精品解析：黑龙江肇源县东部乡镇联考2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题

东部十月份八年级数学联考试卷 （满分：120分 考试时间：120分钟） 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意．每小题3分，共30分） 1. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 等腰三角形的两个底角相等 B. 等边三角形的三个内角都等于60° C. 面积相等的两个三角形全等 D. 全等三角形的对应边相等 2. 一个等腰三角形两边长分别为4和9，则该三角形周长为（ ） A. 17 B. 22 C. 17或22 D. 13 3. 到三角形三个顶点距离相等的点是（ ）． A. 三条边中线的交点 B. 三条边的高的交点 C. 三个角的角平分线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 4. 如图，在中，，平分，，，垂足分别为、．则图中全等三角形的对数共有（ ） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 5. 如图，平分，于点，于点．若 ，，则四边形 的周长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 不等式的非负整数解的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个 9. 若关于的方程的解是负数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，是的角平分线，则图中的等腰三角形共有（    ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 等腰三角形的一个角是，则它的底角是______． 12. 等腰三角形的两边分别长和，则它的周长是_________________． 13. 不等式 的解集为_____． 14. 如图，在中，，，，垂直平分，垂足为，交于点．则 的周长为_____． 15. 在中，，，，平分交于点，，垂足为．则 的长为_____． 16. 不等式 的最大整数解是_____． 17. 若一个等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则其底边上的高为_______． 18. 三角形的三边长分别为 ，，，且 为整数，则 的最大值为_____． 三、解答题（共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解下列不等式： （1）； （2）． 20. 解不等式 ，并写出它的所有正整数解． 21. 如图，在中， ， 为中点， 于， 于．求证： ． 22. 如图，与相交于点，，．求证：． 23. 如图，在中，， ，是边的垂直平分线，交于点，交于点．若 ，求 的长． 24. 如图，在中，，，，平分交于点，，垂足为，．求 的周长． 25. 学校书法社团要购买甲、乙两种毛笔共支，甲种毛笔每支元，乙种毛笔每支元，总费用不超过元． （1）设购买甲种毛笔支，列出关于的不等式，并求的取值范围； （2）若甲种毛笔至少购买支，那么共有哪几种购买方案？哪种方案总费用最低？最低费用是多少元？ 26. 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成 和 两部分，求这个等腰三角形的底边长． 27. 某市自来水公司实行阶梯水价：每户每月用水量不超过 15 m³ 的部分，按每立方米 2．8 元收费；超过 15 m³ 的部分，按每立方米 4．2 元收费．（某户月用水量超过 15 m³ 时，前 15 m³ 仍按每立方米 2．8 元计算．） （1）设某户月用水量为 （），用含 的代数式表示该户当月的水费； （2）某户某月水费为 63 元，求该户当月的用水量； （3）若某户某月水费不超过 84 元，求该户当月用水量的最大值． 28. 如图，是等边三角形，是的中点，点在的延长线上，且 ．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东部十月份八年级数学联考试卷 （满分：120分 考试时间：120分钟） 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意．每小题3分，共30分） 1. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 等腰三角形的两个底角相等 B. 等边三角形的三个内角都等于60° C. 面积相等的两个三角形全等 D. 全等三角形的对应边相等 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A，等腰三角形的两个底角相等，是真命题，不符合题意； 选项B，等边三角形的三个内角都等于，是真命题，不符合题意； 选项C，三角形的面积公式为×底×高，只要两个三角形的底和高的乘积相等，面积就相等，但形状不一定相同，不一定全等，所以是假命题，符合题意； 选项D，全等三角形的对应边相等，是真命题，不符合题意． 2. 一个等腰三角形两边长分别为4和9，则该三角形周长为（ ） A. 17 B. 22 C. 17或22 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】分情况讨论等腰三角形的腰长，再结合三角形三边关系验证能否构成三角形，舍去不符合的情况，即可求出正确周长． 【详解】解：分两种情况讨论： ①若腰长为，底边长为， ，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去该情况； ②若腰长为，底边长为， ∵，，满足三角形三边关系，可以构成三角形， ∴该三角形的周长为． 3. 到三角形三个顶点距离相等的点是（ ）． A. 三条边中线的交点 B. 三条边的高的交点 C. 三个角的角平分线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， ∴到三角形任意一边的两个端点距离相等的点，在该边的垂直平分线上， ∴到三角形三个顶点距离都相等的点，是三角形三条边的垂直平分线的交点． 4. 如图，在中，，平分，，，垂足分别为、．则图中全等三角形的对数共有（ ） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 【答案】B 【解析】 【分析】由，平分，可证得；利用全等的结论可证得；再利用角平分线的性质可证得． 【详解】解：∵在中，，平分， ∴, ， 在和中，有， ∴； ∴， ∵，，垂足分别为、． ∴， 在和中，有， ∴； 在和中，有 ∴； 综上可得图中全等三角形的对数共有3对． 5. 如图，平分，于点，于点．若 ，，则四边形 的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线的性质，角平分线上的点，到角两边的距离相等可得，又因为全等三角形对应边相等即可得，所以四边形 的周长为四边的和即可． 【详解】解：∵平分，于点，于点． ∴,， 又∵， ∴． ∴，， ∵，， ∴,, ∴四边形的周长为． 故选A． 6. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：， 两边减5得，，故A错误． ， 两边乘得，，故B错误． ， 两边除以4得，，故C正确． 当时，不成立，故D错误． 7. 不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变；不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向改变． 【详解】解：， 给不等式两边同时减4： 计算得： 给不等式两边同时除以： 解得． 8. 不等式的非负整数解的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个 【答案】A 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，再根据非负整数的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 该不等式的非负整数解为，共个． 9. 若关于的方程的解是负数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将方程的解用含的式子表示，再根据解的情况列不等式解答即可． 【详解】解：， 移项合并同类项，得， ∵方程的解是负数， ∴，即， 解得． 10. 如图，在中，，，是的角平分线，则图中的等腰三角形共有（    ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，根据等边对等角，结合三角形的内角和定理，求出各角的度数，再根据等角对等边，进行判断即可． 【详解】解：∵，， 是等腰三角形，， 是的角平分线， ， ， ∴， 是等腰三角形． ，， ， ， ∴， 是等腰三角形． 故图中的等腰三角形有个． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 等腰三角形的一个角是，则它的底角是______． 【答案】##35度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由题意可得，等腰三角形的顶角为，再根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，等腰三角形的顶角为， ∴等腰三角形的底角为， 故答案为：． 12. 等腰三角形的两边分别长和，则它的周长是_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形三边关系，根据等腰三角形定义及三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的定义和三角形三边关系． 【详解】解：①当三边的长为，，， ∵， ∴不能构成三角形； ②当三边的长为，，， ∵， ∴能构成三角形， ∴周长为， 故答案为：． 13. 不等式 的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】按照解一元一次不等式的基本步骤求解，注意不等式两边同乘或除以负数时，不等号方向要改变． 【详解】解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得： ． 14. 如图，在中，，，，垂直平分，垂足为，交于点．则 的周长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质得，结合三角形的周长概念即可求解 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长． 15. 在中，，，，平分交于点，，垂足为．则 的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先由勾股定理求出斜边的长度，利用角平分线的性质得到，可证，根据全等三角形的性质得到，设的长为未知数，在中利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】解：如下图所示， ，，， ， 平分，， ， 在和中，， ， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ， 整理得：， 解得：， 即的长为． 16. 不等式 的最大整数解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求解不等式得到解集，再从解集中找出最大的整数即可得到结果． 【详解】解： 移项得 ， ， ， 不等式的最大整数解为． 17. 若一个等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则其底边上的高为_______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理，解题关键是根据等腰三角形的三线合一求出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：，，； 则； 由勾股定理得，． 故答案为：8． 18. 三角形的三边长分别为 ，，，且 为整数，则 的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形三边关系求出的取值范围，再找出范围内的最大整数即可． 【详解】解：三角形的三边长分别为，，， ， 化简得， 为整数， 的最大值为． 三、解答题（共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解下列不等式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先去括号，再移项合并同类项； （2）先去分母，再去括号，最后移项合并同类项． 【小问1详解】 解： 解： ； 【小问2详解】 解： 20. 解不等式 ，并写出它的所有正整数解． 【答案】，正整数解为 ，，，， 【解析】 【分析】先求得不等式的解集，然后再确定所有正整数解即可． 【详解】解：， 去分母得： ， 去括号得： ， 移项得：， 合并同类项得：． 所以它的正整数解为 ，，，，． 21. 如图，在中， ， 为中点， 于， 于．求证： ． 【答案】证明：，为中点， ，． 又，， ． 在和中： ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据等边对等角可得，结合已知条件，根据证明，进而根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】略 22. 如图，与相交于点，，．求证：． 【答案】证明：在 和 中， ， ∴ ， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 【解析】 【分析】先证明可得，再利用内错角相等，两直线平行即可证明结论． 【详解】略 23. 如图，在中，， ，是边的垂直平分线，交于点，交于点．若 ，求 的长． 【答案】12 【解析】 【分析】先由等腰顶角求出底角；利用垂直平分线得到，转化角度；再利用所对直角边等于斜边一半求出线段、，相加得到． 【详解】解：连接， ， ， 是的垂直平分线， ， ， 在中，，， ， 是的外角， ， 在中， ， 在中，， ， ． 24. 如图，在中，，，，平分交于点，，垂足为，．求 的周长． 【答案】24 【解析】 【分析】根据角平分线的性质，求出，的周长转化为，计算即可． 【详解】解： 平分 ，，， ， ， 的周长为 ． 25. 学校书法社团要购买甲、乙两种毛笔共支，甲种毛笔每支元，乙种毛笔每支元，总费用不超过元． （1）设购买甲种毛笔支，列出关于的不等式，并求的取值范围； （2）若甲种毛笔至少购买支，那么共有哪几种购买方案？哪种方案总费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】（1）不等式为，的取值范围是且为整数. （2）共有种购买方案： 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支； 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支； 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支； 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支； 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支； 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支； 购买甲种毛笔支、乙种毛笔支的方案总费用最低，最低费用为元. 【解析】 【分析】（1）根据购买毛笔总费用不超过元列出一元一次不等式，结合实际意义确定的取值范围； （2）结合甲种毛笔至少购买支的条件，确定可取的整数，列出全部购买方案；列出总费用关于的函数，利用一次函数的增减性求出最低总费用. 【小问1详解】 解：设购买甲种毛笔支，则购买乙种毛笔支， 根据 “总费用不超过元”，总费用甲种毛笔总费用乙种毛笔总费用， 可列不等式：， ， ， ， ， 结合实际意义：毛笔支数不能为负数， ，且为整数（毛笔数量为非负整数）， 则的取值范围：且为整数； 【小问2详解】 解：已知“甲种毛笔至少购买支”，即， 结合（1）的结论，且为整数，可得可取、、、、、，共种购买方案： 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支； 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支； 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支； 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支； 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支； 方案：购买甲种毛笔支，乙种毛笔支 设总费用为元，则总费用的表达式为：， ， 随的增大而增大， 当取最小值时，总费用最低， 代入计算最低费用：（元）， 答：共有种购买方案；购买甲种毛笔支、乙种毛笔支的方案总费用最低，最低费用为元． 26. 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成 和 两部分，求这个等腰三角形的底边长． 【答案】这个等腰三角形的底边长为 或 【解析】 【详解】解：设腰长为 ，底边长为 ，则中线把周长分成 与 两部分． ①若 ， 则 ，， 所以 ， 此时腰长为 ，因为 ，能构成三角形； ②若 ，则 ，， 所以 ， 此时腰长为 ，因为 ，能构成三角形； 综上，这个等腰三角形的底边长为 或 ． 27. 某市自来水公司实行阶梯水价：每户每月用水量不超过 15 m³ 的部分，按每立方米 2．8 元收费；超过 15 m³ 的部分，按每立方米 4．2 元收费．（某户月用水量超过 15 m³ 时，前 15 m³ 仍按每立方米 2．8 元计算．） （1）设某户月用水量为 （），用含 的代数式表示该户当月的水费； （2）某户某月水费为 63 元，求该户当月的用水量； （3）若某户某月水费不超过 84 元，求该户当月用水量的最大值． 【答案】（1） 元 （2）该户当月用水量为 ． （3）该户当月用水量的最大值为 ． 【解析】 【分析】（1），水费分成两段：15立方米基础水费，加上超出部分的水费，列式化简得到代数式． （2）先算出15立方米对应的水费，判断实际用水量大于15立方米，代入（1）的代数式列一元一次方程求解． （3）先判断水费84元超过15立方米基础水费，代入代数式列一元一次不等式，求出的取值范围，得到用水量最大值． 【小问1详解】 解： 超出的水量： 总费用： 所以当月水费为元． 【小问2详解】 解： ，说明用水量超过，代入（1）的代数式． ； 答：该户当月用水量为． 【小问3详解】 解：，用水量超过，列不等式： ； 答：该户当月用水量的最大值为． 28. 如图，是等边三角形，是的中点，点在的延长线上，且 ．求证：． 【答案】证明： 是等边三角形， 是 的中点， ，． 点 在 的延长线上， ， ， ． 在 中，，， ， ． 【解析】 【详解】略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $