期中重难点特训之易错压轴专项训练（15易错+6压轴）-2026-2027学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制）

期中重难点特训之易错压轴专项训练（15易错+6压轴） 学科网（北京）股份有限公司 易错题型一、同类项的判断 易错题型二、单项式的系数、次数 易错题型三、多项式的项、项数或次数 易错题型四、积的乘方运算 易错题型五、幂的混合运算 易错题型六、（x+p）（x+q）型多项式乘法 易错题型七、运用平方差公式完全平方公式进行运算 易错题型八、求完全平方式中的字母系数 易错题型九、提公因式法分解因式 易错题型十、整式的混合运算 易错题型十一、整式四则混合运算 易错题型十二、十字相乘法 易错题型十三、分组分解法 易错题型十四、多项式乘多项式——化简求值 易错题型十五、综合提公因式和公式法分解因式 压轴题型一、数字类规律探索 压轴题型二、图形类规律探索 压轴题型三、整式加减中整体思想问题 压轴题型四、乘法公式的几何应用 压轴题型五、多项式乘法中的规律性问题 压轴题型六、因式分解的应用 易错题型一、同类项的判断 1．（25-26七年级上·浙江台州·期末）下列各组代数式中，不是同类项的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（24-25七年级上·山东德州·期末）与___________是同类项（填一个符合要求的即可） 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）指出下列多项式中的同类项： (1)； (2)． 易错题型二、单项式的系数、次数 4．（25-26七年级上·山东潍坊·期末）若单项式的系数是，次数是，则的值是（   ） A． B．4 C． D． 5．（25-26七年级上·重庆大渡口·期末）单项式的系数是________． 6．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）指出下列各单项式的系数和次数． (1)； (2)． 易错题型三、多项式的项、项数或次数 7．（25-26七年级上·河北唐山·期末）下列多项式是关于的三次二项式的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）多项式的次数是____________． 9．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）已知是多项式的次数，是二次项系数的倒数，求的值． 易错题型四、积的乘方运算 10．（2026·河北唐山·模拟预测）若，则n的值为（     ） A． B． C． D． 11．（25-26七年级上·上海·期中）计算：________． 12．（2025七年级上·上海长宁·专题练习）解答下列各题： (1)若，求x的值． (2)已知，求的值． 易错题型五、幂的混合运算 13．（2026·广西南宁·模拟预测）下列计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 14．（25-26七年级下·重庆沙坪坝·期中）若，则___________． 15．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 易错题型六、（x+p）（x+q）型多项式乘法 16．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）已知，，那么关于x的整式因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25七年级上·上海长宁·期末）若，则的值是 ______． 18．（25-26七年级上·上海松江·阶段检测）以下关于x的各个多项式，m,n均为常数. (1)已知既不含二次项，也不含一次项，求的值； (2)已知关于x的二次三项式有一个因式，且，试求m，n的值. 易错题型七、运用平方差公式完全平方公式进行运算 19．（25-26七年级下·广东佛山·期中）下列各式中能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 20．（25-26七年级下·全国·周测）计算： （1）____________． （2）____________． 21．（26-27七年级上·上海闵行·单元测试）计算： (1)； (2)． 易错题型八、求完全平方式中的字母系数 22．（25-26七年级上·上海嘉定·期末）若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（    ） A．或8 B．4 C． D．4或 23．（25-26七年级下·陕西西安·期末）已知，为常数，则的值为_________． 24．（24-25七年级下·四川雅安·阶段检测）所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式．请解决下列问题： (1)已知，，则_______； (2)如果是一个完全平方式，则k的值为_______； (3)若x满足，求的值． 易错题型九、提公因式法分解因式 25．（2026七年级上·上海虹口·模拟预测）计算得（     ） A． B． C．2 D．－2 26．（2026·河北保定·模拟预测）分解因式：______． 27．（26-27七年级上·上海徐汇·阶段检测）将下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 易错题型十、整式的混合运算 28．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 29．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）计算：______． 30．（24-25七年级下·山东聊城·阶段检测）先化简，再求值． (1)，其中； (2)，其中， 易错题型十一、整式四则混合运算 31．（25-26七年级上·全国·课后作业）如果，那么等于（    ） A． B． C． D． 32．（25-26七年级上·四川广安·期末）小明的作业本上有一道题不小心被沾上了墨水：，通过计算，这道题的■处应是__________． 33．（25-26七年级下·山东威海·期末）计算： (1)． (2)． (3)若的积中不含x项与项．求p，q的值； 易错题型十二、十字相乘法 34．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）用因式分解法解方程，若将左边因式分解后有一个因式是，则m的值是（   ） A．0 B．1 C． D．2 35．（2025·山东淄博·一模）将多项式进行因式分解得到，则的值为_____． 36．（25-26七年级上·广西·期末）阅读下面内容并完成后面的练习： 因为，所以； 因为，所以； 因为=，所以 =； 因为， 所以； 因为_________， 所以__________=． 请你根据以上各式找出规律，并对下列多项式进行因式分解∶ (1)；    (2)；    (3) 易错题型十三、分组分解法 37．（25-26七年级上·河南三门峡·期末）下列因式分解错误的是（    ） A． B． C． D． 38．（25-26七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）因式分解：________． 39．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0． 利用上述规律，回答下列问题： (1)若是多项式的一个因式，求k的值． (2)若和是多项式的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解． (3)分解因式：． 易错题型十四、多项式乘多项式——化简求值 40．（25-26七年级上·山东临沂·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C．1 D．5 41．（25-26七年级下·江西萍乡·期中）已知，则的值为_____． 42．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）如图，在一块长为米，宽为米的长方形空地四周修建宽均为米的小路，剩余部分种植草坪（图中阴影部分）．    (1)列式计算出种植草坪的面积并化简； (2)当，时，小路的面积是多少平方米？ 易错题型十五、综合提公因式和公式法分解因式 43．（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）下列因式分解中，正确的是（    ） A． B． C． D． 44．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）把多项式分解因式的结果是_________． 45．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）因式分解： (1)； (2)． 压轴题型一、数字类规律探索 1．（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）阅读理解： 我们把形如 的式子进行变形，可以得到（n 为正整数）． 例如：，． 请利用上述方法计算： (1)； (2)． 2．（25-26七年级上·山西晋中·阶段检测）观察下列各式的计算结果： (1)用你发现的规律填空： ； ； (2)猜想并写出： ； (3)用你发现的规律计算：． 3．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）探索规律：观察如图由“”组成的图案和算式，解答问题： (1)请猜想______； (2)请猜想______； (3)请用上述规律计算：． 4．（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）按要求完成下列各题： (1)观察下列等式：；；…得出规律：______； (2)观察下列等式：，，，计算：，请按照上述方法计算：； (3)计算：． 5．（26-27七年级上·北京·期中）有一类正整数，从左读到右和从右读到左是同一个数，这种数就称为“回文数”.那么，最小的回文数是多少呢？当然非莫属.显然，没有最大的回文数. (1)（）位数的回文数（简称为“位回文数”）有多少个？ 位回文数有个，它们是，，，，，，，，； 位回文数有______个； 位回文数可就多了，不妨把它们排成一个数的方阵： 这个数阵有行列，因此位回文数有个. (2)位回文数有______个.再往下统计，若把回文数都排成数阵再数个数，这种方法就太麻烦了.请你尝试用别的方法计算. (3)若为正整数，问： ①当为奇数时，位回文数有______个. ②当为偶数时，位回文数有______个. 压轴题型二、图形类规律探索 1．（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： (1)第5个图形有 颗黑色棋子，第6个图形有 颗黑色棋子，第n个图形有 颗黑色棋子． (2)第几个图形有2022颗黑色棋子？ 2．（2026·安徽安庆·一模）用长度相等的木棍按一定规律拼成的图案，其中第1个图案用了12根木棍拼成1个正六边形和2个正方形，第2个图案用了20根木棍拼成2个正六边形和3个正方形： (1)第3个图案中用了28根木棍拼成了_____________个正六边形和_____________个正方形； (2)第个图案中用的木棍根数为_____________个（用含的代数式表示）； (3)如果现有木棍根数为212个，求拼成的图案中正六边形的个数和正方形的个数． 3．（25-26七年级上·安徽亳州·期末）如图，第1个图中有1颗棋子，第2个图中有5颗棋子，第3个图中有9颗棋子，第4个图中有13颗棋子，……，以此类推． (1)第10个图中有______颗棋子； (2)猜想：第个图中有______颗棋子（用含的代数式表示）； (3)根据你的猜想，试求出第500个图中棋子颗数． 4．（25-26六年级上·山东泰安·期末）问题：将一根绳子折成三段，然后按如图1方式剪18刀，绳子被剪成几段？ 解决问题：绳子按如图2方式剪一刀，绳子被剪成4段； 绳子按如图3方式剪两刀，绳子被剪成7段； 绳子按如图4方式剪三刀，绳子被剪成10段； …………… 绳子按这种方式剪成n刀，绳子被剪成______段； 按如图1方式剪18刀，绳子被剪成______段． 这种从简单问题或特殊情形出发，进而找到一般规律的过程，叫数学归纳法．归纳是发现数学规律、解决数学问题的一种重要策略． 方法应用： （1）将一根长绳对折后再对折，连续对折6次后，用剪刀沿中间剪开，则绳子被剪成______段（直接写出结果）． （2）的个位数字是______（直接写出结果）． 5．（2026·安徽阜阳·一模）综合与实践 【项目主题】 某工程队拟用正三角形和正方形地砖铺设某广场的中央地面． 【项目准备】观察下列算式，并完成填空： ； ； ； ； ①______．（是正整数） 【项目分析】 如图，这是该工程队铺设的广场规划图案，图案中央是一块正六边形地砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外，第1层包括6块正方形和6块正三角形地板砖；第2层包括6块正方形和18块正三角形地板砖；以此递推． （1）第3层中分别含有②______块正方形和③______块正三角形地板砖． （2）第层中分别含有④______块正方形和⑤______块正三角形地板砖．（用含的代数式表示） 【项目实施】 若1块正六边形地砖的成本为20元，1块正方形地砖的成本为8元，1块正三角形地砖的成本为5元，通过估算需要90块正方形地板砖，则铺设完广场总的成本大约为⑥______元． 请将上述材料中横线上所缺的内容补充完整： ①______；②______；③______；④______；⑤______；⑥______． 压轴题型三、整式加减中整体思想问题 1．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）阅读下列材料，我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．尝试应用： (1)把看成一个整体，合并的结果为 ； (2)若且求的值； (3)拓展探索：已知，，，求的值． 2．（25-26七年级上·安徽六安·期末）我们知道：，同理，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思想”解答下面的问题： (1)把看成一个整体，合并； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 3．（25-26七年级上·江西南昌·期末）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用广泛． 例如：已知代数式的值为，求代数式的值．解答如下： 由题意得， 所以． 所以代数式的值为． (1)若，则________； (2)已知，，当，时，求的值． 4．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）有这样一道题“如果代数式的值为-4，那么代数式的值是多少？”，爱动脑筋的汤同学解题过程如下： 原式． 汤同学把作为一个整体求解．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： 【简单应用】 （1）已知，则_____； （2）已知，求的值； 【拓展提高】 （3）已知，，求代数式的值． 5．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）教科书91页第15题是这样的：若，，求的值．小明是这样做的： 原式 ． 在这里，他把作为了一个整体，这体现了一个非常重要的数学思想：整体思想． 【方法运用】： (1)若代数式，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为8．当时，求代数式的值； (3)若，，求代数式的值． 压轴题型四、乘法公式的几何应用 1．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）为了更好地开展劳动教育，某校暑期对校内闲置的地块进行规划改造，这块地是由相连正方形组成，大正方形的边长为a米，小正方形的边长为b米如图，学校准备在该地块内种植花草（图中阴影部分）．已经知道，，请你根据所学知识计算图中阴影部分的面积． 2．（26-27七年级上·上海奉贤·阶段检测）在学习完乘法公式后，小华发现运用乘法公式可以优化运算过程，给不同类型的数学问题的解决带来方便．请运用乘法公式解决下列问题： (1)计算：； (2)如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为与的两个圆，求剩下的钢板的面积． 3．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）如图1，这是由边长为的四个小正方形组成的正方形，在图1的基础上，边长增加组成如图2所示的正方形． (1)求图1中阴影部分的面积． (2)求图2中阴影部分的面积． 4．（26-27七年级上·上海长宁·阶段检测）截至去年底，鹤壁市城市绿地率、绿化覆盖率及公园绿地服务半径覆盖率居全省第一，全市散布个口袋公园，利用废弃地、边角地打造小微绿地，实现“推窗见绿、出门入园”．在打造小微绿地的过程中，发现一块边长为米的正方形空地，计划空地内预留一块长米，宽米的长方形区域搭建娱乐设施，余下阴影区域全部打造绿地． (1)请用含，的代数式表示阴影部分的面积；（需化简） (2)当，时，计算阴影部分的面积． 5．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）为适应儿童健康成长与发展需求，推动城市儿童友好空间建设，某市政公园规划出一片长为，宽为的长方形区域用来打造儿童活动区域．如图，该区域划分为三个功能区，分别是游戏娱乐区、文化体验区和绿化休息区，其中，游戏娱乐区和绿化休息区均为长方形，文化体验区是边长为的正方形． (1)求绿化休息区的面积；（用含a，b的式子表示） (2)该公园计划为游戏娱乐区和文化体验区铺设塑胶地面，造价为每平方米25元．若，，求铺设塑胶地面所需的费用． 压轴题型六、多项式乘法中的规律性问题 1．（26-27七年级上·上海宝山·阶段检测）实践与探索 (1)根据以上规律，填空：_______． 当时，_______． (2)求的值． 2．（25-26六年级下·山东威海·期末）如图，图1是“杨辉三角”数阵．图2是二项和的乘方的展开式（按的升幂排列）． （1）图1中：________，________，_________． （2）求的展开式中第三项系数的值． （3）若，求的值． 3．（25-26七年级下·安徽池州·期末）阅读： 在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： 【观察】：①； ②； ③； (1)【归纳】由此可得________； (2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： ①计算：________ ②计算： 4．（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)请在图中括号内的数为________； (2)展开式中共有________项，第19项系数为________； (3)根据上面的规律，写出的展开式：________； (4)利用上面的规律计算：； 5．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段检测）【问题提出】 已知对任意实数x均成立，求的值． 解：当时，． 原式． 从这一题可以看出，在处理某些求代数式值的题目时，我们可以使用代入特殊值法将问题简化，从而解决问题． 请借助“特殊值法”，解决下列问题． 【问题解决】 (1)若对任意实数x均成立，求的值； (2)若对任意实数x均成立，求代数式的值； (3)求展开式合并同类项之后，奇数次数项系数之和； (4)将多项式展开后合并同类项，各项系数和为多少？ 压轴题型七、因式分解的应用 1．（26-27七年级上·河南商丘·阶段检测）先阅读材料，再解答问题： 分解因式：． 解：将看成一个整体，设， 则原式． 将代入，得原式． 以上解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． (1)分解因式：； (2)已知一个长方形的长为，宽为，且满足，求该长方形的周长． 2．（25-26七年级上·上海青浦·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)观察图2，请用两种不同的方法表示图2中大长方形的面积，并写成因式分解的形式； (2)在图2中，若大长方形的周长为30，且，求阴影部分的面积． 3．（25-26七年级上·上海松江·单元复习）如图，有①②③三种不同型号的卡片若干，其中型号①②分别是边长为a和b的正方形卡片，型号③是长为a、宽为b的长方形卡片． (1)请用这些卡片分别拼出面积为的长方形，并画出图形． (2)你能拼出面积为的长方形吗？如果能，请画出图形；如果不能，请说明理由． (3)请再提出一个问题，并加以解答． 4．（25-26七年级上·上海闵行·期末）阅读下面材料，并解决问题 巧设密码在日常生活中，如手机支付、银行取款、手机安全设置等都需要密码，有一种利用因式分解产生的密码，它更加方便记忆，其方法如下： 对于多项式，分解因式的结果是．当，时，，，，将162，18，0这三个数值按从大到小的顺序排列，于是就可以把“162180”作为一个六位数的密码． 问题解决 (1)按照上述方法，小军将多项式“”分解因式后利用x的数值设置密码，当时，求所生成的密码； (2)根据上述方法，若将多项式分解因式，则当，时，生成的密码是多少？ 5．（25-26七年级上·上海普陀·期末）【问题情境】 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． 【问题解决】 (1)根据图2，写出一个多项式的因式分解：_____________； (2)若，求的值； 【探索创新】 (3)如图3，有足够数量的边长分别为a，b的正方形纸片和长为b，宽为a的长方形纸片，请利用这些纸片拼出面积为的长方形．画出图形，并写出将分解因式的结果． $期中重难点特训之易错压轴专项训练（15易错+6压轴） 学科网（北京）股份有限公司 易错题型一、同类项的判断 易错题型二、单项式的系数、次数 易错题型三、多项式的项、项数或次数 易错题型四、积的乘方运算 易错题型五、幂的混合运算 易错题型六、（x+p）（x+q）型多项式乘法 易错题型七、运用平方差公式完全平方公式进行运算 易错题型八、求完全平方式中的字母系数 易错题型九、提公因式法分解因式 易错题型十、整式的混合运算 易错题型十一、整式四则混合运算 易错题型十二、十字相乘法 易错题型十三、分组分解法 易错题型十四、多项式乘多项式——化简求值 易错题型十五、综合提公因式和公式法分解因式 压轴题型一、数字类规律探索 压轴题型二、图形类规律探索 压轴题型三、整式加减中整体思想问题 压轴题型四、乘法公式的几何应用 压轴题型五、多项式乘法中的规律性问题 压轴题型六、因式分解的应用 易错题型一、同类项的判断 1．（25-26七年级上·浙江台州·期末）下列各组代数式中，不是同类项的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题考查了同类项的定义，熟记所含字母相同，相同字母对应的指数也相同的项叫做同类项是解题的关键． 根据同类项的定义，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、与相同字母对应的指数不相同，不是同类项，符合题意； B、与是同类项，不符合题意； C、与是同类项，不符合题意； D、与是同类项，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级上·山东德州·期末）与___________是同类项（填一个符合要求的即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了同类项的定义，理解同类项的定义是解题关键．根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，即可得到答案． 【详解】解：与是同类项， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）指出下列多项式中的同类项： (1)； (2)． 【答案】(1)与是同类项，与是同类项，1与是同类项． (2)与是同类项，与是同类项 【分析】本题考查多项式中的同类项，注意掌握多项式中同类项的特征是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，以及常数项也是同类项． （1）由题意直接利用多项式中的同类项的特征进行分析判断即可； （2）根据题意直接利用多项式中的同类项的特征进行分析判断即可． 【详解】（1）解：， 与是同类项，与是同类项，1与是同类项； （2）解：， 与是同类项，与是同类项． 易错题型二、单项式的系数、次数 4．（25-26七年级上·山东潍坊·期末）若单项式的系数是，次数是，则的值是（   ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式的系数与次数的定义． 先根据定义求出m和n的值，再计算即可． 【详解】解：∵单项式的系数是单项式中的数字因数， ∴对于单项式，系数， ∵单项式的次数是所有字母的指数和， ∴次数， ∴． 故选：A． 5．（25-26七年级上·重庆大渡口·期末）单项式的系数是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式的系数，掌握单项式的系数是指其数字部分（包括符号）是解题的关键． 根据单项式系数的定义求解即可． 【详解】解：单项式的数字因数是，即系数是． 故答案为：． 6．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）指出下列各单项式的系数和次数． (1)； (2)． 【答案】(1)的系数为，次数为2 (2)的系数为2，次数为7 【分析】本题考查单项式的系数与次数，解题的关键是熟练运用单项式的系数与次数定义，本题属于基础题型． 表示数与字母积的式了叫单项式，其中数字因数叫单项式的系数，各字母指数和叫单项式的次数，据此求解即可． 【详解】（1）解：单项式的系数为，次数为 ∴单项式的系数为，次数为2； （2）解：单项式的系数为2，次数为， ∴单项式的系数为2，次数为7． 易错题型三、多项式的项、项数或次数 7．（25-26七年级上·河北唐山·期末）下列多项式是关于的三次二项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是多项式的项、项数或次数，解题关键是熟练掌握多项式的项、项数或次数． 根据三次二项式的定义（最高次项次数为，且多项式仅有两项），逐一分析各选项即可得出答案． 【详解】解：选项，最高次项次数为，是二次二项式，不符合题意； 选项，最高次项次数为，且只有两项，符合三次二项式的定义，符合题意； 选项，最高次项次数为，且有三项，是二次三项式，不符合题意； 选项，最高次项次数为，是一次二项式，不符合题意． 故选：． 8．（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）多项式的次数是____________． 【答案】 5 【分析】本题考查了多项式的相关概念，根据这些单项式中的最高次项的次数，就是这个多项式的次数求解即可，熟练掌握多项式的相关概念是解题的关键． 【详解】解：多项式的次数是， 故答案为：5． 9．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）已知是多项式的次数，是二次项系数的倒数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式的相关概念，代数式求值，根据题意正确求出m、n的值，代入代数式，即可求解． 【详解】解：多项式的次数是，二次项的系数为，的倒数为， 所以，， ∴ 易错题型四、积的乘方运算 10．（2026·河北唐山·模拟预测）若，则n的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据结果的符号判断的奇偶性，再根据指数相等计算的值即可． 【详解】解∶∵， ∴为奇数，且， ∴． 11．（25-26七年级上·上海·期中）计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，熟练掌握积的乘方运算法则是解题的关键． 根据积的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12．（2025七年级上·上海长宁·专题练习）解答下列各题： (1)若，求x的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了积的乘方和幂的乘方的逆运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先根据积的乘方和幂的乘方的逆运算化简，然后比较指数相等求解即可； （2）首先由得到，然后利用积的乘方和幂的乘方的逆运算求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴ ∴ ． 易错题型五、幂的混合运算 13．（2026·广西南宁·模拟预测）下列计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的基本运算法则，需要运用合并同类项、同底数幂乘法、幂的乘方法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A： ∵与不是同类项，不能合并，∴A错误． 选项B： ∵根据同底数幂乘法法则，，∴B错误． 选项C： ∵根据幂的乘方法则，，∴C错误． 选项D： ∵根据合并同类项法则，，计算正确，∴D正确． 14．（25-26七年级下·重庆沙坪坝·期中）若，则___________． 【答案】9 【分析】先根据已知等式求出的值，再将化为，即，进而得到，据此代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ． 15．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了整式混合运算，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，准确计算． （1）根据零指数幂、负整数指数幂及有理数的运算法则计算即可； （2）根据积的乘方和同底数幂乘、除法运算法则进行计算即可； （3）根据多项式乘多项式、单项式乘多项式、整式加减运算法则进行计算即可； （4）根据完全平方公式和平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 易错题型六、（x+p）（x+q）型多项式乘法 16．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）已知，，那么关于x的整式因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，根据已知条件，将 p 和 q 代入多项式，然后利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：∵，， ∴ 多项式为， ∴． 即因式分解结果为． 故选：B． 17．（24-25七年级上·上海长宁·期末）若，则的值是 ______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则． 先根据多项式乘多项式法则计算，再根据，求出即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， 故答案为：． 18．（25-26七年级上·上海松江·阶段检测）以下关于x的各个多项式，m,n均为常数. (1)已知既不含二次项，也不含一次项，求的值； (2)已知关于x的二次三项式有一个因式，且，试求m，n的值. 【答案】(1)6 (2)m，n的值分别是6，5． 【分析】（1）将进行计算得，根据题意得，进行计算即可得； （2）设另一个因式是，则，进行计算即可得，进行计算即可得． 【详解】（1）解： = = ∵既不含二次项，也不含一次项， ∴， 解得，， ∴； （2）解：设另一个因式是，则 = = =， ∴，， 即， 解得，， ∴m，n的值分别是6，5． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是理解题意，掌握多项式乘多项式法则． 易错题型七、运用平方差公式完全平方公式进行运算 19．（25-26七年级下·广东佛山·期中）下列各式中能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方差公式的结构特征，即两个因式相乘时，有一项相同，另一项互为相反数，依次判断各选项即可． 【详解】解：选项A中，两项均互为相反数，不符合平方差公式结构，排除A； 选项B中，符合平方差公式结构； 选项C中，两项均互为相反数，不符合平方差公式结构，排除C； 选项D中，两项都相同，不符合平方差公式结构，排除D． 20．（25-26七年级下·全国·周测）计算： （1）____________． （2）____________． 【答案】 【分析】（1）利用平方差公式计算； （2）利用完全平方公式计算． 本题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握并运用是解决此题的关键． 【详解】解：（1）； （2）． 故答案为：；． 21．（26-27七年级上·上海闵行·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 易错题型八、求完全平方式中的字母系数 22．（25-26七年级上·上海嘉定·期末）若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（    ） A．或8 B．4 C． D．4或 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的应用，根据完全平方公式的结构特征，确定一次项系数与常数项的关系，进而求解常数的值． 【详解】解：能用完全平方公式进行因式分解， ． ． 当时， 当时， 的值为4或． 故选D． 23．（25-26七年级下·陕西西安·期末）已知，为常数，则的值为_________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 24．（24-25七年级下·四川雅安·阶段检测）所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式．请解决下列问题： (1)已知，，则_______； (2)如果是一个完全平方式，则k的值为_______； (3)若x满足，求的值． 【答案】(1)6 (2)5或 (3)60 【分析】本题考查完全平方公式的应用，包括完全平方公式的展开与变形，完全平方公式的结构特征，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键． （1）利用完全平方公式将展开式，利用已知条件即可求出； （2）根据完全平方公式的形式，将整理成的形式，即可求解k的值； （3）先求出的值，再使用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴， 解得； 故答案为：6； （2）解：∵是一个完全平方式， ∴即， 即， 当，解得， 当，解得， ∴k的值为5或； 故答案为：5或； （3）解：∵， ∵， 又∵， 即， ∴， 解得． 易错题型九、提公因式法分解因式 25．（2026七年级上·上海虹口·模拟预测）计算得（     ） A． B． C．2 D．－2 【答案】B 【详解】解：∵， ∴原式. 26．（2026·河北保定·模拟预测）分解因式：______． 【答案】 【详解】解：原式． 27．（26-27七年级上·上海徐汇·阶段检测）将下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）利用提公因式法因式分解即可； （）利用平方差公式因式分解即可； （）把看作一个整体，利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 易错题型十、整式的混合运算 28．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，整式混合运算法则以及完全平方公式是解答本题的关键．直接运用整式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： 故选C． 29．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）计算：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 30．（24-25七年级下·山东聊城·阶段检测）先化简，再求值． (1)，其中； (2)，其中， 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答； （2）先利用完全平方公式，平方差公式计算括号里，再算括号外，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当，时，原式． 易错题型十一、整式四则混合运算 31．（25-26七年级上·全国·课后作业）如果，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据除数=被除数÷商，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 故选：C． 32．（25-26七年级上·四川广安·期末）小明的作业本上有一道题不小心被沾上了墨水：，通过计算，这道题的■处应是__________． 【答案】 【分析】根据整式的四则运算法则求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】题目主要考查整式的四则运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 33．（25-26七年级下·山东威海·期末）计算： (1)． (2)． (3)若的积中不含x项与项．求p，q的值； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ∵积中不含x项与项 ∴ 解得． 易错题型十二、十字相乘法 34．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）用因式分解法解方程，若将左边因式分解后有一个因式是，则m的值是（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】利用十字相乘法分解可得答案．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【详解】解：∵用因式分解法解方程，若将左边因式分解后有一个因式是， ∴， 则， ， 故选：B 35．（2025·山东淄博·一模）将多项式进行因式分解得到，则的值为_____． 【答案】5 【分析】本题考查了多项式乘多项式以及因式分解的概念：先把运用多项式乘多项式的法则展开，再与进行比较，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵多项式进行因式分解得到， ∴， ∴， 故答案为：5． 36．（25-26七年级上·广西·期末）阅读下面内容并完成后面的练习： 因为，所以； 因为，所以； 因为=，所以 =； 因为， 所以； 因为_________， 所以__________=． 请你根据以上各式找出规律，并对下列多项式进行因式分解∶ (1)；    (2)；    (3) 【答案】；（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．根据阅读材料得到：，． （1）因为，，所以利用十字相乘法分解因式即可． （2）因为，，所以利用十字相乘法分解因式即可． （3）将看作一个整体．因为，，所以利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：由已知条件易得：，． 故答案为：；； （1）； （2）； （3）． 易错题型十三、分组分解法 37．（25-26七年级上·河南三门峡·期末）下列因式分解错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的方法分别判断即可． 【详解】解：A．，正确； B．，正确； C．，正确； D．，原式分解不彻底，故不正确； 故选D． 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 38．（25-26七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）因式分解：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解．先分组，再提出公因式，即可求解． 【详解】解： 故答案为： 39．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0． 利用上述规律，回答下列问题： (1)若是多项式的一个因式，求k的值． (2)若和是多项式的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解． (3)分解因式：． 【答案】(1)； (2)m、n的值分别为和0； (3) 【分析】本题主要考查了分解因式，解二元一次方程组： （1）根据题意当时，，则，据此求解即可； （2）根据题意可得当或时，，则可得关于m、n的方程组，解方程组求出m、n的值，进而把原多项式分解因式即可； （3）先分组得到，再利用提公因式法和十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵是多项式的一个因式， ∴当时，， ∴， ∴ （2）解：∵和是多项式的两个因式， ∴当或时，， ∴或时，， ∴， 解得， ∴原多项式为； （3）解： ． 易错题型十四、多项式乘多项式——化简求值 40．（25-26七年级上·山东临沂·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C．1 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查多项式乘多项式及求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：C． 41．（25-26七年级下·江西萍乡·期中）已知，则的值为_____． 【答案】3 【分析】本题考查了整式的化简求值，先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值；有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．先根据多项式乘以多项式运算法则把化简，再把变为整体代入化简的结果即可得问题的答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：3． 42．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）如图，在一块长为米，宽为米的长方形空地四周修建宽均为米的小路，剩余部分种植草坪（图中阴影部分）．    (1)列式计算出种植草坪的面积并化简； (2)当，时，小路的面积是多少平方米？ 【答案】(1)（平方米） (2)平方米 【分析】（1）种植草坪的面积可看作为：草坪的长乘宽，据此可求解； （2）把相应的值代入（1）中运算即可． 【详解】（1）解：依题意， （平方米）； （2）解：由（1）得（平方米） 当，时， 则（平方米）， ∴小路的面积（平方米） 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 易错题型十五、综合提公因式和公式法分解因式 43．（25-26七年级上·贵州铜仁·期中）下列因式分解中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的概念及应用．利用提公因式法和公式法（如平方差公式、完全平方公式）逐一验证每个选项的因式分解是否正确． 【详解】解：∵ A: ，故错误； ∵ B: ，故错误； ∵ C: ，故正确； ∵ D: ，故错误； 故选：C． 44．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）把多项式分解因式的结果是_________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：． 45．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）提公因式法进行因式分解即可； （2）综合提公因式法和公式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 压轴题型一、数字类规律探索 1．（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）阅读理解： 我们把形如 的式子进行变形，可以得到（n 为正整数）． 例如：，． 请利用上述方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ， 以此类推可知（n为正整数）， ∴ ． 2．（25-26七年级上·山西晋中·阶段检测）观察下列各式的计算结果： (1)用你发现的规律填空： ； ； (2)猜想并写出： ； (3)用你发现的规律计算：． 【答案】(1)，；，； (2)； (3)． 【分析】（1）观察题干给出的等式，总结规律：，将、代入规律直接填空． （2）把上面发现的规律推广到一般形式，用字母表示，写出代数式． （3）先利用猜想得到的公式把每一项拆成两个分数相乘，再展开连乘算式，通过约分化简式子，最后计算结果． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， ∴，； （2）解：∵， ， ， ， ，， ， ∴； （3）解： ． 3．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）探索规律：观察如图由“”组成的图案和算式，解答问题： (1)请猜想______； (2)请猜想______； (3)请用上述规律计算：． 【答案】(1)225 (2) (3) 【分析】（1）根据已知得出连续奇数的和等于数字个数的平方； （2）根据已知得出连续奇数的和等于数字个数的平方，得出答案即可； （3）用从1开始到2013的和减去从1开始到49的和，然后列式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ……， 按此规律，则； （2）解：； （3） ． 4．（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）按要求完成下列各题： (1)观察下列等式：；；…得出规律：______； (2)观察下列等式：，，，计算：，请按照上述方法计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可； （2）根据所给的等式的形式进行变形可得，即可求解； （3）根据（1）中的规律原式变形为，再结合（2）中的规律可得，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解： ； （3）解： 5．（26-27七年级上·北京·期中）有一类正整数，从左读到右和从右读到左是同一个数，这种数就称为“回文数”.那么，最小的回文数是多少呢？当然非莫属.显然，没有最大的回文数. (1)（）位数的回文数（简称为“位回文数”）有多少个？ 位回文数有个，它们是，，，，，，，，； 位回文数有______个； 位回文数可就多了，不妨把它们排成一个数的方阵： 这个数阵有行列，因此位回文数有个. (2)位回文数有______个.再往下统计，若把回文数都排成数阵再数个数，这种方法就太麻烦了.请你尝试用别的方法计算. (3)若为正整数，问： ①当为奇数时，位回文数有______个. ②当为偶数时，位回文数有______个. 【答案】(1) (2) (3)①，② 【分析】（1）由回文数的定义即可解答； （2）根据回文数的特征，探索出位回文数各个数位的情况，即可解答； （3）①按照中思路，讨论出当为奇数时，位回文数各个数位的情况，即可解答； ②按照中思路，讨论出当为偶数时，位回文数各个数位的情况，即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知，位回文数有，，，，，，，，，共个； （2）解：根据题意，位回文数，千位数字和个位数字不能为，可以有种情况， 百位数字和十位数字可以为，有种情况， 位回文数共有（个）； （3）解：根据题意，位回文数有两种情况， ①当为奇数时，首位数字和个位数字不能为，有种情况， 第二个数字和十位数字，有种情况， 第三个数字和百位数字，有种情况， 第个数字有种情况， 则有个位回文数； ②当为偶数时，首位数字和个位数字不能为，有种情况， 第二个数字和十位数字，有种情况， 第三个数字和百位数字，有种情况， 第个数字和第位数字，有种情况， 则有个位回文数． 压轴题型二、图形类规律探索 1．（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： (1)第5个图形有 颗黑色棋子，第6个图形有 颗黑色棋子，第n个图形有 颗黑色棋子． (2)第几个图形有2022颗黑色棋子？ 【答案】(1)18，21， (2)第673个图形有2022颗黑色棋子． 【分析】（1）结合图形分析可知，后一个图形总比相邻的前一个图形多3颗黑色棋子，据此解答； （2）结合（1）中所得，，求出结果即可． 【详解】（1）解：第1个图形有颗黑色棋子； 第2个图形有颗黑色棋子； 第3个图形有颗黑色棋子； 第4个图形有颗黑色棋子； 第5个图形有颗黑色棋子； 第6个图形有颗黑色棋子； …… 依次类推可知，第n个图形有颗黑色棋子． （2）解：， ∴， 答：第673个图形有2022颗黑色棋子． 2．（2026·安徽安庆·一模）用长度相等的木棍按一定规律拼成的图案，其中第1个图案用了12根木棍拼成1个正六边形和2个正方形，第2个图案用了20根木棍拼成2个正六边形和3个正方形： (1)第3个图案中用了28根木棍拼成了_____________个正六边形和_____________个正方形； (2)第个图案中用的木棍根数为_____________个（用含的代数式表示）； (3)如果现有木棍根数为212个，求拼成的图案中正六边形的个数和正方形的个数． 【答案】(1)3，4 (2) (3)由212根木棍拼成的图案中正六边形有26个，正方形有27个 【详解】（1）解：第3个图案中用了28根木棍拼成了3个正六边形和4个正方形； （2）解：第1个图案用了根木棍， 第2个图案用了根木棍， 第3个图案用了根木棍， ……， 第个图案用了根木棍； （3）解：由题意得， 解得， 第1个图案拼成1个正六边形和2个正方形， 第2个图案拼成2个正六边形和3个正方形， 第3个图案拼成3个正六边形和4个正方形， ……， 第个图案拼成26个正六边形和27个正方形． 答：由212根木棍拼成的图案中正六边形有26个，正方形有27个． 3．（25-26七年级上·安徽亳州·期末）如图，第1个图中有1颗棋子，第2个图中有5颗棋子，第3个图中有9颗棋子，第4个图中有13颗棋子，……，以此类推． (1)第10个图中有______颗棋子； (2)猜想：第个图中有______颗棋子（用含的代数式表示）； (3)根据你的猜想，试求出第500个图中棋子颗数． 【答案】(1)37 (2) (3)1997 【分析】本题考查了图形规律的探索，求代数式的值，找到图形规律并列出代数式是解题的关键； （1）第2个图中有颗棋子，第3个图中有颗棋子，第4个图中有颗棋子，第5个图中有颗棋子，……，由此得到规律，即可求得第10个图中棋子的颗数； （2）由（1）所得的规律即可求解； （3）求出当时（2）中的代数式的值即可． 【详解】（1）解：第2个图中有颗棋子，第3个图中有颗棋子，第4个图中有颗棋子，第5个图中有颗棋子，……，由此规律，第10个图中棋子的颗数为； 故答案为：37； （2）解：由（1）中规律得：第个图中棋子的颗数为， 故答案为：； （3）解：当时，； 答：第500个图中棋子颗数为1997． 4．（25-26六年级上·山东泰安·期末）问题：将一根绳子折成三段，然后按如图1方式剪18刀，绳子被剪成几段？ 解决问题：绳子按如图2方式剪一刀，绳子被剪成4段； 绳子按如图3方式剪两刀，绳子被剪成7段； 绳子按如图4方式剪三刀，绳子被剪成10段； …………… 绳子按这种方式剪成n刀，绳子被剪成______段； 按如图1方式剪18刀，绳子被剪成______段． 这种从简单问题或特殊情形出发，进而找到一般规律的过程，叫数学归纳法．归纳是发现数学规律、解决数学问题的一种重要策略． 方法应用： （1）将一根长绳对折后再对折，连续对折6次后，用剪刀沿中间剪开，则绳子被剪成______段（直接写出结果）． （2）的个位数字是______（直接写出结果）． 【答案】解决问题：；55；方法应用：（1）65，（2）3 【分析】本题主要考查了图形规律和数字规律探索，解题的关键是根据已知图形得出一般规律． 解决问题：根据给出的已知图形得出规律，求出结果即可； 方法应用：（1）先得出将绳子对折1次后，2次后，3次后，分别用剪刀沿中间剪开，得出的绳子段数，然后找出一般规律，最后求出结果即可； （2）根据；；；；；……，得出个位数字为3，9，7，1……，每四个数循环一次，根据，得出答案即可． 【详解】解：解决问题：绳子按如图2方式剪一刀，绳子被剪成段； 绳子按如图3方式剪两刀，绳子被剪成段； 绳子按如图4方式剪三刀，绳子被剪成段； …… 绳子按这种方式剪成n刀，绳子被剪成段； 按如图1方式剪18刀，绳子被剪成段． 这种从简单问题或特殊情形出发，进而找到一般规律的过程，叫数学归纳法．归纳是发现数学规律、解决数学问题的一种重要策略． 方法应用：（1）将绳子对折1次后，用剪刀沿中间剪开，则绳子被剪成段； 将绳子对折2次后，用剪刀沿中间剪开，则绳子被剪成段； 将绳子对折3次后，用剪刀沿中间剪开，则绳子被剪成段； …… 将绳子对折n次后，用剪刀沿中间剪开，则绳子被剪成段； ∴将绳子对折6次后，用剪刀沿中间剪开，则绳子被剪成段； （2）； ； ； ； ； ； …… ∴个位数字为3，9，7，1……，每四个数循环一次， ∵， ∴的个位数字为3． 5．（2026·安徽阜阳·一模）综合与实践 【项目主题】 某工程队拟用正三角形和正方形地砖铺设某广场的中央地面． 【项目准备】观察下列算式，并完成填空： ； ； ； ； ①______．（是正整数） 【项目分析】 如图，这是该工程队铺设的广场规划图案，图案中央是一块正六边形地砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外，第1层包括6块正方形和6块正三角形地板砖；第2层包括6块正方形和18块正三角形地板砖；以此递推． （1）第3层中分别含有②______块正方形和③______块正三角形地板砖． （2）第层中分别含有④______块正方形和⑤______块正三角形地板砖．（用含的代数式表示） 【项目实施】 若1块正六边形地砖的成本为20元，1块正方形地砖的成本为8元，1块正三角形地砖的成本为5元，通过估算需要90块正方形地板砖，则铺设完广场总的成本大约为⑥______元． 请将上述材料中横线上所缺的内容补充完整： ①______；②______；③______；④______；⑤______；⑥______． 【答案】①；②6；③30；④6；⑤；⑥7490 【分析】①观察算式找出规律即可； （1）观察图形数出正方形和正三角形块数； （2）根据前三层正方形和正三角形块数找出规律； ⑥找出需要正三角形块数，进而确定答案． 【详解】解：①根据题意得从1开始连续奇数的和等于奇数个数的平方，所以； （1）∵第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖， 第二层包括6块正方形和块正三角形地板砖， ∴第三层包括6块正方形和块正三角形地板砖． （2）∵第一层包括6块正方形和块正三角形地板砖， 第二层包括6块正方形和块正三角形地板砖， 第三层包括6块正方形和块正三角形地板砖， ∴第n层包括6块正方形和块正三角形地板砖． ⑥（层）， 需要正三角形地板砖（块）， 则铺设完广场总的成本大约为（元）． 压轴题型三、整式加减中整体思想问题 1．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）阅读下列材料，我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．尝试应用： (1)把看成一个整体，合并的结果为 ； (2)若且求的值； (3)拓展探索：已知，，，求的值． 【答案】(1)； (2)2025； (3)17． 【分析】本题考查了整体思想在多项式化简与求值中的应用，解题的关键是**将某个式子或部分看作一个整体，进行合并同类项或式子的变形计算． （1）将看作一个整体，根据合并同类项的法则，系数相加减，字母和指数不变． （2）把当作整体，根据等式性质求出的值，再代入计算． （3）先对原式化简变形，再将已知条件进行适当转化，最后整体代入求值． 【详解】（1）解： ． 故答案为：； （2）因为且 所以 可得， 所以； （3），，， ∴，， ． 2．（25-26七年级上·安徽六安·期末）我们知道：，同理，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请运用“整体思想”解答下面的问题： (1)把看成一个整体，合并； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查合并同类项，代数式的恒等变形，代数式的加减代换，掌握整体思想是解题关键． （1）把看作一个整体，直接合并同类项的系数，得到简化结果； （2）将代数式变形为，再把整体代入求值； （3）把已知的、、看作整体，通过加减组合出和，再代入目标式计算． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ． （3）解：，，， ， ， ． 3．（25-26七年级上·江西南昌·期末）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用广泛． 例如：已知代数式的值为，求代数式的值．解答如下： 由题意得， 所以． 所以代数式的值为． (1)若，则________； (2)已知，，当，时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）按照题干中的例题整体代入即可求解． （2）先化简，再将，代入原式即可求解． 【详解】（1）解：∵   ， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：∵，， ∴ ； 当，时，原式． 4．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）有这样一道题“如果代数式的值为-4，那么代数式的值是多少？”，爱动脑筋的汤同学解题过程如下： 原式． 汤同学把作为一个整体求解．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： 【简单应用】 （1）已知，则_____； （2）已知，求的值； 【拓展提高】 （3）已知，，求代数式的值． 【答案】（1）2031（2）7（3）27 【分析】本题考查了整式的加减运算，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把代入，进行计算，即可作答． （2）先把整理得，再把代入计算，即可作答． （3）先整理，再把，分别代入进行计算，即可作答． 【详解】解：（1）∵， ∴， （2）∵， ∴ ； （3）∵，， ∴ ． 5．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）教科书91页第15题是这样的：若，，求的值．小明是这样做的： 原式 ． 在这里，他把作为了一个整体，这体现了一个非常重要的数学思想：整体思想． 【方法运用】： (1)若代数式，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为8．当时，求代数式的值； (3)若，，求代数式的值． 【答案】(1)14 (2)2 (3)14 【分析】（1）观察所求代数式，发现前两项可以提取公因数3，变形为，题目条件已知，不需要求出，把看成一个整体，代入即可求出结果； （2）把代入代数式，可以求出，当时，代入，得，变形为，把看成一个整体，代入即可求出结果； （3）观察代数式，对式子拆项重组为，刚好是题目给的两个已知整体相减，直接代入求值计算． 【详解】（1）解：因为， 所以 ； （2）解：当时， ，即， 当时，； （3）解：因为，， 所以 ． 压轴题型四、乘法公式的几何应用 1．（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）为了更好地开展劳动教育，某校暑期对校内闲置的地块进行规划改造，这块地是由相连正方形组成，大正方形的边长为a米，小正方形的边长为b米如图，学校准备在该地块内种植花草（图中阴影部分）．已经知道，，请你根据所学知识计算图中阴影部分的面积． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴阴影部分的面积为 答：阴影部分面积是. 2．（26-27七年级上·上海奉贤·阶段检测）在学习完乘法公式后，小华发现运用乘法公式可以优化运算过程，给不同类型的数学问题的解决带来方便．请运用乘法公式解决下列问题： (1)计算：； (2)如图，一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为与的两个圆，求剩下的钢板的面积． 【答案】(1)； (2)剩下的钢板的面积为． 【分析】（1）根据数据特点进行变形，利用平方差公式计算即可； （2）根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解： 答：剩下的钢板的面积为． 3．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）如图1，这是由边长为的四个小正方形组成的正方形，在图1的基础上，边长增加组成如图2所示的正方形． (1)求图1中阴影部分的面积． (2)求图2中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的面积公式求解即可； （2）根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得， ． 4．（26-27七年级上·上海长宁·阶段检测）截至去年底，鹤壁市城市绿地率、绿化覆盖率及公园绿地服务半径覆盖率居全省第一，全市散布个口袋公园，利用废弃地、边角地打造小微绿地，实现“推窗见绿、出门入园”．在打造小微绿地的过程中，发现一块边长为米的正方形空地，计划空地内预留一块长米，宽米的长方形区域搭建娱乐设施，余下阴影区域全部打造绿地． (1)请用含，的代数式表示阴影部分的面积；（需化简） (2)当，时，计算阴影部分的面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】（1）用正方形空地的面积减去中间空白的长方形面积即可得到答案； （2）把，代入（1）所求的式子中求值即可． 【详解】（1）解： 平方米， ∴阴影部分的面积为平方米； （2）解：当，时，， ∴阴影部分的面积为平方米． 5．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）为适应儿童健康成长与发展需求，推动城市儿童友好空间建设，某市政公园规划出一片长为，宽为的长方形区域用来打造儿童活动区域．如图，该区域划分为三个功能区，分别是游戏娱乐区、文化体验区和绿化休息区，其中，游戏娱乐区和绿化休息区均为长方形，文化体验区是边长为的正方形． (1)求绿化休息区的面积；（用含a，b的式子表示） (2)该公园计划为游戏娱乐区和文化体验区铺设塑胶地面，造价为每平方米25元．若，，求铺设塑胶地面所需的费用． 【答案】(1) (2)11300元 【分析】（1）先求出绿化休息区的长、宽，再利用长方形的面积公式计算即可； （2）先求出铺设塑胶地面的面积，再根据塑胶地面的造价为每平方米25元求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：绿化休息区是一个长为，宽为的长方形， 则绿化休息区的面积为 ， 答：绿化休息区的面积为． （2）解：铺设塑胶地面的面积为 ， ∵，， ∴， ∵塑胶地面的造价为每平方米25元， ∴（元）， 答：铺设塑胶地面所需的费用为11300元． 压轴题型六、多项式乘法中的规律性问题 1．（26-27七年级上·上海宝山·阶段检测）实践与探索 (1)根据以上规律，填空：_______． 当时，_______． (2)求的值． 【答案】(1)，728 (2) 【分析】（1）根据前几个变化规律，得到； 将时的等式恒等变形即可得出答案； （2）利用（1）得出的规律，对原式变形即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得： ； 当时，； （2）解：由（1）得 ， ， ， ． 2．（25-26六年级下·山东威海·期末）如图，图1是“杨辉三角”数阵．图2是二项和的乘方的展开式（按的升幂排列）． （1）图1中：________，________，_________． （2）求的展开式中第三项系数的值． （3）若，求的值． 【答案】（1）6，15，20；（2）2041210；（3）． 【分析】（1）根据图1中的变化规律即可求解． （2）分别求出、、、第三项系数，发现第三项系数的规律即可求解． （3）令y=0,y=1，代入原式即可求解 【详解】（1）由图1可知：，，， 故，，． （2）由图2可知： 第三项系数为， 第三项系数为， 第三项系数为， 第三项系数为， … 第三项系数为， 当时，， 故展开式中第三项系数为2041210． （3）若， 当时，， 当时，， ∴． 【点睛】此题主要考查代数式的规律探索，解题的关键是根据已知的图形或式子找到规律进行求解． 3．（25-26七年级下·安徽池州·期末）阅读： 在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示： 【观察】：①； ②； ③； (1)【归纳】由此可得________； (2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： ①计算：________ ②计算： 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）观察给出的特殊情形等式，对比等式左边第二个多项式的最高次数与右边结果的次数，归纳一般规律； （2）①将所求式子与归纳得到的公式对比，对应公式中、的情况，构造乘以该式后套用（1）中规律计算即可； ②同①构造（1）中规律公式，据此解答即可． 【详解】（1）解：观察给出的特殊式子： ①， ②， ③， 以此类推，； （2）解：①由（1）知， ， ， ②， 即， ， ． 4．（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)请在图中括号内的数为________； (2)展开式中共有________项，第19项系数为________； (3)根据上面的规律，写出的展开式：________； (4)利用上面的规律计算：； 【答案】(1)6 (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式中的规律，数字的变化规律，解题关键是找出规律． （1）根据表中数据特点解题即可； （2）先找出规律，用表示出展开式中共项数，当时，用表示出倒数第项的系数，代入数据计算即可； （3）根据图示顺推即可得到展开式； （4）根据展开式，令，时代入展开式即可得到所求代数式的值； 【详解】（1）解：图中括号内的数为， 故答案为：6； （2）展开式有项， ，展开式有项，倒数第三项系数为； ，展开式有项，倒数第3项系数为3，倒数第三项系数为； ，展开式有项，倒数第3项系数为6，倒数第三项系数为； 展开式有项，倒数第3项系数为，倒数第三项系数为； ……； 以此类推，展开式中共有项，倒数第三项的系数， ∴展开式共有项，第项系数为， 故答案为：，； （3）根据图示，， 故答案为：； （4）∵， 当，时，， ∴． 5．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段检测）【问题提出】 已知对任意实数x均成立，求的值． 解：当时，． 原式． 从这一题可以看出，在处理某些求代数式值的题目时，我们可以使用代入特殊值法将问题简化，从而解决问题． 请借助“特殊值法”，解决下列问题． 【问题解决】 (1)若对任意实数x均成立，求的值； (2)若对任意实数x均成立，求代数式的值； (3)求展开式合并同类项之后，奇数次数项系数之和； (4)将多项式展开后合并同类项，各项系数和为多少？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）令，可得，化简即求解； （2）令，代入求得，令，代入求得，求出，令，求出，即可求解； （3）分别求出当时和当时，式子的值，结合（2）中的解题方法，即可求解； （4）求出时，式子的值，即可求解． 【详解】（1）当时，， 整理，得， 故． （2）当时，， 当时，， 整理，得， 故 ∴． 当时，， ∴． （3）当时，， 当时，， 奇数次数项系数之和为． （4）当时，， 即各项系数和为． 【点睛】通过观察所给的式子，将所求的式子进行恰当的赋值，从而求解是解题的关键． 压轴题型七、因式分解的应用 1．（26-27七年级上·河南商丘·阶段检测）先阅读材料，再解答问题： 分解因式：． 解：将看成一个整体，设， 则原式． 将代入，得原式． 以上解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． (1)分解因式：； (2)已知一个长方形的长为，宽为，且满足，求该长方形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则原式，据此可得答案； （2）设，则可推出，即，即可得到答案． 【详解】（1）解：设，则原式， 将代入，得原式； （2）解：设， ， ． 将代入，得， ，即． ， ， ∴该长方形的周长． 2．（25-26七年级上·上海青浦·期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)观察图2，请用两种不同的方法表示图2中大长方形的面积，并写成因式分解的形式； (2)在图2中，若大长方形的周长为30，且，求阴影部分的面积． 【答案】(1)图2面积为，也可以表示为， (2)26 【分析】（1）用两种方式表示出大长方形的面积，从而即可得出结果； （2）由大长方形的周长得出，再结合完全平方公式计算得出，即可得出结果． 【详解】（1）解：由图可知，图2面积为，也可以表示为， ． （2）解：由图可知，大长方形的周长， ． ，， ， ， ∴阴影部分面积． 3．（25-26七年级上·上海松江·单元复习）如图，有①②③三种不同型号的卡片若干，其中型号①②分别是边长为a和b的正方形卡片，型号③是长为a、宽为b的长方形卡片． (1)请用这些卡片分别拼出面积为的长方形，并画出图形． (2)你能拼出面积为的长方形吗？如果能，请画出图形；如果不能，请说明理由． (3)请再提出一个问题，并加以解答． 【答案】(1)面积为, ∴长方形的长为，宽为a，如图所示； 面积为， ∴长方形的长和宽均是，如图所示： (2)能，， 长方形的长为，宽为，如图所示： (3)解：你能拼成一个面积为的长方形吗？画出图形，并计算出这个长方形的长和宽． ． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 4．（25-26七年级上·上海闵行·期末）阅读下面材料，并解决问题 巧设密码在日常生活中，如手机支付、银行取款、手机安全设置等都需要密码，有一种利用因式分解产生的密码，它更加方便记忆，其方法如下： 对于多项式，分解因式的结果是．当，时，，，，将162，18，0这三个数值按从大到小的顺序排列，于是就可以把“162180”作为一个六位数的密码． 问题解决 (1)按照上述方法，小军将多项式“”分解因式后利用x的数值设置密码，当时，求所生成的密码； (2)根据上述方法，若将多项式分解因式，则当，时，生成的密码是多少？ 【答案】(1)所生成的密码为101119 (2)生成的密码是282114 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握单项式乘多项式法则和合并同类项法则． （1）先分解因式再求出当时各个式子的值，再按从大到小的顺序排列，就能求出密码； （2）先根据单项式乘多项式法则和合并同类项法则进行化简，再把化简结果分解因式，并求出当，时，各个式子的值，从而求出密码． 【详解】（1）解：， 当时，，，， 将101，11，9从大到小排列为101，11，9，所以生成的密码是101119． 答：所生成的密码为101119． （2）解：， 当，时，，， 将28，21，14从大到小排列为28，21，14，所以生成的密码是282114． 答：生成的密码是282114． 5．（25-26七年级上·上海普陀·期末）【问题情境】 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． 【问题解决】 (1)根据图2，写出一个多项式的因式分解：_____________； (2)若，求的值； 【探索创新】 (3)如图3，有足够数量的边长分别为a，b的正方形纸片和长为b，宽为a的长方形纸片，请利用这些纸片拼出面积为的长方形．画出图形，并写出将分解因式的结果． 【答案】(1) (2)84 (3)画出图形如图所示， 【分析】（1）根据图形中各部分图形的面积之和等于大正方形的面积，列出等式即可； （2）将已知代数式的值代入（1）中等式，即可求解； （3）表示1个边长为a的正方形纸片，3个长为b，宽为a的长方形纸片和2个边长为b的正方形纸片，拼接组成一个长方形，然后根据拼成的图形得到分解因式的结果即可． 【详解】（1）解：由图可知，； （2）解：由（1），可得， 即， ∴； （3）解：画出图形如图所示， 由图可知，． $