精品解析：黑龙江省大庆市肇源县东部五校2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

2025—2026学年度上学期联考 初三数学试题 考生注意： 1．考试时间120分钟． 2．全卷共三道大题，共27个小题，总分120分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项书写在相应的位置上）． 1. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A. ，， B. ，， C. 4，5，6 D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，勾股数需满足三个正整数且满足（为最大数）是解题的关键． 根据勾股数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．，，均为分数，不符合勾股数必须为正整数的要求，故该选项不符合题意； B．、、，和为无理数，非正整数，故该选项不符合题意； C．4、5、6，验证最大数6：，而，，不满足勾股定理，故该选项不符合题意； D．5、12、13，验证最大数13：，，满足，且均为正整数． 故选D． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，最简二次根式的特点：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此求解即可． 【详解】解：A．，被开方数中含有能开得尽方的因数，故不是最简二次根式； B． ，被开方数中含有能开得尽方的因数，故不是最简二次根式； C．，被开方数含有分母，故不是最简二次根式； D．符合最简二次根式的定义，是最简二次根式， 故选：D． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 3的平方根是 B. C. D. 的算术平方根是6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根与平方根．根据算术平方根与平方根的性质即可得． 【详解】解：A、3的平方根是，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、的算术平方根是，故本选项不符合题意； 故选：B． 4. 二次根式中x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式，解一元一次不等式，解题的关键是正确理解二次根式的定义．根据二次根式的定义，被开方数必须非负，即，解不等式即可． 【详解】解：根据题意，得， ∴， 故选：C． 5. 三边分别为a，b，c，在下列条件中，不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据三角形内角和定理和勾股定理逆定理解答． 根据三角形内角和定理可分析出B、C的正误；根据勾股定理逆定理可分析出A、D的正误． 【详解】解：A、由，可得，能判定是直角三角形，不符合题意； B、由，得出，不能判定是直角三角形，符合题意； C、由，得出，能判定是直角三角形，不符合题意； D、由，可得是直角三角形，不符合题意； 故选：B． 6. 如图，在中，平分交于点，则点到的距离是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，以及角平分线的性质．先根据勾股定理求出的长，进而得出的长，由角平分线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分交BC于点D， ∴点D到的距离是3． 故选：A． 7. 课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为了从A处快速到达图书馆B处，直接从长方形草地中穿过．为保护草地，嘉嘉想在A处立一个标牌：“少走■米，踏之何忍？”如图，若AB＝17米，BC＝8米，则标牌上“■”处的数字是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】在中，由勾股定理得， （米， （米， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 8. 如图，在我军某次海上演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿东偏南方向以9节（1节=1海里/小时）的速度航行，2号舰沿南偏西方向以节的速度航行，离开港口2小时后它们分别到达A，B两点，此时两舰的距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】D 【解析】 【分析】由，，求得，，再利用勾股定理的逆定理计算求解． 【详解】解：由题意可得：， ∴， 又∵（海里），（海里）， 在Rt中，（海里） ∴此时两舰的距离是海里． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确得出是解题关键． 9. 如图，在数轴上，点A对应的数为a，点B对应的数为b，则化简后结果正确的是（ ） A. B. b C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数轴上的点，二次根式的性质以及绝对值的意义，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 先确定的符号，判断的正负，，然后化简绝对值即可． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 10. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为．若正方形的边长为3，则的值为（ ） A. 9 B. 18 C. 27 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了与弦图有关的计算，解题的关键是对三角形的面积设而不求，借用三角形的面积寻找三个正方形面积的关系． 结合图形，借助直角三角形的面积，设八个全等的直角三角形每个面积为，寻找三个正方形面积之间的关系为，即可求解． 【详解】解：设八个全等的直角三角形每个面积为， 由图形可得知，， 则 ∵正方形的边长为3 ∴ ∴ 故选C． 二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共24分） 11. 64的立方根是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据立方根的定义即可求解. 【详解】解：∵43=64， ∴64的立方根是4， 故答案为：4. 【点睛】此题主要考查立方根的定义，解题的关键是熟知立方根的定义. 12. 的平方根是____． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据算术平方根、平方根解决此题． 【详解】解：， 实数的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键． 13. 若直角三角形两条边长分别为和，则它第三边长为________． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，理解题意，掌握勾股定理的计算是关键． 根据勾股定理分类讨论计算即可． 【详解】解：当斜边是5，一直角边为4，则第三边长为； 当两直角边分别为4，5时，第三边，即斜边长为； 故答案为：或 ． 14. 设实数的整数部分为a，小数部分为b．则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，二次根式的混合运算，熟练掌握无理数的估算，二次根式的混合运算是解题的关键．根据可得，，再代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为2， ∴小数部分为， ∴，， ∴． 故答案为：3． 15. 若实数x，y满足等式，则的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，根据偶次方的非负性、绝对值的非负性可求出x、y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：1． 16. 在中，，以点A为圆心、长为半径画弧，交线段于点D；以点B为圆心、长为半径画弧，交线段于点E．若，则的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是根据题意得出，进而表示出的长． 设，根据，在中，由勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：由作图知：，， 设， ∵，， ∴， 在中，， ∴为直角三角形， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即． 故答案为：6． 17. 如图，在矩形纸片中，，，点P在上，将沿折叠，使点A落在对角线上的点处，则的长为________． 【答案】3 【解析】 【分析】先由勾股定理求出BD的长，再根据折叠的性质得出，设 ，则 ，在 中，由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】在矩形纸片中，CD=，， ． 由勾股定理得， 由折叠得， ． 设 ，则， 在 中，， ， 解得． ． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 18. 如图，在一个长为2米，宽为1米的长方形草地上，堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且长于草地宽，木块的上下底面是边长为米的正三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要爬行的最短路程是________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，长方形的长为米，因为长方形的宽为1米，一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是对角线，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长， ∴长方形的长为米， ∵长方形的宽为1米， ∴一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是对角线， ∴米， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，共66分．请在相应区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 19. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，绝对值，二次根式的混合运算． （1）先化简二次根式，再计算加减即可； （2）先计算负整数指数幂，绝对值，并将分母有理化，再计算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 20. 已知的平方根是，的算术平方根是4，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了已知式子的算术平方根和平方根求式子的值，求无理数的整数部分，求代数式的平方根的有关知识，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 根据算术平方根及平方根与无理数的估算得出，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 依题意：， 解得：， ， 故的平方根． 21. 已知，求的立方根． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，以及立方根的定义，解题的关键是求出x，y的值．根据二次根式的性质，可以求得，然后得到，即可计算的立方根的值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的立方根为． 22. 已知，，求下列代数式的值： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式展开，将x、y的值代入计算即可求出值； （2）利用完全平方公式变形，将与的值代入计算即可求出值． 【小问1详解】 ∵，， ∴ 【小问2详解】 ∵，， ∴ 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确理解完全平方公式和平方差公式的结构是关键． 23. 如图，在四边形中，已知，，，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理，证明是直角三角形是解答本题的关键． （1）利用勾股定理可求，求出，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，再由即可得出结论； （2）由三角形的面积公式即可得出结果． 【小问1详解】 解：连接， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：四边形的面积的面积的面积 ． 24. 如图透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计），它的高为，底面周长为，在容器内壁离底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿与饭粒相对的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质、平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，勾股定理的应用等，正确利用侧面展开图、熟练运用相关知识是解题的关键． 如图，将容器侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图：将容器侧面展开，作A关于的对称点，连接，则即为最短距离， ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点A处， ∴，， ∴， 即蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是． 25. 如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动，则几秒后，的面积等于？ 【答案】5秒后，的面积等于. 【解析】 【分析】设经过后，的面积等于.在中，根据勾股定理，得，根据面积公式可求出t. 【详解】解：设经过后，的面积等于. 在中，根据勾股定理，得， 所以. 所以. 解得. 故5秒后，的面积等于. 【点睛】考核知识点：勾股定理和逆定理运用.根据勾股定理求出AC是解题关键. 26. 如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得． 【详解】解：在中， ， 设秋千的绳索长为，则， 故， 解得：， 答：绳索的长度是． 27. 如图正方形网格中的，若小方格边长为1，请你根据所学的知识回答问题． （1）判断是什么形状三角形？并说明理由； （2）求的面积； （3）试求点到的距离． 【答案】 （1）在中，； 在中，； 在中，； ， 是直角三角形． （2）13；（3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理分别求出AB、BC、AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出三角形ABC的形状； （2）判断出AB和BC分别为底和高，利用公式直接解答； （3）AB的长即为A到BC的距离． 【详解】解：（1）略 （2）是直角三角形， ； （3）是直角， 到的距离． 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形的面积，充分利用网格是解题的关键． 28. 问题提出：（1）同学们在探索求代数式的最小值的过程时，老师进行了如下的引导，如图，为线段上的一个动点，分别过点，作，，连接，已知，，，设． ①则的长为______．（用含的代数式表示） ②如图，过作交的延长线于，构造长方形，连接，此时、、三点共线，的值最小，求最小值． 问题解决：（2）请用上述的构图法求出代数式的最小值． 【答案】（1）①；②13；（2）17 【解析】 【分析】（1）①由于和都是直角三角形，故，可由勾股定理求得； ②求出的值便是的值最小； （2）可作，过点作，过点作，使，，连接交于点，则的长即为代数式的最小值，然后构造矩形，，利用矩形的直角三角形的性质可求得的值． 【详解】解：（1）①由勾股定理得，， ， ， 故答案为：； ②当、、三点共线时，的值最小为； （2）如图所示，作，过点作，过点作，使，，连接交于点，设，则的长即为代数式 的最小值． 过点作交的延长线于点，得矩形， 则，，， 所以， 即的最小值17． 【点睛】本题考查了求代数式的最值，数形结合的思想，勾股定理，在求形如的式子的最小值，关键是通过构造直角三角形，利用勾股定理求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期联考 初三数学试题 考生注意： 1．考试时间120分钟． 2．全卷共三道大题，共27个小题，总分120分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项书写在相应的位置上）． 1. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A. ，， B. ，， C. 4，5，6 D. 5，12，13 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 3的平方根是 B. C. D. 的算术平方根是6 4. 二次根式中x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 三边分别为a，b，c，在下列条件中，不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，平分交于点，则点到的距离是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为了从A处快速到达图书馆B处，直接从长方形草地中穿过．为保护草地，嘉嘉想在A处立一个标牌：“少走■米，踏之何忍？”如图，若AB＝17米，BC＝8米，则标牌上“■”处的数字是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 11 8. 如图，在我军某次海上演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿东偏南方向以9节（1节=1海里/小时）的速度航行，2号舰沿南偏西方向以节的速度航行，离开港口2小时后它们分别到达A，B两点，此时两舰的距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 9. 如图，在数轴上，点A对应的数为a，点B对应的数为b，则化简后结果正确的是（ ） A. B. b C. D. 10. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为．若正方形的边长为3，则的值为（ ） A. 9 B. 18 C. 27 D. 36 二、填空题（本大题共8小题，每空3分，共24分） 11. 64的立方根是_______． 12. 的平方根是____． 13. 若直角三角形两条边长分别为和，则它第三边长为________． 14. 设实数的整数部分为a，小数部分为b．则的值为______． 15. 若实数x，y满足等式，则的值是______． 16. 在中，，以点A为圆心、长为半径画弧，交线段于点D；以点B为圆心、长为半径画弧，交线段于点E．若，则的长为______． 17. 如图，在矩形纸片中，，，点P在上，将沿折叠，使点A落在对角线上的点处，则的长为________． 18. 如图，在一个长为2米，宽为1米的长方形草地上，堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且长于草地宽，木块的上下底面是边长为米的正三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要爬行的最短路程是________米． 三、解答题（本大题共9个小题，共66分．请在相应区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 19. 计算 （1） （2） 20. 已知的平方根是，的算术平方根是4，c是的整数部分，求的平方根． 21. 已知，求的立方根． 22. 已知，，求下列代数式的值： （1） （2） 23. 如图，在四边形中，已知，，，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 24. 如图透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计），它的高为，底面周长为，在容器内壁离底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿与饭粒相对的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少． 25. 如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动，则几秒后，的面积等于？ 26. 如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 27. 如图正方形网格中的，若小方格边长为1，请你根据所学的知识回答问题． （1）判断是什么形状三角形？并说明理由； （2）求的面积； （3）试求点到的距离． 28. 问题提出：（1）同学们在探索求代数式的最小值的过程时，老师进行了如下的引导，如图，为线段上的一个动点，分别过点，作，，连接，已知，，，设． ①则的长为______．（用含的代数式表示） ②如图，过作交的延长线于，构造长方形，连接，此时、、三点共线，的值最小，求最小值． 问题解决：（2）请用上述的构图法求出代数式的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $