期中重难点特训之易错压轴专项训练（17易错+7压轴）-2026-2027学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制）

期中重难点特训之易错压轴专项训练（17易错+7压轴） 学科网（北京）股份有限公司 易错题型一、求二次根式的值 易错题型二、近似数 易错题型三、用科学记数法表示 易错题型四、求一个数的算术平方根计算 易错题型五、求一个数的平方根计算 易错题型六、求一个数的立方根计算 易错题型七、求一个数方根的非负性解题 易错题型八、利用平方根解方程 易错题型九、无理数的大小估算 易错题型十、实数与数轴 易错题型十一、无理数整数部分的有关计算 易错题型十二、求二次根式中的参数 易错题型十三、同类二次根式 易错题型十四、分母有理化 易错题型十五、二次根式的化简求值运算 易错题型十六、二次根式的混合运算 易错题型十七、实数的混合运算 压轴题型一、与算术平方根有关的规律探索题 压轴题型二、与立方根有关的规律探索 压轴题型三、新定义下的实数运算 压轴题型四、平方根和立方根的综合应用 压轴题型五、与实数运算相关的规律题 压轴题型六、分母有理化的综合应用 压轴题型七、二次根式的综合应用 易错题型一、求二次根式的值 1．（25-26八年级上·山西晋城·阶段检测）当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的计算，掌握算理是解决问题的关键．将代入计算即可． 【详解】解：当时， ． 故选：B． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）当时，二次根式的值为 __． 【答案】1 【分析】把代入二次根式，化简计算即可． 【详解】解：当时，． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二次根式，解题的关键是掌握二次根式的定义以及二次根式的性质． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）当时，求二次根式的值． 【答案】1 【分析】根据二次分式的性质即可求解． 【详解】解：当时， ． 【点睛】本题考查了二次分式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质进行求解． 易错题型二、近似数 4．（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）用四舍五入法，把精确到十分位，取得的近似数（   ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了四舍五入求近似数．精确到十分位，需看百分位数字，根据四舍五入规则处理． 【详解】解：∵ 精确到十分位，百分位数字为，， ∴ 向十分位进一，十分位变为， ∴ 近似数为． 故选：B． 5．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）数字_______（用四舍五入法精确到十分位）． 【答案】 【分析】本题考查近似数与有效数字，小数的数位，理解四舍五入法的规则是解题关键． 精确到十分位，需看百分位数字，，故进位． 【详解】解：数字精确到十分位时，百分位数字是，根据四舍五入法，，向十分位进位，十分位变为，故． 故答案为：． 6．（26-27八年级上·全国·课后作业）按括号里的要求用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)579.56（精确到十分位）； (2)0.0040783（精确到0.0001）； (3)8.973（精确到0.1）； (4)692547（精确到十位）； (5)48378（精确到千位）； (6)（精确到千位）． 【答案】(1)（精确到十分位）； (2)0.0041（精确到0.0001）； (3)9.0（精确到0.1）； (4)（精确到十位）； (5)（精确到千位）； (6)（精确到千位） 【分析】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． （1 ）先用科学记数法表示，然后把百分位上的数进行四舍五入即可； （2 ）把十万分位上的数7进行四舍五入即可； （3 ）把百分位上的数7进行四舍五入即可； （4 ）先用科学记数法表示，然后把个位上的数7进行四舍五入即可； （5 ）先用科学记数法表示，然后把百位上的数进行四舍五入即可； （6 ）把3进行四舍五入即可． 【详解】（1）解：（精确到十分位）； （2）解：（精确到0.0001）； （3）解：（精确到0.1）； （4）解：（精确到十位）； （5）解：（精确到千位）； （6）解：（精确到千位）． 易错题型三、用科学记数法表示 7．（26-27八年级上·福建莆田·阶段检测）《西游记》是中国古典四大名著之一，通行本字数约为字．将用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据科学记数法的形式的要求逐个判断，继而得到答案． 【详解】解：科学记数法的形式是，其中，为正整数， ． 8．（2026八年级上·上海松江·专题练习）全球每年大约有立方米的水从海洋和陆地转化为大气中的水蒸气，将科学记数法表示的数还原为原数是__________ 【答案】577000000000000 【详解】解：． 9．（2026七年级下·全国·专题练习）某种原子的质量为． (1)请用科学记数法表示这个数． (2)科学上把这个数量的定为1个原子质量单位，并用u来表示．请用科学记数法把u表示出来． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键； （1）根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． （2）由（1）可直接进行求解． 【详解】（1）解：数据用科学记数法表示为； （2）解：由（1）可知：． 易错题型四、求一个数的算术平方根计算 10．（25-26七年级下·黑龙江绥化·期末）在下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 11．（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）已知是9的算术平方根，则的值为____． 【答案】 3 【详解】解：∵ 9的算术平方根为3， ∴ 由题意得， 解得． 12．（26-27八年级·上海·暑假作业）化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)12 (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 易错题型五、求一个数的平方根计算 13．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）25的平方根是（     ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】平方根的定义，若，则是的平方根． 【详解】解：， 的平方根是． 14．（26-27八年级上·上海长宁·阶段检测）的算术平方根是____________；的平方根为____________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是； ∵， ∴的平方根是． 15．（25-26七年级下·福建福州·期中）已知一个正数a的两个平方根分别是和． (1)求x的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，解方程即可得到答案； （2）根据平方根的概念和（1）所求求出，则，据此根据平方根的定义可得答案． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得； （2）解：由（1）可得， ∴， ∵4的平方根是， ∴的平方根是． 易错题型六、求一个数的立方根计算 16．（25-26七年级下·甘肃定西·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 表示4的算术平方根，结果为非负数，∴ ，A计算错误； ∵ ，∴ ，B计算正确； ∵ ，∴ C计算错误； ∵ ，∴ D计算错误． 17．（25-26八年级下·上海·期中）方程的实数解是______． 【答案】 【分析】根据立方根定义求解即可． 【详解】解： ． 18．（25-26七年级下·山东济宁·期中）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查平方根与立方根；直接开方即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 或 或 ， 易错题型七、求一个数方根的非负性解题 19．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）若，则（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据算术平方根和平方的非负性，求得m、n的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴． 20．（2026·安徽阜阳·二模）若式子有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【详解】解：若式子有意义，需满足被开方数非负，同时分式的分母不能为， 因此可得， 解得． 21．（26-27八年级上·上海长宁·阶段检测）已知，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查二次根式，根据被开方数的非负性求出x的值，进而求出y的值，即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ． 易错题型八、利用平方根解方程 22．（25-26七年级下·河北保定·期末）已知，则的值是（　　） A．3 B． C． D．或3 【答案】D 【分析】两边开平方，再解一元一次方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴或， 解得：或， 故选D． 【点睛】本题考查了利用平方根解方程，解题时要注意有两个解． 23．（24-25七年级下·北京·期中）若，则___________；若，则___________． 【答案】 或 【分析】本题考查了平方根与立方根，根据平方根与立方根的定义，解方程，即可求解． 【详解】解： ∴ 解得：； ∴ ∴ 解得：或 故答案为：；或． 24．（25-26七年级下·山东临沂·期中）解方程（组） (1) (2)． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：， ， ， 解得，； （2）解：， 得：， 解得， 将代入②得：， 解得， ∴方程组的解为：． 易错题型九、无理数的大小估算 25．（2026·山东德州·模拟预测）下列实数中比小的是（     ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】利用实数比较大小的规则：正数大于0，0大于所有负数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，即可推得结果． 【详解】解：∵正数和0都大于负数， ∴，排除D选项； ∵， ∴，排除A； ∵， ∴，排除C； ∵， ∴，符合要求， 因此比小的数是． 26．（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）（1）的平方根是__________，（2）比较大小：__________1（填“”“”或“＝”）． 【答案】 【分析】（1）先求，即可求解平方根； （2）根据无理数的估算方法求解即可． 【详解】解：，故的平方根是； 由于， ∴ ∴． 27．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各数分别介于哪两个相邻的整数之间？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)在，之间； (2)在，之间； (3)在，之间； 【分析】本题考查的是无理数的估算； （1）由可得，即可得到答案； （2）由可得，即可得到答案； （3）由，可得，即可得到答案 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴在，之间； （2）解：∵， ∴， ∴在，之间； （3）解：∵， ∴， 即， ∴在，之间 易错题型十、实数与数轴 28．（25-26八年级下·广东河源·期末）如图，实数在数轴上的对应点分别为，则下列大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数轴可得，据此逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴，，， ∴四个选项中，只有B选项中的式子正确，符合题意． 29．（2026·陕西铜川·一模）如图，在数轴上，点A表示，点B与点A分别位于原点的两侧，且与原点的距离相等，则点B表示的数是___________． 【答案】 【分析】根据原点左边的数是负数，由绝对值的定义可得答案． 【详解】解∶∵点A表示，点B与点A分别位于原点的两侧，且与原点的距离相等， ∴点B表示的数是． 30．（24-25七年级下·广东韶关·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求m的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查数轴上两点间距离问题，求代数式的值． （1）根据数轴上两点间距离等于两坐标之差的绝对值求解即可得到答案； （2）根据（1）中的值代入求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示， ∴； （2）解：∵， ∴． 易错题型十一、无理数整数部分的有关计算 31．（24-25七年级下·山东临沂·期中）若整数满足，，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值．根据题意得到当时，的值最小，将代入计算即可． 【详解】解：整数满足，， ，， 的最大值为，的最小值为， 当时，的值最小， 的最小值为， 故选：B． 32．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）若的整数部分为，小数部分为，则______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．根据首先确定的值，则小数部分即可确定． 【详解】解：， ∴， ， ∴． 故答案为：． 33．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）阅读下列材料： ∵ ，即：； ∴ 的整数部分为1，小数部分为． 请根据材料提示，进行解答： (1)的整数部分是________，小数部分是_________； (2)若，其中：a是整数，．求的值． 【答案】(1)3，3 (2) 【分析】（1）根据，求解即可； （2）根据文中的方法求解即可； 【详解】（1）解：∵，即； ∴的整数部分是3，小数部分是； （2）解：∵，即； ∴ 故的整数部分是15，小数部分是； 故； 故． 易错题型十二、求二次根式中的参数 34．（25-26八年级上·河北衡水·阶段检测）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．7 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式的定义，做题的关键是推导“是个完全平方数”．首先把进行化简，然后根据是整数确定n的最小值． 【详解】解：∵，且是整数， ∴是个完全平方数，(完全平方数是能表示成一个整数的平方的数) ∴n的最小值是2． 故选：B． 35．（25-26八年级上·甘肃天水·阶段检测）计算：如果，那么___________；___________． 【答案】 5 【分析】根据二次根式的非负性解答即可，即． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 故答案为：5，． 【点睛】本题考查了二次根式的双重非负性，熟知是解题的关键． 36．（25-26七年级下·福建福州·期中）阅读材料并解决下列问题： 已知a、b是有理数，并且满足等式5﹣﹣a，求a、b的值． 解：∵5﹣﹣a 即5﹣ ∴2b﹣a＝5，﹣a＝ 解得：a＝﹣ （1）已知a、b是有理数，并且满足等式﹣1，则a＝　 　，b＝　 　． （2）已知x、y是有理数，并且满足等式x+x+18，求xy的平方根． 【答案】（1）4，1；（2） 【分析】（1）利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程即可． （2）先将等式变形，再利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程得到x和y，再求xy的平方根． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴b=1，a-b=3， ∴a=4； （2）， ∴， ∴， 解得：， ∴xy=16， ∴xy的平方根为±． 【点睛】此题是一个阅读题目，主要考查了实数的运算．对于阅读理解题要读懂阅读部分，然后依照同样的方法和思路解题． 易错题型十三、同类二次根式 37．（25-26八年级下·广东汕头·期中）最简二次根式与可以合并，则（    ） A．48 B．12 C．6 D．3 【答案】D 【分析】先将化为最简二次根式，根据可合并的最简二次根式是同类二次根式，同类二次根式的被开方数相等，即可求出的值. 【详解】∵ ， 又∵ 最简二次根式与可以合并， ∴ 两个最简二次根式的被开方数相同， ∴ ． 38．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则_______． 【答案】2 【分析】本题考查同类二次根式，根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式的被开方数相同，由此列出方程求解． 【详解】解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式， ∴ ． 解得：． 故答案为：2． 39．（25-26八年级上·四川乐山·期末）若最简二次根式和是同类二次根式，求的值． 【答案】7 【分析】根据同类二次根式的定义：①被开方数相同；②均为二次根式；列方程解组求解． 【详解】解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴3x-10=2，2x+y-5=x-3y+11， 即 解得：． ∴． 【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同．这样的二次根式叫做同类二次根式． 易错题型十四、分母有理化 40．（25-26八年级上·上海长宁·阶段检测）下列各选项中，的有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理化因式，根据进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则的有理化因式是， 故选：D 41．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）在进行二次根式化简时，有时会遇到形如这样的式子，我们可以用如下的方法将其进一步化简：，这种方法叫做分母有理化；请仿照上述过程，将代数式化简为________． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的分母有理化，分子分母同时乘以，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 42．（25-26八年级上·福建三明·期中）阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 比如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，． 因为，所以，． 再例如，求的最大值、做法如下： 解：由，可知，而． 当时，分母有最小值．所以的最大值是． 利用上面的方法，解决下面各题： (1)由材料可知，___________； (2)比较和的大小； (3)求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的知识点是分母有理化的应用、实数的大小比较、二次根式有意义的条件，解题关键是根据分母有理化理解分子有理化的方法． （1）根据题意进行分子有理化即可得解； （2）先根据材料分别给和分子有理化，然后再进行比较即可； （3）先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，然后对无理数部分分子有理化，求最大值即可． 【详解】（1）解：依题得：， 故答案为：； （2）解：， ， 而， ， ； （3）解：，， ， ， 当时，分母有最小值， 有最大值是． 易错题型十五、二次根式的化简求值运算 43．（25-26八年级下·广东汕尾·期末）已知，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可对已知条件变形，结合完全平方公式先求出的值，再代入所求代数式计算，简化运算过程． 【详解】解：， ， 两边同时平方得： 展开得： 整理得： 将代入得 原式． 44．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知x，y为正整数，，求_______． 【答案】8 【分析】将等式进行因式分解，得到，求得，即可求解．本题考查代数值求值、二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 又，为正整数， 则或 从而， 故答案为：8． 45．（25-26八年级上·山东菏泽·阶段检测）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵． ∴． ∴，即． ∴，∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：______； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据小明的解答总结出规律即可； （2）结合（1）进行分母有理化，再合并同类项即可得结果； （3）根据小明的解答，先将分母有理化，再根据整体代入法代入，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得， 故答案为：． （2）解： ． （3）解：由题意得， ∴． ∴，即． ∴， ∴． 【点睛】本题考查了分母有理化的应用，代数式求值，二次根式的运算，能求出的值和正确变形是解此题的关键． 易错题型十六、二次根式的混合运算 46．（25-26八年级上·福建漳州·期中）下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根的运算规则，包括乘除、加法和乘方，需根据基本性质判断各选项是否正确． 【详解】对于选项A：，故A正确； 对于选项B： ，故B正确； 对于选项C：，计算，故C错误； 对于选项D： ，故D正确． 故选：C． 47．（25-26八年级上·山东泰安·期末）设实数的整数部分为a，小数部分为b，则_______ 【答案】14 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先确定的整数部分a和小数部分b，再代入式子，根据二次根式的混合运算计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为∶14． 48．（25-26八年级下·山东淄博·期中）阅读材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ∵， 又∵， ∴． 这种方法称为“构造对偶式”． 解答问题： (1)已知，试证明为定值． (2)已知，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意“构造对偶式”，解得其值为，结合题目所给条件即可证明； （2）由题意构造“构造对偶式”，解得其值为8，结合题目所给条件得，和联立即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ， 即为定值； （2）解：， ， ， ， 得，，即：， 两边平方得，，解得：， 经检验，是原方程的解． 易错题型十七、实数的混合运算 49．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，数轴上 、 两点表示的数分别是 1 和 ，点 关于点 的对称点是 ，则点 所表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数与数轴的关系，数轴上两点之间的距离计算，准确计算是解题的关键． 先求出，根据对称可得，然后求出点C到原点的距离，即可得到点C表示的数； 【详解】∵数轴上A ，B两点表示的数分别为1和， ∴， ∵点 关于点 的对称点是 ， ∴， ∴， ∴点C表示的数为； 故选D． 50．（25-26七年级下·福建厦门·期中）若，则，其中m的值为_________． 【答案】3 【分析】将已知两边同时平方，将结果与对比，即可求出的值． 【详解】解： 又 51．（25-26七年级下·北京朝阳·阶段检测）计算：； 【答案】 【详解】解： ． 压轴题型一、与算术平方根有关的规律探索题 1．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算＝ ；＝ ． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律： ． (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根，数字的变化规律探究，从数字找规律是解题的关键． （1）根据算术平方根进行计算即可求解； （2）从数字找规律，即可解答； （3）从数字找规律，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：用含正整数n的式子表示上述算式的规律：； 故答案为：； （3）解： ． 2．（26-27八年级上·广东梅州·阶段检测）按要求解答 (1)填表： 0 …                1 100 10 000 … 0 …           1 100 … (2)规律归纳： ①若正数的小数点向左（或右）移动 位，则的小数点就相应地向 移动 位； ②当时，若正数越大，则 ． (3)尝试运用：已知， ，求的值． 【答案】(1) 0 …                1 100 10 000 … 0 …           1 10 100 … (2)①两，左（或右），一；②越大 (3) 【分析】（1）根据算术平方根计算即可； （2）根据表格作答即可； （3）根据（2）的规律作答即可； 【详解】（1）解：； 填表略； （2）解：①由表格可知，若正数的小数点向左（或右）移动两位，则的小数点就相应地向左（或右）移动一位； ②由表格可知，当时，若正数越大，则越大． （3）解：， ， ． 3．（25-26七年级下·广西崇左·期末）【问题情境】数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探究规律： ； ； ； 【实践探究】 (1)计算：________，________； (2)按照你所发现的规律，猜想：________（为正整数）； 【迁移应用】 (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据算术平方根的性质化简； （2）结果中的分母是被开方数中分母的算术平方根，分子是分母减1，据此解答即可； （3）根据发现的规律求解． 【详解】（1）解：，； （2）略 （3）解： ． 4．（25-26七年级下·湖北荆门·期末）在第八章《实数》的复习课上，张老师鼓励学生对下面一个问题展开探究活动， 【观察思考】仔细观察下列等式特征，探索规律， 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… (1)【规律发现】_____； (2)用含字母n的式子表示第n个等式：______（且n为整数）； (3)【规律应用】计算：______； (4)若符合上述规律，则x的值为______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据发现的规律即可求解； （2）根据发现的规律即可用代数式表示； （3）根据规律计算出每个因数，再相乘即可； （4）根据规律计算出等式左边的结果，可求得n的值，即可求得x的值． 【详解】（1）解：； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ……， 第n个等式：； （3）解： ； （4）解：∵， ∴， 即， 解得， ∴． 5．（24-25七年级下·广西北海·期末）【课本再现】 小明用一些小正方形纸片做拼、剪构造大正方形游戏： 他把两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形，按如图1拼在一起，就得到了一个边长为的大正方形． 【深度思考】 于是，他发现若把5个边长为1的正方形如图2摆放，再将这个图形按图3的方式剪裁，拼成图4，得到一个大正方形． (1)求拼成的正方形的面积和边长． (2)若要把个小正方形按上述方法拼成边长为的大正方形，则______________． 【答案】(1)正方形的面积为5，边长为 (2)10 【分析】本题主要考查求一个数的算出平方根以及图形拼接中面积守恒的规律，解题的关键在于理解图形拼接前后总面积不变； （1）通过已知小正方形的数量计算总面积，再根据面积公式求边长； （2）需要根据第一问的规律推导出值即可； 【详解】（1）解：由题和图可知∶一个小正方形的面积是1，所以5个小正方形的面积和为5， 即大正方的面积为5， ∵边长边长面积， ∴边长， 故拼成的正方形的面积为5和边长为； （2）解：根据大正方形的面积为，每个小正方形的面积为1， ∴共需要10个小正方形； 故答案：10． 压轴题型二、与立方根有关的规律探索 1．（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期中）（1） 填表： 0.000001 0.001 1 1000 1000000 （2） 由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律． （3） 根据你发现的规律填空： 已知，，则_______，_______，________，_________． 【答案】 （1） 填表如下：                          0.000001 0.001 1 1000 1000000 0.01 0.1 1 10 100 （2）被开方数的小数点向左或向右移动三位，它的立方根的小数点就向左或向右移动一位．或者：被开方数扩大或缩小千倍，它的立方根就扩大或缩小十倍； （3）14.42，0.03107，31.07，0.1442 【分析】本题考查立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键． （1）根据立方根的定义进行计算即可求解； （2）由于被开方数的小数点每移动三位，相应的立方根的小数点移动一位，由此即可解决问题； （3）被开方数的小数点每移动3位，立方根的小数点就按同方向移动1位．利用此规律即可求解． 【详解】解：（1）略 （2） 由上可以发现：被开方数的小数点向左或向右移动三位，它的立方根的小数点就向左或向右移动一位．或者：被开方数扩大或缩小千倍，它的立方根就扩大或缩小十倍．        （3） 根据你发现的规律填空： 已知，， 则， ， ， ， 故答案为：14.42，0.03107，31.07，0.1442． 2．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中 式子 …… …… 结果 …… …… 根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案： (1) (2)若，则 参考值：，  ，   【答案】(1) (2)6180 【分析】本题主要考查了立方根的性质： （1）根据表格可得被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位，即可求解； （2）根据（1）中的规律解答即可． 【详解】（1）解：完成表格，如下： 式子 …… …… 结果 …… 6 60 …… 由此发现，被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位； ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴． 故答案为：6180． 3．（24-25七年级下·江西上饶·期末）观察下表，并解决问题． a 0.0004 0.04 4 400 40000 0.02 0.2 2 20 200 (1)根据上表，可以得到被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位． (2)已知，，则______． (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根，已知，，，则______． 【答案】(1)一 (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索、算术平方根、立方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据表格中的数据总结规律即可； （2）根据所得规律即可求得答案； （3）由题意并结合被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律可得立方根的规律，从而求得答案． 【详解】（1）解：由表格数据可得：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位； （2）解：∵， ∴； （3）解：由题意并结合被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律可得：若被开立方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位； ∵， ∴． 4．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 【答案】（1）0.02，0.2，2，20；（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；（3）①12和13之间；②12.26；③需要大约9.02平方米的铁皮 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）利用立方根的定义填表即可； （2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （3）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】解：（1）填表如下： a 0.000008 0.008 8 8000 0.02 0.2 2 20 （2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位； （3）①， ， 介于整数12和13之间； ②， ； ③设正方体的棱长为a米，则， 由②知， ； ， （平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮． 5．（25-26七年级下·山东临沂·期末）小明在学完立方根后，不知道如何在不使用计算器的情况下求出的立方根．同桌小华提醒他可以按照教材上数学家华罗庚的方法口算立方根，于是他们进行了下面的探究： ①首先进行估算：因为，，，所以，所以能确定是两位数． ②其次观察立方数：，，，，，，，，．由的个位上的数是，，确定的个位上的数是． ③接着划去后面的三位得到数，而，，，所以，所以，所以的十位上的数是，于是得到，即的立方根是． 请你根据小明和小华探究的方法完成下列问题： (1)填空：的立方根是一个______位数，其个位上的数是_______； (2)根据上面的步骤，请计算的立方根，并书写详细过程． 【答案】(1)两， (2)解：． 详细过程如下： ，，， ， 的立方根是一个两位数， 由的个位上的数是，，可得的个位数为， 接着划去后面的三位得到数，而，，则， ， ， ， 的十位上的数是，结合其个位上的数是，于是得到， 即的立方根是． 【分析】（1）类比材料中的解法步骤①②求解即可； （2）类比材料中的解法步骤①②③求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， 的立方根是一个两位数， 由的个位上的数是，，可得的个位数为； （2）略 压轴题型三、新定义下的实数运算 1．（26-27八年级上·辽宁铁岭·阶段检测）在数学探究活动中，我们定义一种“齐整数组”：数组中，为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“齐整数组”．例如，数组，计算可得，所以它是“齐整数组”． (1)判断：_________“齐整数组”，_________“齐整数组”（填“是”或“不是”）： (2)若为“齐整数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为，求的值． 【答案】(1)是；不是 (2)或 【分析】（1）根据“齐整数组”的定义计算后再判断即可； （2）分两种情况根据“齐整数组”的定义计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴是“齐整数组”； ∵，则不是整数， ∴不是“齐整数组”； （2）解：∵为“齐整数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为， ∴或， ∴或， 解得：或， 即的值为或． 2．（25-26七年级下·山东德州·阶段检测）定义：把形如与为有理数且，为正整数且开方开不尽的两个实数称为共轭实数． (1)请你举出一对共轭实数：_________________； (2)与______共轭实数，与______共轭实数；在横线上填“是”或“不是” (3)共轭实数，是有理数还是无理数？为什么？ (4)【变式】若有理数，满足，则______． (5)你发现共轭实数与的和、差有什么规律？ 【答案】(1) 与 (2)不是；是 (3) 共轭实数， 是无理数，理由如下： ∵是开方开不尽的数， ∴无理数，而是不等于0的有理数， ∴是无理数，有理数加上或减去一个无理数，其结果仍是无理数； (4) (5)共轭实数 与 的和是一个有理数，它们的差是一个无理数 【分析】本题考查的是实数的运算，掌握新概念是解决此题关键． （1）根据题意写出一对共轭实数即可； （2）利用新定义判断即可； （3）根据新定义得共轭实数是无理数； （4）由得，然后根据有理数、无理数的概念即可得到答案； （5）根据实数的运算计算即可． 【详解】（1）解：与 是一对共轭实数， 故答案为：与（答案不唯一）； （2）与 不是共轭实数， 与 是共轭实数， 故答案为：不是，是； （3）解：略． （4）解：由得， ∵a、为有理数， ∴为有理数， ∴必为有理数方能与相等，而为有理数， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：4； （5）解：， ， ∴共轭实数 与 的和是一个有理数，它们的差是一个无理数 ． 3．（25-26七年级下·山东济宁·期中）阅读下面文字，然后解答问题． 给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个实数的最大整数，这个实数的小数部分为这个实数与它的整数部分差的绝对值．例如：2.4的整数部分为2，小数部分为0.4；的整数部分为1，小数部分可用表示；-2.6的整数部分为-3，小数部分为．由此我们得到一个真命题： 如果，其中是整数，且，那么，． (1)如果，其中是整数，且，那么______，______； (2)如果，其中是整数，且，那么______，______； (3)在（1）（2）的条件下，求的立方根． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）估算出2＜＜3，即可确定a，b的值； （2）估算出2＜＜3，可得﹣3＜﹣＜﹣2，即可确定c，d的值； （3）由（1）（2）的结果，直接代入所求式子即可． 【详解】（1）解：∵＝a+b，其中a是整数，且0＜b＜1， 又∵2＜＜3， ∴a＝2，b＝﹣2， 故答案为：2，﹣2； （2）解：∵﹣＝c+d，其中c是整数，且0＜d＜1， 又∵﹣3＜﹣＜﹣2， ∴c＝﹣3，d＝3﹣， 故答案为：﹣3，3﹣； （3）解： ． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，实数的混合运算，解题关键是确定无理数的整数部分． 4．（25-26七年级下·广西百色·期中）【阅读与思考】大家知道圆周率是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，因为的整数部分是3，于是小宇用表示的小数部分．又例如：因为，即可得，所以的整数部分为2，小数部分为（说明：对于实数x，其整数部分的定义是不大于x的最大整数；小数部分大于0且小于1），请解答下列问题． (1)的整数部分是_______，小数部分是________； (2)设的整数部分为，的小数部分为，求的值； (3)已知是正整数，是一个无理数，且表示的小数部分． ①求m的取值范围； ②当m是8的倍数时，且，求的值． 【答案】(1) ， (2) (3) 且为整数； 【分析】（1）估算的范围后求解即可； （2）估算和，求出和的值后代入运算即可； （3）①根据题意可得的整数部分是7，即可得到；②根据是8的倍数，结合①可得，代入，求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是3，小数部分是； （2）解：，即， 的整数部分是， ∴， ，即， 的整数部分是，小数部分为，即， ； （3）解：①∵是正整数，是一个无理数，且表示的小数部分， ∴的整数部分是7， ∴且为整数； ②是8的倍数，且， ， ， ， ． 5．（26-27八年级上·甘肃平凉·阶段检测）我们知道可以写成的形式，所以我们把叫做完全平方式．类似的，我们作出如下定义：对于正整数，因为，所以我们把叫做“完全平方根式”． (1)下列各式中是“完全平方根式”的有______； ①②③ (2)利用“完全平方根式”化简：； (3)已知（，且为正整数），是“完全平方根式”，当的值最小时，求出这个最小值． 【答案】(1)①③ (2) (3)最小值为 【分析】（1）将式子的常数项合并，验证是否存在正整数使得常数项为，带根号项为； （2）把根号内的式子转化为完全平方根式，利用二次根式的性质开方化简； （3）由完全平方根式的定义得出，列举正整数解，通过比较的大小得到最小值． 【详解】（1）解：根据“完全平方根式”的定义，若式子可表示为（为正整数）， 则为完全平方根式， ①，取，满足，，是完全平方根式； ②，若，则，不是正整数，故不是完全平方根式； ③，取，满足，，是完全平方根式． （2）解：∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴原式． （3）解：∵是完全平方根式，且为正整数，带根号项为正， ∴存在正整数，使得， 根据等式两边有理数部分与无理数部分分别相等， 可得 ，， 由，可得，即， ∵， ∴要使A最小，需使最小， ∵，为正整数， ∴可能的正整数对为， 分别计算：当时，； 当时，； 当时，． ∵，，， 且， ∴， 又∵当时，，存在正整数满足条件（如），符合题意， ∴A的最小值为． 压轴题型四、平方根和立方根的综合应用 1．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）小丽手中有块长方形的硬纸片，若将该硬纸片的长减少5cm，宽增加4cm，就成为一个正方形硬纸片，并且这两个图形的面积相等． (1)求这块长方形的硬纸片的长、宽各是多少？ (2)现小丽想用这块长方形的硬纸片，沿着边的方向裁出一块长与宽的比为3：2，面积为360cm2的新长方形纸片，请判断小丽能否裁出，并说明理由． 【答案】(1)这个长方形的长、宽分别是25cm，16cm (2)小丽能裁出 【分析】（1）根据长方形、正方形的概念以及面积公式列出方程组，解方程组即可； （2）根据长方形的面积公式列出方程，根据实际情况判断即可． 【详解】（1）设长方形的长为xcm，宽为ycm， 则， 解得，， 答：这个长方形的长、宽分别是25cm，16cm； （2）小丽能裁出． 设裁出的长为3acm，宽为2acm， 则3a⋅2a＝360， 解得，a2， ∴裁出的长为325cm，宽为2416cm， ∴小丽能． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，正确列出方程组、掌握解方程组的一般步骤是解题的关键． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图1，把方格（每个小正方形边长为）划分成四个直角三角形，然后拼成图． (1)图2中，中间小正方形的面积为多少？ (2)求图2中整个大正方形的边长． 【答案】(1)中间小正方形的面积为4 (2)图2中整个大正方形的边长为 【分析】本题考查了算术平方根的应用，正确理解题意、掌握求解的方法是关键； （1）由题意可得，四个直角三角形的每条长直角边长为4，短直角边长为2，故中间小正方形的边长为2，进而可得小正方形的面积； （2）图2中大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积，再求出边长即可． 【详解】（1）解：由题意可得，四个直角三角形的每条长直角边长为4，短直角边长为2， 所以中间小正方形的边长为， 所以中间小正方形的面积为； （2）解：图2中大正方形的面积， 所以图2中整个大正方形的边长． 3．（25-26八年级上·河北邢台·期中）嘉淇计划用一张如图所示的面积为的正方形纸片沿边的方向裁一个长方形． (1)求这个正方形纸片的边长． (2)若根据实际需要，长方形的长与宽之比为，且面积为，问能否裁出这样的长方形？判断并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：不能裁出这样的长方形； 理由：设长方形纸片的长为，宽为，则， 解得， 则， 所以沿此正方形纸片的边的方向裁一个长方形，不能使裁出的长方形纸片的长与宽之比为，且面积为． 【分析】本题主要考查了算术平方根与平方根的应用，理解算术平方根和平方根的定义是正确解答的前提． （1）直接开平方求解即可； （2）设长方形纸片的长为，宽为，由题意可得，求解出x的值，即可求解出此时的长方形的长，由（1）可知正方形纸片的边长，进而比较即可判断． 【详解】（1）解：正方形纸片的面积为， 正方形纸片的边长是； （2）略 4．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）（1）填空 ①由可以确定是___________位数； ②由19683的个位上的数是3，可以确定的个位上的数是___________； ③如果划去19683后面的三位数683得到19，而，由此可以确定的十位上的数是___________；最后就可以求出的值了． （2）已知59319是一个数的立方数，按照上述方法，求59319的立方根． 【答案】（1）两，7，2；（2）39 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解答本题的关键． （1）①由19683大于1000而小于1000000，即可确定59319的立方根是2位数； ②根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数，据此即可确定；，即可确定答案； ③运用数立方的计算方法计算即可； （2）首先根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数确定个位数，然再确定十位数即可解答． 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∴是两位数； 故答案为：两； ②∵一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数 ∴的个位数为7； 故答案为7； ③∵， ∴， ∴的十位上的数是2， 故答案为2； （2）由，可以确定是两位数； 由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是9； 如果划去59319后面的三位数319得到59，而， 由此可以确定的十位上的数是3； 所以． 5．（24-25八年级上·吉林长春·阶段检测）【知识回顾】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．图1中阴影部分的面积能解释的乘法公式为______；图2中阴影部分的面积能解释的乘法公式为______． 【拓展探究】用4个全等的长和宽分别为a、b的长方形拼摆成一个如图3的正方形． （1）通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，之间的等量关系． （2）若，求的值． 【解决问题】如图4，是线段上的一点，分别以为边向两边作正方形和，设，两正方形的面积和为20，求的面积． 【答案】知识回顾：，；拓展探究：（1）；（2）；解决问题：4 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积、平方根，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 知识回顾：根据图1和图2中阴影部分的面积的两种计算方法即可得； 拓展探究：（1）根据图3中阴影部分的面积的两种计算方法：方法一：图3中阴影部分的面积等于边长为的正方形的面积，方法二：图3中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小长方形的面积，由此即可得； （2）根据（1）的结论可求出的值，再计算平方根即可得； 解决问题：设正方形和的边长分别为，则，从而可得，再利用完全平方公式求出的值，然后利用直角三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：知识回顾：图1中阴影部分的面积有两种方法计算，方法一：直接利用正方形的面积公式计算为；方法二：两个小正方形与两个小长方形的面积之和，即， 所以图1中阴影部分的面积能解释的乘法公式为； 图2中阴影部分的面积有两种方法计算，方法一：直接利用正方形的面积公式计算为；方法二：利用大正方形的面积减去两个小长方形的面积，再加上一个小正方形的面积，即， 所以图2中阴影部分的面积能解释的乘法公式为； 故答案为：，． 拓展探究：（1）方法一：图3中阴影部分的面积等于边长为的正方形的面积，即为， 方法二：图3中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小长方形的面积，即为， 所以． （2）∵， ∴， ∴． 解决问题：设正方形和的边长分别为，则， ∵，两正方形的面积和为20， ∴， ∴， ∴的面积为． 压轴题型五、与实数运算相关的规律题 1．（26-27八年级上·全国·课后作业）观察下列等式： ， (1)设n为大于1的整数，用含n的等式表示上述规律； (2)证明你得到的结论． 【答案】(1)（为大于的整数）． (2)证明： ∵ 为大于的整数 ∴ 左边 右边 ∴ 左边右边，等式成立． 【分析】（1）观察等号左边整数、根号内分子相同，分母是整数平方减 1；右边是带分数，整数、分子和左边一致，分母不变． （2）利用公式，把根号外的放进根号里，化简后和右边带分数化成假分数的结果对比． 【详解】（1）观察： ，分母， ，分母， ，分母， 所以当，为整数， （2）证明过程：略 2．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）观察下列等式：第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；第4个等式为：，…．根据等式所反映的规律，解答下列问题： (1)第5个等式为______； (2)猜想：第个等式为______（为正整数）； (3)根据你的猜想，计算：． 【答案】(1) (2) (3)40 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化和规律探究，找到规律是解题的关键； （1）根据已知的等式找到规律即可解答； （2）根据（1）等式规律即可解答； （3）根据（2）的规律将每一项变形后再计算加减即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式为：； 第2个等式为：； 第3个等式为：； 第4个等式为：， ∴第5个等式是； 故答案为：． （2）解：由（1）题的等式规律可得：第个等式为（为正整数）； 故答案为：； （3）解： ． 3．（25-26八年级下·安徽池州·期末）阅读下列解题过程： ①； ②； ③； …… (1)请写出第④个等式：____________； (2)猜想：=______；（为正整数，填最后结果） (3)根据你所发现的规律，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用算术平方根的意义解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可． 【详解】（1）略 （2）解：理由如下： ； （3）解：原式． 4．（25-26八年级上·河北保定·阶段检测）先观察下列等式，再回答问题． ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想______． (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用的式子表示的等式：______ (3)对任何实数，用表示不超过的最大整数，如，，计算 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义，数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键． （1）观察可知两个连续的正整数的平方的倒数之和加上1的算术平方根等于1加上较小的正整数的倒数减去较大正整数的倒数，据此求解即可； （2）根据（1）的规律可得答案； （3）根据（1）（2）的规律把所求式子裂项计算，再根据新定义可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：①； ②； ③； ……， 以此类推，可知； （3）解： ． 5．（25-26七年级下·辽宁抚顺·期末）拓展探究题：复数的乘方规律探究 【阅读材料】 ，则的平方根为； ，则的平方根为． 在实数范围内，负数没有平方根．数学家引入新数，规定，拓展出复数范围． 举例：，则的平方根为； 观察的乘方运算： ，，，，，，… 【发现规律】 (1)求的平方根； 【规律应用】 (2)计算的值； (3)计算的值； 【规律拓展】 (4)简便计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据阅读材料，即可解决； （2）先确定循环周期为4，将指数2027除以4求得余数为3，可知，即可求解； （3）先算一个周期的和为0，再用总项数2027除以4得到506个周期余3项，可知剩余项为，根据总和＝周期和×周期数＋剩余项和，即可求解； （4）先确定总项数为12，再用总项数12除以4得到3个完整周期，根据每个周期的和为0 ，即可求解． 【详解】（1）解：，则的平方根为； （2）解：∵，，，，，，… ∴循环周期为4， ∴， ∴， （3）解：∵一个周期内4项和为：，且从到共2027项， ∴， ∴， ， ， ， ； （4）解：∵从到共项， ∴， ∴． 压轴题型六、分母有理化的综合应用 1．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）观察下列各式： ①， ②， ③， ④， …… (1)请用含（是正整数且）的式子写出你猜想的规律； (2)求证：． 【答案】(1) (2) 证明：∵（是正整数且）， ∴ ； ， ∴． 【分析】本题主要考查了分母有理化，简单的规律探索： （1）观察所给式子可知，左边式子化简的结果为分母中大数减小数，即； （2）根据（1）的规律先把式子左边裂项化简得到，再把分母有理化即可证明结论． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， ……， 以此类推可知； （2） 略 2．（26-27八年级上·安徽宿州·阶段检测）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解的： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)观察上面解答过程，请写出__________； (2)若，请按照小明的方法求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把分母有理化即可； （2）按照小明的方法，先把分母有理化，再两边同时平方可得：，等式两边同时乘以a可得：，然后利用整体代入法求出代数式的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ，即， ， ， ， ． 3．（26-27八年级上·四川内江·阶段检测）阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：． 小明利用上述材料内容解决了问题：已知，求的值． ∴，∴，∴即， ∴，∴， 请你利用上述内容，解答下列问题： (1)与____互为有理化因式，将分母有理化得_______； (2)根据上面的规律，计算下列式子的值： ． (3)，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据有理化因式的定义写出式子，并计算，看看是否符合条件；将分母有理化，分子分母同乘，化简即可； （2）先将每个分式进行分母有理化，发现分母都为，分子可相加减，计算后得，再与相乘，用平方差公式计算即可； （3）将进行分母有理化得出，再根据需要找到，，，便于进行降次计算，代入目标多项式化简计算即可． 【详解】（1）解：∵，不含根号， ∴与互为有理化因式， 将分母有理化得； （2）解： ； （3）解：将进行分母有理化得， ， ∴， 两边平方得， ， ， ， 则， ， ∴ ． 4．（26-27八年级上·福建三明·阶段检测）【知识链接】 1．有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．例如：的有理化因式是，的有理化因式是． 2．分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的． 如： ． ． 【知识理解】 (1)填空：的有理化因式是________； (2)计算：①；②； 【启发运用】 (3)计算： 【答案】(1) (2)①；② (3) 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是； （2）解：① ； ② ； （3）解：原式 ． 5．（25-26八年级下·北京·期中） 材料阅读： 两个不等于0的根式的积不含根式，则称这两个根式互为共轭根式．例如：与，与，与，共轭根式的一个特点是通过相乘能把根号去掉． 在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的式子，对这类式子进行分母有理化，可以通过分子和分母同时乘以分母的共轭根式实现．例如，，中分母的共轭根式分别为，，则∶ ；． 解决问题： (1)分母有理化： (2)分母有理化： (3)应用：光学中的焦距．在光学中，凸透镜成像公式为：，其中为焦距，为物距，为像距．已知某凸透镜的物距，像距，求该凸透镜的焦距． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）给的分子分母同乘以即可解答； （2）给的分子分母同乘以即可解答； （3）将、代入，再进行分母有理化，然后再计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：将、代入得： ， ， ． 答：该凸透镜的焦距． 压轴题型七、二次根式的综合应用 1．（25-26八年级下·山西朔州·期中）现有一块长为，宽为的长方形木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是和的正方形木板？请说明理由． 【答案】 解：能．理由如下： ． ∵， ∴，． 所以能够在这块木板上截出两个面积分别是和的正方形木板． 【分析】先求得两个正方形木板的边长分别为，，再比较大正方形木板的边长与的大小及两个正方形木板边长的和与的大小． 【详解】略 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，已知长方体的体积为，长为，宽为． (1)求这个长方体的高； (2)求这个长方体的表面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了长方体的体积以及表面积公式，二次根式混合运算的应用． （1）根据长方体的体积公式，即可求出高； （2）根据长方体的表面积公式求解即可． 【详解】（1）解：这个长方体的高 ； （2）解：表面积为． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，长方形的长和宽的长度比为，面积为． (1)求长方形的长和宽； (2)求此长方形内沿着边并排最多能裁出多少个面积为的圆形纸片？ 【答案】(1)长方形的长为，宽为 (2)最多能裁出3个 【分析】本题考查了二次根式的计算、无理数的估算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据长方形的面积列方程即可； （2）先求出圆形纸片的直径，再根据无理数的估算即可求解． 【详解】（1）解：设长方形的长为，则宽为， ∴有， ， ， 解得：（负值舍去）， ∴长方形的长为，宽为； （2）解：设圆形纸片的半径为， 则有， ， 解得：（负值舍去）， ∴圆形纸片的直径为， ∵，， ∴， ∴最多能裁出3个． 4．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）李师傅家的电视背景墙是长方形形状，如图，，，中间要镶一个长为，宽为的大理石图案（阴影部分）． (1)矩形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，若壁布造价为元/，大理石的造价为元/，则整个电视墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）先化简二次根式，再用长方形周长公式计算； （2）分别计算总面积、大理石面积和壁布面积，再根据造价算出总花费． 【详解】（1）解：，， 长方形的周长是． （2）解：根据题意，电视背景墙的面积为， 大理石图案的面积为， 则需要贴壁布的面积为， 故整个电视墙需要花费（元）． 5．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）现有两块同样大小的长方形木板①②，甲木工采用如图①所示的方式，在长方形木板①上截出两个面积分别为和的正方形木板，． (1)图①截出的正方形木板的边长为______，的边长为______； (2)求图①中阴影部分的周长； (3)乙木工想采用如图②所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 解：不能截出； 理由：，， ∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为． 由（2）可得长方形木板的长为，宽为． ∵，但， ∴不能截出． 【分析】（1）根据正方形的面积，即可求出边长； （2）先求出阴影部分的长和宽，根据长方形周长公式即可求解； （3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：∵正方形木板A的面积为，正方形木板B的面积为， ∴正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为， （2）解：∵正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为， ∴阴影部分宽为， ∴阴影部分周长为， （3）略 $期中重难点特训之易错压轴专项训练（17易错+7压轴） 学科网（北京）股份有限公司 易错题型一、求二次根式的值 易错题型二、近似数 易错题型三、用科学记数法表示 易错题型四、求一个数的算术平方根计算 易错题型五、求一个数的平方根计算 易错题型六、求一个数的立方根计算 易错题型七、求一个数方根的非负性解题 易错题型八、利用平方根解方程 易错题型九、无理数的大小估算 易错题型十、实数与数轴 易错题型十一、无理数整数部分的有关计算 易错题型十二、求二次根式中的参数 易错题型十三、同类二次根式 易错题型十四、分母有理化 易错题型十五、二次根式的化简求值运算 易错题型十六、二次根式的混合运算 易错题型十七、实数的混合运算 压轴题型一、与算术平方根有关的规律探索题 压轴题型二、与立方根有关的规律探索 压轴题型三、新定义下的实数运算 压轴题型四、平方根和立方根的综合应用 压轴题型五、与实数运算相关的规律题 压轴题型六、分母有理化的综合应用 压轴题型七、二次根式的综合应用 易错题型一、求二次根式的值 1．（25-26八年级上·山西晋城·阶段检测）当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）当时，二次根式的值为 __． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）当时，求二次根式的值． 易错题型二、近似数 4．（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）用四舍五入法，把精确到十分位，取得的近似数（   ） A．4 B． C． D． 5．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）数字_______（用四舍五入法精确到十分位）． 6．（26-27八年级上·全国·课后作业）按括号里的要求用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)579.56（精确到十分位）； (2)0.0040783（精确到0.0001）； (3)8.973（精确到0.1）； (4)692547（精确到十位）； (5)48378（精确到千位）； (6)（精确到千位）． 易错题型三、用科学记数法表示 7．（26-27八年级上·福建莆田·阶段检测）《西游记》是中国古典四大名著之一，通行本字数约为字．将用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 8．（2026八年级上·上海松江·专题练习）全球每年大约有立方米的水从海洋和陆地转化为大气中的水蒸气，将科学记数法表示的数还原为原数是__________ 9．（2026七年级下·全国·专题练习）某种原子的质量为． (1)请用科学记数法表示这个数． (2)科学上把这个数量的定为1个原子质量单位，并用u来表示．请用科学记数法把u表示出来． 易错题型四、求一个数的算术平方根计算 10．（25-26七年级下·黑龙江绥化·期末）在下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 11．（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）已知是9的算术平方根，则的值为____． 12．（26-27八年级·上海·暑假作业）化简： (1)； (2)； (3)． 易错题型五、求一个数的平方根计算 13．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）25的平方根是（     ） A． B．5 C． D． 14．（26-27八年级上·上海长宁·阶段检测）的算术平方根是____________；的平方根为____________． 15．（25-26七年级下·福建福州·期中）已知一个正数a的两个平方根分别是和． (1)求x的值； (2)求的平方根． 易错题型六、求一个数的立方根计算 16．（25-26七年级下·甘肃定西·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 17．（25-26八年级下·上海·期中）方程的实数解是______． 18．（25-26七年级下·山东济宁·期中）求下列各式中的值： (1)； (2)． 易错题型七、求一个数方根的非负性解题 19．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）若，则（     ） A． B．0 C．1 D．2 20．（2026·安徽阜阳·二模）若式子有意义，则的取值范围是_______． 21．（26-27八年级上·上海长宁·阶段检测）已知，求的值． 易错题型八、利用平方根解方程 22．（25-26七年级下·河北保定·期末）已知，则的值是（　　） A．3 B． C． D．或3 23．（24-25七年级下·北京·期中）若，则___________；若，则___________． 24．（25-26七年级下·山东临沂·期中）解方程（组） (1) (2)． 易错题型九、无理数的大小估算 25．（2026·山东德州·模拟预测）下列实数中比小的是（     ） A． B． C． D．0 26．（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）（1）的平方根是__________，（2）比较大小：__________1（填“”“”或“＝”）． 27．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各数分别介于哪两个相邻的整数之间？ (1)； (2)； (3)． 易错题型十、实数与数轴 28．（25-26八年级下·广东河源·期末）如图，实数在数轴上的对应点分别为，则下列大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 29．（2026·陕西铜川·一模）如图，在数轴上，点A表示，点B与点A分别位于原点的两侧，且与原点的距离相等，则点B表示的数是___________． 30．（24-25七年级下·广东韶关·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求m的值； (2)求的值． 易错题型十一、无理数整数部分的有关计算 31．（24-25七年级下·山东临沂·期中）若整数满足，，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．无法确定 32．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）若的整数部分为，小数部分为，则______． 33．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）阅读下列材料： ∵ ，即：； ∴ 的整数部分为1，小数部分为． 请根据材料提示，进行解答： (1)的整数部分是________，小数部分是_________； (2)若，其中：a是整数，．求的值． 易错题型十二、求二次根式中的参数 34．（25-26八年级上·河北衡水·阶段检测）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．7 35．（25-26八年级上·甘肃天水·阶段检测）计算：如果，那么___________；___________． 36．（25-26七年级下·福建福州·期中）阅读材料并解决下列问题： 已知a、b是有理数，并且满足等式5﹣﹣a，求a、b的值． 解：∵5﹣﹣a 即5﹣ ∴2b﹣a＝5，﹣a＝ 解得：a＝﹣ （1）已知a、b是有理数，并且满足等式﹣1，则a＝　 　，b＝　 　． （2）已知x、y是有理数，并且满足等式x+x+18，求xy的平方根． 易错题型十三、同类二次根式 37．（25-26八年级下·广东汕头·期中）最简二次根式与可以合并，则（    ） A．48 B．12 C．6 D．3 38．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则_______． 39．（25-26八年级上·四川乐山·期末）若最简二次根式和是同类二次根式，求的值． 易错题型十四、分母有理化 40．（25-26八年级上·上海长宁·阶段检测）下列各选项中，的有理化因式是（    ） A． B． C． D． 41．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）在进行二次根式化简时，有时会遇到形如这样的式子，我们可以用如下的方法将其进一步化简：，这种方法叫做分母有理化；请仿照上述过程，将代数式化简为________． 42．（25-26八年级上·福建三明·期中）阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 比如：． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，． 因为，所以，． 再例如，求的最大值、做法如下： 解：由，可知，而． 当时，分母有最小值．所以的最大值是． 利用上面的方法，解决下面各题： (1)由材料可知，___________； (2)比较和的大小； (3)求的最大值． 易错题型十五、二次根式的化简求值运算 43．（25-26八年级下·广东汕尾·期末）已知，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 44．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知x，y为正整数，，求_______． 45．（25-26八年级上·山东菏泽·阶段检测）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵． ∴． ∴，即． ∴，∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：______； (2)计算：； (3)若，求的值． 易错题型十六、二次根式的混合运算 46．（25-26八年级上·福建漳州·期中）下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 47．（25-26八年级上·山东泰安·期末）设实数的整数部分为a，小数部分为b，则_______ 48．（25-26八年级下·山东淄博·期中）阅读材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ∵， 又∵， ∴． 这种方法称为“构造对偶式”． 解答问题： (1)已知，试证明为定值． (2)已知，求的值． 易错题型十七、实数的混合运算 49．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，数轴上 、 两点表示的数分别是 1 和 ，点 关于点 的对称点是 ，则点 所表示的数是（    ） A． B． C． D． 50．（25-26七年级下·福建厦门·期中）若，则，其中m的值为_________． 51．（25-26七年级下·北京朝阳·阶段检测）计算：； 压轴题型一、与算术平方根有关的规律探索题 1．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算＝ ；＝ ． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律： ． (3)计算：． 2．（26-27八年级上·广东梅州·阶段检测）按要求解答 (1)填表： 0 …                1 100 10 000 … 0 …           1 100 … (2)规律归纳： ①若正数的小数点向左（或右）移动 位，则的小数点就相应地向 移动 位； ②当时，若正数越大，则 ． (3)尝试运用：已知， ，求的值． 3．（25-26七年级下·广西崇左·期末）【问题情境】数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探究规律： ； ； ； 【实践探究】 (1)计算：________，________； (2)按照你所发现的规律，猜想：________（为正整数）； 【迁移应用】 (3)计算：． 4．（25-26七年级下·湖北荆门·期末）在第《实数》的复习课上，张老师鼓励学生对下面一个问题展开探究活动， 【观察思考】仔细观察下列等式特征，探索规律， 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…… (1)【规律发现】_____； (2)用含字母n的式子表示第n个等式：______（且n为整数）； (3)【规律应用】计算：______； (4)若符合上述规律，则x的值为______． 5．（24-25七年级下·广西北海·期末）【课本再现】 小明用一些小正方形纸片做拼、剪构造大正方形游戏： 他把两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形，按如图1拼在一起，就得到了一个边长为的大正方形． 【深度思考】 于是，他发现若把5个边长为1的正方形如图2摆放，再将这个图形按图3的方式剪裁，拼成图4，得到一个大正方形． (1)求拼成的正方形的面积和边长． (2)若要把个小正方形按上述方法拼成边长为的大正方形，则______________． 压轴题型二、与立方根有关的规律探索 1．（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期中）（1） 填表： 0.000001 0.001 1 1000 1000000 （2） 由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律． （3） 根据你发现的规律填空： 已知，，则_______，_______，________，_________．    2．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中 式子 …… …… 结果 …… …… 根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案： (1) (2)若，则 参考值：，  ，   3．（24-25七年级下·江西上饶·期末）观察下表，并解决问题． a 0.0004 0.04 4 400 40000 0.02 0.2 2 20 200 (1)根据上表，可以得到被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位． (2)已知，，则______． (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根，已知，，，则______． 4．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 5．（25-26七年级下·山东临沂·期末）小明在学完立方根后，不知道如何在不使用计算器的情况下求出的立方根．同桌小华提醒他可以按照教材上数学家华罗庚的方法口算立方根，于是他们进行了下面的探究： ①首先进行估算：因为，，，所以，所以能确定是两位数． ②其次观察立方数：，，，，，，，，．由的个位上的数是，，确定的个位上的数是． ③接着划去后面的三位得到数，而，，，所以，所以，所以的十位上的数是，于是得到，即的立方根是． 请你根据小明和小华探究的方法完成下列问题： (1)填空：的立方根是一个______位数，其个位上的数是_______； (2)根据上面的步骤，请计算的立方根，并书写详细过程． 压轴题型三、新定义下的实数运算 1．（26-27八年级上·辽宁铁岭·阶段检测）在数学探究活动中，我们定义一种“齐整数组”：数组中，为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“齐整数组”．例如，数组，计算可得，所以它是“齐整数组”． (1)判断：_________“齐整数组”，_________“齐整数组”（填“是”或“不是”）： (2)若为“齐整数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为，求的值． 2．（25-26七年级下·山东德州·阶段检测）定义：把形如与为有理数且，为正整数且开方开不尽的两个实数称为共轭实数． (1)请你举出一对共轭实数：_________________； (2)与______共轭实数，与______共轭实数；在横线上填“是”或“不是” (3)共轭实数，是有理数还是无理数？为什么？ (4)【变式】若有理数，满足，则______． (5)你发现共轭实数与的和、差有什么规律？ 3．（25-26七年级下·山东济宁·期中）阅读下面文字，然后解答问题． 给出定义：一个实数的整数部分是不大于这个实数的最大整数，这个实数的小数部分为这个实数与它的整数部分差的绝对值．例如：2.4的整数部分为2，小数部分为0.4；的整数部分为1，小数部分可用表示；-2.6的整数部分为-3，小数部分为．由此我们得到一个真命题： 如果，其中是整数，且，那么，． (1)如果，其中是整数，且，那么______，______； (2)如果，其中是整数，且，那么______，______； (3)在（1）（2）的条件下，求的立方根． 4．（25-26七年级下·广西百色·期中）【阅读与思考】大家知道圆周率是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，因为的整数部分是3，于是小宇用表示的小数部分．又例如：因为，即可得，所以的整数部分为2，小数部分为（说明：对于实数x，其整数部分的定义是不大于x的最大整数；小数部分大于0且小于1），请解答下列问题． (1)的整数部分是_______，小数部分是________； (2)设的整数部分为，的小数部分为，求的值； (3)已知是正整数，是一个无理数，且表示的小数部分． ①求m的取值范围； ②当m是8的倍数时，且，求的值． 5．（26-27八年级上·甘肃平凉·阶段检测）我们知道可以写成的形式，所以我们把叫做完全平方式．类似的，我们作出如下定义：对于正整数，因为，所以我们把叫做“完全平方根式”． (1)下列各式中是“完全平方根式”的有______； ①②③ (2)利用“完全平方根式”化简：； (3)已知（，且为正整数），是“完全平方根式”，当的值最小时，求出这个最小值． 压轴题型四、平方根和立方根的综合应用 1．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）小丽手中有块长方形的硬纸片，若将该硬纸片的长减少5cm，宽增加4cm，就成为一个正方形硬纸片，并且这两个图形的面积相等． (1)求这块长方形的硬纸片的长、宽各是多少？ (2)现小丽想用这块长方形的硬纸片，沿着边的方向裁出一块长与宽的比为3：2，面积为360cm2的新长方形纸片，请判断小丽能否裁出，并说明理由． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图1，把方格（每个小正方形边长为）划分成四个直角三角形，然后拼成图． (1)图2中，中间小正方形的面积为多少？ (2)求图2中整个大正方形的边长． 3．（25-26八年级上·河北邢台·期中）嘉淇计划用一张如图所示的面积为的正方形纸片沿边的方向裁一个长方形． (1)求这个正方形纸片的边长． (2)若根据实际需要，长方形的长与宽之比为，且面积为，问能否裁出这样的长方形？判断并说明理由． 4．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）（1）填空 ①由可以确定是___________位数； ②由19683的个位上的数是3，可以确定的个位上的数是___________； ③如果划去19683后面的三位数683得到19，而，由此可以确定的十位上的数是___________；最后就可以求出的值了． （2）已知59319是一个数的立方数，按照上述方法，求59319的立方根． 5．（24-25八年级上·吉林长春·阶段检测）【知识回顾】数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．图1中阴影部分的面积能解释的乘法公式为______；图2中阴影部分的面积能解释的乘法公式为______． 【拓展探究】用4个全等的长和宽分别为a、b的长方形拼摆成一个如图3的正方形． （1）通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，之间的等量关系． （2）若，求的值． 【解决问题】如图4，是线段上的一点，分别以为边向两边作正方形和，设，两正方形的面积和为20，求的面积． 压轴题型五、与实数运算相关的规律题 1．（26-27八年级上·全国·课后作业）观察下列等式： ， (1)设n为大于1的整数，用含n的等式表示上述规律； (2)证明你得到的结论． 2．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）观察下列等式：第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；第4个等式为：，…．根据等式所反映的规律，解答下列问题： (1)第5个等式为______； (2)猜想：第个等式为______（为正整数）； (3)根据你的猜想，计算：． 3．（25-26八年级下·安徽池州·期末）阅读下列解题过程： ①； ②； ③； …… (1)请写出第④个等式：____________； (2)猜想：=______；（为正整数，填最后结果） (3)根据你所发现的规律，计算：． 4．（25-26八年级上·河北保定·阶段检测）先观察下列等式，再回答问题． ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想______． (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用的式子表示的等式：______ (3)对任何实数，用表示不超过的最大整数，如，，计算 的值． 5．（25-26七年级下·辽宁抚顺·期末）拓展探究题：复数的乘方规律探究 【阅读材料】 ，则的平方根为； ，则的平方根为． 在实数范围内，负数没有平方根．数学家引入新数，规定，拓展出复数范围． 举例：，则的平方根为； 观察的乘方运算： ，，，，，，… 【发现规律】 (1)求的平方根； 【规律应用】 (2)计算的值； (3)计算的值； 【规律拓展】 (4)简便计算：的值． 压轴题型六、分母有理化的综合应用 1．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）观察下列各式： ①， ②， ③， ④， …… (1)请用含（是正整数且）的式子写出你猜想的规律； (2)求证：． 2．（26-27八年级上·安徽宿州·阶段检测）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解的： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)观察上面解答过程，请写出__________； (2)若，请按照小明的方法求出的值． 3．（26-27八年级上·四川内江·阶段检测）阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：． 小明利用上述材料内容解决了问题：已知，求的值． ∴，∴，∴即， ∴，∴， 请你利用上述内容，解答下列问题： (1)与____互为有理化因式，将分母有理化得_______； (2)根据上面的规律，计算下列式子的值： ． (3)，求的值． 4．（26-27八年级上·福建三明·阶段检测）【知识链接】 1．有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．例如：的有理化因式是，的有理化因式是． 2．分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的． 如： ． ． 【知识理解】 (1)填空：的有理化因式是________； (2)计算：①；②； 【启发运用】 (3)计算： 5．（25-26八年级下·北京·期中） 材料阅读： 两个不等于0的根式的积不含根式，则称这两个根式互为共轭根式．例如：与，与，与，共轭根式的一个特点是通过相乘能把根号去掉． 在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的式子，对这类式子进行分母有理化，可以通过分子和分母同时乘以分母的共轭根式实现．例如，，中分母的共轭根式分别为，，则∶ ；． 解决问题： (1)分母有理化： (2)分母有理化： (3)应用：光学中的焦距．在光学中，凸透镜成像公式为：，其中为焦距，为物距，为像距．已知某凸透镜的物距，像距，求该凸透镜的焦距． 压轴题型七、二次根式的综合应用 1．（25-26八年级下·山西朔州·期中）现有一块长为，宽为的长方形木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是和的正方形木板？请说明理由． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，已知长方体的体积为，长为，宽为． (1)求这个长方体的高； (2)求这个长方体的表面积． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，长方形的长和宽的长度比为，面积为． (1)求长方形的长和宽； (2)求此长方形内沿着边并排最多能裁出多少个面积为的圆形纸片？ 4．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）李师傅家的电视背景墙是长方形形状，如图，，，中间要镶一个长为，宽为的大理石图案（阴影部分）． (1)矩形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，若壁布造价为元/，大理石的造价为元/，则整个电视墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 5．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）现有两块同样大小的长方形木板①②，甲木工采用如图①所示的方式，在长方形木板①上截出两个面积分别为和的正方形木板，． (1)图①截出的正方形木板的边长为______，的边长为______； (2)求图①中阴影部分的周长； (3)乙木工想采用如图②所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． $