4.2.1 指数函数的概念教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.2.1 指数函数的概念（教学设计） 课题 4.2.1 指数函数的概念 单元 第四章 指数函数与对数函数（4.2 指数函数 第1课时） 学科 高中数学（人教A版） 年级 高一 学习目标 1、通过旅游人次增长、碳14衰减两个实例，了解指数函数的实际意义，经历“数据—图象—运算—解析式”的抽象过程，理解指数函数的概念，发展数学抽象素养； 2、掌握指数函数的定义，明确底数且的条件与定义域，能判断一个函数是否为指数函数； 3、会用待定系数法求指数函数的解析式，能用指数函数模型刻画简单的指数增长与指数衰减问题，发展数学建模素养。 教材分析 本节课是人教A版必修第一册第四章《指数函数与对数函数》4.2《指数函数》的第1课时。第4.1节已把指数的范围拓展到了实数，本节开始研究指数函数这一基本初等函数。 教材从两个实例引入：问题1（A、B 两地景区游客人次：A 地呈线性增长、B 地呈指数增长）与问题2（生物体内碳14含量随时间呈指数衰减）。一个增长、一个衰减，两相对照，有利于学生全面感受指数函数模型。 概念的抽象分三步（依教科书编写意图）：首先由变量的数据和这些数据的图象初步抽象出实际问题的变化规律；其次数形结合地发现变化规律的本质——分别对数据做减法和除法运算，发现“年增长率相等”是 B 地景区数据变化规律的本质，从而引出指数增长与指数衰减；最后给出具体问题变化规律的数学表示与，归纳概括出的一般形式，得到指数函数的定义。 教材强调“从实际问题中抽象出数量关系——用数学式子表达——分析式子特征后归纳定义”，这一过程是发展数学抽象素养的良好载体；两个实例还渗透了了解国家经济发展、关心社会以及碳14测年的人文价值。 学情分析 学生已在上一章掌握函数的概念与基本性质，并通过对幂函数的研究了解了“由图象到性质”的研究路径；在4.1节中已把指数的范围拓展到实数，为本节作了知识准备。本节学生面临的主要障碍： 1、从“数据—图象”到“解析式”的抽象跨度较大，容易停留在“看图说话”，不会用运算去发现变化规律的本质； 2、想不到对数据做除法，“做减法得增加量、做除法得增长率”这一研究数据的基本方法需要教师点明； 3、对底数且的必要性容易忽略，说不清、、为什么不行； 4、实际问题中初始量不为1时，写不出的形式。 教学策略：以“问题链”驱动“数据—图象—运算—解析式—定义”的完整抽象过程；用计算工具（或电子表格）处理数据、作图；用反例辨析讲清底数条件。 教学重点 指数函数的概念（含底数条件与定义域）；指数函数模型的简单应用。 教学难点 从两个具体实例中抽象概括出指数函数的概念，即指数函数概念的理解。 教学准备 多媒体课件（PPT）、计算器（或计算工具、电子表格软件） 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 新课 引入 【节首语导入 明确任务】 教师：对于幂，我们已经把指数的范围拓展到了实数。上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法。下面继续研究其他类型的基本初等函数——指数函数。 【问题1 呈现情境】 教师呈现教材问题1：随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式。由于旅游人数不断增加，A，B 两地景区自 2001 年起采取了不同的应对措施，A 地提高了景区门票价格，而 B 地则取消了景区门票。表4.2-1给出了 A，B 两地景区 2001 年至 2015 年的游客人次以及逐年增加量（15年数据，此处从略，见教材）。 教师提问：比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？ 1、回顾幂函数的研究路径，明确本节要研究一类新的基本初等函数； 2、阅读问题1的背景与数据表，观察 A、B 两地游客人次的变化情况； 3、尝试直接说出变化规律，产生“说不清楚”的困惑。 由节首语承接幂函数的研究路径，明确本课任务；用一个真实、贴近生活的增长问题引入，既激发兴趣，也渗透了解国家经济发展、关心社会的育人价值。 新知 探究1 【活动一：从数据到图象，发现变化规律的差异】 教师引导：先观察数据本身的变化情况，能否发现变化规律？ 教师追问：如果直接从数据看不出规律，可以用什么方法？——引导学生把数据转化为图象。 教师给出教材旁注提示：为了便于观察，可以先根据表格中的数据描点，然后用光滑的曲线将离散的点连起来。 教师用计算工具（或电子表格）演示，画出 A、B 两地景区 15 年游客人次的图象（图4.2-1、图4.2-2）。 师生共同观察归纳：A 地景区的游客人次近似于直线上升（线性增长），年增加量大致相等（约为10万次）；B 地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律。 教师说明：通过图象可以直观地看到变化的趋势，但还不能准确地刻画这一变化规律；要准确刻画，还要进一步处理数据。 1、先观察数据表，尝试直接找规律； 2、在“看不出规律”时，接受“转化为图象”的建议； 3、观察两个图象的差异，说出 A 地是线性增长、B 地是非线性增长且增加越来越快； 4、明确“图象能看趋势，但不能精确刻画规律”。 还原教科书抽象过程的第一步——先看数据、看不出规律就转化为图象；让学生体会数形结合的必要性，同时明确图象的局限，为“用运算发现规律”作铺垫。 新知 探究2 【活动二：用运算发现变化规律的本质】 教师呈现教材“探究”：我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的。能否通过对 B 地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请你试一试。 教师点拨（教材旁注）：做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率。增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量。 教师引导学生从2002年起，把 B 地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次： ，，，。 教师追问：这些比值说明了什么？ 师生共同归纳：B 地景区游客人次的年增长率都约为，是一个常数。像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长。因此，B 地景区的游客人次近似于指数增长。 教师引导写出解析式：从2001年开始，B 地景区游客人次的变化规律可以近似描述为——1年后，游客人次是2001年的倍；2年后，是倍；3年后，是倍；；年后，是倍。设经过年后的游客人次为2001年的倍，那么 。 教师强调：这是一个函数，其中指数是自变量。 1、思考“除了做减法还能做什么运算”，在教师点拨下尝试对数据做除法； 2、用计算器算出各年比值，发现都约为1.11； 3、理解“增长率为常数的变化方式叫指数增长”； 4、跟随教师写出，明确指数是自变量。 落实教科书抽象过程的第二步——数形结合地发现规律的本质：“年增长率相等”是 B 地数据变化规律的本质；引出“做减法得增加量、做除法得增长率”这一研究数据的基本方法。 新知 探究3 【活动三：从碳14衰减看指数衰减】 教师呈现教材问题2：当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？ 教师引导：设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么死亡1年后的含量为，2年后为，3年后为，，5730年后为。 根据已知条件，，从而，所以。 设生物死亡年数为，死亡生物体内碳14含量为，那么，即 。 教师追问：这个函数与有什么共同特征？ 师生共同归纳：这也是一个函数，指数是自变量；死亡生物体内碳14含量每年都以的衰减率衰减。像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减。因此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减。 教师补充（人文背景）：碳14的衰减非常有规律，其准确性可以称为自然界的“准确时钟”；活着的动植物体内的碳14含量不变，死亡后才按确定规律衰减。这也是考古中常用碳14来推断年代的原因，与本章章头图（良渚遗址）相呼应。 1、理解“半衰期”的含义，跟随教师列出； 2、解出，写出碳14含量的函数解析式； 3、比较两个解析式的共同特征，理解“指数衰减”； 4、感受碳14测年的人文背景。 用第二个实例与问题1形成“增长—衰减”对照；由具体的衰减率推出解析式，训练数学运算；借碳14“准确时钟”与考古应用，彰显数学的人文价值。 新知 探究4 【活动四：抽象概括指数函数的概念】 教师提出核心问题：问题1与问题2的实际背景完全不同，但得到的解析式与有什么共同特征？ 教师引导：如果用字母代替两式中的底数1.11和，两个函数都可以表示为的形式，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量。 师生共同归纳（教材原文）：一般地，函数叫做指数函数（exponential function），其中指数是自变量，定义域是。 教师追问1：为什么要规定且？ 师生共同辨析：若，当时无意义；若，对某些（如）无意义；若，则是常函数，研究它没有意义。 教师追问2：下列函数中哪些是指数函数？，，，。 师生共同辨析：只有与符合的形式；多了一个系数2；的自变量在底数位置，是幂函数而不是指数函数。 教师说明（概念的本质）：指数函数的本质特征是——对任意，。这正是两个实例中“增长率（衰减率）相等”的本质。 1、比较两个解析式的共同特征，尝试用字母表示； 2、记忆指数函数的定义，明确定义域是； 3、回答追问1，用反例说明且的必要性； 4、辨析追问2中的函数，说出判断依据（底数为常量、指数为自变量、系数为1）。 完成教科书抽象过程的第三步——给出具体问题变化规律的数学表示并归纳概括出一般表达式；把定义、底数条件、定义域讲全；用点出概念的本质，把认识提升到结构层面。 典例 精讲 【例1（教材P114）】已知指数函数，且，求、、的值。 分析：要求、、的值，应先求出的解析式，即先求的值。 解：因为，且，则，解得，于是 。 所以，，，。 教师提炼方法：这是待定系数法——由已知的函数值列方程求出底数，写出解析式后再求其他函数值。例1既让我们熟悉指数函数的解析式和对应关系，又让我们学习利用解析式列方程求底数。 教师提示易错点：求时要注意；底数已满足且。 1、先独立完成例1，再与教师板书对照； 2、体会“先求、再求值”的待定系数法； 3、注意负指数与分数指数幂的互化。 例1落实指数函数的解析式与对应关系，并让学生学习用解析式列方程求底数的方法，为用待定系数法求解析式打基础。 【例2（教材P114）】 (1) 在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A 地景区的门票价格为150元，比较这15年间 A，B 两地旅游收入变化情况。 (2) 在问题2中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？ 解：(2) 设生物死亡年后，它体内碳14含量为。如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么。 当时，利用计算工具求得。 所以，生物死亡10000年后，它体内碳14含量衰减为原来的约30%。 教师给出第(1)问的结论（学生课后用计算工具完成）：设经过年，游客给 A，B 两地带来的收入分别为，。当时，；当时，；当时，。即在2001年 A 地收入比 B 地多412000万元，约10.22年后两者持平，到2015年 B 地收入反超 A 地约347303万元。 教师补充（函数模型）：在实际问题中，经常会遇到类似于例2(1)的指数增长模型：设原有量为，每次的增长率为，经过次增长，该量增长到，则。形如的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型；当初始量（时的值）不为1时，一般就用这种函数刻画具有指数增长或衰减变化规律的实际问题。 教师布置：请你举出几个指数型函数的实例（可以是课外搜集的，也可以是本章涉及的实际问题）。 1、用计算工具完成例2第(2)问的计算，理解“衰减为原来的约30%”； 2、理解第(1)问中两个函数的差异与图象交点（图4.2-3）的实际含义； 3、理解模型的含义，课后举出几个指数型函数的实例，并在下节课交流。 例2把指数函数的概念用回实际问题，让学生进一步了解指数函数的实际意义；同时引出这一更常用的模型，落实数学建模素养，并借实例渗透关心社会的意识。 课堂 练习 【教材P115 练习】 1、下列图象中，有可能表示指数函数的是（）。 (A) 一条下降的直线；(B) 一条开口向上的抛物线；(C) 一条位于轴上方、自左向右上升的曲线；(D) 一条类似反比例函数图象的曲线。 【答案】C。 2、已知函数，，且，，，，，，求函数的一个解析式。 【答案】（答案不唯一）。 3、在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，那么经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍？（可以使用计算工具） 【答案】，约为原来的6.16倍。 【变式训练】 1、下列函数中，指数函数的个数为（）：①；②；③；④。 【答案】1个（只有④）。 2、若指数函数的图象过点，求的值。 【答案】且，得，，故。 1、独立完成教材练习1、2、3，同桌互改； 2、第1题对照“底数为常量、指数为自变量、系数为1”逐项排除； 3、第3题用计算器算出的值并解释其实际含义； 4、完成变式训练，把错题整理到错题本。 教材练习第2题刻画的正是“相邻等距自变量对应的函数值之比恒为常数”这一指数函数的本质特征（比值为），用于深化对概念的理解；变式训练聚焦指数函数的判断与待定系数法，当堂反馈。 课堂 小结 教师引导学生回顾，构建本节知识框架： 一、指数函数的概念 · ，其中指数是自变量，定义域是； · 底数条件：且（、、时的反例）； · 本质特征：对任意，。 二、概念的抽象过程 数据 图象（看趋势） 运算（做减法得增加量、做除法得增长率） 解析式 一般定义。 三、指数增长与指数衰减 · 增长率为常数 指数增长（如 B 地景区游客人次）； · 衰减率为常数 指数衰减（如碳14含量）。 四、常用函数模型 · ，当初始量（时的值）不为1时使用。 教师强调：判断一个函数是否为指数函数，看三点——底数是大于0且不等于1的常量、指数是自变量、系数为1。 1、分模块口头梳理本节知识点； 2、独立绘制思维导图，把“两个实例—两种变化—一个概念”串成一条线； 3、主动举手分享本节易错点（底数条件、指数函数与幂函数的区分）； 4、完成自我评价：能否说出指数函数的定义与底数条件，能否用待定系数法求指数函数的解析式。 形成结构化的认知，突出“从实际问题抽象出数学概念”这一主线，落实数学抽象素养。 作业 布置 1、教材P115 练习第1、2、3题； 2、教材P119 习题4.2 复习巩固第2、4题： 第2题：一种产品原来的年产量是件，今后年内，计划使产量平均每年比上一年增加，写出年产量（单位：件）关于经过的年数的函数解析式； 第4题：设函数，且，。(1) 求函数的增长率；(2) 求的值。 3、拓展（选做）：收集一个具有指数增长或指数衰减规律背景的实例（如复利、细菌繁殖、药物代谢、放射性测年等），写出其函数解析式，并说明底数与初始量的实际意义。 记录作业要求，课后独立完成；第2题注意“比上一年增加”应写成；第4题注意用求增长率；拓展题在课外搜集资料，下节课交流。 分层作业，巩固提升；第2、4题都是指数型函数的解析式与增长率的应用，紧扣本课概念；拓展题引导学生主动搜集实例，增强对指数函数模型的认识。 板书 设计 4.2.1 指数函数的概念 一、两个实例 问题1（游客人次）：做减法得增加量；做除法得增长率——年增长率恒为 指数增长， 问题2（碳14衰减）： ，衰减率恒为常数 指数衰减， 二、指数函数的概念 ，指数是自变量，定义域是。 底数条件：且；本质：。 三、抽象过程 数据 图象（看趋势） 运算（增加量、增长率） 解析式 一般定义 四、模型： 学科网（北京）股份有限公司 $