精品解析：广东省深圳市坪山区2025-2026学年九年级上学期第三次学情自测数学试题

2025-2026学年九年级上学期第三次月考数学试题 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 如图是一个放在水平桌面上的半球体，该几何体的三视图中完全相同的是（ ） A. 主视图和左视图 B. 主视图和俯视图 C. 左视图和俯视图 D. 三个视图均相同 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是( ) A. 所有的直角三角形都相似 B. 所有的等边三角形都相似 C. 所有的矩形都相似 D. 所有的菱形都相似 4. 图中的影子是中心投影的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5. 某射箭选手在同一条件下进行射箭训练，结果如下： 射箭次数n 10 20 50 100 200 350 500 射中靶心的次数m 7 17 44 92 178 315 455 射中靶心的频率 0.70 0.85 0.88 0.92 0.89 0.90 0.91 下列说法正确的是（ ） A. 该选手射箭一次，估计射中靶心的概率为0.90 B. 该选手射箭80次，射中靶心的频率不超过0.90 C. 该选手射箭400次，射中靶心的次数不超过360次 D. 该选手射箭1000次，射中靶心的次数一定为910次 6. 如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（ ） A. 点Q B. 点P C. 点N D. 点M 7. 已知，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的边长为4，点E从点A出发沿着线段向点D运动（点E不与点A，点D重合），同时，点F从点D出发沿着线段向点C运动（点F不与点D，点C重合），点E与点F的运动速度相同，与相交于点G，则有下列结论： ①；②；③当点F运动到的中点时，；④当时，四边形的面积为；其中正确结论的个数有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知则______． 10. 关于x的一元二次方程的一个根是，则__________． 11. 如图，菱形的对角线，交于点O，过点D作于点E，连接，若，，则对角线的长为 ___． 12. 如图，点、分别是反比例函数和反比例函数的图象上的点，连接、、，已知轴，则的面积为______． 13. 如图，对折正方形纸片得折痕，将纸片展平后再次折叠，使点落在上的点处，得折痕，再次展平，连接交于点，连接．若，则三角形的面积为______． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14. 解下列方程： （1）； （2）； （3）． 15. 实践是验证理论的最好方法．某校化学教学组为提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，为检验教学成果，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最擅长的化学实验是什么”进行了问卷调查，问卷选项共分为常考的五个实验：“高锰酸钾制取氧气”，“电解水”，“木炭还原氧化铜”，“一氧化碳还原氧化铜”，“铁的冶炼”，要求每名学生必须选且只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的统计表． 实验选项选择统计表 选项 频数 所占百分比 A 20 10% B 60 30% C a 25% D 30 15% E 40 20% 合计 m 100% 根据以上信息，解决下列问题： （1） ， ； （2）请你根据调查结果，估计该校九年级名学生中有多少人最擅长的实验是“一氧化碳还原氧化铜”； （3）在某堂化学课上，小华学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊．已知本次调查的五个实验中，三个实验均能产生二氧化碳，若小华从五个实验中任意选做两个，请用列表或画树状图的方法求两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率． 16. 如图，在阳光下，某一时刻，旗杆的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆在地面上的影长为，在墙面上的影长为．同一时刻，直立于地面长的标杆的影长为，求旗杆的高度． 17. 综合与探究 （1）如图1，在矩形中，对角线与相交于点O，过点O作直线，交于点E，交于点F，连接，，且平分． ①求证：四边形是菱形； ②直接写出的度数． （2）把（1）中菱形进行分离研究，如图2，G，I分别在，边上，且，连接，H为的中点，连接，并延长交于点J，连接，，，．试探究线段与之间满足的数量及位置关系，并说明理由． 18. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某社区图书室积极推广全社区阅读活动，决定下半年逐月加大图书购置经费的投入．其中七月计划购买甲与乙两种书籍共100本．已知书籍甲的单价是70元，书籍乙的单价是50元，共花费5800元． （1）请问七月计划购买甲、乙书籍各多少本？ （2）经过比较，图书室工作人员最终决定在新星书城购买书籍甲和乙．书籍甲的单价减少了元，购买数量增加了本．书籍乙的单价不变，购买甲、乙书籍的总数量也不变，总费用比原计划减少了元，请求出的值． 19. 如图，M是四边形对角线的交点，轴于点C，轴于点，反比例函数：的图象经过点M，M是的中点． （1）求经过点A的反比例函数的表达式； （2）若点D恰好也在图象上，证明：四边形是菱形． 20. 问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：． 问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：． 问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期第三次月考数学试题 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 如图是一个放在水平桌面上的半球体，该几何体的三视图中完全相同的是（ ） A. 主视图和左视图 B. 主视图和俯视图 C. 左视图和俯视图 D. 三个视图均相同 【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图的形成，从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在三视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 【详解】解：从正面和左面看，得到的平面图形均是半圆，而从上面看是一个圆，因此该几何体主视图与左视图一致， 故选：A． 【点睛】本题考查了三视图的知识，准确把握从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形是解决问题的关键． 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：是二元一次方程，不是一元二次方程，故A不符合； ，当时，不是一元二次方程，故B不符合； 一元一次方程，不是一元二次方程，故C不符合； 符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故D符合． 3. 下列说法正确的是( ) A. 所有的直角三角形都相似 B. 所有的等边三角形都相似 C. 所有的矩形都相似 D. 所有的菱形都相似 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似图形的判定定理对四个选项进行逐一判断即可． 【详解】A、所有的直角三角形对应角不确定，边长也不确定，故本选项错误； B、由于所有的等边三角形的各角是60°，而每个等边三角形的边长相等，故所有的等边三角形都相似，故本选项正确； C、由于矩形的四条边不相等，故所有的矩形不一定相似，故本选项错误； D、由于菱形的角不能确定，故所有的菱形不一定相似，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查的是相似图形，熟知直角三角形、等边三角形、菱形及矩形的性质是解答此题的关键． 4. 图中的影子是中心投影的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心投影与平行投影的概念区分，解题的关键是明确中心投影的光源为点光源，平行投影的光源为平行光线（如太阳光）． 【详解】解：判断每个场景的光源类型：投影仪、手影戏、皮影戏的光源是点光源，形成中心投影；阳光下的影子由平行光线形成，属于平行投影． 符合题意共有3个． 故选：D． 5. 某射箭选手在同一条件下进行射箭训练，结果如下： 射箭次数n 10 20 50 100 200 350 500 射中靶心的次数m 7 17 44 92 178 315 455 射中靶心的频率 0.70 0.85 0.88 0.92 0.89 0.90 0.91 下列说法正确的是（ ） A. 该选手射箭一次，估计射中靶心的概率为0.90 B. 该选手射箭80次，射中靶心的频率不超过0.90 C. 该选手射箭400次，射中靶心的次数不超过360次 D. 该选手射箭1000次，射中靶心的次数一定为910次 【答案】A 【解析】 【分析】观察表格的数据可以得到击中靶心的频率，然后用频率估计概率即可求解． 【详解】解：依题意得击中靶心频率为0.90， A、该选手射箭一次，估计射中靶心的概率为0.90，该选项说法正确； B、该选手射箭80次，射中靶心的频率可能超过0.90，该选项说法错误； C、该选手射箭400次，射中靶心的次数可能超过360次，该选项说法错误； D、该选手射箭1000次，射中靶心的次数不一定为910次，该选项说法错误； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率,首先通过实验得到事件的频率，然后用频率估计概率即可解决问题． 6. 如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（ ） A. 点Q B. 点P C. 点N D. 点M 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了确定位似中心，理解位似图形的概念是解题的关键． 连接对应点，交点即是位似中心，据此即可解答． 【详解】解：如图：连接，易得交点为M，即位似中心是点M． 故选：D． 7. 已知，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，理解题意，求出，，的值是解题关键． 直接计算各点纵坐标值，再比较大小即可． 【详解】解：∵ 点 ，，在反比例函数 的图象上， ∴，，， ∵， ∴， 故选：D． 8. 如图，正方形的边长为4，点E从点A出发沿着线段向点D运动（点E不与点A，点D重合），同时，点F从点D出发沿着线段向点C运动（点F不与点D，点C重合），点E与点F的运动速度相同，与相交于点G，则有下列结论： ①；②；③当点F运动到的中点时，；④当时，四边形的面积为；其中正确结论的个数有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可证，可判定结论①；可证明，得到，再用替换，即可证明②；连接，证明 ，可得四点共圆，则，继而，根据余角相等，即可证明，即可判断③根据可判定结论④，由此即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∵四边形是正方形， ∴，， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； 连接， 当点F运动到的中点时， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵由结论①正确可知，， ∴， ∴， 若，即， ∵在中，， ∴，则， ∴， ∴四边形的面积是，故结论④正确； ∴正确的个数为4， 故选：D． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定，勾股定理的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求分式的值，设()，求出、代入分式，即可求解；设辅助未知数进行求解是解题的关键． 【详解】解：， 可设()， 解得：， 原式 ； 故答案：． 10. 关于x的一元二次方程的一个根是，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】将代入求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是， ∴， 解得． 故答案为：2． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，掌握概念准确计算是本题的解题关键． 11. 如图，菱形的对角线，交于点O，过点D作于点E，连接，若，，则对角线的长为 ___． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，掌握勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 由中，点O是的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，，则，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ． 故答案为：． 12. 如图，点、分别是反比例函数和反比例函数的图象上的点，连接、、，已知轴，则的面积为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握比例系数的几何意义是解题关键． 设与轴的交点为点，根据反比例函数比例系数的几何意义，求出和的面积，相加即得的面积． 【详解】解：如图，设与轴的交点为点， ∵轴， ∴轴， 由反比例函数比例系数的几何意义可得， ，， ∴． 故答案为：4． 13. 如图，对折正方形纸片得折痕，将纸片展平后再次折叠，使点落在上的点处，得折痕，再次展平，连接交于点，连接．若，则三角形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的折叠问题，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，过点作于点，连接，得出是等边三角形，则，根据折叠的性质以及已知条件得出，进而证明是等腰三角形，，进而得出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵对折正方形纸片得折痕， ∴，，， ∴是等边三角形，则 ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∵是正方形的对角线 ∴ ∴ 在中， ∴ ∵ ∴， 又∵ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∵， 三角形的面积 故答案为：． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14. 解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程——直接开平方法，解一元二次方程——配方法，因式分解法解一元二次方程等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）直接开平方法解一元二次方程； （2）因式分解法解一元二次方程； （3）配方法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：， 两边同除以4，得， 开方，得， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 移项，得， 方程左边分解因式，得， 所以或， 解得：，； 【小问3详解】 解：， 移项，得， 两边都加上1，得， 开方，得或， ∴，． 15. 实践是验证理论的最好方法．某校化学教学组为提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，为检验教学成果，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最擅长的化学实验是什么”进行了问卷调查，问卷选项共分为常考的五个实验：“高锰酸钾制取氧气”，“电解水”，“木炭还原氧化铜”，“一氧化碳还原氧化铜”，“铁的冶炼”，要求每名学生必须选且只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的统计表． 实验选项选择统计表 选项 频数 所占百分比 A 20 10% B 60 30% C a 25% D 30 15% E 40 20% 合计 m 100% 根据以上信息，解决下列问题： （1） ， ； （2）请你根据调查结果，估计该校九年级名学生中有多少人最擅长的实验是“一氧化碳还原氧化铜”； （3）在某堂化学课上，小华学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊．已知本次调查的五个实验中，三个实验均能产生二氧化碳，若小华从五个实验中任意选做两个，请用列表或画树状图的方法求两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率． 【答案】（1）人，人 （2）人 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了统计表、列表或画树状图求概率、用样本估计总体，解题的关键是根据题意画出树状图或列出表格． （）先根据选项的人数和所占百分比可求出总人数，再根据选项所占百分比为，求出的值； （）用人乘以的选择人数百分比为即可； （）解题关键是列举所有可能的实验组合，再找出符合条件的组合，最后用“符合条件数总组合数”计算概率． 【小问1详解】 解：∵选项人，占， ∴总人数（人）； ∵总人数人，选项所占百分比为， ∴（人）， 【小问2详解】 ∵的选择人数百分比为， ∴用总体人数（人）乘以的百分比， 得到估计人数：（人）； 【小问3详解】 ∵三个实验能产生二氧化碳， ∴这三个实验是“有效实验”， 列举所有“选个实验”的组合(用列表法)，把个实验标记为， 由表可知，共有种等可能的结果， 其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有种， 分别为，，， ， ，， ∴(两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊)． 16. 如图，在阳光下，某一时刻，旗杆的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆在地面上的影长为，在墙面上的影长为．同一时刻，直立于地面长的标杆的影长为，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的相似，正确得出的长是解题的关键．根据题意构造直角三角形，求得的长，进而得出答案； 【详解】解：分别延长、相交于点F, 根据题意得： ， ， ， ， ， ， ， 答：旗杆的高度为25.5m． 17. 综合与探究 （1）如图1，在矩形中，对角线与相交于点O，过点O作直线，交于点E，交于点F，连接，，且平分． ①求证：四边形是菱形； ②直接写出的度数． （2）把（1）中菱形进行分离研究，如图2，G，I分别在，边上，且，连接，H为的中点，连接，并延长交于点J，连接，，，．试探究线段与之间满足的数量及位置关系，并说明理由． 【答案】（1）①证明：由题意知，，，， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴，，， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ② （2） 解：，，理由如下： 延长到M，使，连接，如图所示： ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴，，， ∵H为的中点， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∵ ∴，， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴，． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的性质和判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）①证明是的垂直平分线，≌，得到，进而证明； ②根据菱形的性质推出，进而解题即可； （2）延长到M，使，连接，证明≌以及是等边三角形，证明≌以及是等边三角形，推出，，即可得解． 【小问1详解】 ①略 ②解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 18. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某社区图书室积极推广全社区阅读活动，决定下半年逐月加大图书购置经费的投入．其中七月计划购买甲与乙两种书籍共100本．已知书籍甲的单价是70元，书籍乙的单价是50元，共花费5800元． （1）请问七月计划购买甲、乙书籍各多少本？ （2）经过比较，图书室工作人员最终决定在新星书城购买书籍甲和乙．书籍甲的单价减少了元，购买数量增加了本．书籍乙的单价不变，购买甲、乙书籍的总数量也不变，总费用比原计划减少了元，请求出的值． 【答案】（1）七月计划购买本书籍甲，本书籍乙； （2）的值为． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是正确列出一元二次方程． （1）设七月计划购买本书籍甲，则购买本书籍乙．利用总价单价数量，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值（即购买书籍甲的数量），再将其代入中，即可求出购买书籍乙的数量； （2）利用总价单价数量，结合总费用比原计划减少了元，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设七月计划购买本书籍甲，则购买本书籍乙， 根据题意得：， 解得：， 答：七月计划购买本书籍甲，本书籍乙； 【小问2详解】 解：根据题意得： ， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 答：的值为． 19. 如图，M是四边形对角线的交点，轴于点C，轴于点，反比例函数：的图象经过点M，M是的中点． （1）求经过点A的反比例函数的表达式； （2）若点D恰好也在图象上，证明：四边形是菱形． 【答案】（1） （2） 证明：设点M的坐标为， 轴， 点D的纵坐标与点M的纵坐标相同， 点D在图象上， 点D的坐标为， 由知，，即， 点M的坐标为， ， 是的中点， ； 轴，轴， 轴，轴， 即， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题将反比例函数与四边形的性质结合，解题关键是利用反比例函数的性质和中点坐标求出相关点的坐标关系，再结合菱形的判定定理进行证明，考查了知识的综合运用能力． 设点M的坐标为，根据点M在反比例函数上，求出，根据轴，M是的中点，求出点A的坐标，设经过点A的反比例函数的表达式为，代入点A的坐标即可解答； 根据题意证明与互相垂直平分即可得证． 【小问1详解】 解：设点M的坐标为， 点M在反比例函数上， ， 轴，M是的中点， 点A的坐标为， 设经过点A的反比例函数的表达式为， 把代入可得， 即， 又， ， 则反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 略 20. 问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：． 问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：． 问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值． 【答案】 问题背景：证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵，分别是，的中点 ∴， 即， ∴； 问题探究：证明：如图所示，取的中点，连接， ∵是的中点，是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ 又∵，是的中点， ∴ ∴ ∴， ∴； 问题拓展： 【解析】 【分析】问题背景：根据矩形的性质可得，根据点，分别是，的中点，可得，即可得证； 问题探究：取的中点，连接，得是的中位线，根据已知条件可得平行且等于，进而可得是平行四边形，得，则，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而可得，等量代换可得，等角对等边，即可得证； 问题拓展：过点作，则四边形是矩形，连接，根据已知以及勾股定理得出；根据（2）的结论结合已知可得，证明垂直平分，进而得出，证明，进而证明， 进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】问题背景：略 问题探究：略 问题拓展：如图所示，过点作，则四边形是矩形，连接， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∵，由（2） ∴， 又∵是的中点， ∴垂直平分 ∴，， 在中， ∴ 设，则 ∴， 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $