精品解析：福建省三明第一中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题（B卷）

三明一中2026—2027学年上学期10月月考 高二数学科试卷（B卷） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线一般方程得直线的斜率，结合直线倾斜角与斜率得关系可得倾斜角的大小. 【详解】解：由直线得直线的斜率 又直线的倾斜角为，且，所以，得 故选：B. 2. 已知点关于轴的对称点为，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点对称的性质可得点坐标，进而可得. 【详解】由题意，点关于轴的对称点为， 故. 故选：D. 3. 已知空间向量，，则以为单位正交基底时的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量的线性运算和空间向量基本定理，结合单位正交基底，求向量的坐标. 【详解】空间向量，，则， 故以为单位正交基底时的坐标为. 故选：B. 4. 已知直线与，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由，得到，求解即可判断. 【详解】由，则，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，然后由平行线之间的距离求解即可. 【详解】直线即直线，与直线平行，则， 故所求即为平行直线与之间的距离， 即所求为. 故选：B. 6. 已知向量，，若，则的值为（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量数量积运算律与空间向量数量积的坐标运算公式计算即可求出的值. 【详解】由已知得，， 且， 由得，， 即，解得 故选：D 7. 已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线 、 的斜率后即可求直线/的斜率的范围. 【详解】如图所示： ，而， 故直线的取值范围为. 故选：A. 8. 已知A，B，C，D四点是平面四边形的四个顶点，O是平面ABCD外一点.若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件可得，再利用共面向量定理的推论求解. 【详解】由，得， 则，显然，否则， 点共面，矛盾，因此， 由共面向量定理的推论，得，所以. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，则（     ） A. B. 可以为空间的一组基底 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，利用空间向量模长的坐标计算出A正确；B选项，求出，所以，，共面，B错误；C选项，计算出，C正确；D选项，利用空间向量数量积运算法则得到D错误. 【详解】对于A，，故A项正确； 对于B，设，即，解得，， 即，所以，，共面，不能作为空间的一组基底，B错误； 对于C，，所以，故C项正确； 对于D，，故D错误. 故选：AC. 10. 已知直线l：与n：，下列选项正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 直线l恒过点 D. 若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为 【答案】AC 【解析】 【分析】运用两直线平行性质可判断A项，运用两直线垂直的性质可判断B项，提取参数后计算可判断C项，由截距定义可求得a的值进而可判断D项. 【详解】对于A项，若，则，解得或， 经检验，均符合，故A项正确； 对于B项，若，则，解得或，故B项不成立； 对于C项，因为， 则由得，所以l恒过点，故C项正确； 对于D项，若直线n在x轴上的截距为6，即直线n过点， 则，得， 所以直线n的方程为，斜截式为，故D项不成立． 故选：AC. 11. 正方体的棱长为1，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线所成的角为 B. 直线与平面所成的角为 C. 二面角的平面角为 D. 点到平面的距离为 【答案】BC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可判断ABC，根据向量法求距离即可判断D. 【详解】以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 对于A：，， 又，所以， 所以直线与直线所成的角为，故A错误； 对于B：因为，， 设平面的法向量为，则 ， 故，令，则， 所以为平面的一个法向量，又， 设直线与平面所成角为， 所以， 又，所以， 所以直线与平面所成的角为，故B正确； 对于C：由选项B的解析可得为平面的一个法向量， 设平面的法向量为，，， 则， 故，令，则， 所以为平面的一个法向量， 设二面角的平面角为， 则，， 结合图象可得二面角为锐二面角，所以二面角的平面角为，故C正确； 对于D：因为，为平面的一个法向量， 所以点到平面的距离，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 点到直线的距离为 _______ 【答案】 【解析】 【分析】根据点到直线距离公式计算即可. 【详解】点到直线的距离为. 故答案为： 13. 已知两个平面，的法向量分别是和，若，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】由，可得两平面的法向量也平行，从而列方程可求出的值，进而可求得答案 【详解】解：因为两个平面，的法向量分别是和，且， 所以，解得， 所以， 故答案为：4 14. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】可得直线分别过定点和且垂直，可得设，则，,,则，利用正弦函数的性质求值域即可． 【详解】由题意可知，动直线，经过定点， 动直线即，经过定点， 时，动直线和动直线的斜率之积为， 时，也垂直， 所以两直线始终垂直，又P是两条直线的交点， ， ． 设，则，， 由且，可得， ， ， ， ， ， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：因为，设，则，，则，即可求得的取值范围. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点，，，设，，． （1）若实数使与垂直，求值． （2）求在上的投影向量． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出空间向量的坐标，再结合向量垂直的坐标表示列式计算即得. （2）利用投影向量的定义求解即得. 【小问1详解】 依题意，，， 由与垂直，得，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，， 所以在上的投影向量为. 16. 已知直线． （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用垂直的性质可设斜截式直线方程，利用待定系数法求解直线即可； （2）利用截距为0和不为0分类讨论，再结合过原点直线方程和截距式直线方程求解即可. 【小问1详解】 由直线可得斜率为， 所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得； 【小问2详解】 联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为， 代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，假设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为，即 综上所述：所求直线方程为或． 17. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为，且. （1）求的长度； （2）求直线和直线所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，，，将用、、表示，利用空间向量数量积的运算性质可求得线段的长度； （2）计算得出，利用空间向量数量积的运算性质可求得直线和直线所成角的余弦值. 【小问1详解】 设，，， 由题意可知，，， 由空间向量数量积的定义可得， ， 则， 故. 【小问2详解】 ， 则， ，则. 故直线和直线所成角的余弦值为. 18. 如图，已知直线过点，且与直线垂直，与轴、轴的正半轴分别交于两点，点为线段上一动点，且，交于点． （1）求线段的垂直平分线方程； （2）若的面积与四边形的面积满足，请你确定点在上的位置，并求出线段的长； （3）判断在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）点为线段的中点， （3）存在，或或 【解析】 【分析】1）由题意求出直线的方程，即可求得的坐标，从而得中点坐标，利用点斜式即可得的垂直平分线方程，再化成一般式即可； （2）由，可得，由，得与相似，从而得，即可得答案； （3）假定在轴上存在满足题意的点，分、和分别求解即可. 【小问1详解】 因为直线与直线垂直， 所以直线的斜率， 又直线过点， 所以直线的方程为， 即． 令，得，即； 令，得，即． 则线段的中点坐标为， 又直线的斜率， 所以线段的垂直平分线方程为， 即； 【小问2详解】 由（1）知直线的方程为，， 因为， 所以， 又， 则与相似， 于是有， 即，得， 此时点为线段的中点， 所以时，点为线段的中点，且； 【小问3详解】 假定在轴上存在点，使为等腰直角三角形， 由（1）知直线的方程为， 如图1，当时，而点在轴上，点在轴的正半轴上，则点必与原点O重合， 设，因为， 所以， 于是有， 解得，此时满足题意； 如图2，当时， 由，， 知四边形为正方形， 设， 则，， 于是有， 解得，此时满足题意； 如图3，当时， 由，, 得，即， 设， 则，， 显然直线QM斜率为，则直线PM斜率必为1， 即， 解得，此时满足题意． 综上，y轴上存在点或或，使为等腰直角三角形． 19. 如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，平面，. （1）若平面平面，求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）若是线段上动点，为中点，试确定点的位置，使得直线与平面所成角最大，并求出该最大角. 【答案】（1） 因为平面，平面，所以，， 因为，所以， 又因为平面，，所以平面， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面平面，所以， 又因为平面，所以平面. （2） （3），最大角为 【解析】 【分析】（1）先证明平面，再证明即可得证； （2）计算出平面的法向量，而平面的一个法向量为，两个法向量的夹角即为所求二面角； （3）设，求出与平面的夹角的正弦值为，再经过适当变形结合二次函数的性质得出最大值及取得最大值的条件. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，分别为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， ，， 设平面的法向量为，则有，取，则， 因为平面，所以平面的一个法向量为， ，所以与平面所成角的余弦值为. 【小问3详解】 ，，设，则，，设平面的法向量为， 则有，取，则，，则与平面的夹角的正弦值为， 设，则， 当时，取得最大值，所以的最大值为， 所以当点满足时，与平面的夹角的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三明一中2026—2027学年上学期10月月考 高二数学科试卷（B卷） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点关于轴的对称点为，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 3. 已知空间向量，，则以为单位正交基底时的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，若，则的值为（　　） A. 1 B. C. D. 7. 已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（    ） A. B. C. D. 8. 已知A，B，C，D四点是平面四边形的四个顶点，O是平面ABCD外一点.若，则（ ） A. B. C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，则（     ） A. B. 可以为空间的一组基底 C. D. 10. 已知直线l：与n：，下列选项正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 直线l恒过点 D. 若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为 11. 正方体的棱长为1，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线所成的角为 B. 直线与平面所成的角为 C. 二面角的平面角为 D. 点到平面的距离为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 点到直线的距离为 _______ 13. 已知两个平面，的法向量分别是和，若，则________． 14. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点，，，设，，． （1）若实数使与垂直，求值． （2）求在上的投影向量． 16. 已知直线． （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 17. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为，且. （1）求的长度； （2）求直线和直线所成角的余弦值. 18. 如图，已知直线过点，且与直线垂直，与轴、轴的正半轴分别交于两点，点为线段上一动点，且，交于点． （1）求线段的垂直平分线方程； （2）若的面积与四边形的面积满足，请你确定点在上的位置，并求出线段的长； （3）判断在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，平面，. （1）若平面平面，求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）若是线段上动点，为中点，试确定点的位置，使得直线与平面所成角最大，并求出该最大角. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $