4.1整式（第2课时）（导学案）数学新教材人教版七年级上册

4.1 整式（第2课时） 导学案 1.理解多项式的概念，能准确识别一个代数式是否为多项式；掌握多项式的项、常数项、次数的概念，能准确指出多项式的项和次数。 2.理解“几次几项式”的含义，能正确说出一个多项式是几次几项式；理解整式的概念，能区分单项式、多项式和整式。 3.经历从具体代数式中抽象出多项式概念的过程，发展观察、比较和归纳能力。 学习重点：多项式的概念、项、常数项、次数以及整式的概念与分类。 学习难点：准确确定多项式的次数和项（特别是带有负号或字母指数的项）；正确区分单项式、多项式与整式，尤其是分母中含有字母的式子不属于整式。 第一环节 自主学习 【复习回顾，引入新知】 【旧知复习】 思考（1）什么是单项式？ （2）单项式的系数和次数分别指什么？ 【情境引入】 出示上一章学过的代数式：，，， 思考：这些式子与单项式有什么区别和联系？它们有什么共同的特点？ 教师观察发现：这些式子都可以看作几个单项式的和。 例如： 可以看作单项式 ， 与 的和； 可以看作单项式 与 的和； 可以看作单项式 与 的和； 可以看作单项式 与 的和。 像这样，几个单项式的和组成的代数式，就是今天要学习的多项式。 新知自研：自研课本第91--93页的内容． 【学法指导】 自研课本P91-93的内容，思考： ●探究一：多项式的概念与项 ◆1.问题引入 几个单项式的 叫作多项式。其中，每个 叫作多项式的项，不含字母的项叫作 。 【师生活动】 教师示范： 可写成 ，所以它的项是 和 ，其中 是常数项。 学生活动：仿照例子，将 写成省略加号的和的形式，并找出它的项和常数项。 ◆2.概念归纳 确定多项式的项的方法总结： ①多项式的每一项都是 ，不是单项式的式子不能作为多项式的项； ②多项式的每一项都包括它前面的 。例如 的第二项是 ，不是 ； 的第二项是 ，正号可以省略； ③确定多项式的项时，要把多项式还原成省略加号的和的形式，再逐项确定。 ◆3.例题巩固： 指出下列多项式的项和常数项。 （1）；（2）；（3）。 【分析】依据多项式项与常数项定义，拆分多项式，每一项连同前面 一起取出，不含字母的项即为 。 【解答】 ●探究二：多项式的次数与几次几项式 ◆1.问题引入 多项式里，次数 的项的次数，叫作这个多项式的次数。 几次几项式：一个多项式是 、有 就叫几次几项式。 例如， 是一次二项式， 是二次三项式。 注意：“几次几项式”中的“几”要用汉字数字，不能用阿拉伯数字。 例如要说“三次四项式”，不能说“3次4项式”。 ◆2.探究新知 思考：怎样确定一个多项式的次数？ 先分别求出多项式中 的次数，再找出次数 的项，这个项的次数就是多项式的次数。 特别注意：多项式的次数不是所有项的次数之和，而是“次数最高的项的次数”。 【详细过程】 以多项式 为例： 的次数是 ； 的次数是 ； 的次数是 ； 是常数项，次数为 。 所以最高次项是 ，多项式的次数是 。 ◆3.例题巩固： 多项式 中： （1）次数最高的项是什么？ （2）一次项系数是什么？ （3）常数项是什么？ （4）它是几次几项式？ 【解答】 ●探究三：整式的概念与分类 ◆1.问题引入 1.整式的定义：单项式与 统称整式。 前面学习的单项式：，，， 等； 前面学习的多项式：，，， 等。 它们都是整式。 2.三者关系：整式包含 和多项式，多项式由几个 相加组成。 ◆2.习题巩固 指出下列各式中，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式。是单项式的指出系数和次数，是多项式的指出项和次数。 ，，，，，，。 【解答】 ◆2.归纳总结 单项式与多项式的区别： ①运算符号：单项式 加减运算符号，多项式必 加减运算符号； ②次数：单项式的次数是所有字母的 ，多项式的次数是次数最高的项的次数。 ③判断时先看分母中是否含有 ：分母含有字母的式子不是 ；再根据是否含有加减运算区分单项式和多项式。 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A. 探讨多项式、项、常数项及多项式次数的概念。 B. 交流例题已知与所求，理清思路，易错点：项连同符号、次数取最高项而非相加。 C. 相互检查导学内容完成情况并给出等级评定。 【巩固训练1 多项式的判断】 下列说法正确的是（ ） A. 的系数是 B. 的次数是 C. 是多项式 D. 的常数项是 【分析】根据单项式的系数、次数，多项式的定义与常数项的概念逐一判断选项即可。 【变式1-1】下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥，属于多项式的有______．（填序号） 【巩固训练2 多项式的项、项数或次数】 下列说法错误的是（ ） A．是三次三项式 B．的次数是5 C．的系数是，次数是4 D．不是多项式 【变式2-1】对于多项式，下列结论中正确的是（ ） A．是六次三项式 B．是三次三项式 C．次数最高项的系数是1 D．常数项是3 【变式2-2】把下列各代数式的序号分别填在相应的横线上： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨。 单项式：________________； 多项式：________________； 二次三项式：________________； 整式：________________； 【巩固训练3 多项式系数、指数中字母求值】 已知是关于的二次多项式，则的值是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】若多项式是关于的三次三项式，则________。 【变式3-2】已知多项式是关于的四次三项式。 （1）求的值； （2）若该多项式的次数与单项式的次数相同，求的值。 ▲1、多项式的相关概念 ①几个单项式的________叫作多项式。其中，每个________叫作多项式的项，不含字母的项叫作_________。 ②多项式里，次数_______________的项的次数，叫作这个多项式的次数。 ③几次几项式：一个多项式是________、有_______就叫几次几项式。 ▲2、整式的定义：单项式与_______________统称整式。 三者关系：整式包含_______________和多项式，多项式由几个_______________相加组成。 题型一 多项式的有关概念 1．多项式是几次几项式_____，其常数项是（   ） A．六次三项式， B．四次三项式，3 C．四次三项式， D．六次三项式，3 2．关于多项式，下列说法正确的是（   ） A．它是三次六项式 B．它的最高次项是 C．它的一次项是 D．关于的二次项系数是 3．下列说法：①单项式的系数是，②单项式的次数是，③多项式是二次三项式，④多项式是三次二项式．其中说法正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型二 整式的概念 4．在代数式：中，整式有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 5．下列式子：①；②；③；④；⑤．其中多项式有 个，次数最高的多项式为 （请填写序号），整式有 个． 6．下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？分别填入下列所属框中． ，，0，，，，m． 单项式：{                        …}； 多项式：{                        …}； 整式：{                            …}． 题型三 利用多项式的相关概念求值 7．已知多项式中，最高次项的系数为，多项式的次数为，常数项为，则的值为（    ） A．4 B．6 C．－6 D．14 8．已知是关于x的二次三项式，则 ． 9．对于多项式． (1)若此多项式是关于x的三次三项式，求m的值； (2)若此关于x的多项式不含常数项，求k的值． 题型四 综合利用单项式和多项式的有关概念求值 10．已知关于x，y的多项式与多项式的次数相同，那么n的值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 11．多项式是关于x的二次二项式，且该多项式的次数与关于的单项式的次数相等，求的值． 12．运算能力  已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求的值． 题型五 写出满足某些特征的单项式 13．有一个关于x，y的多项式，每项的次数都是3．请你写出一个这样的多项式为：　 　． 14．有一个多项式为a10－a9b＋a8b2－a7b3＋…，按这种规律写下去． （1）写出它的第六项和最后一项； （2）这个多项式是几次几项式？ 15．试至少写两个只含有字母x、y的多项式，且满足下列条件： （1）六次三项式； （2）每一项的系数均为1或﹣1； （3）不含常数项； （4）每一项必须同时含字母x、y，但不能含有其他字母． 题型六 多项式中的规律探究问题 16．现有两个一次式，它们同时满足下述三个条件：①一次式中的字母均只含一个，为字母；②一次项的系数互为相反数；③这两个一次式的和为，这两个一次式可以是 ．（写出满足条件的一组即可） 17．已知． (1)按规律写出该多项式的第6项，并指出它的次数和系数． (2)该多项式是几次几项式． 18．观察多项式x﹣3x2+5x3﹣7x4+…的构成规律，并回答下列问题： （1）它的第100项是什么？ （2）它的第n（n为正整数）项是什么？ （3）当x＝1时，求前2014项的和． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 整式（第2课时） 导学案 1.理解多项式的概念，能准确识别一个代数式是否为多项式；掌握多项式的项、常数项、次数的概念，能准确指出多项式的项和次数。 2.理解“几次几项式”的含义，能正确说出一个多项式是几次几项式；理解整式的概念，能区分单项式、多项式和整式。 3.经历从具体代数式中抽象出多项式概念的过程，发展观察、比较和归纳能力。 学习重点：多项式的概念、项、常数项、次数以及整式的概念与分类。 学习难点：准确确定多项式的次数和项（特别是带有负号或字母指数的项）；正确区分单项式、多项式与整式，尤其是分母中含有字母的式子不属于整式。 第一环节 自主学习 【复习回顾，引入新知】 【旧知复习】 思考（1）什么是单项式？ 单项式是数或字母的积，单独的一个数或一个字母也是单项式。 （2）单项式的系数和次数分别指什么？ 单项式的系数：单项式中的数字因数。 单项式的次数：单项式里所有字母指数的和。 【情境引入】 出示上一章学过的代数式：，，， 思考：这些式子与单项式有什么区别和联系？它们有什么共同的特点？ 教师观察发现：这些式子都可以看作几个单项式的和。 例如： 可以看作单项式 ， 与 的和； 可以看作单项式 与 的和； 可以看作单项式 与 的和； 可以看作单项式 与 的和。 像这样，几个单项式的和组成的代数式，就是今天要学习的多项式。 新知自研：自研课本第91--93页的内容． 【学法指导】 自研课本P91-93的内容，思考： ●探究一：多项式的概念与项 ◆1.问题引入 几个单项式的和叫作多项式。其中，每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项。 【师生活动】 教师示范： 可写成 ，所以它的项是 和 ，其中 是常数项。 学生活动：仿照例子，将 写成省略加号的和的形式，并找出它的项和常数项。 多项式 的项是 ， 与 ，其中 是常数项。 ◆2.概念归纳 确定多项式的项的方法总结： ①多项式的每一项都是单项式，不是单项式的式子不能作为多项式的项； ②多项式的每一项都包括它前面的符号。例如 的第二项是 ，不是 ； 的第二项是 ，正号可以省略； ③确定多项式的项时，要把多项式还原成省略加号的和的形式，再逐项确定。 ◆3.例题巩固： 指出下列多项式的项和常数项。 （1）；（2）；（3）。 【分析】依据多项式项与常数项定义，拆分多项式，每一项连同前面符号一起取出，不含字母的项即为常数项。 解：（1）项是 ，，没有常数项； （2）项是 ，，没有常数项； （3）项是 ，，，常数项是 。 ●探究二：多项式的次数与几次几项式 ◆1.问题引入 多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数。 几次几项式：一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式。 例如， 是一次二项式， 是二次三项式。 注意：“几次几项式”中的“几”要用汉字数字，不能用阿拉伯数字。 例如要说“三次四项式”，不能说“3次4项式”。 ◆2.探究新知 思考：怎样确定一个多项式的次数？ 先分别求出多项式中每一项的次数，再找出次数最高的项，这个项的次数就是多项式的次数。 特别注意：多项式的次数不是所有项的次数之和，而是“次数最高的项的次数”。 【详细过程】 以多项式 为例： 的次数是 ； 的次数是 ； 的次数是 ； 是常数项，次数为 。 所以最高次项是 ，多项式的次数是 。 ◆3.例题巩固： 多项式 中： （1）次数最高的项是什么？ （2）一次项系数是什么？ （3）常数项是什么？ （4）它是几次几项式？ 【解答】解：（1）次数最高的项是 ； （2）一次项是 ，系数是 ； （3）常数项是 ； （4）它是六次四项式。 ●探究三：整式的概念与分类 ◆1.问题引入 1.整式的定义：单项式与多项式统称整式。 前面学习的单项式：，，， 等； 前面学习的多项式：，，， 等。 它们都是整式。 2.三者关系：整式包含单项式和多项式，多项式由几个单项式相加组成。 ◆2.习题巩固 指出下列各式中，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式。是单项式的指出系数和次数，是多项式的指出项和次数。 ，，，，，，。 【解答】解：（1）a−3 是多项式，项为 a , −3，次数是 1，是整式； （2） b 是单项式，系数是 ，次数是 1，是整式； （3）8− 分母含有字母，不是单项式也不是多项式，不是整式； （4） ，是多项式，项为，次数是，是整式； （5）是多项式，项为，次数是，是整式； （6）分母含有字母，不是整式； （7） 是单项式（是常数），系数是，次数是，是整式。 ◆2.归纳总结 单项式与多项式的区别： ①运算符号：单项式不含加减运算符号，多项式必含加减运算符号； ②次数：单项式的次数是所有字母的指数和，多项式的次数是次数最高的项的次数。 ③判断时先看分母中是否含有字母：分母含有字母的式子不是整式；再根据是否含有加减运算区分单项式和多项式。 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A. 探讨多项式、项、常数项及多项式次数的概念。 B. 交流例题已知与所求，理清思路，易错点：项连同符号、次数取最高项而非相加。 C. 相互检查导学内容完成情况并给出等级评定。 【巩固训练1 多项式的判断】 下列说法正确的是（ ） A. 的系数是 B. 的次数是 C. 是多项式 D. 的常数项是 【分析】根据单项式的系数、次数，多项式的定义与常数项的概念逐一判断选项即可。 解：A. ，单项式的数字因数即系数为 ，A错误； B. 中所有字母的指数和为 ，单项式的次数为 ，B错误； C. ，是两个单项式的和，符合多项式的定义，C正确； D. 多项式 中不含字母的项为 ，即常数项是 ，D错误。 【变式1-1】下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥，属于多项式的有______．（填序号） 解：①，是单项式和的和，因此是多项式； ②分母中含有字母，是分式，不是多项式； ③是单项式、和的和，因此是多项式； ④是单项式； ⑤是常数，是单项式； ⑥分母中含有字母，不是多项式； 故属于多项式的有①③。 【巩固训练2 多项式的项、项数或次数】 下列说法错误的是（ B ） A．是三次三项式 B．的次数是5 C．的系数是，次数是4 D．不是多项式 解：因为多项式中，是常数项，次数为0，最高次项是，次数为2，所以该多项式的次数是2，不是5，故B错误； A．有三项，最高次项次数为3，正确； C．是单项式，系数为，次数为4，正确； D．是单项式，不是多项式，正确。 【变式2-1】对于多项式，下列结论中正确的是（ C ） A．是六次三项式 B．是三次三项式 C．次数最高项的系数是1 D．常数项是3 解：对于多项式，它共有3项，分别为，，。 计算各项次数：的次数为2，的次数为。 因此该多项式是四次三项式，故A选项错误。 B选项“三次三项式”错误；最高次项为，系数是1。 该多项式的常数项是，不是3。 【变式2-2】把下列各代数式的序号分别填在相应的横线上： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨。 单项式：________________； 多项式：________________； 二次三项式：________________； 整式：________________； 答案：单项式：①②⑦⑨； 多项式：③④⑤⑧； 二次三项式：⑧； 整式：①②③④⑤⑦⑧⑨。 【巩固训练3 多项式系数、指数中字母求值】 已知是关于的二次多项式，则的值是（ ） A． B． C． D． 解：因为多项式是关于的二次多项式， 所以且。 由，得，即或。 当时，，不满足条件； 当时，，满足条件。 所以。 【变式3-1】若多项式是关于的三次三项式，则________。 解：多项式是关于的三次三项式， 因此，且。 整理得，即或。 又因为，所以，故。 【变式3-2】已知多项式是关于的四次三项式。 （1）求的值； （2）若该多项式的次数与单项式的次数相同，求的值。 解：（1）因为多项式是关于的四次三项式，所以，解得。 （2）因为多项式与单项式的次数相同， 所以， 又因为，所以， 所以。 ▲1、多项式的相关概念 ①几个单项式的和叫作多项式。其中，每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项。 ②多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数。 ③几次几项式：一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式。 ▲2、整式的定义：单项式与多项式统称整式。 三者关系：整式包含单项式和多项式，多项式由几个单项式相加组成。 题型一 多项式的有关概念 1．多项式是几次几项式_____，其常数项是（   ） A．六次三项式， B．四次三项式，3 C．四次三项式， D．六次三项式，3 【答案】C 【分析】本题主要考查多项式的定义，熟练掌握多项式的意义是解题的关键；因此此题可根据多项式的次数和项数进行求解． 【详解】解：是四次三项式，其常数项是； 故选C． 2．关于多项式，下列说法正确的是（   ） A．它是三次六项式 B．它的最高次项是 C．它的一次项是 D．关于的二次项系数是 【答案】D 【分析】本题考查的是多项式的项与次数的含义，根据多项式的项和次数的定义，确定各个项和各个项的系数，注意要带有符号． 【详解】解：A、多项式是四次六项式，故本选项错误. B、多项式的最高次项是，故本选项错误. C、多项式的一次项是和，故本选项错误. D、多项式的二次项系数是，故本选项正确． 故选：D． 3．下列说法：①单项式的系数是，②单项式的次数是，③多项式是二次三项式，④多项式是三次二项式．其中说法正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的系数、次数，多项式的项、项数、次数．根据单项式的系数为其数字因数，次数是所有字母的次数的和；多项式的次数是多项式中最高次项的次数，项数为所含单项式的个数，逐个判断即可求解． 【详解】解：单项式的系数是，故①说法错误； 单项式的次数是，故②说法错误； 多项式是二次三项式，故③说法正确； 多项式是二次二项式，故④说法错误． 说法正确的有个． 故选：C． 题型二 整式的概念 4．在代数式：中，整式有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】D 【分析】本题考查整式的判断．整式包括单项式和多项式，用数或字母的乘积表示的式子叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．几个单项式的和叫做多项式．根据定义判断即可． 【详解】解：所给代数式中： 是单项式，属于整式； 是多项式，属于整式； 分母中含字母，不是整式； 综上可知，整式有7个， 故选D． 5．下列式子：①；②；③；④；⑤．其中多项式有 个，次数最高的多项式为 （请填写序号），整式有 个． 【答案】 3 ② 4 【分析】本题主要考查了整式，多项式及其次数，根据多项式及其次数解答，再根据整式的定义判断即可． 【详解】多项式有，，，一共有3个； 因为是二次三项式，是三次三项式，是二次二项式，所以次数最高的多项式是②； 整式有，，，，一共有4个． 故答案为：3，②，4． 6．下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？分别填入下列所属框中． ，，0，，，，m． 单项式：{                        …}； 多项式：{                        …}； 整式：{                            …}． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了单项式、多项式和整式的判断，解题的关键是熟练掌握定义． 利用单项式、多项式和整式的定义进行分类即可． 【详解】解：单项式：{，，0，，m，…}； 多项式：{，，…}； 整式：{，，0，，，，m，…}． 题型三 利用多项式的相关概念求值 7．已知多项式中，最高次项的系数为，多项式的次数为，常数项为，则的值为（    ） A．4 B．6 C．－6 D．14 【答案】D 【分析】本题考查了多项式，能理解多项式的系数、次数、项的概念是解此题的关键，注意：多项式的系数和项带着前面的符号． 根据多项式的次数和项数的定义分析判断即可． 【详解】解：∵多项式中，最高次项的系数为，多项式的次数为，常数项为， ∴， ∴． 故选：D． 8．已知是关于x的二次三项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式，几个单项式的和叫做多项式．多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数．根据多项式的有关概念求出a，b的值是解题的关键． 【详解】解：∵多项式是关于x的二次三项式， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 9．对于多项式． (1)若此多项式是关于x的三次三项式，求m的值； (2)若此关于x的多项式不含常数项，求k的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了多项式的相关概念，熟练掌握多项式的次数、项数、项是解题的关键． （1）此多项式是三次三项式，可得，，，即可求出m的值； （2）此多项式不含常数项，可得，即可求出k的值． 【详解】（1）解：多项式是关于x的三次三项式， ，，， ，， m的值为． （2）解：关于x的多项式不含常数项， ， ． k的值为1． 题型四 综合利用单项式和多项式的有关概念求值 10．已知关于x，y的多项式与多项式的次数相同，那么n的值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的次数，正确理解多项式的次数的概念是解题的关键．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．根据多项式次数的概念，列方程求解即可． 【详解】解：关于x，y的多项式与多项式的次数相同， ， 解得． 故选：C． 11．多项式是关于x的二次二项式，且该多项式的次数与关于的单项式的次数相等，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了单项式，多项式，绝对值，先根据多项式的项、次数的定义求出m的值，再根据单项式的次数与多项式的次数相等求出n的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵多项式是关于x的二次二项式， ∴， ∴， ∵该多项式的次数与关于x，y的单项式的次数相等， ∴， 解得， ∴． 12．运算能力  已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求的值． 【答案】10 【分析】此题主要考查了相反数，倒数，多项式的项数与次数，单项式的系数与次数，以及有理数的混合运算，解题的关键是正确确定m和n的值． 利用单项式的次数、多项式次数和项数的确定方法可得m和n的值，然后再结合相反数和互为倒数的定义进行计算即可． 【详解】解：因为多项式是六次四项式， 所以， 所以． 因为单项式的次数与这个多项式的次数 相同，所以， 所以， 所以． 因为a，b互为相反数，c，d互为倒数， 所以， 所以． 题型五 写出满足某些特征的单项式 13．有一个关于x，y的多项式，每项的次数都是3．请你写出一个这样的多项式为：　 　． 【分析】根据多项式的项，组成多项式项的次数的概念即可求解． 【解答】解：多项式x3+y3中x3的次数为3，y3的次数为3． 故答案为：x3+y3（答案不唯一）． 【点评】本题考查了多项式中每项的次数，掌握多项式的项，组成多项式项的次数的概念是关键． 14．有一个多项式为a10－a9b＋a8b2－a7b3＋…，按这种规律写下去． （1）写出它的第六项和最后一项； （2）这个多项式是几次几项式？ 【答案】（1）， ；（2）10次11项式． 【详解】试题分析：（1）根据多项式的项可以得到奇数项是正，偶数项是负，b的指数是项的序号减去1，而每项的指数都是10，据此即可判断． （2）根据（1）的规律应该有11项，每项的次数都是10． 试题解析：(1)第六项：−a5b5，最后一项：b10； (2)十次十一项式. 点睛：本题考查了多项式的有关概念，解题的关键是要理解多项式的项、次数、项数等概念的意义. 15．试至少写两个只含有字母x、y的多项式，且满足下列条件： （1）六次三项式； （2）每一项的系数均为1或﹣1； （3）不含常数项； （4）每一项必须同时含字母x、y，但不能含有其他字母． 【分析】多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，满足条件（1），即最高项的次数为6，满足条件（2），多项式的系数是1或﹣1，满足条件（3），即多项式没有常数项，满足条件（4）多项式中每项都含xy，不能有其它字母． 【解答】解：此题答案不唯一， 如：x3y3﹣x2y4+xy5；﹣x2y4﹣xy﹣xy2． 【点睛】多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，要看清每项条件的要求． 题型六 多项式中的规律探究问题 16．现有两个一次式，它们同时满足下述三个条件：①一次式中的字母均只含一个，为字母；②一次项的系数互为相反数；③这两个一次式的和为，这两个一次式可以是 ．（写出满足条件的一组即可） 【答案】和（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次式的定义，相反数，一次式的加减运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据一次式的定义，一次式的加减运算，即可得到答案． 【详解】解：设两个一次式分别是， ∴， ∴， ∴这两个一次式为和， 故答案为：和（答案不唯一） ． 17．已知． (1)按规律写出该多项式的第6项，并指出它的次数和系数． (2)该多项式是几次几项式． 【答案】(1)多项式的第6项为，其系数为，次数为； (2)多项式是十次十一项式． 【分析】（1）由已知的各项可得每一项的次数都是10，且奇数次项的系数为1，偶数次项的系数为，其中x按降幂排列，y按照升幂排列，从而可得答案； （2）根据每一项的次数都是10，以及按照x的排列规律可得其项数，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴多项式的第6项为，其系数为，次数为； （2），∵的每一项的次数都是10， ∴多项式是十次十一项式． 【点睛】本题考查的是多项式的项与次数的含义，熟记多项式的项与次数的概念以及探究各项的排列规律是解本题的关键． 18．观察多项式x﹣3x2+5x3﹣7x4+…的构成规律，并回答下列问题： （1）它的第100项是什么？ （2）它的第n（n为正整数）项是什么？ （3）当x＝1时，求前2014项的和． 【分析】（1）根据多项式得出规律，确定出第100项即可； （2）写出得出的规律即可； （3）把x＝1代入多项式计算即可求出． 【详解】解：（1）根据题意得：第100项为﹣199x100； （2）根据题意得：第n项为（﹣1）n+1（2n﹣1）xn； （3）把x＝1代入得：1﹣3+5﹣7+…+4025﹣4027＝﹣2﹣2…﹣2（1007个﹣2相加）＝﹣2014． 【点睛】此题考查了多项式，弄清题中规律是解本题的关键． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $