精品解析：上海市金山区华东师范大学附属枫泾中学2026-2027学年数学九年级上学期 十月闯关小练习

初三数学十月闯关小练习 一、单选题（每题4分，共24分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的四组线段中，成比例的一组是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，一元二次方程的根中较大的根的范围是（ ） 0 0.5 1 1.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 A. B. C. D. 4. 已知，且，则与的周长比是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，点D，E分别在边上，且，则下列各式不成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为实数）．其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（每题4分，共48分） 7. 函数是二次函数，则________． 8. 已知，那么________． 9. 如果线段是、的比例中项，且，则___________． 10. 已知点C是线段的黄金分割点，，那么的长为________． 11. 一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为________________． 12. 在中，，；在中，，，那么与________（选填“相似”或“不相似”）． 13. 已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的表达式为________________． 14. 若抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是______． 15. 已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和，求当时，x的取值范围为___________. 16. 如图，在中，，于点D，若，，则的长为______． 17. 如图是杠杆示意图，支点为O，动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直．由动力臂、动力的作用线与杠杆组成，由阻力臂、阻力的作用线的反向延长线与杠杆组成，若，且杠杆平衡时动力，根据杠杆平衡条件，则阻力______N． 18. 我们约定：在平面直角坐标系中，点的“伴点”是点（其中，不同时为0）．例如，点的“伴点”是点．下列结论：①点的“伴点”是点；②存在点，使点与它的“伴点”均在反比例函数的图象上；③存在点，使点与它的“伴点”均在一次函数的图象上；④有且只有一个点，使点与它的“伴点”均在二次函数的图象上．正确的是__________（填写序号）． 三、解答题 19. 已知二次函数的图像经过点，，． （1）求这个二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，并判断有最高点还是最低点； （3）写出该抛物线向左平移1个单位长度再向下平移4个单位长度后的抛物线表达式． 20. 如图，，直线、与这三条平行线分别相交于点A、B、C和点D、E、F． （1）若，，求的长； （2）若，，，求的长． 21. 已知二次函数，它的图像与x轴的交点分别为A、B（点A在点B的左侧），顶点为C． （1）求A、B的坐标． （2）求的面积． （3）若平面内存在一点D，使得A、B、C、D四点构成平行四边形，请直接写出所有符合题意的点D的坐标． 22. 如图，在正方形中，E是边上任意一点，连接，过点E作交于点F，若，，求的长． 23. 某商店销售一种成本为每件 元的商品，物价部门规定每件售价不高于 元．经市场调查发现：当每件售价定为 元时，每天可售出 件；当每件售价提高1元时，每天的销售量就减少 件． （1）求每天销售利润 （元）与每件售价 （元）之间的函数关系式； （2）当每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 24. 已知线段a、b、c，求作线段x，使得． 25. “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． （1）如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与O点水平距离的C处达到最高，高度为． ①设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为．请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． （2）乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是（），丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学十月闯关小练习 一、单选题（每题4分，共24分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据二次函数的定义，二次函数必须满足表达式为整式，自变量最高次数为2且二次项系数不为0，根据能否满足这些条件进行判断． 【详解】解：A选项：中含分式，表达式不是整式，不是二次函数，不符合题意； B选项：化简，得，自变量最高次数为1，不是二次函数，不符合题意； C选项：符合二次函数定义，是二次函数，符合题意； D选项：自变量最高次数为1，不是二次函数，不符合题意． 2. 下列长度的四组线段中，成比例的一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将每组线段按长度从小到大排序，验证最小与最大线段的乘积是否等于中间两条线段的乘积，相等则该组线段成比例，逐项判断即可． 【详解】解：A、排序得，，，， ，， ，该组线段不成比例． B、排序得，，，， ，， ，该组线段不成比例． C、排序得，，，， ，， ，该组线段成比例． D、排序得，，，， ，， ，该组线段不成比例． 3. 二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，一元二次方程的根中较大的根的范围是（ ） 0 0.5 1 1.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．根据表格找出y的值接近0时对应的x的值的取值范围，从而分析求解． 【详解】解：由表格可得： 当时，； 当时，，当时，， 二次函数图像的对称轴为直线， 当时，， 设一元二次方程的根为，，且， ∴，， 即一元二次方程的根中较大的根的范围是， 故选：D． 4. 已知，且，则与的周长比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质确定相似比，再利用两个相似三角形的周长比等于相似比，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴与的周长比等于对应边的比， ∴与的周长比为． 5. 如图，在中，点D，E分别在边上，且，则下列各式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴，，，， 不能得到， 故只有C选项符合题意. 6. 二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为实数）．其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】先根据抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴交点判断a，b，c的符号，再利用对应的函数值判断的正负，结合对称轴得到与的等量关系，代入不等式推导、的大小关系，最后利用二次函数顶点最小值的性质判断第四个结论． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ，即， 抛物线与轴交于负半轴， ， 即，两负一正， ， 故①正确． 由图象可知，当时，， ， 故②正确． ，且， ， ， 即，故③正确． 当时，二次函数取最小值， 对于任意实数，都有， ， 故④正确． 综上，正确结论的个数有4个． 二、填空题（每题4分，共48分） 7. 函数是二次函数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的定义，自变量的最高次数为且二次项系数不为，据此列关系求解． 【详解】解： 是二次函数， 的次数为，即， 整理得，解得或， 二次项系数不能为， ，即， ． 8. 已知，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】将所求分式拆分为整式与已知分式的差，代入已知条件计算即可． 【详解】解：，， ． 9. 如果线段是、的比例中项，且，则___________． 【答案】4 【解析】 【详解】根据比例中项的概念，得，再利用比例的基本性质计算得到的值． 【解答】解：是、的比例中项， ， 又， ， 解得． 又为线段的长度， 舍去； 即． 10. 已知点C是线段的黄金分割点，，那么的长为________． 【答案】 或 【解析】 【分析】点是线段的黄金分割点，未说明与的大小关系，需分两种情况，根据黄金分割点的定义计算的长度． 【详解】解：分两种情况讨论： 第一种情况，当时： 点是线段的黄金分割点 把代入得： 解得 第二种情况，当时： 点是线段的黄金分割点 ，即 又， 整理得 分母有理化解得 综上，的长为或． 11. 一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为________________． 【答案】 4 【解析】 【分析】将给定二次函数配方为顶点式，二次项系数小于0，开口向下，顶点横坐标即为所求引爆时间． 【详解】解：， ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值为18， ∴从点火升空到引爆需要的时间为． 12. 在中，，；在中，，，那么与________（选填“相似”或“不相似”）． 【答案】相似 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理求出的度数，结合已知可得，，由两角相等可证． 【详解】解：∵，， ∴， 又，， ∴，， ∴． 13. 已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的表达式为________________． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线的开口方向和形状大小由二次项系数决定，由此可得的二次项系数，结合已知顶点坐标即可求出表达式． 【详解】解：∵抛物线与的开口方向、形状大小完全相同， ∴的二次项系数为， ∵的顶点坐标为， ∴将，顶点坐标代入抛物线顶点式（其中为顶点坐标，为二次项系数），得 的表达式为． 14. 若抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】抛物线要求二次项系数不为，与轴有两个交点要求根的判别式大于，联立两个不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是抛物线，即二次函数， ∴二次项系数，解得． ∵抛物线与轴有两个交点， ∴根的判别式． 其中，，，代入得： ， 令，解得． 综上，的取值范围是且． 15. 已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和，求当时，x的取值范围为___________. 【答案】或##或 【解析】 【分析】根据抛物线开口向上，图象与轴的两个交点的横坐标分别为和，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和，抛物线开口向上， ∴当时，x的取值范围为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了根据抛物线与坐标轴的交点确定不等式的解集，掌握二次函数的性质是解题的关键． 16. 如图，在中，，于点D，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】用两角分别相等的两个三角形相似证明，三角形相似对应的边成比例得到，代入求值即可． 【详解】解：， ， 又， ， 又， ， ， ，， ， ， ． 17. 如图是杠杆示意图，支点为O，动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直．由动力臂、动力的作用线与杠杆组成，由阻力臂、阻力的作用线的反向延长线与杠杆组成，若，且杠杆平衡时动力，根据杠杆平衡条件，则阻力______N． 【答案】6 【解析】 【分析】先证，可得，则．由，可得． 【详解】解：动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直， ． ． ． ． ． ，即． ，， ． 18. 我们约定：在平面直角坐标系中，点的“伴点”是点（其中，不同时为0）．例如，点的“伴点”是点．下列结论：①点的“伴点”是点；②存在点，使点与它的“伴点”均在反比例函数的图象上；③存在点，使点与它的“伴点”均在一次函数的图象上；④有且只有一个点，使点与它的“伴点”均在二次函数的图象上．正确的是__________（填写序号）． 【答案】①③ 【解析】 【分析】根据伴点的定义，逐个验证四个结论，利用函数图象上点的坐标满足函数解析式，列方程或方程组判断解的存在性与个数即可． 【详解】解：① 对于点，，，其伴点为，因此①正确； ② 若和都在的图象上， 由在图象上，可得， 由在图象上，可得，即， 联立得，矛盾，不存在满足条件的点，因此②错误； ③ 若和都在的图象上， 可得方程组 ，解得， ∴存在这样的点P，使点与它的“伴点”均在一次函数的图象上，因此③正确； ④ 若和都在的图象上， 可得方程组 ，整理得， 因此可得或， 当时，代入得， 该方程有两个不同实根，对应两个不同的点； 当时，代入得， 该方程判别式大于，有两个不同实根，对应两个不同的点，综上共有个不同的点满足条件，不符合“有且只有一个点”的描述，因此④错误． 综上，正确结论为①③． 三、解答题 19. 已知二次函数的图像经过点，，． （1）求这个二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，并判断有最高点还是最低点； （3）写出该抛物线向左平移1个单位长度再向下平移4个单位长度后的抛物线表达式． 【答案】（1） ； （2） 开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，有最高点； （3） ． 【解析】 【分析】（1）设二次函数一般式，代入三个已知点坐标，解方程组求得系数； （2）由二次项系数符号判断开口方向，结合对称轴公式求对称轴，代入计算得顶点坐标，进而判断最值点类型； （3）将原解析式化为顶点式，按平移规则对解析式变形求解． 【小问1详解】 解： 设二次函数的表达式为（）， ∵图像经过点， ∴ ∵图像经过点和， ∴ 解得， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， 将代入， 得， ∴顶点坐标为， ∵抛物线开口向下， ∴抛物线有最高点； 【小问3详解】 解：将原解析式化为顶点式： 向左平移1个单位长度，得， 再向下平移4个单位长度，得， ∴平移后的抛物线表达式为． 20. 如图，，直线、与这三条平行线分别相交于点A、B、C和点D、E、F． （1）若，，求的长； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例； （2）三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 【小问1详解】 解：， ， 又，， ， ； 【小问2详解】 ， ， 又，，， ， ； ． 21. 已知二次函数，它的图像与x轴的交点分别为A、B（点A在点B的左侧），顶点为C． （1）求A、B的坐标． （2）求的面积． （3）若平面内存在一点D，使得A、B、C、D四点构成平行四边形，请直接写出所有符合题意的点D的坐标． 【答案】（1） ， （2） （3） ，， 【解析】 【分析】（1）令，得：，解方程即可得到答案； （2）先求出顶点为C的坐标是，再用三角形的面积公式求解即可； （3）分①当为平行四边形对角线，②当为平行四边形对角线，③当为平行四边形对角线，三种情况讨论即可 【小问1详解】 解：令，得：， 解得：， ∵点A在点B的左侧， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴顶点为C的坐标是； ∵， ∴的面积； 【小问3详解】 解：①当为平行四边形对角线时，，即； ②当为平行四边形对角线时，，即； ③当为平行四边形对角线时，，即 22. 如图，在正方形中，E是边上任意一点，连接，过点E作交于点F，若，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】证明，列出比例式进行求解即可. 【详解】解：在正方形中，，， ． ， ， ， ， ， ， ， ． 23. 某商店销售一种成本为每件 元的商品，物价部门规定每件售价不高于 元．经市场调查发现：当每件售价定为 元时，每天可售出 件；当每件售价提高1元时，每天的销售量就减少 件． （1）求每天销售利润 （元）与每件售价 （元）之间的函数关系式； （2）当每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）售价 元时最大利润 元 【解析】 【小问1详解】 解：根据题意得： ∴， ∴每天销售利润 （元）与每件售价 （元）之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：根据（1）得： ∴此抛物线开口向下，对称轴为，有最大值， ∵在范围， ∴当时，， ∴当每件售价定为50元时，每天的销售利润最大，最大利润是800元． 24. 已知线段a、b、c，求作线段x，使得． 【答案】如图，线段即为所求． 【解析】 【分析】由，可得，利用平行线分线段成比例即可画出线段，作射线，在上分别截取，，作射线，在上截取，连接，过点作，交延长线于点，则即为所求作的线段． 【详解】略 25. “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图1）．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． （1）如图2，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与O点水平距离的C处达到最高，高度为． ①设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为．请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． （2）乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是（），丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点．求丙的平均速度． 【答案】（1）如图，建立平面直角坐标系． 函数表达式为； ②的取值范围为 （2）丙的平均速度为米/秒 【解析】 【分析】（1）由题意得，，设函数表达式为：，把代入，即可求解； ②当时，，由题意得，，即可求解； （2）当时，，求得，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，，设函数表达式为：， 把代入，得， 解得， ∴函数表达式为：． ②当时，， 由题意得，， 当时，整理得，， 令， 当时，， 解得，， ∴的解集为； 当时，整理得，， 令， 当时，， 解得，， ∴的解集为或； 由题意得，， 综上所述，的取值范围为． 【小问2详解】 解：当时，， 解得，（舍去）， ∴丙的平均速度为（米/秒）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $