于的一元一次方程（）的解，则的值是___________． 15．整式的值随着的取值的变化而变化，下表是当取不同的值时对应的整式的值，则关于的方程的解是（     ） 0 1 2 3 0 4 8 A． B． C． D． ◆题型06 一元一次方程的概念 16．已知关于的方程是一元一次方程，那么________． 17．下列式子中，一元一次方程的个数为（     ） ；；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．若关于的方程是一元一次方程，则的值是（     ） A． B．0 C．2 D．2或0 ◆题型07 一元一次方程的解法 19．解方程：． 20．解方程 (1) (2) (3) 21．解方程： (1)． (2)． ◆题型08 已知一元一次方程的解求参数 22．已知关于x的方程的解比关于x的方程的解大2，求a的值． 23．已知关于方程与关于方程的解相同，求代数式的值. 24．已知m，n是有理数，关于x的方程 (1)当时，解该方程． (2)若该方程有无数解，求m，n的值． ◆题型09 一元一次方程解的关系 25．已知关于x的两个一元一次方程和的解互为相反数，求代数式的值． 26．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们称这两个方程为“互逆方程”． 例如：方程和为“互逆方程”． (1)下列方程中与方程为“互逆方程”的是__________填写序号）： ①；②；③ (2)若关于的方程和为“互逆方程”，求的值． 27．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为7，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． ◆题型10 绝对值方程 28．先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程：． (2)已知关于的方程． ①若方程无解，则的取值范围是________； ②若方程有解，则的取值范围是________． 29．综合与实践：华罗庚是中国著名数学家、教育家和社会活动家，被誉为“中国现代数学之父”，他曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”． 【知识储备】若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离可以表示为，例如表示5与2差的绝对值，可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作表示5与的差的绝对值，可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离可以表示为． 【初步运用】 （1）数轴上表示5与的两点之间的距离为______； （2）已知数轴上某个点表示的数为x． ①若，则______； ②若，则______； 【深入探究】 （3）如图，数轴上每相邻两点之间的距离为1个单位长度，点A，B，C表示的数分别为a，b，c． ①求的值； ②若，求点C表示的数． 30．解方程 (1)； (2)． ◆题型11 配套问题 31．某车间有82个工人生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件25个．已知3个甲种零件和4个乙种零件配成一套，问分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成多少套？ 32．一台仪器由1个A部件和3个B部件构成．用钢材可以做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，应该用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器？最多能制作多少台仪器？ 33．某眼镜厂生产一批眼镜，分两个车间进行，甲车间生产镜架，乙车间生产镜片．已知两个车间共有50名工人，且甲车间人数比乙车间人数的2倍少1人． (1)甲、乙两车间各有多少人？ (2)若每个工人平均每天可以生产镜架50个或镜片150片，一个镜架和两个镜片刚好配成一副眼镜，为使每天生产的镜架与镜片刚好配套，应如何调整两车间的人数？ ◆题型12 工程问题 34．2025年，旺苍县为聚焦城市建设“舒筋活络”，助推“民生愿景”变为幸福实景，统筹推进多项民生工程．其中，某一项工程由甲、乙两个工程队承接，已知甲队单独完成此项工程需要20天，乙队单独完成需要30天．该工程施工情况如下：甲队先单独施工10天，之后因工期紧张，安排乙队加入，甲、乙两队合作完成剩余工程． (1)甲、乙两队合作还需要多少天完成此项工作？ (2)已知甲队每天的劳务费比乙队多30元，完成这项工程共需支付劳务费11480元．则甲、乙两队每天的劳务费各是多少元？ 35．现在有一项工程由甲乙两个工程队合作完成，已知甲队单独完成该工程需要20天，乙队单独完成该工程需要30天． (1)若两队合作，需要多少天能完成此工程？ (2)当甲乙两队合作6天后，乙工程队因调动而离开，剩余工作由甲队单独完成．问：当乙工程队离开后，甲队还需要多少天才能完成工程？ 36．某企业聘用甲、乙两队完成一项工程，已知乙队单独完成这项工程需天，甲队单独完成所需天数是乙队单独完成所需天数的倍．如果甲、乙两队先合作天，接着甲队因故停工天（乙队不停工），后继续与乙队合作完成剩下的工程． (1)甲队单独完成这项工程需要 天． (2)完成这项工程总共用了多少天？ (3)该企业为了这项工程一共支付万元的费用．如果你是决策者，你会将这笔费用如何分配给甲、乙两队？请设计一个分配的方案，并说明分配的依据． ◆题型13 销售盈亏 37．某超市清库存，以每件元的价格销售甲、乙两种商品．已知销售一件甲商品盈利，销售一件乙商品亏损． (1)甲商品每件进价___________元，乙商品每件进价___________元． (2)在五一期间，超市所有商品有优惠促销活动，方案如下： ①购买商品总价不超过元，不优惠； ②购买商品总价超过元，但不超过元时，按照售价的九折优惠； ③购买商品总价超过元时，按照售价的八折优惠； 按照以上优惠条件，若小明一次性购买乙商品实际付款元，则小明此次购买了多少件乙商品？ 38．某商场A，B两种玩偶在市场热销，商场现购进A，B两种玩偶一共100个，其中每个A玩偶进价12元，每个B玩偶进价15元，总共花费1380元． (1)求购进A，B两种玩偶各多少个？ (2)A、B两种玩偶标价分别为20元/个、25元/个，销售过程中，A种玩偶全部按标价售完，B种玩偶售出一部分后，进行促销，剩余的打八折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是720元，求B种玩偶打折前卖出多少个？ 39．公园门票价格规定如表： 购票张数 张 张 100张以上 每张票的价格 13元 11元 9元 某校七年级（1）（2）两个班共104人去游园，其中（1）班有40多人，不足50人，经估算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元．问： (1)两班各有多少学生？ (2)如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？ (3)如果七年级（1）班单独组织去游园，作为组织者的你如何购票才最省钱？ ◆题型14 方案选择 40．暑假期间，小旭和几名同学随家长一同到某景区游玩，下面是购买门票时小旭与爸爸的对话，根据图中的信息，解答问题． (1)小旭他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助小旭算一算，为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 41．某校欲筹备“书香满校园”读书节活动，需为师生打印大量经典名著导读、好书分享素材等资料，对接的打印店推出了读书节专属优惠方案，具体如下： 方案一：缴纳30元办理“阅读普卡”，可免费打印500张资料，超出500张的部分，每张按0.3元收费； 方案二：缴纳45元办理“阅读金卡”，可免费打印750张资料，超出750张的部分，每张按a元收费． 注： ①每位顾客只能选择其中一种方案办卡； ②以上优惠活动仅限于打印A4单面纸张，以下均默认打印的是A4单面纸张． (1)若某班级需打印800张资料，选择方案一需支付多少元，选择方案二需支付多少元（用含的代数式表示）？ (2)某老师选择方案一打印资料，共支付费用66元，求该老师打印的资料总张数； (3)当时，设打印总量为张，若两种方案收费相等，求的值． 42．为准备联合韵律操表演，甲、乙两校共100人准备统一购买服装（一人买一套）参加表演，其中甲校人数多于乙校人数，下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至49套 50套至79套 80套及以上 每套服装的价格 60元 55元 50元 如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5710元． (1)如果甲乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省______元． (2)甲、乙两校各有多少名学生准备参加表演？ (3)因特殊情况，甲校有9名同学不能参加演出．现甲校要单独为本校剩下的演员购买服装，请你为甲校设计一个最省钱的购买方案，并说明理由． ◆题型15 数字问题 43．观察下面三行数： ① ② ③ (1)第行第 个数是 ，第行第 个数是 ，第行第 个数是 ； (2)在第行中是否存在三个连续数，其和为？若存在求出这三个数，不存在说明理由； (3)若在每行取第个数，这三个数的和为，求的值． 44．表示一个三位数，a、b、c分别表示百位、十位、个位上的数字，现在有这样的三位数，将中间的数字去掉后，成为一个两位数且满足（ 如： ），求出所有满足上述条件的三位数． 45．将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表． (1)十字形框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ (2)设中间数为a，如何用代数式表示十字形框中五个数之和？ (3)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？ (4)十字形框中的五个数之和能等于2022吗？能等于2025吗？ ◆题型16 几何问题 46．如图1、某小区的平面图是一个占地长500米、宽400米的矩形，正中央的建筑区是与整个小区长、宽比例相同的矩形，如果要使四周的空地所占面积是小区面积的，南北空地等宽，东西空地等宽． (1)求该小区四周的空地的宽度； (2)如图2，该小区在东、西、南三块空地上作如图所示的矩形绿化带，绿化带与建筑区之间为小区道路、小区道路宽度一致．已知东、西两侧绿化带完全相同，其长均为200米，南侧绿化带的长为300米、绿化面积为5500平方米，请算出小区道路的宽度． 47．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，5．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字1对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度． (1)在图1的数轴上，个长度单位；数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的________； (2)求数轴上点B所对应的数b； (3)在图1的数轴上，点Q是直线上一点，满足，求点Q所表示的数． 48．学校装修录播教室需用型板材块、型板材块，型板材规格是，型板材规格是，现只能购得规格是的标准板材，一张标准板材尽可能多地裁出型、型板材，共有下列三种裁法：（如图是裁法一的裁剪示意图） 若所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁张、按裁法二与裁法三分别裁若干张，且所裁出的、两种型号的板材刚好够用． 裁法一 裁法二 裁法三 型板材块数 型板材块数 (1)上表中， ， ； (2)用含有的代数式分别表示裁法二与裁法三的张数； (3)问所购标准板材的总张数能不能为82张？若能，求出此时的的值；若不能，请说出理由． ◆题型17 动点问题 49．如图，数轴上点表示的数为是数轴上点左侧的一点，且两点间的距离为10，动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是___________； (2)动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点，同时出发． ①当为何值时，点表示的数相同？ ②当点与点之间的距离为6时，求点所表示的数． 50．如图，数轴上有A，B，C三点，它们表示的数分别是，，．现有动点P，Q都从点A出发，点P 以每秒1个单位长度的速度向终点C移动；当点P移动到点B时，点Q才从点A出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，点Q到达点C后立即返回，并以原来的速度向左移动．当点P到达点C时，点Q停止移动．设点P移动的时间为． (1)填空： ， ； (2)请求出当t不低于，且不超过时，线段的长；（用含t的代数式表示） (3)当线段的长为个单位长度时，求t的值． 51．如图，在数轴上点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，为原点． (1)，两点间的距离是______，，两点的中点所对应的数是______； (2)若点以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，则秒时，点走到的位置所对应的数是______（用含的代数式表示）； (3)若点，都以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向同时运动，而点不动，秒时，，，中有一点是三点所在线段的中点，则的值为______． ◆题型18 和差倍分问题 52．某水果店运来苹果和梨一共340千克，苹果卖出四分之一，梨卖出三分之一后，剩下的苹果、梨质量恰好相等．水果店原来运来苹果、梨各多少千克？ 53．我国已有三代治沙人致力于沙漠改造、他们采用科学治沙、绿色发展的理念开展治沙工作，治沙效果大幅提升，某地区三代治沙人共完成治沙面积万亩，比第一代治沙人治沙面积的倍还多万亩，求第一代治沙人的治沙面积． 54．马丁一家人坐火车回家乡．车上有个很唠叨的人，不停地问这问那，最后问起马丁一家人的年龄．马丁有些不耐烦，就说：“我儿子的年龄是我女儿年龄的5倍，我妻子的年龄是我儿子年龄的5倍，我的年龄是我妻子年龄的倍，把我们的年龄都加起来，正好是祖母的年龄，今天她正要庆祝61岁的生日．”那人想了一会儿想不出来，你知道马丁多少岁吗？ ◆题型19 水电费问题 55．某市从5月1日起对居民用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下． 每户居民用电量的范围 电费价格（单位：元/度） 不超过150度的部分 0.6 超过150度，但不超过300度的部分 超过300度的部分 5月份该市居民甲用电200度，缴纳电费122.5元；居民乙用电350度，缴纳电费232.5元． (1)表中 ； ． (2)李老师缴纳5月份的电费后发现，他家该月平均电价实际为每度0.62元，你知道李老师家5月份用电多少度吗？ 56．某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 a 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元； (1)表中a的值为______；若用电420度，则应缴电费______元； (2)若11月份老李家交电费183元，求老李家11月份的用电量． 57．某市居民家庭全年用气（天然气）量划分为三档，气价实行超额累进加价，先用第一档，再用第二档，最后用第三档．例如：王明家年用气量为400立方米，前360立方米按2.53元计算，后40立方米按2.78元计算． 用气量（立方米） 单价（元） 第一档 （含） 2.53 第二档 （含） 2.78 第三档 600以上 3.54 (1)李强家年用气量为440立方米，李强家需交燃气费多少元？ (2)赵刚家全年的燃气费平均每立方米2.60元，赵刚家年用气量是多少立方米？ ◆题型20 行程问题 58．甲、乙两人从同一地点骑自行车沿同一方向出发，乙每分钟行240米，先出发2分钟；甲每分钟行300米，随后出发追赶乙．甲出发后多少分钟追上乙？ 59．如下是课本中本节例3的情境： 小明和小华两人在的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑，小华每分钟跑，两人起跑时站在跑道同一位置 （1）如果小明起跑后小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？ （2）如果小明起跑后小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？ 你还能提出其他问题并列方程解决吗？ 60．A，B两地相距，甲乙两位老人分别同时从A地与B地出发，步行前往另一地．已知甲老人走路的速度为，乙老人走路的速度为． (1)经过多长时间，甲乙老人相遇？ (2)一天，当两位老人出发时，一只狗与甲老人一同出发跑向乙老人，当狗与乙老人相遇时，立刻回头跑向甲老人，当狗与甲老人相遇时再立刻回头跑向乙老人……，当甲乙两位老人相遇时，狗停止运动．已知狗跑动的速度是．问：当狗停止运动时，狗已经跑了多少米？ ◆题型21 日历问题 61．生活中处处有数学，图1是2010年1月的月历，用一个正方形框出九个数． (1)在图1中用正方形框出和最大的九个数； (2)若框出的九个数之和是108，请求出最中间的数； (3)将自然数1至2010按图2的方式排列，按以上方式框出九个数，其和能为2010吗？若能，求出其中最小的数；若不能，请说明理由． 62．如图1，是2026年5月的月历，章老师在数学活动课上开展月历中的数学游戏． (1)用图2框出图1中的3个数，若中间的数为，则右边的数为 （用含的式子表示）： (2)用图3框出图1中的3个数，若中间的数为，则上方的数为 （用含的式子表示）； (3)用图4框出图1中的3个数，若中间的数为，则这3个数的和为 （用含的式子表示）： (4)用图5框出图1中的5个数，当这5个数的和最小时，中间的数为 ； (5)若某月有5个星期一的和是80，则这个月的15日是星期 ． 63．幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 【主题】探究月历与幻方的奥秘 【活动一】 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． (1)移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则b是______； (2)移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则d是______；（用含n的式子表示d．） 【活动二】移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． (3)若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则e是______，f是______； (4)若方框选取的数中最小的数是n，调整后，部分数的位置如图6所示，则g是______（用含n的式子表示g）． 【活动三】对于三阶幻方，我们可以做进一步探索研究． (5)如图7，是一个未完成的“三阶幻方”，则______． (6)如图8，是一个未完成的“三阶幻方”，则______． ◆题型22 古代问题 64．古希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：他生命的是幸福的童年；再度过了生命的，他两颊长起了细细的胡须；又度过了一生的，他结婚了；5年后，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子去世后，他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了． (1)求丢番图去世时的年龄； (2)尝试提出其他问题并列方程解决． 65．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竿．每人五竿多十二，每人八竿少三竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和多少竹竿．每人5竿，多12竿；每人8竿，少3竿”．甲、乙两位同学分别给出自己的理解和做法： (1)甲：设牧童人数为人，根据题意可列方程_____________________________； 乙：设竹竿数为竿，根据题意可列方程_____________________________； (2)通过解方程可知：牧童的人数是_________人，竹竿的数量是_________竿． 66．《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？（用一元一次方程求解） 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26七年级下·全国·期末）下列方程变形正确的是（     ） A．方程，系数化为1，得 B．方程，移项，得 C．方程，去括号，得 D．方程，去分母，得 2．（25-26七年级下·河南洛阳·期中）若关于的方程是一元一次方程，则的值为（    ） A．2 B．0 C．2或0 D．1 3．（25-26七年级下·山东淄博·期中）制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，1立方米木材可制作20个桌面或者400条桌腿，现有12立方米的木材，设有x立方米木材制作桌面，问怎样用料才能制作尽可能多的桌子，可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·陕西西安·期末）小明解方程，去分母时，方程右边的忘记乘12，因而求出的解为，则原方程正确的解为（    ） A． B． C． D． 5．（2026七年级上·江苏南京·专题练习）我国明朝数学家程大位所著的《算法统宗》中记载了一种乘法的计算方法，称为“铺地锦”．如图①，计算，先将乘数31和47分别写在大方格的上面和右面，然后用31的每位数字分别乘以47的每位数字，并将结果记入对应小方格的三角形中，最后再把大方格内同一斜线上的数相加，满十进一，得1457．如图②，是用“铺地锦”计算两个两位数乘积的过程，它们的乘积等于（   ） A．345 B．256 C．356 D．100 6．（25-26六年级下·山东烟台·期中）某车间有10名工人，每人每天可以生产螺栓9个或螺母12个，设名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，要求每天生产的螺栓和螺母按刚好配套，则可列方程为________． 7．（25-26六年级下·山东烟台·期中）若是关于的一元一次方程的解，则的值为___________． 8．（25-26七年级下·河南洛阳·期中）已知（k是整数）是关于x的一元一次方程，当______时，方程的解为正整数． 9．（25-26七年级下·福建漳州·期中）已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，总是它的解，则的值为______． 10．（25-26七年级下·重庆璧山·期中）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为______． 11．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）解下列方程． (1)； (2)． 12．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）解下列一元一次方程： (1)； (2)． 13．（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）关于x的两个一元一次方程与的解互为相反数，求m的值． 14．（25-26七年级下·重庆·期中）已知代数式，，解答下列问题： (1)若，则为何值时，代数式与相等？ (2)若关于的方程的解使得，两个代数式的值互为相反数，求的值． 15．（25-26七年级下·山西临汾·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之差为1．那么我们就称这两个方程互为“邻解方程”．例如：的解为，方程的解为，两个方程的解之差为1．所以这两个方程互为“邻解方程”．请回答下列问题： (1)方程和方程是否互为“邻解方程”？________；（填“是”或“否”） (2)若关于x的方程与方程互为“邻解方程”，求m的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元一次方程易错题型 常考题型·精准突破 考点一 一元一次方程易错题型 题型01 方程的概念 题型02 等式的性质1、2 题型03 列方程 题型04 方程的解 题型05 已知方程的解求参数 题型06 一元一次方程的概念 题型07 一元一次方程的解法 题型08 已知一元一次方程的解求参数 题型09 一元一次方程解的关系 题型10 绝对值方程 题型11 配套问题 题型12 工程问题 题型13 销售盈亏 题型14 方案选择 题型15 数字问题 题型16 几何问题 题型17 动点问题 题型18 和差倍分问题 题型19 水电费问题 题型20 行程问题 题型21 日历问题 题型22 古代问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 一元一次方程易错题型 ◆题型01 方程的概念 1．下列各式中，属于方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以方程的定义为依据，从是否含未知数、是否为等式两个角度判断各选项． 【详解】解：A、是等式，但不含未知数，不是方程，不符合题意； B、不是等式，不是方程，不符合题意； C、含有未知数，但不是等式，不是方程，不符合题意； D、既含有未知数，又是等式，是方程，符合题意． 2．下列式子中是方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程需同时满足“含有未知数”且“是等式”两个条件，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、不是等式，不是方程，错误； B、是等式，但不含未知数，不是方程，错误； C、既是等式，又含有未知数，是方程，正确； D、不是等式，不是方程，错误． 3．下列各式中___是等式，___是方程(填序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． 【答案】①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦ 【分析】本题主要考查等式和方程的概念，根据等式和方程的定义，等式是含有等号的式子，方程是含有未知数的等式，通过检查每个式子是否含有等号和未知数，进行分类． 【详解】解：①含有等号和未知数x，是等式也是方程； ②含有等号但没有未知数，是等式但不是方程； ③含有等号和未知数x，是等式也是方程； ④不含等号，既不是等式也不是方程； ⑤含有等号和未知数x、y、z，是等式也是方程； ⑥含有等号和未知数x、y，是等式也是方程； ⑦含有等号和未知数y，是等式也是方程； ⑧含有不等号，是不等式； ⑨含有不等号，是不等式； ⑩含有约等号，不是等式． 等式有：①②③⑤⑥⑦，方程有：①③⑤⑥⑦． 故答案为：①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦． ◆题型02 等式的性质1、2 4．根据等式的性质，下列变形不正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【详解】解：∵若，等式两边同时减，得， ∴A选项变形正确； ∵若，，等式两边加得，又，故， ∴，B选项变形正确； ∵若，当时，与不一定相等， ∴C选项变形不正确； ∵若，等式两边同时乘，得， ∴D选项变形正确. 5．运用等式的性质变形正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】根据等式的性质逐项判断变形是否正确即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故该选项错误； B．如果，等式两边同乘a，则，故该选项错误； C．如果，且时，则，故该选项错误； D．∵， ∴， ∴，故该选项正确． 6．若，则在：①；②；③；④；⑤中，正确的有______．（填序号） 【答案】①④⑤ 【分析】根据等式的基本性质对每个式子逐一判断． 【详解】解：①，等式两边同时加，得，故①正确； ②，等式两边乘不同的数，可得，故②不正确； ③，等式两边乘不同的数，可得，故③不正确； ④，等式两边同时乘，再同时加，根据等式的基本性质，故④正确； ⑤，分母不为零，则有，等式两边乘相同的数可得，故⑤正确． 综上，正确的有①④⑤． ◆题型03 列方程 7．若m的2倍与n的倍的和等于6，则可列方程为___________． 【答案】 【分析】将题目中的文字描述转化为代数式，根据等量关系列出方程． 【详解】解：∵ 的倍可表示为，的倍可表示为，二者的和等于， ∴ 可列方程为． 8．某数的3倍与5的差比这个数大9，设这个数为x，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设这个数为x， ∴， 故选：A ． 9．根据下列条件列出方程： (1)的倍与的和等于的倍与的差． (2)某数的比它本身小6．（设这个数为） (3)一个数的倍加上等于这个数的倍减去．（设这个数为） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了列一元一次方程，熟练掌握方程的列法是解题的关键． （1）根据题意列出方程即可； （2）根据题意列出方程即可； （3）根据题意列出方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）解：由题意可得：； （3）解：由题意可得：． ◆题型04 方程的解 10．下列方程中，解为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入各选项方程，验证左右两边是否相等即可判断． 【详解】解：将分别代入各选项方程： 选项A：左边，不符合； 选项B：左边右边，符合； 选项C：左边，不符合； 选项D：左边不符合． 11．解为的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，将代入各选项验证左右两边是否相等即可得到结果． 【详解】解：将依次代入各选项： 代入选项A，左边右边，∴A不符合题意； 代入选项B，左边右边，∴B不符合题意； 代入选项C，左边，右边，，∴C不符合题意； 代入选项D，左边，右边，左边右边，∴D符合题意． 12．整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一次方程的解为（     ） 0 1 2 0 2 A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】把原方程变形为，根据题意可得当时，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵当时，， ∴关于的一次方程的解为． ◆题型05 已知方程的解求参数 13．若是方程的解，则a的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入方程， 得， 即， 解得． 14．若是关于的一元一次方程（）的解，则的值是___________． 【答案】 【详解】解：是关于的一元一次方程的解， ∴， ． 15．整式的值随着的取值的变化而变化，下表是当取不同的值时对应的整式的值，则关于的方程的解是（     ） 0 1 2 3 0 4 8 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等式的性质将原方程变形为等于常数的形式，再对照表格中数据即可得到方程的解． 【详解】解：∵原方程为， 移项得， 两边同乘得， 由表格可知，当时，， ∴方程的解为． ◆题型06 一元一次方程的概念 16．已知关于的方程是一元一次方程，那么________． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义，未知数的次数为，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元一次方程， ∴的次数满足， 解得． 17．下列式子中，一元一次方程的个数为（     ） ；；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程，逐个判断式子即可得出结果． 【详解】解：根据一元一次方程的定义，逐个判断： ∵是只含一个未知数，未知数次数为1的整式方程，∴是一元一次方程． ∵不是等式，不属于方程，∴不是一元一次方程． ∵中未知数最高次数为2，∴不是一元一次方程． ∵含有两个未知数，∴不是一元一次方程． 对化简得， ∵整理后未知数最高次数为2， ∴不是一元一次方程． 综上，一元一次方程只有1个． 18．若关于的方程是一元一次方程，则的值是（     ） A． B．0 C．2 D．2或0 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的定义，可得未知数的次数为1，且的系数不为0，即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴， ∵， ∴或， ∴或， ∵， ∴， ∴． ◆题型07 一元一次方程的解法 19．解方程：． 【答案】 【详解】解： 20．解方程 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 21．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为得； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为得． ◆题型08 已知一元一次方程的解求参数 22．已知关于x的方程的解比关于x的方程的解大2，求a的值． 【答案】 【分析】分别解两个方程，根据两个方程的解的关系列方程并解方程即可求出a的值． 【详解】解：的解为， 方程的解为 由题意： 解得 23．已知关于方程与关于方程的解相同，求代数式的值. 【答案】16 【分析】先求出，再将代入，求出m的值，最后将代入代数式计算即可． 【详解】解：解，得 ， ∵关于方程与关于方程的解相同， ∴将代入，得 ， 解得， ∴ ． 24．已知m，n是有理数，关于x的方程 (1)当时，解该方程． (2)若该方程有无数解，求m，n的值． 【答案】(1)当时，方程无解，当时， (2)， 【分析】（1）当时，原方程为，整理可得，分情况求解即可得出结果； （2）将原方程整理可得，再结合该方程有无数解，且m，n是有理数，得出，求解即可得出结果． 【详解】（1）解：当时，原方程为， 整理可得：， ∴当，即时，方程变为，此方程无解， 当，即时，方程的解为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵该方程有无数解，且m，n是有理数， ∴， 解得：，． ◆题型09 一元一次方程解的关系 25．已知关于x的两个一元一次方程和的解互为相反数，求代数式的值． 【答案】0 【分析】先推导出两个一元一次方程的解，再根据题意，得到，即，最后代入求解即可． 【详解】解：由，得 ， 由，得 ， ∵关于x的两个一元一次方程和的解互为相反数， ∴， 即， ∴． 26．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们称这两个方程为“互逆方程”． 例如：方程和为“互逆方程”． (1)下列方程中与方程为“互逆方程”的是__________填写序号）： ①；②；③ (2)若关于的方程和为“互逆方程”，求的值． 【答案】(1)①，③ (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，根据方程的解求参数，掌握新定义，是解题的关键： （1）分别求出每个方程的解，进行判断即可； （2）求出两个方程的解，根据互逆方程的定义，列出关于的方程，进行求解即可． 【详解】（1）解： ，解得：； ①，解得：； ②，解得：； ③，解得： ∴与方程为“互逆方程”的是①③； （2）解方程，得． 解方程，得． ∵两个方程为“互逆方程”， ∴． 解方程，得． 27．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为7，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． （1）先表示两个方程的解，再求解； （2）根据条件建立关于n的方程，再求解； （3）根据“美好方程”求出的解为，再把变形为，即可得到． 【详解】（1）解：解方程得：， 解方程得：， ∵关于x的方程与方程是“美好方程”， ∴， ∴． （2）解：∵“美好方程”其中一个解为n， ∴另一个解为， ∵“美好方程”的两个解的差为7， ∴或， 解得或． （3）解：解方程得：， ∵关于x的一元一次方程和是“美好方程”， ∴的解是， ∵， ∴， ∴， 解得． ◆题型10 绝对值方程 28．先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程：． (2)已知关于的方程． ①若方程无解，则的取值范围是________； ②若方程有解，则的取值范围是________． 【答案】(1)或 (2)①；②． 【分析】（1）首先认真审题，根据绝对值的意义去绝对值，化为一元一次方程即可求解； （2）根据绝对值的性质分类讨论进行解答． 【详解】（1）解：当时，原方程可化为为，解得； 当时，原方程可化为为，解得； ∴原方程的解是或； （2）解：∵， ∴当，即时，方程无解； 当，即时，方程有解； 故答案为：①；②． 29．综合与实践：华罗庚是中国著名数学家、教育家和社会活动家，被誉为“中国现代数学之父”，他曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”． 【知识储备】若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离可以表示为，例如表示5与2差的绝对值，可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作表示5与的差的绝对值，可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离可以表示为． 【初步运用】 （1）数轴上表示5与的两点之间的距离为______； （2）已知数轴上某个点表示的数为x． ①若，则______； ②若，则______； 【深入探究】 （3）如图，数轴上每相邻两点之间的距离为1个单位长度，点A，B，C表示的数分别为a，b，c． ①求的值； ②若，求点C表示的数． 【答案】（1）7；（2）①6或2；②1；（3）①6；②3或13． 【分析】（1）根据，解答即可； （2）①根据题意，得或，解答即可； ②根据x是数的距离相等，得，解答即可； （3）①解：根据题意，得，，代入所求式计算即可； ②解：根据题意，得，，结合，得到或，解得或，解答即可． 本题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的意义，解绝对值方程，等线段的数轴表示，熟练掌握数轴的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：数轴上表示5与的两点之间的距离为， 故答案为：7； （2）①解：根据题意，得或， 解得或， 故答案为：6或2； ②解：由于，得数x与数的距离相等， 故， 解得， 故答案为：1； （3）①解：根据题意，得，， 故 ； ②解：根据题意，得，， 又， 故， 故或 解得或， 故或； 故点C表示的数是3或13． 30．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了解含绝对值的一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． （1）根据题意，分类讨论当时，当时，化简原方程求解即可； （2）根据题意，分类讨论当时，当时，当时，化简原方程求解即可． 【详解】（1）解：， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 综上，或； （2）解：， 当时，， 解得（不合题意，舍去）， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 综上，或． ◆题型11 配套问题 31．某车间有82个工人生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件25个．已知3个甲种零件和4个乙种零件配成一套，问分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成多少套？ 【答案】分配50人生产甲种零件，32人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成200套 【分析】设生产甲零件人数为，乙零件人数为，利用配套关系：甲零件总数乙零件总数列出方程，解出人数后再计算配套套数． 【详解】解：设分配人生产甲种零件，则人生产乙种零件． 依题意得：， 解得， ， （套）， 答：分配50人生产甲种零件，32人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成200套． 32．一台仪器由1个A部件和3个B部件构成．用钢材可以做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，应该用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器？最多能制作多少台仪器？ 【答案】用钢材做A部件，钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器，最多能制成160台仪器． 【分析】要制作尽可能多的仪器，需根据A、B部件的配套关系（1个A部件和3个B部件构成一台仪器 ），设用钢材做A部件，钢材做B部件，通过部件数量的配套比例列方程求解． 【详解】解：设用钢材做A部件，则用钢材做B部件． 则 解得， ∴做B部件的钢材为，做A部件的数量：（个），做B部件的数量：（个）， 可制作仪器数量： 台（此时A部件和B部件的数量恰好配套 ）， 答：用钢材做A部件，钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器，最多能制成160台仪器． 33．某眼镜厂生产一批眼镜，分两个车间进行，甲车间生产镜架，乙车间生产镜片．已知两个车间共有50名工人，且甲车间人数比乙车间人数的2倍少1人． (1)甲、乙两车间各有多少人？ (2)若每个工人平均每天可以生产镜架50个或镜片150片，一个镜架和两个镜片刚好配成一副眼镜，为使每天生产的镜架与镜片刚好配套，应如何调整两车间的人数？ 【答案】(1)甲车间有33人，乙车间有17人. (2)应从甲车间调3名工人到乙车间，使每天生产的镜架与镜片刚好配套. 【分析】（1）设乙车间有x人，则甲车间有人，结合两个车间共有50名工人，再建立方程求解即可； （2）设应从甲车间调名工人到乙车间，使每天生产的镜架与镜片刚好配套，利用一个镜架和两个镜片刚好配成一副眼镜，再建立方程求解即可. 【详解】（1）解：设乙车间有x人，则甲车间有人， 根据题意，得． 解得． 所以． 答：甲车间有33人，乙车间有17人. （2）解：设应从甲车间调名工人到乙车间，使每天生产的镜架与镜片刚好配套， ∴， 解得：， 答：应从甲车间调3名工人到乙车间，使每天生产的镜架与镜片刚好配套. ◆题型12 工程问题 34．2025年，旺苍县为聚焦城市建设“舒筋活络”，助推“民生愿景”变为幸福实景，统筹推进多项民生工程．其中，某一项工程由甲、乙两个工程队承接，已知甲队单独完成此项工程需要20天，乙队单独完成需要30天．该工程施工情况如下：甲队先单独施工10天，之后因工期紧张，安排乙队加入，甲、乙两队合作完成剩余工程． (1)甲、乙两队合作还需要多少天完成此项工作？ (2)已知甲队每天的劳务费比乙队多30元，完成这项工程共需支付劳务费11480元．则甲、乙两队每天的劳务费各是多少元？ 【答案】(1)甲、乙两队合作还需要6天完成此项工作 (2)甲队每天的劳务费是530元，乙队每天的劳务费是500元 【分析】（1）将总工程量视为单位1，根据甲单独完成的工作量与甲乙合作完成的工作量之和等于总工程量，列一元一次方程求解． （2）先确定甲、乙两队各自的施工总天数，根据“这项工程共需支付劳务费11480元”列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设总工程量为单位1，甲、乙两队合作还需要��天完成此项工作，甲队工作效率为 ，乙队工作效率为，根据题意得 ， 解得， ∴甲、乙两队合作还需要6天完成此项工作． （2）解：由（1）知甲队共施工天，乙队施工6天， 设乙队每天的劳务费为y元，则甲队每天的劳务费为元，根据题意得 ， 解得， ∴乙队每天的劳务费为500元，甲队每天的劳务费为元． 35．现在有一项工程由甲乙两个工程队合作完成，已知甲队单独完成该工程需要20天，乙队单独完成该工程需要30天． (1)若两队合作，需要多少天能完成此工程？ (2)当甲乙两队合作6天后，乙工程队因调动而离开，剩余工作由甲队单独完成．问：当乙工程队离开后，甲队还需要多少天才能完成工程？ 【答案】(1) 两队合作需要12天完成此工程 (2) 甲队还需要10天才能完成工程 【分析】 将总工作量看作单位1，结合甲乙单独完成工程的时间得到各自的工作效率，再根据工作总量、工作效率、工作时间的关系列方程求解两小问． 【详解】（1）解：记总工作量为单位1． 设两队合作需要天完成此工程. 甲队工作效率为，乙队工作效率为 ； 由题意得， 解得； 答：两队合作需要12天完成此工程． （2）解：记总工作量为单位1． 设乙队离开后，甲队还需要天才能完成工程． 由题意得， 解得； 答：甲队还需要10天才能完成工程． 36．某企业聘用甲、乙两队完成一项工程，已知乙队单独完成这项工程需天，甲队单独完成所需天数是乙队单独完成所需天数的倍．如果甲、乙两队先合作天，接着甲队因故停工天（乙队不停工），后继续与乙队合作完成剩下的工程． (1)甲队单独完成这项工程需要 天． (2)完成这项工程总共用了多少天？ (3)该企业为了这项工程一共支付万元的费用．如果你是决策者，你会将这笔费用如何分配给甲、乙两队？请设计一个分配的方案，并说明分配的依据． 【答案】(1) (2)完成这项工程总共用了天． (3)分配方案：甲队分得万元，乙队分得万元．分配依据：按两队完成的工作量占总工作量的比例分配，多劳多得． 【分析】（1）利用甲队天数是乙队的倍，直接列式计算甲单独完成工程的天数． （2）把总工程看作单位，求出甲乙工作效率，设后续合作天数为未知数，根据各阶段工作量之和等于总工作量列方程求解，再累加全部阶段得到总天数． （3）先算出甲、乙两队各自完成的工作量，按照工作量占比对总费用万元进行分配． 【详解】（1）解：（天）， 故甲队单独完成这项工程需要天． （2）解：设甲队复工后，两队继续合作天完成剩余工程．则 ， 解得， （天）， 答：完成这项工程总共用了天． （3）解：∵甲实际工作天数（天）， ∴甲完成工作量， ∵乙实际工作天数为天， ∴乙完成工作量， ∴甲队费用（万元），乙队费用（万元）， ∴分配方案：甲队分得万元，乙队分得万元．分配依据：按两队完成的工作量占总工作量的比例分配，多劳多得． ◆题型13 销售盈亏 37．某超市清库存，以每件元的价格销售甲、乙两种商品．已知销售一件甲商品盈利，销售一件乙商品亏损． (1)甲商品每件进价___________元，乙商品每件进价___________元． (2)在五一期间，超市所有商品有优惠促销活动，方案如下： ①购买商品总价不超过元，不优惠； ②购买商品总价超过元，但不超过元时，按照售价的九折优惠； ③购买商品总价超过元时，按照售价的八折优惠； 按照以上优惠条件，若小明一次性购买乙商品实际付款元，则小明此次购买了多少件乙商品？ 【答案】(1)， (2)小明购买了件或件乙商品 【分析】（1）根据盈利、亏损的利润率关系，直接算出甲、乙两件商品的进价； （2）先排除不优惠方案，再分别按九折、八折两种优惠方案列方程求出件数． 【详解】（1）解：根据题意可知，甲商品每件进价为元， 乙商品每件进价为元， 故甲商品的进价为元，乙商品的进价为元． （2）解：设小明此次购买了件乙商品， ，方案①不符合； 当购买商品总价超过元，但不超过元时， 可得， 解得； 购买商品总价超过元时， 可得， 解得， 综上，小明购买了件或件乙商品． 38．某商场A，B两种玩偶在市场热销，商场现购进A，B两种玩偶一共100个，其中每个A玩偶进价12元，每个B玩偶进价15元，总共花费1380元． (1)求购进A，B两种玩偶各多少个？ (2)A、B两种玩偶标价分别为20元/个、25元/个，销售过程中，A种玩偶全部按标价售完，B种玩偶售出一部分后，进行促销，剩余的打八折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是720元，求B种玩偶打折前卖出多少个？ 【答案】(1)购进A种玩偶个，B种玩偶个； (2)B种玩偶打折前卖出个． 【分析】（1）设购进A种玩偶个，则购进B种玩偶个，根据题意列方程即可； （2）设B种玩偶打折前卖出个，则B种玩偶打折后卖出个，根据题意列方程即可． 【详解】（1）解：设购进A种玩偶个， ， 解得， ， 答：购进A种玩偶个，B种玩偶个． （2）解：设B种玩偶打折前卖出个， ， 解得， 答：种玩偶打折前卖出个． 39．公园门票价格规定如表： 购票张数 张 张 100张以上 每张票的价格 13元 11元 9元 某校七年级（1）（2）两个班共104人去游园，其中（1）班有40多人，不足50人，经估算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元．问： (1)两班各有多少学生？ (2)如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？ (3)如果七年级（1）班单独组织去游园，作为组织者的你如何购票才最省钱？ 【答案】(1)七年级（1）班有48人，七年级（2）班有56人 (2)可省304元 (3)购买51张票最省钱 【分析】（1）设七年级（1）班人数为x，根据人数范围确定两个班对应的门票单价，根据总购票费用列一元一次方程求解即可； （2）计算团体购票的总费用，用原总费用减去团体总费用得到节省的钱数； （3）分别计算七年级（1）班按实际人数购票和购买51张票的费用，比较后得到最省钱的方案． 【详解】（1）解：设七年级（1）班有x名学生，则七年级（2）班有名学生． 由题意得， 因此， 根据总购票费用列方程得： ，解得， 所以． 答：七年级（1）班有48名学生，七年级（2）班有56名学生． （2）解：两班共104人，团体购票每张票9元，总费用为（元）； 节省的费用为（元）． 答：可省304元． （3）解：七年级（1）班共48人， 若按实际人数购票，总费用为（元）； 若购买51张票，总费用为（元）； ∵， ∴购买51张票更省钱． 答：购买51张票最省钱． ◆题型14 方案选择 40．暑假期间，小旭和几名同学随家长一同到某景区游玩，下面是购买门票时小旭与爸爸的对话，根据图中的信息，解答问题． (1)小旭他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助小旭算一算，为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 【答案】(1)一共去了成人8人，学生12人； (2)购买15张团体票，5张学生票更省钱，此时的购票费用为575元 【分析】（1）设一共去了位成人，则去了位学生，根据题意列出方程，解方程即可； （2）计算全部购买团体票和组合购买的金额，与700元进行比较，据此解答即可． 【详解】（1）解：设一共去了位成人，则去了位学生， 根据题意得， 解得， 则学生人数为（人）， 答：一共去了成人8人，学生12人； （2）解：若购买20张团体票，则共需付款（元）， 若购买15张团体票，5张学生票，则共需付款（元）， ∵， ∴购买15张团体票，5张学生票更省钱． 41．某校欲筹备“书香满校园”读书节活动，需为师生打印大量经典名著导读、好书分享素材等资料，对接的打印店推出了读书节专属优惠方案，具体如下： 方案一：缴纳30元办理“阅读普卡”，可免费打印500张资料，超出500张的部分，每张按0.3元收费； 方案二：缴纳45元办理“阅读金卡”，可免费打印750张资料，超出750张的部分，每张按a元收费． 注： ①每位顾客只能选择其中一种方案办卡； ②以上优惠活动仅限于打印A4单面纸张，以下均默认打印的是A4单面纸张． (1)若某班级需打印800张资料，选择方案一需支付多少元，选择方案二需支付多少元（用含的代数式表示）？ (2)某老师选择方案一打印资料，共支付费用66元，求该老师打印的资料总张数； (3)当时，设打印总量为张，若两种方案收费相等，求的值． 【答案】(1)方案一：120元 方案二：元； (2) (3)550或1050 【分析】（1）先判断打印张数是否超过对应方案的免费额度，因为方案一免费500张、方案二免费750张，800张均超过两者免费额度，所以分别按照“办卡费+超出部分×对应单价”的规则，列代数式计算两个方案的费用； （2）先判断支付费用对应的打印张数是否超过方案一免费额度，因为30元对应500张，66元大于30元，所以先计算超出免费额度的费用，再除以超出部分单价得到超出张数，最后加免费额度的张数得到总张数； （3）分区间讨论的取值：如果，比较两个方案的固定费用；如果，分别写出两个方案的费用表达式再列等式求解；如果，分别写出两个方案的费用表达式再列等式求解，最后检验解是否符合即可． 【详解】（1）解：方案一：∵打印800张，超出免费500张的部分为 张 ， ∴总费用 元； 方案二：打印800张，超出免费750张的部分为 张 ， ∴总费用 （元）； （2）因为，说明打印张数超过500张， 设总张数为张， ∴ 解得：； 答：该老师打印的资料总张数为620张； （3） ① 当：方案一收费30元，方案二收费45元，收费不相等，无解； ② 当时， 根据题意可得， 解得，符合题意； ③ 当时， 根据题意得， 解得，符合题意； ∴或． 42．为准备联合韵律操表演，甲、乙两校共100人准备统一购买服装（一人买一套）参加表演，其中甲校人数多于乙校人数，下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至49套 50套至79套 80套及以上 每套服装的价格 60元 55元 50元 如果两所学校分别单独购买服装，一共应付5710元． (1)如果甲乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省______元． (2)甲、乙两校各有多少名学生准备参加表演？ (3)因特殊情况，甲校有9名同学不能参加演出．现甲校要单独为本校剩下的演员购买服装，请你为甲校设计一个最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)710 (2)甲校有58名学生准备参加表演，乙校有42名学生准备参加表演 (3)最省钱的方案是购买50套服装；理由如下： （人）， 方案一：购买49套服装，需要花费（元）； 方案二：购买50套服装，需要花费（元）； 方案三：购买80套服装，需要花费（元）； ∵， ∴应该购买50套服装最省钱． 【分析】（1）根据：“节省费用单独购买服装总费用联合起来购买服装总费用”列式计算； （2）由两学校分别单独购买时的相等关系：“甲校购买服装总费用+乙校购买服装总费用＝共付费用”，列方程可得； （3）有三种方案：购买49套、购买50套、购买80套，分别计算、比较可得． 【详解】（1）解：若甲、乙两校联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省： （元）； （2）解：设甲校有学生x人（依题意），则乙校有学生人． 当时，， 依题意得：， 解得：． 经检验符合题意； ∴（人）． 当时，， 则， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：甲校有58名学生准备参加表演，乙校有42名学生准备参加表演． （3）略 ◆题型15 数字问题 43．观察下面三行数： ① ② ③ (1)第行第 个数是 ，第行第 个数是 ，第行第 个数是 ； (2)在第行中是否存在三个连续数，其和为？若存在求出这三个数，不存在说明理由； (3)若在每行取第个数，这三个数的和为，求的值． 【答案】(1)；； (2)不存在连续的三个数 (3)不存在满足条件的 【分析】观察数据，找到数据变化规律即可求解． （2）利用（1）中公式求解即可． （3）利用（1）中公式求解即可． 【详解】（1）观察绝对值第个数的绝对值为，观察符号：负、正、负、正、负、正奇数项为负，偶数项为正，可以用来表示符号，第行的第个数可以表示为：， ∴第行的第12个数为 ： 观察第数据可以看出，第行的每一个数都是第行对应位置的数加 因此，第行的第个数可以表示为： ， ∴第行的第11个数为 ： 观察第行数据可以看出，第行的每一个数都是第行对应位置的数的倍 因此，第行的第个数可以表示为：， ∴第行的第12个数为： ： （2）假设存在三个连续数和为，这三个数为第个数，第个数，第个数，根据，这三个数分别为，，， 当奇数时，三个数分别为，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵奇数时， ∴不符合题意， 当偶数时，三个数分别为，，， ∴， ∴， ∴， ∵代表第几个数，必须是正整数，所以不合题意， 综上所述，不存在这样的三个连续数． （3）由小问1可知，， ，，每行取第个数和为，先计算三个数的和， ∴， ， ， ， ， ∴， ∴不存在满足条件的． 44．表示一个三位数，a、b、c分别表示百位、十位、个位上的数字，现在有这样的三位数，将中间的数字去掉后，成为一个两位数且满足（ 如： ），求出所有满足上述条件的三位数． 【答案】所有满足条件的三位数为155，245，335，425，515，605． 【分析】设三位数可以表示为，两位数可以表示为，可得，即得，得到是的倍数，进而得到，，据此即可求解． 【详解】解：设三位数可以表示为，两位数可以表示为， ∴可表示为， 整理得，， 即， 可知是的倍数， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴或或或或或，或或或或或， ∴这个三位数为155，245，335，425，515，605． 45．将连续的奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表． (1)十字形框中的五个数之和与中间数15有什么关系？ (2)设中间数为a，如何用代数式表示十字形框中五个数之和？ (3)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？ (4)十字形框中的五个数之和能等于2022吗？能等于2025吗？ 【答案】(1)五个数的和是15的5倍 (2) (3)有 (4)十字形框中的五个数之和不能等于2022，能等于2025 【分析】本题考查了探索数字的规律，解题的关键是能找出所给数据之间的规律． （1）把五个数相加，然后除以5，即可得出结论； （2）根据（1）的结论即可得； （3）令十字框中间数为b，根据题中所给十字框，可写出其余4个数，将这5个数相加即可得解； （4）用2022除以5，得2022不是5的倍数，则十字框中的五数之和不能为2022，用2025除以5，得2025是5的倍数，则可得十字框中的五数之和能为2025． 【详解】（1）解：，即五个数的和是15的5倍； （2）解：设中间数为a，则其余的4个数可以表示为： ，，，，则它们的和为； （3）解：设移动后中间数为b，则其余的4个数分别为，，，，由题意得，因此这五个数之和还是中间数的5倍； （4）解：由（3）知，十字框中五个数之和总为中间数的5倍， ∵， ∴2022不是5的倍数， ∴5个数的和不能是2022， ∵， ∴2025是5的倍数，且405在第三列， ∴5个数的和能等于2025． ◆题型16 几何问题 46．如图1、某小区的平面图是一个占地长500米、宽400米的矩形，正中央的建筑区是与整个小区长、宽比例相同的矩形，如果要使四周的空地所占面积是小区面积的，南北空地等宽，东西空地等宽． (1)求该小区四周的空地的宽度； (2)如图2，该小区在东、西、南三块空地上作如图所示的矩形绿化带，绿化带与建筑区之间为小区道路、小区道路宽度一致．已知东、西两侧绿化带完全相同，其长均为200米，南侧绿化带的长为300米、绿化面积为5500平方米，请算出小区道路的宽度． 【答案】(1)东西空地宽25米，南北的空地宽米 (2)小区道路的宽度为米 【分析】（1）设正中央的建筑区的长度为米，则宽为米，根据题意列方程，解得，再进行计算即可求出该小区南北空地的宽度； （2）由（1）可知，南北的空地宽米，东西空地宽米，设小区道路的宽度为，根据题意列方程，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵某小区的平面图是一个占地长500米、宽400米的矩形， ∴整个小区长宽比例为， 正中央的建筑区是与整个小区长宽比例相同的矩形， 设正中央的建筑区的长为米，宽为米， 由题意得：， 整理得， 解得，或（长度不能取负数，舍去）， 则东西空地宽：（米）， 南北空地宽：（米）． 答：东西空地宽25米，南北的空地宽米； （2）解：由（1）可知，东西空地宽25米，南北的空地宽米， 设小区道路的宽度为米， 由题意得：， 解得：， 答：小区道路的宽度为米． 47．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，5．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字1对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度． (1)在图1的数轴上，个长度单位；数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的________； (2)求数轴上点B所对应的数b； (3)在图1的数轴上，点Q是直线上一点，满足，求点Q所表示的数． 【答案】(1)8；0.7 (2) (3)或 【分析】（1）用右边点表示的数减去左边点表示的数即可得到线段的长度，从尺子上读出线段实际长度除以对应的长度单位，即可求出一个长度单位对应实际的长度． （2）从尺子读出的实际长度，再结合（1）中的结论列方程计算即可． （3）右边点表示的数减去左边点表示的数即可得到线段的长度，结合，列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得，由图2可得， 数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的实际长度； （2）解：依题意有， 解得， 即数轴上点B所对应的数b为； （3）解：设点Q所表示的数是x， ①当Q在延长线上时， ， 解得， ②当Q在之间时， ， 解得， 综上所述点Q表示的数为或． 48．学校装修录播教室需用型板材块、型板材块，型板材规格是，型板材规格是，现只能购得规格是的标准板材，一张标准板材尽可能多地裁出型、型板材，共有下列三种裁法：（如图是裁法一的裁剪示意图） 若所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁张、按裁法二与裁法三分别裁若干张，且所裁出的、两种型号的板材刚好够用． 裁法一 裁法二 裁法三 型板材块数 型板材块数 (1)上表中， ， ； (2)用含有的代数式分别表示裁法二与裁法三的张数； (3)问所购标准板材的总张数能不能为82张？若能，求出此时的的值；若不能，请说出理由． 【答案】(1)0，3 (2)裁法二的张数为；裁法三的张数： (3)解：不能，理由如下： 依题意，， 解得． 当时，， 故所购标准板材的总张数不能为张． 【分析】（1）根据标准板材的规格和型、型板材的规格即可解答； （2）设按裁法二裁张、按裁法三裁张，根据共需用型板材块、型板材块，可得，，然后整理可得结果； （3）根据三种裁剪方法共用板材张列方程求解即可． 【详解】（1）解：按裁法二裁剪时，块型板材的长为，，所以无法裁出型板， 按裁法三裁剪时，块型板材的长为，， 而块型板材的长为，所以无法裁出块型板； ∴，； （2）解：设按裁法二裁张、按裁法三裁张． ∵共需用A型板材块、B型板材块， ∴，， ∴，， 即裁法二的张数为；裁法三的张数：； （3）略 ◆题型17 动点问题 49．如图，数轴上点表示的数为是数轴上点左侧的一点，且两点间的距离为10，动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点表示的数是___________； (2)动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点，同时出发． ①当为何值时，点表示的数相同？ ②当点与点之间的距离为6时，求点所表示的数． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据两点间距离公式可得到B点表示的数； （2）后点表示的数为，点表示的数为，再由两点之间距离公式建立方程求解①②． 【详解】（1）解：因为数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10， 则， 所以B点表示的数为， （2）解：①根据题意得，后点表示的数为，点表示的数为 则， 解得， 所以当时，点表示的数相同； ②根据题意得， 解得或 当时，点表示的数为， 当时，点表示的数为 所以当点与点之间的距离为6时，点所表示的数为或． 50．如图，数轴上有A，B，C三点，它们表示的数分别是，，．现有动点P，Q都从点A出发，点P 以每秒1个单位长度的速度向终点C移动；当点P移动到点B时，点Q才从点A出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，点Q到达点C后立即返回，并以原来的速度向左移动．当点P到达点C时，点Q停止移动．设点P移动的时间为． (1)填空： ， ； (2)请求出当t不低于，且不超过时，线段的长；（用含t的代数式表示） (3)当线段的长为个单位长度时，求t的值． 【答案】(1)； (2) (3)、、 【分析】本题为数轴动点综合题，需要按照动点Q的运动状态划分三个时间段：Q未出发，Q向右运动未到达点C，Q到达C后折返向左．利用数轴上两点距离等于两数差的绝对值列方程求解，求解后必须检验是否在对应取值范围． 【详解】（1）解：∵数轴上有A，B，C三点，它们表示的数分别是，，， ∴，； （2）解：P表示的数：， 当时，点Q的运动时间为秒，Q未到达点C， Q表示的数：， 两点距离：， ∵， ∴， ∴； （3）解：①当时，Q还未出发，Q在点A处， ， 令，得，满足， ②当时，Q向右运动，未折返， ， ，解得（，舍去）， ，解得，满足， ③当时，Q到达C后向左折返， Q表示的数：， ， ，解得（，舍去）， ，解得，满足， 综上所述，t的值为、、． 51．如图，在数轴上点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，为原点． (1)，两点间的距离是______，，两点的中点所对应的数是______； (2)若点以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，则秒时，点走到的位置所对应的数是______（用含的代数式表示）； (3)若点，都以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向同时运动，而点不动，秒时，，，中有一点是三点所在线段的中点，则的值为______． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以计算出，两点间的距离和，两点的中点所对应的数； （2）根据题意，可以用含的代数式表示秒时，点走到的位置所对应的数； （3）根据题意，可知存在两种情况，然后列出相应的方程，求解即可． 【详解】（1）解：点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， ，两点间的距离是：， ，两点的中点所对应的数是． （2）解：点对应的数为，点以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动， 秒时，点走到的位置所对应的数是； （3）解：由题意可得：秒时，点所对应的数是，点所对应的数是， 当点为点和点的中点时， ， 解得：； 当点为点和点的中点时， ， 解得：； 点不可能是点和点的中点，因为点和点的速度一样，点始终在最右边； 由上可得，的值为或． ◆题型18 和差倍分问题 52．某水果店运来苹果和梨一共340千克，苹果卖出四分之一，梨卖出三分之一后，剩下的苹果、梨质量恰好相等．水果店原来运来苹果、梨各多少千克？ 【答案】水果店原来运来苹果160千克，梨180千克 【分析】设水果店原来运来苹果x千克，则运来梨千克，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设水果店原来运来苹果x千克，则运来梨千克， 根据题意，得 （千克） 答：水果店原来运来苹果160千克，梨180千克． 53．我国已有三代治沙人致力于沙漠改造、他们采用科学治沙、绿色发展的理念开展治沙工作，治沙效果大幅提升，某地区三代治沙人共完成治沙面积万亩，比第一代治沙人治沙面积的倍还多万亩，求第一代治沙人的治沙面积． 【答案】第一代治沙人的治沙面积为万亩 【分析】设第一代治沙人的治沙面积为x万亩，根据题意“三代总治沙面积比第一代的3倍还多5万亩”，列方程求解即可． 【详解】解：设第一代治沙人的治沙面积为x万亩， 根据题意得 ， 解得， 答：第一代治沙人的治沙面积为8万亩． 54．马丁一家人坐火车回家乡．车上有个很唠叨的人，不停地问这问那，最后问起马丁一家人的年龄．马丁有些不耐烦，就说：“我儿子的年龄是我女儿年龄的5倍，我妻子的年龄是我儿子年龄的5倍，我的年龄是我妻子年龄的倍，把我们的年龄都加起来，正好是祖母的年龄，今天她正要庆祝61岁的生日．”那人想了一会儿想不出来，你知道马丁多少岁吗？ 【答案】30岁 【分析】设马丁的女儿岁，则马丁的儿子 岁，马丁的妻子岁，马丁岁，根据马丁一家四口的年龄之和等于祖母的年龄建立方程求解即可． 【详解】解：设马丁的女儿岁，则马丁的儿子 岁，马丁的妻子岁，马丁岁， 由题意得，， 所以， 所以， 所以， 所以（岁）， 答：马丁30岁． ◆题型19 水电费问题 55．某市从5月1日起对居民用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下． 每户居民用电量的范围 电费价格（单位：元/度） 不超过150度的部分 0.6 超过150度，但不超过300度的部分 超过300度的部分 5月份该市居民甲用电200度，缴纳电费122.5元；居民乙用电350度，缴纳电费232.5元． (1)表中 ； ． (2)李老师缴纳5月份的电费后发现，他家该月平均电价实际为每度0.62元，你知道李老师家5月份用电多少度吗？ 【答案】(1)； (2)李老师家5月份用电度 【详解】（1）解：根据题意得 （元）， ； （元/度）， ； （2）解：设李老师家5月份用电度， （元/度）， ， ， 列方程得， 解得， 答：李老师家5月份用电度． 56．某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 a 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元； (1)表中a的值为______；若用电420度，则应缴电费______元； (2)若11月份老李家交电费183元，求老李家11月份的用电量． 【答案】(1)； (2) 老李家11月份的用电量为300度 【分析】（1）利用10月的用电数据列等式求，再按阶梯电价分三档计算420度的总电费； （2）先通过临界电费判断用电量所属档位，再列一元一次方程求解； 【详解】（1）解：∵用电200度未超过240度，属第1档， ∴，解得， 用电420度时，分三档计费： 第1档费用：（元）， 第2档费用：（元）， 第3档费用：（元）， 总电费：（元）； （2）解：用电240度时，电费为（元）， 用电400度时，电费为（元）， ∵， ∴11月份用电量在第2档， 设11月份用电量为度， 则， 解得， 答：老李家11月份的用电量为300度． 57．某市居民家庭全年用气（天然气）量划分为三档，气价实行超额累进加价，先用第一档，再用第二档，最后用第三档．例如：王明家年用气量为400立方米，前360立方米按2.53元计算，后40立方米按2.78元计算． 用气量（立方米） 单价（元） 第一档 （含） 2.53 第二档 （含） 2.78 第三档 600以上 3.54 (1)李强家年用气量为440立方米，李强家需交燃气费多少元？ (2)赵刚家全年的燃气费平均每立方米2.60元，赵刚家年用气量是多少立方米？ 【答案】(1)1133.20元 (2)500立方米 【分析】（1）根据燃气缴费方式求解即可． （2）先计算600立方米用气量的总费用，然后再算出平均每立方米的费用，比较得出用气量不足600立方米，设赵刚家用气量为立方米，根据题意列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：（元） 答：李强家需交燃气费1133.20元． （2）解：600立方米用气量的总费用：（元） 平均每立方米的费用：（元） ，因此用气量不足600立方米． 设赵刚家用气量为立方米． 答：赵刚家年用气量是500立方米． ◆题型20 行程问题 58．甲、乙两人从同一地点骑自行车沿同一方向出发，乙每分钟行240米，先出发2分钟；甲每分钟行300米，随后出发追赶乙．甲出发后多少分钟追上乙？ 【答案】甲出发后8分钟追上乙． 【分析】根据题意得出等量关系，甲的骑行速度乘以甲的骑行时间等于乙的骑行速度乘以乙的骑行时间，设甲骑行分钟，则乙骑行分钟，可列出一元一次方程． 【详解】解：甲出发后分钟追上乙． 由题意，列出一元一次方程， 解得， 答：甲出发后8分钟追上乙． 59．如下是课本中本节例3的情境： 小明和小华两人在的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑，小华每分钟跑，两人起跑时站在跑道同一位置 （1）如果小明起跑后小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？ （2）如果小明起跑后小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇？ 你还能提出其他问题并列方程解决吗？ 【答案】问题：两人同时从同位置同向起跑，经过多长时间小华第一次追上小明？ 解：设经过小华第一次追上小明， 由题意得，， 解得， 答：经过小华第一次追上小明． 【分析】两人同位置，同向起跑，求小华第一次追上小明的时间，根据小华第一次追上小明时，小华比小明多跑建立方程求解即可． 【详解】略 60．A，B两地相距，甲乙两位老人分别同时从A地与B地出发，步行前往另一地．已知甲老人走路的速度为，乙老人走路的速度为． (1)经过多长时间，甲乙老人相遇？ (2)一天，当两位老人出发时，一只狗与甲老人一同出发跑向乙老人，当狗与乙老人相遇时，立刻回头跑向甲老人，当狗与甲老人相遇时再立刻回头跑向乙老人……，当甲乙两位老人相遇时，狗停止运动．已知狗跑动的速度是．问：当狗停止运动时，狗已经跑了多少米？ 【答案】(1) 经过300秒，甲乙老人相遇. (2) 狗已经跑了2400米. 【分析】 （1）根据相遇时两人路程和等于A、B两地总距离，列一元一次方程求解； （2）狗跑动的总时间等于甲乙相遇时间，利用路程公式直接计算总路程． 【详解】（1）解：设经过秒甲乙两位老人相遇， ∵ 甲的速度为，乙的速度为，相向而行相遇时路程和等于两地距离 ， ∴， 解得； 答：经过300秒甲乙两位老人相遇； （2）解：∵狗从出发到停止的总时间等于甲乙两人的相遇时间，即，狗的速度为， ∴狗跑的总路程为 ； 答：狗已经跑了2400米． ◆题型21 日历问题 61．生活中处处有数学，图1是2010年1月的月历，用一个正方形框出九个数． (1)在图1中用正方形框出和最大的九个数； (2)若框出的九个数之和是108，请求出最中间的数； (3)将自然数1至2010按图2的方式排列，按以上方式框出九个数，其和能为2010吗？若能，求出其中最小的数；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)解：不能，理由如下： 设框中最中间的数为x， 通过观察数字的排列规律可将一个框内的数写为 ， ∴一个框内所有数字之和为， 令，解得， ∵x为整数，故不符合题意， 故按以上方式框出九个数，其和不能为2010． 【分析】（1）找到一个框中所有数之和的规律，判断出和最大时框的位置． （2）找到一个框中所有数之和的规律，再结合和为列出方程即可． （3）找到一个框中所有数之和的规律，再结合和为列出方程，判断解是否符合题意即可． 【详解】（1）解：要求用一个正方形框出九个数，则最中间的数字应在第三行和第四行且不在第一列和第七列， 设最中间的数为x， 通过观察数字的排列规律可将一个框内的数写为 ， ∴一个框内所有数字之和为， 又∵（x为整数）， ∴当时框中所有数之和最大，即框中间的数为22， 图略； （2）解：由（1）得，令，解得，即最中间的数为12． （3）略. 62．如图1，是2026年5月的月历，章老师在数学活动课上开展月历中的数学游戏． (1)用图2框出图1中的3个数，若中间的数为，则右边的数为 （用含的式子表示）： (2)用图3框出图1中的3个数，若中间的数为，则上方的数为 （用含的式子表示）； (3)用图4框出图1中的3个数，若中间的数为，则这3个数的和为 （用含的式子表示）： (4)用图5框出图1中的5个数，当这5个数的和最小时，中间的数为 ； (5)若某月有5个星期一的和是80，则这个月的15日是星期 ． 【答案】(1) (2) (3) (4)8 (5)日 【分析】（1）根据右边的数比左边的数大1求解即可； （2）根据上方的数比下方的数小7求解即可； （3）先根据左上方的数比中间的数小8，右下方的数比中间的数大8表示出各数，再求和即可； （4）设中间的数为b，表示出其余4个数，然后求和，再结合日历特点求解； （5）设第一个星期一为x，则其余四个星期一分别为，然后列方程求出，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵右边的数比左边的数大1， ∴中间的数为，则右边的数为； （2）解：∵上方的数比下方的数小7， ∴若中间的数为，则上方的数为； （3）解：若中间的数为，则左上方的数为，右下方的数为， ∴这3个数的和为：； （4）解：设中间的数为b，则其余4个数分别是， ∴， ∴要使这5个数的和最小，只要中间的数最小即可， 观察日历表可知，满足条件的最小中间数是8． （5）解：设第一个星期一为x，则其余四个星期一分别为， 五个星期一的和为：， 解得，即2号是星期一， ∴16号是星期一， ∴15号是星期日． 63．幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 【主题】探究月历与幻方的奥秘 【活动一】 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． (1)移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则b是______； (2)移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则d是______；（用含n的式子表示d．） 【活动二】移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． (3)若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则e是______，f是______； (4)若方框选取的数中最小的数是n，调整后，部分数的位置如图6所示，则g是______（用含n的式子表示g）． 【活动三】对于三阶幻方，我们可以做进一步探索研究． (5)如图7，是一个未完成的“三阶幻方”，则______． (6)如图8，是一个未完成的“三阶幻方”，则______． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）根据月历中同一列相邻两数相差7求解； （2）根据月历中同一列相邻两数相差7求解； （3）根据图5第二列求出幻和，利用幻和列方程求解； （4）表示出9个数的和，求出幻和，利用第二行和等于幻和列方程求解； （5）利用三阶幻方的性质求解； （6）设中心数为，利用第三行和等于第三列和求出右上角的数，再利用副对角线和等于幻和求出中心数，进而求出和； 【详解】（1）解：由图1可知，月历中同一列相邻两个数相差7， ； （2）解：由图1可知，月历中同一列相邻两个数相差7， ； （3）解：图5中第二列三个数之和为， 幻方中每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都等于30， 由图5可知，第一行， 解得， 主对角线， 解得； （4）解：这9个数分别为， 它们的和为， 幻和为， 由图6可知，第二行， 解得； （5）解：设中心数为， ， ， ； （6）解：设中心数为，则幻和为，设右上角的数为， 第三行的和等于第三列的和， ， 解得， 副对角线上的三个数之和等于幻和， ， 解得， 幻和为， ，解得， 主对角线上的三个数之和等于幻和， ，解得， ． ◆题型22 古代问题 64．古希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：他生命的是幸福的童年；再度过了生命的，他两颊长起了细细的胡须；又度过了一生的，他结婚了；5年后，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子去世后，他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了． (1)求丢番图去世时的年龄； (2)尝试提出其他问题并列方程解决． 【答案】(1) 丢番图去世时的年龄为岁 (2) 丢番图结婚时的年龄是多少？岁 【分析】设丢番图的年龄为x岁，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设他去世时的年龄为x，根据题意，得 解得． 答：丟番图去世时的年龄是84岁． （2）解：提出问题：丢番图结婚时的年龄是多少？ 设丢番图结婚时的年龄是y， 则， 解得， 答丟番图结婚时的年龄是33岁． 65．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竿．每人五竿多十二，每人八竿少三竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和多少竹竿．每人5竿，多12竿；每人8竿，少3竿”．甲、乙两位同学分别给出自己的理解和做法： (1)甲：设牧童人数为人，根据题意可列方程_____________________________； 乙：设竹竿数为竿，根据题意可列方程_____________________________； (2)通过解方程可知：牧童的人数是_________人，竹竿的数量是_________竿． 【答案】(1)， (2)5，37 【分析】（1）甲：每人5竿多12竿时总数为，每人8竿少3竿时总数为，根据竹竿总数相等列方程即可；乙：每人5竿多12竿时人数为，每人8竿少3竿时人数为，根据人数相等列方程即可； （2）解（1）中所列方程即可求解． 【详解】（1）解：甲：设牧童人数为人，根据题意可列方程； 乙：设竹竿数为竿，根据题意可列方程； （2）解：解，得， 解，得． 所以牧童有5人，竹竿有37竿． 66．《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？（用一元一次方程求解） 【答案】 井深8尺，绳长36尺 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，关键是抓住绳长固定不变这一等量关系列出方程求解． 【详解】解：设井深为尺， ∴， 解得，， ∴井深为尺，绳长为（尺）， 答：井深8尺，绳长36尺． 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26七年级下·全国·期末）下列方程变形正确的是（     ） A．方程，系数化为1，得 B．方程，移项，得 C．方程，去括号，得 D．方程，去分母，得 【答案】B 【分析】根据等式的基本性质以及解一元一次方程逐项判断即可． 【详解】解∶A．方程，系数化为1，得，即A选项错误； B．方程，移项，得，即B选项正确； C．方程，去括号，得，即C选项错误； D．方程，去分母，得，即D选项错误． 2．（25-26七年级下·河南洛阳·期中）若关于的方程是一元一次方程，则的值为（    ） A．2 B．0 C．2或0 D．1 【答案】B 【分析】根据一元一次方程需满足只含有一个未知数，未知数的次数为，且一次项系数不为求解即可． 【详解】解：关于的方程是一元一次方程， ，， ，， ，或， ． 3．（25-26七年级下·山东淄博·期中）制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，1立方米木材可制作20个桌面或者400条桌腿，现有12立方米的木材，设有x立方米木材制作桌面，问怎样用料才能制作尽可能多的桌子，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设有x立方米木材制作桌面，则有立方米木材制作桌腿， ∴制作的桌面有个，制作的桌腿有个， 根据一张桌子要用1个桌面和4条桌腿可得桌腿数量是桌面数量的4倍， ∴可列方程为． 4．（25-26七年级上·陕西西安·期末）小明解方程，去分母时，方程右边的忘记乘12，因而求出的解为，则原方程正确的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 根据小明的错误去分母过程，将代入错误方程，求出参数的值，再代入原方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 将代入上述方程得：， 解得， 则原方程为， 方程两边乘12得：， 即， 整理得， 移项、合并同类项得， 解得， 故选：B． 5．（2026七年级上·江苏南京·专题练习）我国明朝数学家程大位所著的《算法统宗》中记载了一种乘法的计算方法，称为“铺地锦”．如图①，计算，先将乘数31和47分别写在大方格的上面和右面，然后用31的每位数字分别乘以47的每位数字，并将结果记入对应小方格的三角形中，最后再把大方格内同一斜线上的数相加，满十进一，得1457．如图②，是用“铺地锦”计算两个两位数乘积的过程，它们的乘积等于（   ） A．345 B．256 C．356 D．100 【答案】A 【分析】本题考查了“铺地锦”的计算方法，一元一次方程的应用，理解“铺地锦”的计算方法是解题的关键． 先根据“铺地锦”画出图②，再列方程求出a，即可得出结果． 【详解】解：如图，根据题意可得， 则， 解得， ∴， ∴乘积为345． 故选：A． 6．（25-26六年级下·山东烟台·期中）某车间有10名工人，每人每天可以生产螺栓9个或螺母12个，设名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，要求每天生产的螺栓和螺母按刚好配套，则可列方程为________． 【答案】 【分析】根据题意设名工人生产螺栓，则名工人生产螺母，再根据螺栓与螺母配套的数量关系列方程即可． 【详解】解：设名工人生产螺栓，则名工人生产螺母， 由题意得：． 7．（25-26六年级下·山东烟台·期中）若是关于的一元一次方程的解，则的值为___________． 【答案】3 【分析】把代入，得出，解一元一次方程即可求出a的值． 【详解】解：把代入得：， 则， ∴． 8．（25-26七年级下·河南洛阳·期中）已知（k是整数）是关于x的一元一次方程，当______时，方程的解为正整数． 【答案】0 【分析】本题考查一元一次方程的定义和解一元一次方程． 先整理方程得到x的表达式，再根据方程的解是正整数，结合k为整数求解即可． 【详解】解：对原方程去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，合并同类项，得 ， 因为方程是关于的一元一次方程， 所以， 系数化为1，得， 因为方程的解是正整数，且为整数， 所以是的正因数，的可能取值为1、2、4， 当时，解得，符合要求； 当 时，解得，不是整数，舍去； 当 时，解得，不是整数，舍去； 故答案为：0． 9．（25-26七年级下·福建漳州·期中）已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，总是它的解，则的值为______． 【答案】 【分析】将代入方程，化简后得到关于k的方程，由“无论k为何值，总是它的解”，可得k的系数和常数项均为零，从而求出a和b，进而可求的值． 【详解】解：∵关于x的方程，无论k为何值，总是它的解， ∴， ， ， ， ∵无论k为何值，总是它的解， ∴，此时， ∴，， ∴． 10．（25-26七年级下·重庆璧山·期中）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为______． 【答案】 【分析】把方程变形为，根据方程的解为，可得即可求解. 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为， ∴的解为， ∴一元一次方程的解为． 11．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：去括号，得 移项，得 合并同类项，得 （2）解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 12．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）解下列一元一次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 两边同乘6，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 系数化为1，得． 13．（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）关于x的两个一元一次方程与的解互为相反数，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解与解一元一次方程，先解出第一个方程的解，根据两个方程的解互为相反数得到第二个方程的解，再将解代入第二个方程即可求出的值． 【详解】解：解方程 移项得 解得 ∵两个方程的解互为相反数 ∴方程的解为 把代入 得 整理得 解得． 14．（25-26七年级下·重庆·期中）已知代数式，，解答下列问题： (1)若，则为何值时，代数式与相等？ (2)若关于的方程的解使得，两个代数式的值互为相反数，求的值． 【答案】(1)的值为8时，这两个代数式的值相等 (2)的值为9 【分析】（1）根据题意，列出方程，即可求解； （2）先解出关于x的方程，再根据关于x的方程的解使得，两个代数式的值互为相反数，可得到关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得． 解这个方程，得．             答：的值为8时，这两个代数式的值相等． （2）解：解方程，得．             由代数式和的值互为相反数，得：．    将代入上式中，得 ．         解这个方程，得．             答：的值为9． 15．（25-26七年级下·山西临汾·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之差为1．那么我们就称这两个方程互为“邻解方程”．例如：的解为，方程的解为，两个方程的解之差为1．所以这两个方程互为“邻解方程”．请回答下列问题： (1)方程和方程是否互为“邻解方程”？________；（填“是”或“否”） (2)若关于x的方程与方程互为“邻解方程”，求m的值． 【答案】(1)是 (2)或 【分析】（1）先求解两个一元一次方程，再根据“邻解方程”的定义进行判断即可； （2）先求出两个方程的解分别为：，，再根据关于的方程与方程互为“邻解方程”，得出解关于的方程即可． 【详解】（1）解：解方程得， 解方程得， ∵， ∴方程和方程是互为“邻解方程”； （2）解：解方程，得， 解方程，得， ∵两个方程互为“邻解方程”， ∴或， ∴或， 综上，的值为或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $