九年级数学上学期期中模拟卷（新教材沪教版五四制第27-29章，高效培优.强化卷）

2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、单选题（本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C 二、填空题（本题共11小题，每小题4分，共44分。） 4 1.3 8(09) 16 9.5 10.2W5-2 11.81:16 12.> 13.（-2,-4) 14. 3V13 15.8 三、解答题（本题共7小题，第18-20每题10分，21-22题每题12分，23-24题每题14分，共82分。） 18解：原式=2x5-5×5+2 2 (i 答案第1页（共2页） 1 =2x3-3+2 …8分 23 31 =6-二+ 2”6 s14 3·…10分 19.【详解】(1)y=2(2-xx+)=2(2x+2-2-x)=-2x2+2x+4 .y=-2x2+2x+4 =（-2x2+2x)+4 =-+4 +. 19 顶点坐标为2’2 …6分 9(0,1) (2)·抛物线平移后顶点坐标为 y=-2(x-0)}+1=-2x2+1 …10分 20.解如图，过A作AE⊥PB,垂足为E· 北A P 45° B 60° 2-E 由题意得PB=12×1.5=18(海里)， 设PE=x海里， 答案第2页（共2页） :∠APE=45°， PE=AE=x海里. 在Rt△BE中，：an∠ABE=1S BE ∴BE= AE -x Γtan60°3海里. PB=PE-BE, 3 3x=18 .x- …6分 ∴.x=27+9V3 :4E=(27+93) (海里），8分 ..AP=- he-+9间-2-275+96s602 AE 海里)· 答：小岛A离港口P约有602海里.…10分 21.(1)解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ,点D是边AB的中点， CD=BD=14B 2 .∠DCB=∠B cosB=4 5 ·cos∠DCB=4 AB=10 .CD=5. .DE⊥CD, .∴∠CDE=90° 在RIACDE中，cos∠DCB=CD-4 CE5· 答案第3页（共2页） CE=2 …6分 (2)解：过点E作EH⊥AB,垂足为点H. 在RACDE中，CD-5,CE-. 4 06=0E-m-. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°， cos B=BC B, ∴.BC=8 :.BE=BC-CE=7 4· :在RtoBEH中，cosB= 5, .sin B=3 5 :BH=21 20· 六在RADEH中，Sin∠BDE=BH-7 DE25:…12分 22.(1)证明：AC2=ADBC, AC AD BC AC AD Il BC. .∠DAC=∠ACB∠BAD+∠CBA=180 ∴.△DAC∽△ACB」 .∠ACD=∠CBA, :∠BAD+∠CBA=180°∠DCE+∠ACD=180° ∠BAD=∠DCE.…6分 (2)证明：△DAC∽△ACB, ..AD_CD ACAB· 答案第4页（共2页） AD AC CDAB· :∠BAD=∠DCE,∠ADB=∠CDE, △ADB∽△CDE .AD 4B CD CE AB AC CEAB· .AB2=AC.CE …12分 23.(1)·抛物线过点 M(1,0)N(3,0) “可设y=a(x-(x-3) “与》轴交于点 (0,3) 六当x=0时，y=a(0-0-3)=3a=3 ∴a=1, 抛物线表达式为y=(-x-3)=x2-4x+3 …4分 (2)·抛物线过点 M(1,0)N(3,0) 可设少=a(x-x-3) 与y轴交于点P, .P(0,c) 其中0=a0-10-3列=3a, 过点P作PD∥x轴交抛物线于点D, 则P和D纵坐标相同，均为C, 代入抛物线方程： a(x-l)(x-3)=c=3a :a≠0」 x-0x-3列=3，即r-4x+3=3。 答案第5页（共2页） x2-4x=0, 解得：x=0或x=4, x=0对应点P, x=4对应点D, .D(4,c) ∴.PD=4-0=4 9分 =a(x-1(x-3) (3)设原抛物线为 则P03o）,顶点B2-), 由(2知D(43a) 抛线：y=+m+”顶点为P(0,3a,且过NB,0) “顶点在 (0,3a 对称轴为y轴，即m=0,且n=3a, ∴.L:y=tx2+3a 代入 N(3,0)0=9t+3a ∴.a+3t=0, 1=-0 3, i.L:y=-4x+3a 3 过点B作'轴平行线交L于点A, B(2,-a) 直线为x=2代入：y=号x4+3a=-+30=0 3 3 4). 答案第6页（共2页） 8=,侣-(=-n 过点D作y轴平行线交L于点C, D(4,3a) .直线为x=4, 代入L:y=-×16+3a=-7 a 3 c4】 -刘 B 8481 162.…14分 24.(1)解：.'∠MBN=∠DBC,即∠MBD+∠PBD=∠MBD+∠MBC, .∠PBD=∠MBC, ,四边形ABCD为矩形， ∴.AD∥BC,OA=OB=OC=OD,AD=BC=8,AB=CD=6, ∴.∠DAC=∠BCM,∠BDP=∠DAC, .∠BDP=∠BCM, .△CBM∽△DBP, PD BD MC BC .PD=BD.MC BC MC=3 BD=AC=AB+BC=10 PD=10x315 84 AP=AD-PD=8-15-17 44 答案第7页（共2页） tan∠APB=4B-6_24 中， AP1717」 …4分 RteABP (2)解：如下图， Q P D :线段BD是BP与BQ的比例中项， BD BP BD2=BP.BQ即BOBD: ,∠PBD=∠DBQ, :.△QBD∽△DBP .∠Q=∠BDP=∠ACB .tan 20=BC =tan∠ACB=AB BC 0c=BC2-8232 AB63· 3614 D=0C-CD=3 3 在RuC0中，由定可别0=Bc+QC-V:号-9， ·△OBD∽△DBP 1440 .OD_O ，即3=3 DP DB DP 10 由(I)得△CBM∽△DBP, 答案第8页（共2页） CM 8 ..CM_CB 即710 DP DB 2 CM 14 ;…9分 (3)解：如图，过点M作ME⊥BC于E, D N B C ∴.∠MEC=∠ABC=90° 又：∠ACB=∠MCE. ∴.△ACB∽aMCE」 MC ME CE .AC AB BC' xME CE ∴.1068 、`、E=5x,CE 5, 4 t, BE=8- .BM=BE2+ME2=64- 64 5+x2 :∠PBM=∠DBC=∠ACB,∠BNM=∠CNB .∴△BNM∽ACNB BN BC 8 MNBM V6g、64 5 +x2, 8 40W5x2-320x+320 ∴.y= V64、 5t+x2 5x2-64x+320 点P不与点A、点D重合， .0<x<5, 答案第9页（共2页） 综上所述，y40V5x-320x+3200<x<5 5x2-64x+320 。…14分 答案第10页（共2页) 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：100分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材沪教版第27-29章。 第Ⅰ卷 一、单选题（本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各组线段中，能组成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键． 如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．，则不是成比例线段，故该选项不符合题意； B．，则不是成比例线段，故该选项不符合题意； C．，则是成比例线段，故该选项符合题意； D．，则不是成比例线段，故该选项不符合题意． 故选：C． 2．如果将抛物线向左平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减，由此即可得出答案． 【详解】将抛物线向左平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是 故选：B． 3．在中，，如果，，那么等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，根据直角三角形中三角函数的定义，利用的正弦值求解斜边即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：C． 4．下列二次函数中，如果函数图像的对称轴是轴，那么这个函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可知对称轴为x=0，从而确定函数解析式y=ax2+bx+c中，b=0，由选项入手即可． 【详解】二次函数的对称轴为y轴， 则函数对称轴为x=0， 即函数解析式y=ax2+bx+c中，b=0， 故选：C． 【点睛】此题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 5．如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，，，且，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．由可得，推出，证明四边形是平行四边形，得到，则，即可得求解． 【详解】解：， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 故选：B． 6．如图，四边形中，对角线，交于点，若，则下列结论中正确的有 个（    ） ①                ②与的周长比为 ③        ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．解题关键是通过角的关系判定三角形相似，再利用相似三角形的性质（对应边成比例、周长比等于相似比、面积比与相似比的关系）分析各结论．易错点在于对相似三角形对应角、对应边的判断，以及对三角形角和边的关系的过度推导（如结论③中错误认为角相等）． 对于结论①，由和，判定，根据相似三角形对应边成比例，可得，故①正确． 对于结论②，相似三角形的周长比等于相似比，与的相似比为（或），因此周长比为，故②正确． 对于结论③，由变形得，结合，判定，得，但与无必然相等关系，故③错误． 对于结论④，利用“同高三角形面积比等于底的比”，结合相似三角形的比例关系，可推出，故④正确． 【详解】已知，且， ． ， 因此结论①正确． 与的周长比等于相似比，即（或）． 因此结论②正确． 由，可变形为， 又，所以，则． 但与不一定相等， 因此结论③错误． 设的面积为，的面积为，的面积为，的面积为． 因为与同高，所以； 因为与同高，所以，即， ． 因此结论④正确． 综上，结论①、②、④正确，共3个． 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共11小题，每小题4分，共44分。） 7．已知：，那么_____． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质．根据题意可求出，从而即得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 8．在平面直角坐标系中，二次函数的图像与y轴的交点坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与坐标轴的交点问题，解题的关键是熟练掌握坐标轴上点的坐标特征． 求二次函数图像与y轴的交点坐标，需令，计算对应的y值即可． 【详解】解：时，， ∴二次函数的图像与y轴的交点坐标是， 故答案为：． 9．如图，已知，那么_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，根据平行线分线段成比例定理得出，代入得出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 10．已知点P是线段的黄金分割点，较长线段厘米，则线段的长是______厘米． 【答案】 【分析】本题考查黄金分割，黄金分割的定义是：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是． 根据黄金分割的定义作答即可． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，较长线段厘米， ∴， 即． 故答案为： ． 11．已知两个相似三角形的周长比是，那么这两个三角形的面积比是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得答案． 【详解】解：∵相似三角形的周长比是， ∴对应边之比为， ∴这两个三角形的面积比是， 故答案为：． 12．已知点、都在二次函数的图象上，那么的大小关系是：m___________n．（填“>”、“=”或“<”） 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征． 根据二次函数的性质，由于0，函数图象开口向上，对称轴为轴．点和点的横坐标均为负数，且位于对称轴左侧，在此区域内函数值随的增大而减小．由于，因此． 【详解】解：由二次函数，可知，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为轴， 当时，随的增大而减小， ， ． 故答案为：． 13．对于一个函数，如果当自变量x取m时，函数值y等于，那么称点是这个函数的“二倍点”．已知二次函数，如果点是此函数的“二倍点”，那么此函数另一个“二倍点”B的坐标是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程与二次函数结合，解题的关键是理解“二倍点”的定义，并根据定义列方程求解． 根据“二倍点”的定义，点在函数上，代入函数可求出k的值．再令函数值等于，解方程得到另一个x值，进而求出y值，得到点B的坐标． 【详解】解：把点代入中得， 解得：， ， 根据题意得：， 解得：， ∴当时，， ， 故答案为：． 14．在中，，若，则的长为____． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理， 在直角三角形中，利用的余切定义求出直角边的长度，再应用勾股定理计算斜边的长度． 【详解】解：在中，， ∵AC=9，cot B=， ∴， 由勾股定理，． 故答案为：． 15．如图，拦水坝的横断面为梯形，其中，迎水坡的坡角，背水坡的坡比为，斜坡长，则背水坡的长为_________． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理的应用，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形的应用．过点、分别作，，垂足分别为、，可得四边形是矩形，利用勾股定理求出，进而求出，根据坡度的概念求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点、分别作，，垂足分别为、， ∵，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，，， ∴， 由勾股定理得，即， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 故答案为：8． 16．定义：把二次函数与（a≠0，m、n是常数）称作互为“旋转函数”．如果二次函数与（b、c是常数）互为“旋转函数”，写出点的坐标_________． 【答案】 【分析】根据题意，把所给的两个二次函数转化成旋转函数即可． 【详解】 ∴ ∴解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是学生对二次函数解析式的变形能力，解题的关键是根据题意去变换形式，细心谨慎． 17．如图，已知在中，，，，点P是边上一点，将沿着翻折，点C落在点E处，连接，如果，设与边交于点M，那么的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，根据折叠的性质得到，，，根据平行线的性质得到，根据平行线的性质得到，，根据勾股定理得到的长，连接交于H，根据面积公式得到的长度，得出的长，利用两直线平行同位角相等，得出，求出的长度，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图， ∵将沿着翻折，点C落在点E处，且， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 连接交于H， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴°， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，第18-20每题10分，21-22题每题12分，23-24题每题14分，共82分。） 18．． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，代入特殊角三角函数值进行计算即可． 【详解】 ． 19．在直角坐标系中，点是抛物线的顶点， (1)用配方法求此抛物线顶点的坐标； (2)将上述抛物线平移后顶点坐标为，求平移后的抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数顶点坐标和函数图象的平移，准确分析计算是解题的关键． （1）先转化成一般形式，再利用配方法变形即可； （2）根据平移后的顶点坐标可得出解析式； 【详解】（1）， ， 顶点坐标为； （2）抛物线平移后顶点坐标为， ． 20．如图，小岛A在港口P的南偏西方向上，一艘船从港口P沿正南方向以每小时12海里的速度航行，1小时30分后到达B处，在B处测得小岛A在它的南偏西的方向上．小岛A离港口P有多少海里（精确到0.1海里）？（参考数据：，，） 【答案】60.2海里 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题﹒过作，垂足为﹒根据题意求出海里，设海里，得到海里．在中，求出海里．列方程，解得， 即可求出海里，从而求出海里﹒ 【详解】解∶如图，过作，垂足为﹒ 由题意得（海里）， 设海里， ， 海里． 在中，∵， 海里． ， ． ， ∴（海里）， （海里）﹒ 答：小岛A离港口P约有60.2海里． 21．如图，在中，，，．点D是边的中点，过点D作的垂线，与边相交于点E． (1)求线段的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查锐角三角函数、勾股定理，利用同角的锐角三角函数值相等是关键． （1)由勾股定理求出，再根据斜边上的中线求出，，由余弦定理求出; （2)作交于H，在直角三角形中由勾股定理求出长，从而求出的正弦值． 【详解】（1）解：在中，， ∵点D是边的中点， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴在中，． ∴． （2）解：过点E作，垂足为点H． ∵在中，，， ∴． 在中，， ∵， ∴． ∴． ∵在中，， ∴． ∴． ∴在中，． 22．如图，已知梯形中，，对角线交于点O，，点E在线段的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1) 证明：， ， ， ， ∽， ， ，， ． (2) 证明：∽， ， ， ，， ∽， ， ， ． 【分析】由，得，由，得，所以∽，则，即可由，，证明． 由∽，得，变形为，由，，证明∽，得，则，所以 此题重点考查平行线的性质、等角的补角相等、相似三角形的判定与性质等知识，证明∽是解题的关键． 【详解】（1）略； （2）略． 23．已知抛物线过点、，与轴交于点，顶点为，过点作直线轴交抛物线于点． (1)如果点，求抛物线的表达式； (2)求线段的长； (3)如果抛物线的顶点为点，且经过，分别过点、作轴的平行线交于点、，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的性质与几何应用，准确计算是解题的关键． （1）利用抛物线过已知点及与y轴交点求表达式； （2）利用抛物线对称性求水平线段长度； （3）通过设参数求交点坐标，计算线段比值； 【详解】（1）抛物线过点、， 可设 ， 与轴交于点， 当时，， ， 抛物线表达式为； （2）抛物线过点、， 可设， 与轴交于点， ，其中， 过点作轴交抛物线于点， 则和纵坐标相同，均为， 代入抛物线方程：， ， ，即， ， 解得：或， 对应点， 对应点， ， ． （3）设原抛物线为 ， 则，顶点， 由（2）知， 抛物线顶点为，且过， 顶点在， 对称轴为轴，即 ，且， ， 代入，， ， ， 过点作轴平行线交于点， ， 直线为，代入， ， ， 过点作轴平行线交于点， ， 直线为， 代入， ， ， ． 24．如图，在矩形中，，，对角线、交于点，点为对角线上一点，连接，在内部作射线与线段交于点（不与点、点重合）、与线段交于点，且． (1)当，求的正切值． (2)射线交射线与点，若线段是与的比例中项，求的长． (3)设线段，，写出关于的函数关系式，并写出取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合已知条件和矩形的性质，证明，再由相似三角形的性质计算出，然后在中求的正切值即可； （2）根据题意及相似三角形的判定得出，借助三角函数可计算，由勾股定理可得，再借助相似三角形的性质依次计算出，即可确定的长； （3）过点作于，通过证明，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵，即， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴中，； （2）解：如下图， ∵线段是与的比例中项， ∴即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 在中，由勾股定理可得， ∵， ∴，即， ∴， 由（1）得， ∴，即， ∴； （3）解：如图，过点作于， ， 又， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 点不与点、点重合， ， 综上所述，． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及三角函数等知识，理解题意，正确作出辅助线并灵活运用相似三角形的判定与性质是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：100分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材沪教版第27-29章。 第Ⅰ卷 一、单选题（本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各组线段中，能组成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．如果将抛物线向左平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 3．在中，，如果，，那么等于（ ） A． B． C． D． 4．下列二次函数中，如果函数图像的对称轴是轴，那么这个函数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，，，且，那么等于（    ） A． B． C． D． 6．如图，四边形中，对角线，交于点，若，则下列结论中正确的有 个（    ） ①                ②与的周长比为 ③        ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共11小题，每小题4分，共44分。） 7．已知：，那么_____． 8．在平面直角坐标系中，二次函数的图像与y轴的交点坐标是________． 9．如图，已知，那么_______． 10．已知点P是线段的黄金分割点，较长线段厘米，则线段的长是______厘米． 11．已知两个相似三角形的周长比是，那么这两个三角形的面积比是_______． 12．已知点、都在二次函数的图象上，那么的大小关系是：m___________n．（填“>”、“=”或“<”） 13．对于一个函数，如果当自变量x取m时，函数值y等于，那么称点是这个函数的“二倍点”．已知二次函数，如果点是此函数的“二倍点”，那么此函数另一个“二倍点”B的坐标是______． 14．在中，，若，则的长为____． 15．如图，拦水坝的横断面为梯形，其中，迎水坡的坡角，背水坡的坡比为，斜坡长，则背水坡的长为_________． 16．定义：把二次函数与（a≠0，m、n是常数）称作互为“旋转函数”．如果二次函数与（b、c是常数）互为“旋转函数”，写出点的坐标_________． 17．如图，已知在中，，，，点P是边上一点，将沿着翻折，点C落在点E处，连接，如果，设与边交于点M，那么的值是______． 三、解答题（本题共7小题，第18-20每题10分，21-22题每题12分，23-24题每题14分，共82分。） 18．． 19．在直角坐标系中，点是抛物线的顶点， (1)用配方法求此抛物线顶点的坐标； (2)将上述抛物线平移后顶点坐标为，求平移后的抛物线的表达式． 20. 如图，小岛A在港口P的南偏西方向上，一艘船从港口P沿正南方向以每小时12海里的速度航行，1小时30分后到达B处，在B处测得小岛A在它的南偏西的方向上．小岛A离港口P有多少海里（精确到0.1海里）？（参考数据：，，） 21．如图，在中，，，．点D是边的中点，过点D作的垂线，与边相交于点E． (1)求线段的长； (2)求的值． 22．如图，已知梯形中，，对角线交于点O，，点E在线段的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 23．已知抛物线过点、，与轴交于点，顶点为，过点作直线轴交抛物线于点． (1)如果点，求抛物线的表达式； (2)求线段的长； (3)如果抛物线的顶点为点，且经过，分别过点、作轴的平行线交于点、，求的值． 24．如图，在矩形中，，，对角线、交于点，点为对角线上一点，连接，在内部作射线与线段交于点（不与点、点重合）、与线段交于点，且． (1)当，求的正切值． (2)射线交射线与点，若线段是与的比例中项，求的长． (3)设线段，，写出关于的函数关系式，并写出取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $