专题03 三角初步的期中复习（高效培优期中专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级上学期

专题03 三角初步的期中复习 考点01 锐角的正弦、余弦、正切 考点02 特殊角的三角函数值 考点03 同角和互余角的三角函数关系 考点04 解直角三角形 考点05 解非直角三角形 考点06 解直角三角形的应用 考点01 锐角的正弦、余弦、正切 1．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，在中，，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，的三个顶点均在边长为的正方形网格的格点上，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·上海·阶段检测）在中，，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）如图，在矩形中，点是的中点，点是上一点，且，连接，．若，，则的值是(     ) A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，在中，，D是的中点，则______． 6．（2025·上海普陀·一模）如图，中，，的中垂线分别与、交于点E、D．如果，，那么的余弦值为_________． 7．（25-26九年级上·上海·期末）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且．线段交反比例函数的图象于另一点，连接，若点为的中点，则的值为________． 8．（25-26九年级上·上海·期末）已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点和点B，顶点为D． (1)求此抛物线的表达式及顶点D坐标； (2)连接、，求的余弦值． 9．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段的两个端点均在小正方形的顶点上． (1)在方格纸中将线段绕点A旋转，点B的对应点为点C．（点C在格点上）； (2)在边上画出点E，连接，且；（保留作图痕迹） (3)直接写出的长． 10．（25-26九年级上·上海·期末）如图1，在矩形中，E是上一点，，把沿着折叠，点B的对应点F恰好落在线段上． (1)求的值； (2)如图2，延长交于点G，交于点H． ①求证：； ②求的值． 考点02 特殊角的三角函数值 1．（2025·上海宝山·一模）计算：_____． 2．（26-27九年级上·上海·阶段检测）计算： 3．（26-27九年级上·上海·阶段检测）计算： 4．（25-26九年级上·全国·周测）计算： (1)． (2)． 5．（25-26九年级上·上海·期末）已知、、是△ABC的三个内角，若，则的度数是________． 6．（2024·江苏苏州·中考真题）直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是______． 7．（25-26九年级上·上海·自主招生）小明在一个广场上测量旗杆的高度，他在水平面上以旗杆的底部点为圆心，用软尺画得一个半径为（单位：米）的圆，小明站在圆上测得旗杆的仰角为，然后将圆的半径扩大到（单位：米），此时站在圆上测得旗杆的仰角为，小明的眼睛距离地面的高度为米，则旗杆的高度为_____米．（请直接用无理数表示） 8．（25-26九年级上·上海·一模）新定义  如图，图中提供了一种求的方法．作，使，，再延长到点D，使，连接，即可得．如果设，则可得，则．用以上方法，则________． 考点03 同角和互余角的三角函数关系 1．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如果是锐角，且，那么的值（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·上海·期中）已知为锐角，且，那么的正切值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·湖南永州·阶段检测）下列说法中，正确的是（   ） A． B．若，则 C．若为锐角，，则 D．在中，锐角的两个邻边都扩大5倍，则也扩大5倍 4．（2026·上海普陀·一模）在中，，，那么等于（ ）． A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·上海·期中）在中，，已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·上海·阶段检测）____（选填“＞”或“＝”或“＜”） 7．（25-26九年级上·上海·阶段检测）对于锐角，已知，则______． 8．（25-26九年级上·上海·一模）在如图的直角三角形中，我们知道，，， ∴．即一个角的正弦和余弦的平方和为1． (1)请你根据上面的探索过程，探究，与之间的关系； (2)请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知为锐角，且，求的值． 考点04 解直角三角形 1．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）在中，，如果，，那么等于（ ） A． B． C． D． 2．（2025·上海·二模）边长为a的正十边形的半径是（   ） A．； B． C． D． 3．（2025·上海·模拟预测）已知在中，，若，，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·上海崇明·期中）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的值． 5．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，在中，，，，点在边上，且，，垂足为，联结． (1)求线段的长； (2)求的正切值． 6．（25-26九年级上·上海·期中）已知：如图，在中，，，，是边上的中线．    (1)求的面积； (2)求的余切值． 7．（25-26九年级上·上海·期中）如图，在中，已知，，，解这个直角三角形． 8．（25-26九年级上·上海·期中）如图，已知在四边形中，，，，． (1)的长； (2)如果点E为的中点，连接，求的正切值． 考点05 解非直角三角形 1．（四川乐山·中考真题）如图，在△中，，,.则边的长为___________. 2．（25-26九年级上·上海·期中）在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，则△ABC的面积是 ___． 3．（25-26九年级上·上海·期中）等腰三角形的周长为，腰长为1，则底角等于____________ 4．（25-26九年级上·上海·课后作业）如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为 ___________． 5．（25-26九年级·上海·三模）如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为________． 6．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的面积（结果保留根号）． 7．（25-26九年级·上海·二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，cotB＝，BC＝10． （1）求AB的长； （2）如果CD为边AB上的中线，求∠DCB的正切值． 8．（湖南·中考真题）阅读下列材料： 在中，、、所对的边分别为、、，求证：． 证明：如图1，过点作于点，则： 在中， CD=asinB 在中， 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：； (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：， 考点06 解直角三角形的应用 1．（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）如图，飞机P在目标A的正上方1100米，飞行员测得目标B的俯角为，那么地面A、B之间的距离为________米（结果保留根号）． 2．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）某飞机在离地面垂直距离1500米的上空处，测得地面控制点的俯角为，那么飞机与该地面控制点之间的距离等于____________米．（结果保留根号） 3．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）某校学生开展综合实践活动，如图，要测量树的高度，小李同学在离点10米的处利用测倾器测得处的仰角为，（，在同一平面内，，在同一水平面上），已知米，则树的高为_______米．（答案可以带根号） 4．（2025·广西钦州·一模）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，则到的距离是___________（结果保留根号）． 5．（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）如图，小普测量两幢大楼的高度，已知两幢大楼的地面水平距离为米，小普在甲楼顶部处测得乙楼顶部处的俯角为． (1)问：甲楼比乙楼高多少米？ (2)如果小普在两幢大楼之间的点处（点在同一条直线上），分别测得甲楼顶部处的仰角为，乙楼顶部处的仰角为，求甲楼的高度． （参考数据：，） 6．（25-26九年级上·上海·阶段检测）学校附近路段都设有限速标志，如图①．某天放学，小亮和同学尝试用自己所学的知识检测过往车辆是否超速，他们在公路上选取A，B两点，把观测点设在公路同侧的点P处，且测得点B与观测点P 的距离是，这时，一辆卡车由西向东匀速行驶，如图②，测得卡车从A 处行驶到 B 处所用的时间为3秒，且，． (1)求观测点 P 到公路的距离？(参考数据： (2)试判断卡车是否超过了限制速度？ 7．（2025·上海杨浦·一模）定义：如图1，已知点、是的边上的两个定点，点是边上的一个动点，当时，称点是线段的最佳视野点．如图2，某商业广场上安装了一块巨型显示屏，点到水平地面的距离为5米，在水平地面的处有一个自动扶梯，点、、在同一直线上．已知自动扶梯的坡度是，点到点的距离是10米．    (1)当行人行走在水平地面时，发现点恰好是屏幕的最佳视野点，且从点测得点的仰角为．求的长；（忽略行人的高度） (2)在（1）的条件下，如果要在自动扶梯上找到屏幕的最佳视野点，有人说“最佳视野点就是屏幕的垂直平分线与的交点”．你同意这个说法吗？请通过计算说明理由．（忽略行人的高度） 8．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图1是某广场台阶（结合轮椅专用坡道）景观设计的模型，图2是该设计第一层的截面图，第一层有十级台阶，每级台阶的高为0.15米，深为0.4米，轮椅专用坡道的顶端有一个长2米的水平面． 《城市道路与建筑物无障碍设计规范》第17条，新建轮椅专用坡道在不同坡度的情况下，坡道高度应符合以下表中的规定： 坡度 最大高度（米） 1.50 1.00 0.75 (1)选择哪个坡度建设轮椅专用坡道是符合要求的？说明理由； (2)相关部门开展广场台阶的设计规划，现在设计每级台阶的宽度为1.5米，那么第一层的台阶坡道建造需要规划多少面积的用地？ 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角初步的期中复习 考点01 锐角的正弦、余弦、正切 考点02 特殊角的三角函数值 考点03 同角和互余角的三角函数关系 考点04 解直角三角形 考点05 解非直角三角形 考点06 解直角三角形的应用 考点01 锐角的正弦、余弦、正切 1．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，在中，，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出，再根据正弦的定义求出结果． 【详解】解：，若，， ， ． 2．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，的三个顶点均在边长为的正方形网格的格点上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造直角三角形，利用正切定义求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点 ， 由网格可知 ，， 在 中，． 3．（25-26九年级上·上海·阶段检测）在中，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴． 4．（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）如图，在矩形中，点是的中点，点是上一点，且，连接，．若，，则的值是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由矩形的性质得出，，，证出，，由证明，得出，，证是等腰直角三角形，得出，即可得出答案． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ，，， ， ，， ， 是的中点， ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； 5．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，在中，，D是的中点，则______． 【答案】 【分析】设，则，，求出，在求出，由三角函数的定义求解即可. 【详解】 如图，过点D作于点E， ∵在中， ∴，设，则，，又∵D是边的中点， ∴， 在中，， 在中，， 在中，． 【点睛】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，勾股定理，准确求出BD、DE的长是解题的关键． 6．（2025·上海普陀·一模）如图，中，，的中垂线分别与、交于点E、D．如果，，那么的余弦值为_________． 【答案】/ 【分析】连接，先利用等腰三角形的性质可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后利用等量代换可得：，从而可证，最后利用相似三角形的性质求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ， ∵是的垂直平分线， ， ， ， ， ∴， ， ∴， ∴或（舍去）， ， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 7．（25-26九年级上·上海·期末）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且．线段交反比例函数的图象于另一点，连接，若点为的中点，则的值为________． 【答案】 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，则，设点的坐标为，点的坐标为，根据点为的中点即可找出点的坐标，再结合相似三角形的性质即可得出、的关系，利用正切的定义结合等边三角形的判定即可得出为等边三角形，由此即可得出结论． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示． 设点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 整理得，即， ∴， 则， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴为等边三角形， ∴，． 8．（25-26九年级上·上海·期末）已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点和点B，顶点为D． (1)求此抛物线的表达式及顶点D坐标； (2)连接、，求的余弦值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将 代入求出b，进而求出抛物线的表达式，再化成顶点式可得点D的坐标． （2）令，可求得B的坐标，令，求得C的坐标，再分别求出、、的长，由勾股定理逆定理可得，进而求出的值． 【详解】（1）解：将 代入得， ， 抛物线的表达式为， 该抛物线的顶点D的坐标为； （2）解：如图所示， 在中，当时，则， 解得或， 在中，当时，， ， ， ， ， ， ， ． 9．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段的两个端点均在小正方形的顶点上． (1)在方格纸中将线段绕点A旋转，点B的对应点为点C．（点C在格点上）； (2)在边上画出点E，连接，且；（保留作图痕迹） (3)直接写出的长． 【答案】(1) 如图： (2) 如图： (3) 【分析】（1）根据旋转的性质，取格点C，使，，即可． （2）取与格线的交点E，使，即可． （3）取格点G，H，根据，得，根据,，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：取格点C，使，，点C即为所求作， （2）解：取与格线的交点E，使，点E即为所求作， 理由：取格点G，H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了网格作图，熟练掌握旋转性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义，是解题的关键． 10．（25-26九年级上·上海·期末）如图1，在矩形中，E是上一点，，把沿着折叠，点B的对应点F恰好落在线段上． (1)求的值； (2)如图2，延长交于点G，交于点H． ①求证：； ②求的值． 【答案】(1)1 (2)①证明：∵四边形是矩形， ∴． 由折叠可知， ∵， ∴． 由（1）可知，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． ② 【分析】（1）首先，根据矩形的性质得，再根据，证得是等腰直角三角形，进而得，，最后，可得； （2）①首先，根据已知条件证得，进而得，，再证得，，然后，由，可证得； ②首先，根据折叠的性质易证得，再由①知，得，进而证得，故，得出，接着，证得，由，得，最后，得出，故． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 由折叠可知， ∴， ∴； （2）①略 ②解：由折叠可知． ∵， ∴． 由①知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 考点02 特殊角的三角函数值 1．（2025·上海宝山·一模）计算：_____． 【答案】0 【分析】利用特殊锐角三角函数值计算即可． 本题考查了特殊角的三角函数值，熟记三角函数值是解题的关键 【详解】解： ， 故答案为：0． 2．（26-27九年级上·上海·阶段检测）计算： 【答案】 【分析】代入特殊角的三角函数值计算即可求解． 【详解】解： ． 3．（26-27九年级上·上海·阶段检测）计算： 【答案】 【详解】解： ． 4．（25-26九年级上·全国·周测）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解； （2）先代入特殊角的三角函数值，再计算即可. 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 5．（25-26九年级上·上海·期末）已知、、是△ABC的三个内角，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及偶次方和绝对值的性质，正确得出和的度数是解题关键． 直接利用特殊角的三角函数值以及偶次方和绝对值的性质得出和的度数进而求出即可． 【详解】解：∵， ，， ，， 的度数是． 故答案为：． 6．（2024·江苏苏州·中考真题）直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是______． 【答案】 【分析】根据题意可求得与坐标轴的交点A和点B，可得，结合旋转得到，则，求得，即得点C坐标，利用待定系数法即可求得直线的解析式． 【详解】解：依题意画出旋转前的函数图象和旋转后的函数图象，如图所示∶    设与y轴的交点为点B， 令，得；令，即， ∴， ， ∴，， 即 ∵直线绕点A逆时针旋转，得到直线， ∴，， ∴， 则点， 设直线的解析式为，则 ，解得， 那么，直线的解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点、直线的旋转、解直角三角形以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是找到旋转后对应的直角边长． 7．（25-26九年级上·上海·自主招生）小明在一个广场上测量旗杆的高度，他在水平面上以旗杆的底部点为圆心，用软尺画得一个半径为（单位：米）的圆，小明站在圆上测得旗杆的仰角为，然后将圆的半径扩大到（单位：米），此时站在圆上测得旗杆的仰角为，小明的眼睛距离地面的高度为米，则旗杆的高度为_____米．（请直接用无理数表示） 【答案】 【分析】解直角三角形得出米，米，从而得出，求出r的值，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：米，米， 在中，，即米， 在中，，即米， ∴， 解得：， ∴米， ∴旗杆的高度为米． 8．（25-26九年级上·上海·一模）新定义  如图，图中提供了一种求的方法．作，使，，再延长到点D，使，连接，即可得．如果设，则可得，则．用以上方法，则________． 【答案】 【分析】如图所示，作，使，，再延长到点D，使，连接，可证，设，则，，，再由进行求解即可．本题主要考查了解直角三角形，三角形外角的性质，等边对等角，正确理解题意构造的角是解题的关键． 【详解】解：如图，作，使，，再延长到点D，使，连接， 则， 又， ， 设，则，， ， ， 在中，． 考点03 同角和互余角的三角函数关系 1．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如果是锐角，且，那么的值（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同角的三角函数的关系，熟练掌握同角的三角函数的关系是解答本题的关键． 根据题意得，利用求出答案． 【详解】解：， ． 故选：． 2．（25-26九年级上·上海·期中）已知为锐角，且，那么的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据求出，然后根据求解即可． 【详解】∵，为锐角， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了求角的正切值，解题的关键是熟练掌握三角函数公式． 3．（25-26九年级上·湖南永州·阶段检测）下列说法中，正确的是（   ） A． B．若，则 C．若为锐角，，则 D．在中，锐角的两个邻边都扩大5倍，则也扩大5倍 【答案】C 【分析】本题考查三角函数的定义和性质，需根据三角函数的定义判断各选项的正确性． 【详解】解：A、三角函数的度数不能直接相加，A错误； B、α为锐角时，，所以当时，，B错误； C、，设对边为，邻边为，则斜边为，所以，C正确； D、在中，等于角A的邻边与斜边的比值，当两边都扩大5倍时，另外一条直角边也扩大了5倍，比值不变，所以不变，D错误． 故选：C． 4．（2026·上海普陀·一模）在中，，，那么等于（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了互余两角三角函数的关系：若，那么或．利用互余两角三角函数的关系直接求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：C． 5．（25-26九年级上·上海·期中）在中，，已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用互余两角的三角函数关系求解，即可得到答案． 【详解】解：在中，，， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了互余两角的三角函数关系，解题关键是掌握一个角的正弦值等于它的余角的余弦值． 6．（25-26九年级上·上海·阶段检测）____（选填“＞”或“＝”或“＜”） 【答案】＞ 【分析】本题考查了锐角三角函数； 根据，锐角的正弦值随着角度的增大而增大进行判断即可． 【详解】解：， ∵锐角的正弦值随着角度的增大而增大， ∴，即， 故答案为：＞． 7．（25-26九年级上·上海·阶段检测）对于锐角，已知，则______． 【答案】 【分析】本题考查了互余两角三角函数的关系，掌握是解题的关键． 根据互余两角三角函数的关系进行计算即可． 【详解】解：由互余两角三角函数的关系可得，，而且， 所以．即， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·上海·一模）在如图的直角三角形中，我们知道，，， ∴．即一个角的正弦和余弦的平方和为1． (1)请你根据上面的探索过程，探究，与之间的关系； (2)请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知为锐角，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用，，，即可得出； （2）利用（1）中结论，将的分子，分母同时除以，得，进而代入求值即可． 本题考查了三角函数的定义，三角函数之间的关系，正确理解定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴． （2）解：∵，且， ∴． 考点04 解直角三角形 1．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）在中，，如果，，那么等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，根据直角三角形中三角函数的定义，利用的正弦值求解斜边即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2025·上海·二模）边长为a的正十边形的半径是（   ） A．； B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角函数，正多边形的性质，根据题意画出图形，过点O作交与点M，再根据等腰三角形三线合一的性质得出，，最后根据余弦的定义求解即可得出答案． 【详解】解：如图，正十边形的中心角， 过点O作交与点M， ∴，，． ∴， ∴ 故选：A． 3．（2025·上海·模拟预测）已知在中，，若，，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数，根据锐角三角函数的定义即可求解． 【详解】解：在中，，若，， ，， 故选：C． 4．（25-26九年级上·上海崇明·期中）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义． （1）根据锐角三角函数的定义即可求出答案； （2）根据勾股定理求出，然后根据余弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴，即 ∴； （2）∵，， ∴ ∴． 5．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，在中，，，，点在边上，且，，垂足为，联结． (1)求线段的长； (2)求的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形； （1）过点作于点，根据余弦的定义，求得，勾股定理求得，解得出，即可求解； （2）先求得，进而根据，求得，进而求得，根据正切的定义，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∵，， ∴ ∴ 在中，， ∴， （2）∵，， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ 又∵， ∴ 6．（25-26九年级上·上海·期中）已知：如图，在中，，，，是边上的中线．    (1)求的面积； (2)求的余切值． 【答案】(1)42 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，三角函数的定义，三角形中位线定理． （1）作，垂足为点H．先由，可设，那么，根据勾股定理得出，在直角中，由，得出，再根据，列出关于x的方程，解方程求出，得到，然后根据的面积即可求解； （2）作，垂足为点M．先由，得到，由D为中点，得出M为的中点，由三角形中位线定理得出，则，然后在直角中根据余切函数的定义即可求出的余切值． 【详解】（1）解：过点C作，点H为垂足， 在中，，    是等腰直角三角形， ， 在中，， ， ， 设，则， ， ， ， 解得， ， ； （2）解：过点D作，点M为垂足，   ， ， ， D为中点， ， 由（1）知：， ， ， 在中，， ． 7．（25-26九年级上·上海·期中）如图，在中，已知，，，解这个直角三角形． 【答案】，， 【分析】根据勾股定理求出b，并求出，再由特殊角的三角函数值即可求解三角形. 【详解】 解：在中， ∵，，， ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题侧重考查了解直角三角形，掌握三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解题的关键． 8．（25-26九年级上·上海·期中）如图，已知在四边形中，，，，． (1)的长； (2)如果点E为的中点，连接，求的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，利用三角函数求出，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理求出即可． （2）首先证明，推出，由此即可解决问题； 【详解】（1）解：在中，∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：在中，∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 考点05 解非直角三角形 1．（四川乐山·中考真题）如图，在△中，，,.则边的长为___________. 【答案】 【分析】过A作AD⊥BC于D点，根据，可求得CD，在Rt△ACD中由勾股定理可求得AD，再利用Rt△ADB中，可知AB=2AD，即可解题 【详解】过A作AD⊥BC于D点， ∵，AC=2 ∴CD= 在Rt△ACD中由勾股定理得：AD= 又∵∠B=30° ∴AB=2AD=. 【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理求线段长度，30°所对的直角边是斜边的一半，灵活联合运用即可解题. 2．（25-26九年级上·上海·期中）在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，则△ABC的面积是 ___． 【答案】 【分析】先画出图形（见解析），过点作于点，先利用正弦三角函数求出的长，再根据三角形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，，即， 解得， 则的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦三角函数的定义是解题关键． 3．（25-26九年级上·上海·期中）等腰三角形的周长为，腰长为1，则底角等于____________ 【答案】30° 【分析】作底边上的高，根据底和腰的关系可求得底角的余弦值，可求得底角． 【详解】如图 ∵△ABC的周长为，腰长为1， ∴AB=AC=1,BC=， ∴过A作AD⊥BC于点D,则BD=， 在Rt△ABD中, ， ∴∠B=30°， 故填30°. 【点睛】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质.解决此题时需注意①根据已知题意构造图形可以更加直观的观察线段与角之间的关系；②题中边BD，边AB和∠B满足邻边与斜边的关系，故用余弦解直角三角形. 4．（25-26九年级上·上海·课后作业）如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为 ___________． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题）、解直角三角形、勾股定理，过点作于点，连接．由翻折可知，，，设，在中，，可求得，再利用勾股定理求出，在中，，即可求得，结合勾股定理可得，则，进而可得出答案． 【详解】解：过点作于点，连接． 由翻折可知，，， ， ，． 设， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 则， ． 故答案为：． 5．（25-26九年级·上海·三模）如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为________． 【答案】 【分析】本题考查三角形的翻折综合计算，涉及三角函数，等腰三角形，平行四边形及勾股定理，能正确进行线段的转换及作辅助线解非直角三角形是解题关键．本题先过点作于点，计算得出，再证明四边形是平行四边形，得，再在中求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， 由翻折知， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 由翻折知， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的面积（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点A作，垂足为D，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长； （2）利用锐角三角函数的定义和勾股定理分别求出和的长，从而求出的长，然后利用三角形的面积公式即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作于． 在中， ，， ， ∵在中，， ； （2）∵在中，， ， 在中，根据勾股定理， ， 的面积． 7．（25-26九年级·上海·二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，cotB＝，BC＝10． （1）求AB的长； （2）如果CD为边AB上的中线，求∠DCB的正切值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）过点A作AE⊥BC，构造两个直角三角形，分别用特殊角和三角函数求解． （2）过D作DF⊥BC，分别在两个直角三角形中求解． 【详解】解：（1）过A作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F， ∵∠BCA＝45°， 在Rt△AEC中，AE＝EC， ∵cotB＝， 在Rt△BEA中，＝， 设BE＝3x，AE＝2x， ∴BC＝BE+EC＝BE+AE＝10， ∴x＝2， ∴BE＝6，EA＝EC＝4， 由勾股定理得：AB2+BE2＝AE2． 即AB2＝36+16＝52． ∴AB＝． （2）由（1）知AB＝2， 又∵D为AB的中点， ∴BD＝AD＝， ∵DF⊥BC，AE⊥BC， ∴ ∵BD＝AD， ∴BF＝FE＝BE＝3． ∴DF＝AE＝2， ∴FC＝FE+EC＝3+4＝7 ∴tan∠DCB=． 【点睛】本题考查了特殊角度、余切和正切的定义，以及三角形中位线的知识，是常见题型． 8．（湖南·中考真题）阅读下列材料： 在中，、、所对的边分别为、、，求证：． 证明：如图1，过点作于点，则： 在中， CD=asinB 在中， 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：； (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：， 【答案】(1) 证明：如图2，过点作于点， 在中，， 在中，， ， ； (2) 【分析】（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解； （2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图3，过点作于点， ，， ， 在中， 又， 即， ， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提． 考点06 解直角三角形的应用 1．（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）如图，飞机P在目标A的正上方1100米，飞行员测得目标B的俯角为，那么地面A、B之间的距离为________米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题主要考查的是锐角三角函数的应用，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键； 根据题意作出俯视角，利用平行线的性质和锐角三角函数解答即可． 【详解】解：如图所示 ， 故答案为． 2．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）某飞机在离地面垂直距离1500米的上空处，测得地面控制点的俯角为，那么飞机与该地面控制点之间的距离等于____________米．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意正确画出图形是解题的关键． 根据题意，飞机离地面垂直距离为1500米，俯角为，通过几何关系可得，在中，利用正弦函数求解即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得：， ∴， 在中，米， ∴（米）． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）某校学生开展综合实践活动，如图，要测量树的高度，小李同学在离点10米的处利用测倾器测得处的仰角为，（，在同一平面内，，在同一水平面上），已知米，则树的高为_______米．（答案可以带根号） 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意；过点A作于点E，由题意易得四边形是矩形，则有，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】解：过点A作于点E，如图所示： 由题意得：， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 4．（2025·广西钦州·一模）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，则到的距离是___________（结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 由题意得，，分别在，进行解直角三角形即可求出，再由即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴在中，，， 在中，， ∴， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）如图，小普测量两幢大楼的高度，已知两幢大楼的地面水平距离为米，小普在甲楼顶部处测得乙楼顶部处的俯角为． (1)问：甲楼比乙楼高多少米？ (2)如果小普在两幢大楼之间的点处（点在同一条直线上），分别测得甲楼顶部处的仰角为，乙楼顶部处的仰角为，求甲楼的高度． （参考数据：，） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（）过点作于，则米，，再解求出即可求解； （）设米，则米，分别解和，得，，进而得到，解方程求出的值即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作于，则米，， 由题意得，， 在中，， ∴米， ∴甲楼比乙楼高米； （2）解：设米，则米， 由题意得，，， 在中，， ∴米， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴米， 答：甲楼的高度为米． 6．（25-26九年级上·上海·阶段检测）学校附近路段都设有限速标志，如图①．某天放学，小亮和同学尝试用自己所学的知识检测过往车辆是否超速，他们在公路上选取A，B两点，把观测点设在公路同侧的点P处，且测得点B与观测点P 的距离是，这时，一辆卡车由西向东匀速行驶，如图②，测得卡车从A 处行驶到 B 处所用的时间为3秒，且，． (1)求观测点 P 到公路的距离？(参考数据： (2)试判断卡车是否超过了限制速度？ 【答案】(1)观测点 P 到公路的距离是 (2)卡车超过了限制速度 【分析】本题主要考查了勾股定理、解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键． （1）过点P作于点 D，证明 是等腰直角三角形，得出．设，，由勾股定理得解答即可． （2）先求出的长，然后再比较即可解答． 【详解】（1）解：过点P作于点 D， ∵，， ∴ 是等腰直角三角形， ∴． 在中，设，， 由勾股定理得：， 解得 ， 即观测点 P 到公路的距离是． （2）解：在中，，由（1）知， ， 即  ， 解得． ． ∵， ∴卡车超过了限制速度． 7．（2025·上海杨浦·一模）定义：如图1，已知点、是的边上的两个定点，点是边上的一个动点，当时，称点是线段的最佳视野点．如图2，某商业广场上安装了一块巨型显示屏，点到水平地面的距离为5米，在水平地面的处有一个自动扶梯，点、、在同一直线上．已知自动扶梯的坡度是，点到点的距离是10米．    (1)当行人行走在水平地面时，发现点恰好是屏幕的最佳视野点，且从点测得点的仰角为．求的长；（忽略行人的高度） (2)在（1）的条件下，如果要在自动扶梯上找到屏幕的最佳视野点，有人说“最佳视野点就是屏幕的垂直平分线与的交点”．你同意这个说法吗？请通过计算说明理由．（忽略行人的高度） 【答案】(1)的长是10米 (2) 不同意．理由如下： 作的垂直平分线交于，交于点，分别延长与交于点，    由题意，可得：，， ∵自动扶梯的坡度是， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点不是自动扶梯上的最佳视野点． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角． （1）连接，由题意得，，，设为，则为，根据点H恰好是屏幕的最佳视野点列方程求出x即可解答； （2）作的垂直平分线交于，交于点，分别延长与交于点，分别求出，，，计算得出，从而判断点不是屏幕的最佳视野点． 【详解】（1）解：如图，连接，    由题意得，，，， 设，则，， ∵点恰好是屏幕的最佳视野点， ∴， ∴， 解得：（舍去），， ∴（米）， ∴（米）， ∴的长是10米； （2）略 8．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图1是某广场台阶（结合轮椅专用坡道）景观设计的模型，图2是该设计第一层的截面图，第一层有十级台阶，每级台阶的高为0.15米，深为0.4米，轮椅专用坡道的顶端有一个长2米的水平面． 《城市道路与建筑物无障碍设计规范》第17条，新建轮椅专用坡道在不同坡度的情况下，坡道高度应符合以下表中的规定： 坡度 最大高度（米） 1.50 1.00 0.75 (1)选择哪个坡度建设轮椅专用坡道是符合要求的？说明理由； (2)相关部门开展广场台阶的设计规划，现在设计每级台阶的宽度为1.5米，那么第一层的台阶坡道建造需要规划多少面积的用地？ 【答案】(1) 选择坡度建设轮椅专用坡道是符合要求的，理由如下： ∵第一层有十级台阶，每级台阶的高为0.15米， ∴最大高度为（米）， 由表知建设轮椅专用坡道选择符合要求的坡度是； (2)平方米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用—坡度问题： （1）计算最大高度为：（米），由表格查对应的坡度为：； （2）作，求出的长度即可得解． 【详解】（1）解：略． （2）解：如图，过B作于点G， 由1可知米，坡度是， ∴，即， ∴（米）， ∴（米）， ∴（平方米）． 即第一层的台阶坡道建造需要规划平方米的用地． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 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