4.2.1指数函数的概念（教学设计）高一数学人教A版必修第一册

4.2.1指数函数的概念 年级 高一 学科 数学 课型 新授课 教材 人教A版必修第一册 教学目标 1.理解指数函数的定义，掌握指数函数解析式特征，能识别指数函数，会求简单指数函数定义域。 2.通过实例抽象出指数函数模型，经历概念形成过程，提升数学抽象与建模能力。 3.感受指数函数在实际问题中的应用，体会数学来源于生活，激发探究函数的兴趣。 教学重点 指数函数的概念及解析式特征； 指数增长与指数衰减模型。 教学难点 对底数 必要性的理解； 从实际问题中抽象并建立指数型函数模型，尤其是将增长率、半衰期转化为指数式。 教材分析 本节课为人教A版必修第一册第四章《指数函数与对数函数》第二节《指数函数》第一课时。核心知识点为指数函数的定义、解析式特征，以及指数增长与指数衰减模型。 本节在学生已学习实数指数幂、幂函数及研究函数一般方法的基础上，继续研究一类重要初等函数。教材从支原体传播、日取其半两个情境列出 、，引导学生观察共性，抽象出 ，并规定 且 ，形成指数函数定义；再通过景区游客人次、碳14衰减，概括指数增长与指数衰减模型。概念形成遵循“具体实例—函数关系—共性归纳—形式定义—辨析应用”的逻辑。其知识价值在于：它是初等函数体系的重要组成部分，为后续研究指数函数图象、性质及对数函数奠定基础，也为刻画增长、衰减等现实问题提供模型。教学重点是理解指数函数定义及解析式特征，建立指数增长、衰减模型。 学情分析 学生已掌握实数指数幂运算、幂函数及研究函数的一般方法，具备由具体情境列出简单函数关系的基础，也能借助一元一次方程、多项式等表示数量关系。因此，从 、归纳“底数为常数、指数为自变量”较为容易。但理解 涉及负数底数、0、1等特殊情形，学生易停留于记忆。列指数模型是主要难点：学生易把指数增长与线性增长混淆，对增长率恒定、半衰期转化为 、 等不够熟练。教学中应借助表格、比值和计算工具，强化从“增加量”到“增长率”的抽象过程。 教学过程 教学内容 设计意图 课堂导入 【创设情境，引入新课】 上一节我们学习了指数，把指数从整数拓展到全体实数，研究了幂函数，理解了研究函数的一般方法。今天我们用同样的方法研究另一类非常重要的初等函数——指数函数。 情境1：支原体肺炎传播。 如果防护不到位，它可以在很短时间内由1个人传染2个，2个传染4个…… 请问如果不做预防，最终的传染人数 y 与传染次数 x 之间的关系式是怎样的？ 传染人数 关于传染次数 的函数表达式为：。 情境2：《庄子·天下篇》。 “一尺之棰，日取其半，万世不竭。”即长为1的木棒第一次截去它的一半，第2次截去剩余部分的一半，第3次截去第2次剩余部分的一半…剩下的木棒长度y与截的次数x之间的函数关系式是? 剩余长度 关于截取次数 的函数表达式为：。 【师生活动】 教师展示两个生活情境，提问“这两个关系式有什么共同特征？” 学生观察、比较、归纳，尝试抽象出一般形式。 从真实情境出发，激发学习兴趣，引导学生感受“现实问题→数学表达式”的抽象过程，明确本节课研究指数函数的方向。 探究点1：指数函数的概念 【问题引入】 思考1：请说出 与 有什么特征？能否用一个式子反映这些特征？ 学生讨论后得到：，其中指数 为自变量，底数 为常数。 追问1：在 中，对 有要求吗？ 答：没有，。 追问2：在 中，对 有要求吗？ 答：，且 。 因为 时， 不一定有意义，如 ； 或 时，没有研究价值。 【概念形成】 一般地，函数 叫做指数函数，其中指数 是自变量，定义域是。 特征：常数底数（大于0且不等于1）、自变量在指数位置、系数为1，即 。 【师生活动】 教师引导学生从特殊到一般，逐步归纳指数函数定义； 学生举反例说明底数限制的必要性。 【例题巩固】 辨析1：下列是指数函数的是： ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ 。 【答案】：√，×，×，×，×，×，√。 例1：已知指数函数（，且 ），且，求，， 的值。 解：由，且 ，则 ，解得 ，于是 。 所以 ，，。 通过辨析、待定系数法求解析式，突破“指数函数形式特征”的理解难点，培养数学抽象与运算能力。 探究点2：指数增长和指数衰减 【问题引入】 问题1：随着中国经济高速增长，旅游成为越来越多家庭的重要生活方式。A，B两地景区自2001年起采取了不同措施，A地提高门票价格，B地取消门票。表4.2-1给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量。 思考2：观察表格数据，比较两地景区游客人次每年的变化情况，发现怎样的变化规律？ 角度1：通过年增加量数据看变化趋势。 角度2：根据表格数据描点，用光滑曲线将离散点连起来。 结论：A地景区游客人次近似于直线上升（线性增长），年增加量大致相等； B地景区游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大。 追问1：为了更直观地观察游客人次变化趋势，可以采用什么方法？ 答：描点、画图，用光滑曲线连接。 先对A景区分析：从2001年开始，每年增加量约为10万人次，则 1年后，游客人次增加10万人次； 2年后，增加20万人次； 3年后，增加30万人次； …… 年后，增加 万人次。 设 年后的增加量记为 ，则 。 追问2：类比A景区研究过程，B景区是否也存在类似“增加量”这样的不变量？ 思考3：年增加量是对相邻两年游客人次做减法得到的，能否通过对B地景区每年游客人次做其他运算发现规律？ ， ， …… 。 增长率均为常数。 结果表明，B地景区游客人次的年增长率都约为 ，是一个常数。 做减法可以得到年增加量，做除法可以得到年增长率。增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量。像这样，增长率为常数的变化方式，称为指数增长。因此，B地景区游客人次近似于指数增长。 从2001年开始，B地景区游客人次变化规律可近似描述为： 如果设经过 年后游客人次为2001年的 倍，那么 1年后，游客人次是2001年的 倍； 2年后，是 倍； …… 年后，是 倍。 问题2：当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比例衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。 追问1：该情境中有何变量关系？ 死亡年数 与碳14含量 。 追问2：将衰减率设为 ，把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，完成表格。 追问3：若死亡生物体内碳14含量记为 ，死亡年数记为 ，写出关系式： 追问4：你能求出 的值吗？ 把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，经过5730年衰减为原来的一半，即 , 那么 , 则 因此 像这样，衰减率为常数的变化方式，称为指数衰减。 【归纳总结】 指数增长：设原有量为 ，每次增长率为 ，经过 次增长，该量增长到 ，则 指数衰减：设原有量为 ，每次减少率为 ，经过 次减少，该量减少到 ，则 指数增长常见例子：“一传十，十传百”、投资复利、病毒/癌细胞繁殖、经济增长等； 指数衰减常见例子：碳14半衰期、药物在体内代谢等。 【例题巩固】 例2（1）：在情境1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况。 解：设经过 年，游客给A，B两地带来的收入分别为 和 ， 则 利用计算工具可得：当 时，。 当 时，。 结合图可知：当 时，；当 时，。 当 时，。 这说明，在2001年，游客给A地带来的收入比B地多412000万元；随后10年，虽然 ，但 的增长速度大于 ；根据上述数据，并考虑实际情况，在2011年3月某个时刻就有 ，这时游客给A地带来的收入和B地差不多；此后，，游客给B地带来的收入超过了A地；由于 增长得越来越快，在2015年，B地的收入已经比A地多了347303万元了。 例2（2）：在情境2中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？ 解：设生物死亡 年后，它体内碳14含量为 。 如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么 当 时，利用计算工具求得 所以，生物死亡10000年后，它体内碳14含量衰减为原来的约30%。 【技巧点拨】 函数 用于刻画指数增长或指数衰减变化规律。 一般当 时，若 ，则刻画指数增长； 若 ，则刻画指数衰减。 解决此类问题可利用待定系数法，根据条件确定解析式中的系数后，利用指数运算解题。 通过游客人次、碳14衰减等实例，引导学生从“增加量”“增长率”两个角度认识指数增长与指数衰减，完成从实际问题到指数函数模型的抽象，培养数学建模素养。 课堂小结 板书设计 4.2.1指数函数的概念 一、定义 ，。 关键：底数为常数且 ； 指数为自变量； 系数为1。 二、辨析 √； ×； ×； ×； ×； 可化为 √。 三、求解析式 待定系数法：，由 ，得 。 四、指数增长与指数衰减 增长：； 衰减：。 A、B景区：B地年增长率约 ，。 碳14： 。 五、易错点 漏掉 ； 系数不是1； 把幂函数误认为指数函数。 随堂练习 【题型1 指数函数的概念】 1.给出下列函数：① ；② ；③ ；④ ；⑤ 。其中，指数函数的个数是（ B ）。 A. 0　B. 1　C. 2　D. 4 2.若函数 是指数函数，则 。 解：∵ 是指数函数， ∴ ，即 ， ∴ 或 。而 且 ， ∴ 。 【题型2 指数函数的解析式或求值】 1.已知指数函数 的图象过点 ，求 ，，的值。 解：∵ 的图象过点 ， ∴ ，，即 。 ∴ ，，。 2.已知函数 ，，且 ，，，…，，。求函数的一个解析式，并求出 的值。 【答案】：，。 3.已知 的图象经过点 。 （1）求 的值； （2）已知 ，求 。 解：（1）由题意 ，所以 。 （2）因为 ， 所以方程 可化为 ，即 。 所以 ，即 。 【技巧点拨】 求指数函数解析式时，一般采用待定系数法，先按标准形式设出函数式，结合已知条件算出未知参数； 求函数值的关键是求出指数函数解析式。 【题型3 实际问题中指数型函数式的求解】 1.甲、乙两城市现有人口总数都为100万人，甲城市人口的年增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万。 （1）写出两城市的人口总数 （万人）与年份 （年）的函数解析式； （2）计算10年、20年、30年后两城市的人口总数（精确到0.1万人）。 解：（1）年后甲城市人口总数为%）x. 年后乙城市人口总数为 (2) 2.某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，剩留的这种物质为上一年的84%，求该物质的剩留量 关于经过年数 的函数关系式。 解：设该物质最初的质量是1，经过 年剩留量是 。 经过1年，剩留量 ； 经过2年，剩留量 ； …… 一般地，经过 年，剩留量 教学反思 本节课概念理解目标通过实例抽象、辨析训练基本达成，学生能说出指数函数形式特征，但部分学生对“底数大于0且不等于1”仍易遗漏。待定系数法求解析式掌握较好，求函数值运算较熟练。学生学习难点主要在建模转化：由“增长率”“衰减率”“半衰期”列指数式仍需加强引导，尤其碳14模型中底数的转化不够顺畅，列方程建模能力有待提升。课堂例题偏多，留给学生表达模型的时间不足。改进方向：可增加小组合作列方程、写模型的时间，先让学生用自己的语言说明变量关系，再进行计算；同时增加线性增长与指数增长的对比图示，强化“增加量”与“增长率”的区别。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $