3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质-（配套课件）【精讲精练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦双曲线的简单几何性质，涵盖范围、对称性、顶点、离心率及渐近线等核心内容。课前通过问题探究引导学生自主梳理性质，课堂结合典型例题（如由方程求性质、离心率计算、渐近线应用）互动深化，构建从自主学习到能力提升的学习支架。 其亮点在于注重数学抽象与逻辑推理，通过一题多解（如离心率的方程法与定义法）、一题多变（渐近线相关问题变式）及母题延伸，强化知识迁移。基础自测与触类旁通练习助力数学运算素养提升，学生能系统掌握性质应用，教师可依托结构化资源高效开展教学。

第三章　圆锥曲线的方程 3.2　双曲线 3.2.2　双曲线的简单几何性质 第1课时　双曲线的简单几何性质 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 课前案·自主学习 01 课堂案·互动探究 02 课后案 ·学业评价 03 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 课前案·自主学习 栏目导航 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 x≥a或x≤－a y≥a或y≤－a 坐标轴 原点 坐标轴 原点 A1(－a,0)， A2(a,0) A1(0，－a)， A2(0，a) 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 等长 y＝±x 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 课堂案·互动探究 栏目导航 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 课后案·学业评价 栏目导航 点击进入Word 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 谢谢观看 栏目导航 第三章　圆锥曲线的方程 1 学业标准 素养目标 1.掌握双曲线的简单几何性质．(重点) 2．能够根据双曲线的标准方程画出双曲线的图形．(重点) 3．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单的问题．(重点、难点) 通过研究双曲线的几何性质及通过运用双曲线的方程与性质解决问题，提升数学抽象、逻辑推理及数学运算素养． 导学　双曲线的范围、对称性、顶点、离心率及渐近线 观察图示，探究下面问题． [提示] 有限制，因为 eq \f(x2,a2)≥1，即x2≥a2，所以x≥a或x≤－a. [提示] 关于x轴、y轴和原点都是对称的，x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心． [提示] 不对，双曲线的顶点是双曲线与其对称轴的交点，只有在标准形式下，坐标轴才是双曲线的对称轴，此时双曲线与坐标轴的交点是双曲线的顶点． ◎结论形成 1．双曲线的简单几何性质 标准方程 eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0) eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0) 图形 性质 范围 ___________________ ___________________ 对称性 对称轴：__________ 对称中心：________ 对称轴：__________ 对称中心：________ 顶点坐标 _________________________ _________________________ 渐近线 ____________ ____________ 离心率 e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞) y＝±eq \f(b,a)x y＝±eq \f(a,b)x 2．等轴双曲线 实轴和虚轴________的双曲线叫做等轴双曲线．它的渐近线是____________，离心率等于_______. eq \r(2) 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1与 eq \f(y2,a2)－ eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的形状相同．(　　) (2)双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1与 eq \f(y2,a2)－ eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同．(　　) (3)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关．(　　) (4)离心率是 eq \r(2)的双曲线为等轴双曲线．(　　) 解析　(1)√.双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1与 eq \f(y2,a2)－ eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的形状相同，但是位置不一样． (2)×.双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1的渐近线方程为y＝± eq \f(b,a)x；双曲线 eq \f(y2,a2)－ eq \f(x2,b2)＝1的渐近线方程为y＝± eq \f(a,b)x. (3)×.等轴双曲线的渐近线方程都是y＝±x. (4)√.等轴双曲线的离心率是 eq \r(2). 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(多选)双曲线 eq \f(x2,25)－ eq \f(y2,9)＝1的顶点坐标是(　　) A．(5，0) B．(－5，0) C．(0，3) D．(0，－3) 答案　AB 3．(2025·八省联考)双曲线x2－ eq \f(y2,9)＝1的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±3x D．y＝±4x 解析　由方程x2－ eq \f(y2,9)＝1，则a＝1，b＝3，所以渐近线y＝± eq \f(b,a)x＝±3x.故选C. 答案　C 题型一　双曲线的几何性质 [解析]　把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)， 化为标准方程 eq \f(x2,m)－ eq \f(y2,n)＝1(m＞0，n＞0)， 由此可知，实半轴长a＝ eq \r(m)，虚半轴长b＝ eq \r(n)，c＝ eq \r(m＋n)， 焦点坐标( eq \r(m＋n)，0)，(－ eq \r(m＋n)，0)， 离心率e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(\r(m＋n),\r(m))＝ eq \r(1＋\f(n,m))， 顶点坐标为(－ eq \r(m)，0)，( eq \r(m)，0)， 所以渐近线的方程为y＝± eq \f(\r(n),\r(m))x＝± eq \f(\r(mn),m)x. [触类旁通] 1．求双曲线y2－2x2＝1的焦点坐标和渐近线方程． 解析　双曲线方程化为标准方程形式 eq \f(y2,1)－ eq \f(x2,\f(1,2))＝1. ∴a2＝1，b2＝ eq \f(1,2)，焦点在y轴上， ∴a＝1，b＝ eq \f(\r(2),2)，c2＝ eq \f(3,2)，c＝ eq \f(\r(6),2). 焦点坐标为F1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(6),2)))，F2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(\r(6),2)))，渐近线方程为y＝± eq \r(2)x. 题型二　求双曲线的离心率　一题多解 A．4 B．3 C．2 D． eq \r(2) [解析]　解法一(方程组法)　根据焦点坐标可知c＝4，根据焦点在y轴上，可设双曲线的方程为 eq \f(y2,a2)－ eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)， 则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(16,a2)－\f(36,b2)＝1，,a2＋b2＝16，))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝2\r(3)，))所以离心率e＝ eq \f(c,a)＝2. 解法二(定义法)　根据双曲线的定义，得2a＝| eq \r((－6－0)2＋(4－4)2)－ eq \r((－6－0)2＋(4＋4)2)|＝|6－10|＝4，根据焦点坐标可知c＝4，所以离心率e＝ eq \f(2c,2a)＝ eq \f(8,4)＝2. [答案]　C 求双曲线离心率的方法 (1)若可求得a，c，则直接利用e＝ eq \f(c,a)得解． (2)若已知a，b，可直接利用e＝ eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))得解． (3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解． 题型三　与双曲线的渐近线有关的问题　一题多变 \f(x2,a2) INCLUDEPICTURE "例3.tif" (1)已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为＋ eq \f(y2,b2)＝1，双曲线C2的方程为 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1，C1与C2的离心率之积为 eq \f(\r(3),2)，则C2的渐近线方程为(　　) A．x± eq \r(2)y＝0　　　　 B． eq \r(2)x±y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0 (2)已知双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，求双曲线的方程． [解析]　(1)e eq \o\al(2,1)＝eq \o\al(2,1) eq \f(c,a2) ＝ eq \f(a2－b2,a2)，e eq \o\al(2,2)＝eq \o\al(2,2) eq \f(c,a2) ＝ eq \f(a2＋b2,a2)， 所以e eq \o\al(2,1)·e eq \o\al(2,2)＝ eq \f(a4－b4,a4)＝1－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a))) eq \s\up20(4)＝ eq \f(3,4)， 所以 eq \f(b,a)＝ eq \f(\r(2),2)， 所以双曲线的渐近线方程为y＝± eq \f(\r(2),2)x. (2)因为双曲线的一个焦点在直线l上， 所以0＝－2c＋10，即c＝5， 又渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，故有 eq \f(b,a)＝2， 结合c2＝a2＋b2，得a2＝5，b2＝20， 所以双曲线的标准方程为 eq \f(x2,5)－ eq \f(y2,20)＝1. [答案]　(1)A　(2)略 [母题变式] 1．(变结论)若例3(2)中条件不变，求双曲线的离心率． 解析　因为c＝5，a2＝5，所以离心率e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(5,\r(5))＝ eq \r(5). 2．(变条件)求与例3(2)中所求的双曲线有相同的渐近线且过点(2，2)的双曲线方程． 解析　因为(2)中的双曲线是 eq \f(x2,5)－ eq \f(y2,20)＝1，故可设双曲线方程为 eq \f(x2,5)－ eq \f(y2,20)＝λ(λ≠0)，把点(2，2)代入方程得λ＝ eq \f(3,5)，所以所求的双曲线方程为 eq \f(x2,3)－ eq \f(y2,12)＝1. [素养聚焦]　本例通过考查双曲线的渐近线的求法和应用，提升学生逻辑推理和数学运算核心素养． 由渐近线设双曲线方程的方法 (1)渐近线为y＝ eq \f(n,m)x的双曲线方程可设为： eq \f(x2,m2)－ eq \f(y2,n2)＝λ(λ≠0). (2)如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0). (3)与双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1共渐近线的双曲线方程可设为 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0). [触类旁通] 3．以直线 eq \r(3)x±y＝0为渐近线，一个焦点坐标为(0，2)的双曲线方程是(　　) A． eq \f(x2,3)－y2＝－1 B．x2－ eq \f(y2,3)＝1 C． eq \f(x2,3)－y2＝1 D．x2－ eq \f(y2,3)＝－1 解析　因为一个焦点坐标为(0，2)，所以双曲线的焦点在y轴上．因为渐近线方程为 eq \r(3)x±y＝0，所以可设双曲线方程为y2－3x2＝λ(λ>0)，即 eq \f(y2,λ)－ eq \f(x2,\f(λ,3))＝1，故22＝λ＋ eq \f(λ,3)，解得λ＝3，所以双曲线的方程为x2－ eq \f(y2,3)＝－1. 故选D. 答案　D 知识落实 技法强化 由双曲线方程研究其几何性质、由双曲线的渐近线方程求标准方程． (1)确定双曲线的几何性质应先把双曲线方程化为标准形式，明确焦点在哪个坐标轴上； (2)由双曲线的几何性质求其方程时，易对于焦点的位置考虑不全面致错． $