精品解析：上海市浦东新区江镇中学2026-2027学年上学期九年级数学第一学期练习卷

2026-2027学年九年级数学第一学期练习卷 （考试时间：100分钟，分值：150分） 一、选择题（本大题共5题，每题4分，满分20分） 1. 下列函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知二次函数的图像开口向下，对称轴为直线，与y轴的交点在y轴的正半轴上．下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 当时，y随x的增大而增大 D. 3. 将抛物线y=－2x2先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，两次平移后得到的抛物线的解析式为（ ） A. y=－2(x+1)2+3 B. y=－2(x+1)2-3 C. y=－2(x-1)2+3 D. y=－2(x-1)2-3 4. 若二次函数的图像与x轴没有公共点，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数的图像上有两点、，其中．下列判断中正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 二、填空题（本大题共10题，每题4分，满分40分） 6. 抛物线关于x轴对称的抛物线的表达式是______． 7. 已知二次函数的图像经过点、，且与y轴交于点，则这个二次函数的表达式是______． 8. 若二次函数的图像与x轴的两个公共点之间的距离为4，则m的值是______． 9. 将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为，则原抛物线的表达式是______． 10. 已知点、、都在二次函数的图像上，则、、的大小关系是______．（用“＜”连接）． 11. 已知抛物线的顶点在直线上，则c的值是______． 12. 若二次函数经过点，则的值是______． 13. 已知二次函数，当时，函数的最大值为4，则m的取值范围是______ 14. 已知抛物线，当时，的最小值为，最大值为3，则的取值范围为______. 15. 用长的篱笆围成一个矩形场地，其中一面利用墙（墙长为）．设垂直于墙的一边长为，矩形场地的面积为．则S关于x的函数关系式是______．自变量x的取值范围是______，当______时，S取得最大值，最大值是______． 三、解答题（本大题共8题，满分90分） 16. 已知二次函数． （1）求它的图像的顶点坐标和对称轴； （2）求它的图像与x轴、y轴的交点坐标． 17. 已知抛物线的顶点为，且与y轴交于点． （1）求这条抛物线的表达式； （2）当时，求该函数的最大值与最小值． 18. 已知二次函数的图像与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求点A、B、C的坐标； （2）直接写出不等式的解集； （3）若直线与该抛物线有两个不同的公共点，求k的取值范围． 19. 已知抛物线：． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）将抛物线沿x轴翻折，得到抛物线，求的表达式； （3）将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线，判断抛物线是否经过原点，并说明理由． 20. 某商店销售一种成本为每件40元的商品．经市场调查发现，当售价定为每件x元时，每天的销售量为件．设该商店每天销售这种商品获得的利润为w元． （1）求w关于x的函数关系式； （2）当售价定为每件多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 21. 用长的篱笆围成一个矩形花园，花园的一边利用墙（墙长为），另外三边用篱笆围成．设垂直于墙的一边长为，花园的面积为． （1）求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）花园的面积能否达到？若能，求出x的值；若不能，请说明理由； （3）求花园面积S的最大值． 22. 已知抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求点A、B、C的坐标； （2）求的面积； （3）在抛物线上是否存在点P，使的面积等于面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 已知抛物线经过点、，与y轴交于点． （1）求这条抛物线的表达式； （2）点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作轴，交直线于点Q，求线段的最大值及此时点P的坐标； （3）设抛物线的对称轴为直线l，在直线l上是否存在点N，使？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学第一学期练习卷 （考试时间：100分钟，分值：150分） 一、选择题（本大题共5题，每题4分，满分20分） 1. 下列函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】从表达式是否为整式、自变量最高次数是否为2、二次项系数是否不为0三个方面判断各选项. 【详解】解：A、最高次数为1，不符合题意； B、含分式，不符合题意； C、，最高次数为1，不符合题意； D、，符合题意. 2. 已知二次函数的图像开口向下，对称轴为直线，与y轴的交点在y轴的正半轴上．下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 当时，y随x的增大而增大 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由开口方向、对称轴公式、与y轴交点位置确定a、b、c的符号，结合二次函数图象性质逐一判断选项. 【详解】解：∵二次函数图象开口向下， ∴； ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴； ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴； ∴，故A错误； ∵当时，， 又∵，， ∴，即顶点在x轴上方； ∵抛物线开口向下， ∴抛物线与x轴有两个交点， ∴，故B错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故C正确； 是时对应的函数值，仅由已知条件无法确定其正负，故D错误. 3. 将抛物线y=－2x2先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，两次平移后得到的抛物线的解析式为（ ） A. y=－2(x+1)2+3 B. y=－2(x+1)2-3 C. y=－2(x-1)2+3 D. y=－2(x-1)2-3 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：将抛物线y=－2x2先向左平移1个单位，得到的抛物线的解析式是y=－2（x+1）2，再向上平移3个单位后抛物线的解析式是y=－2（x+1）2+3，故选A． 考点：抛物线的平移规律． 4. 若二次函数的图像与x轴没有公共点，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：∵二次函数的图像与轴没有公共点， ∴一元二次方程无实数根， ∴， 解得． 5. 已知二次函数的图像上有两点、，其中．下列判断中正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】将两点横坐标代入二次函数解析式，作差比较与的大小． 【详解】解：将代入，得． 将代入，得． ， ∵， ∴，即． 二、填空题（本大题共10题，每题4分，满分40分） 6. 抛物线关于x轴对称的抛物线的表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线关于轴对称时，对应点横坐标不变，纵坐标变为原纵坐标的相反数，将原解析式中的替换为整理即可得到结果． 【详解】解：已知原抛物线表达式为， ∵抛物线关于轴对称，对称后点的横坐标不变，纵坐标变为原纵坐标的相反数， ∴对称后的抛物线满足， 两边同乘整理得． 7. 已知二次函数的图像经过点、，且与y轴交于点，则这个二次函数的表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】已知二次函数与轴的两个交点坐标，选用交点式设解析式，再代入与轴的交点求出未知系数，整理即可得到二次函数表达式． 【详解】解：∵二次函数图像过轴上的点和， ∴设二次函数表达式为， 把点代入表达式得，计算得，解得， ∴二次函数表达式为， 展开整理得． 8. 若二次函数的图像与x轴的两个公共点之间的距离为4，则m的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，利用二次函数与轴交点关于对称轴对称的性质，得到交点横坐标，代入解析式即可求出的值． 【详解】解：二次函数的对称轴横坐标为直线， ∵二次函数图像与轴的两个交点关于对称轴对称，两点距离为， ∴单个交点到对称轴的距离为， ∴两个交点的横坐标分别为和， 将点代入得， 解得． 9. 将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为，则原抛物线的表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的可逆性，将平移后的已知抛物线反向平移，结合抛物线平移规律“左加右减，上加下减”计算得到原抛物线． 【详解】解：∵原抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位得到抛物线 ∴将向右平移个单位，再向上平移个单位，即可得到原抛物线， 先对已知抛物线配方：， 根据平移规律“左加右减自变量，上加下减常数项”，向右平移个单位，向上平移个单位得：， 整理得：， 即原抛物线的表达式为． 10. 已知点、、都在二次函数的图像上，则、、的大小关系是______．（用“＜”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，再根据开口向上时，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大，比较三个点到对称轴的距离即可得到结果． 【详解】解：对二次函数配方得． ∵二次项系数为， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， 计算各点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵抛物线开口向上时，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，且， ∴． 11. 已知抛物线的顶点在直线上，则c的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】先将抛物线配方得到顶点坐标，再利用顶点在直线上的条件，将顶点横坐标代入直线解析式得到顶点纵坐标，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵顶点在直线上， ∴将代入直线解析式，得顶点纵坐标， ∴， 解得． 12. 若二次函数经过点，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】将已知点的坐标代入二次函数解析式，整理即可求出的值． 【详解】解：∵二次函数经过点， ∴将，代入解析式得， 整理得， 计算得． 13. 已知二次函数，当时，函数的最大值为4，则m的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】先对二次函数配方得到开口方向和顶点坐标，二次函数的最大值为仅在处取得，要使给定区间内函数最大值为，需落在范围内，列不等式求解即可． 【详解】解：对二次函数配方得， ∵抛物线开口向下，顶点坐标为，二次函数的最大值为，仅在处取得， ∵内函数的最大值为， ∴必须落在范围内，可得不等式组， 解得． 14. 已知抛物线，当时，的最小值为，最大值为3，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用配方法得出当，y取最小值，最小值为，代入y=3，解出x=0或4，结合题意，即可找出m的取值范围． 【详解】解：∵抛物线， ∴当，y取最小值，最小值为； 当y=3时，有， 解得：， ∴当x=0或4时，y=3， 又∵当时，的最小值为，最大值为3， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的最值以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象的特征找出m的取值范围是解题的关键． 15. 用长的篱笆围成一个矩形场地，其中一面利用墙（墙长为）．设垂直于墙的一边长为，矩形场地的面积为．则S关于x的函数关系式是______．自变量x的取值范围是______，当______时，S取得最大值，最大值是______． 【答案】 ①. ②. ③. ④. 【解析】 【分析】根据篱笆总长得到平行于墙的边长，利用矩形面积公式推导函数关系式，结合墙长限制确定自变量取值范围，再根据二次函数单调性求最大值． 【详解】解：垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， 矩形面积， 整理得， ∵平行于墙的边长需满足大于0，且不超过墙长， ∴， 解不等式得。 二次函数开口向下，对称轴为， 当时，随的增大而减小， 又， ∴当时，取得最大值， 代入得，即最大值为． 三、解答题（本大题共8题，满分90分） 16. 已知二次函数． （1）求它的图像的顶点坐标和对称轴； （2）求它的图像与x轴、y轴的交点坐标． 【答案】（1）顶点坐标为，对称轴为直线 （2）与轴的交点坐标为、，与轴的交点坐标为 【解析】 【分析】（1）将二次函数一般式配方为顶点式，直接得到顶点坐标与对称轴； （2）分别令、，求解对应未知数的值，即可得到图像与坐标轴的交点坐标． 【小问1详解】 解：， ∴图像的顶点坐标为，对称轴为直线； 【小问2详解】 解：令，则， 化简得， 解得，， ∴与x轴的交点坐标为，； 令，则， ∴与y轴的交点坐标为． 17. 已知抛物线的顶点为，且与y轴交于点． （1）求这条抛物线的表达式； （2）当时，求该函数的最大值与最小值． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据题意可设抛物线的顶点式为，再代入点求解； （2）根据抛物线的对称轴及开口方向可确定最小值，计算出与对称轴的距离，进而确定最大值即可． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点为， 则可设抛物线的表达式为， 又与y轴交于点， 所以，解得， 则这条抛物线的表达式为，即； 【小问2详解】 抛物线的表达式为，则对称轴为，开口向上， 当时，则时，该函数取得最小值，最小值为； 又， 时，该函数取得最大值，最大值为， 故该函数的最大值为，最小值为． 18. 已知二次函数的图像与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求点A、B、C的坐标； （2）直接写出不等式的解集； （3）若直线与该抛物线有两个不同的公共点，求k的取值范围． 【答案】（1），，. （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）令可求x轴交点坐标，令可求y轴交点坐标； （2）结合抛物线开口方向与x轴交点，直接得到不等式解集； （3）将直线与抛物线的交点问题转化为一元二次方程根的个数问题，通过判别式求解． 【小问1详解】 解：令，则， 整理得， 解得，， ∵点A在点B左侧， ∴，； 令，得， ∴； 【小问2详解】 解：∵抛物线的二次项系数为， ∴开口向下，且与x轴交于，， ∴不等式的解集为； 【小问3详解】 解：将代入，得， 整理得， ∵直线与抛物线有两个不同的公共点， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 19. 已知抛物线：． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）将抛物线沿x轴翻折，得到抛物线，求的表达式； （3）将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线，判断抛物线是否经过原点，并说明理由． 【答案】（1）． （2）． （3）抛物线不经过原点． ∵抛物线的解析式可化为，将其向右平移2个单位、向下平移3个单位得到． ∴的解析式为． ∵当时，． ∴抛物线不经过原点． 【解析】 【分析】（1）对二次函数一般式配方化为顶点式，直接读出顶点坐标． （2）沿轴翻折，横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数，据此求新解析式． （3）利用平移规律写出解析式，把原点坐标代入验证等式是否成立． 【小问1详解】 解： ． ∴抛物线的顶点坐标为． 【小问2详解】 解：抛物线由沿轴翻折得到，翻折后，相同横坐标对应的纵坐标互为相反数． 设上任意一点坐标，则点在抛物线上． 所以， 整理可得． ∴抛物线的表达式为． 【小问3详解】 不经过原点，理由：略 20. 某商店销售一种成本为每件40元的商品．经市场调查发现，当售价定为每件x元时，每天的销售量为件．设该商店每天销售这种商品获得的利润为w元． （1）求w关于x的函数关系式； （2）当售价定为每件多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当售价定为每件70元时，每天获得的利润最大，最大利润是1800元. 【解析】 【分析】（1）根据总利润=单件利润×销售量的等量关系，代入对应表达式推导函数关系式； （2）将二次函数解析式配方，结合自变量取值范围与抛物线开口方向确定最大值． 【小问1详解】 解：由题意得，每件商品的利润为元，每天的销售量为件， ∴， 【小问2详解】 解：， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为1800， 答：当售价定为每件70元时，每天获得的利润最大，最大利润是1800元． 21. 用长的篱笆围成一个矩形花园，花园的一边利用墙（墙长为），另外三边用篱笆围成．设垂直于墙的一边长为，花园的面积为． （1）求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）花园的面积能否达到？若能，求出x的值；若不能，请说明理由； （3）求花园面积S的最大值． 【答案】（1），自变量的取值范围是； （2）不能，理由如下： 令，则， 整理得， 即， 解得 ∵， 不符合自变量的取值范围， ∴花园的面积不能达到； （3）花园面积的最大值为． 【解析】 【分析】（1）用含的式子表示平行于墙的边长，结合矩形面积公式列函数关系式，根据墙长与边长为正的限制求自变量取值范围； （2）令列一元二次方程，根据解是否在自变量取值范围内判断面积能否达到； （3）将二次函数解析式配方，结合开口方向、自变量取值范围与函数增减性求最大值． 【小问1详解】 解：∵垂直于墙的一边长为， ∴平行于墙的一边长为 ∴ ∵平行于墙的边长需满足， 解，得， 解，得， ∴自变量的取值范围是； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：将函数解析式配方，得 ∵， ∴抛物线开口向下，当时，随的增大而减小 又∵， ∴当时，取得最大值， 最大值为 ∴花园面积的最大值为． 22. 已知抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求点A、B、C的坐标； （2）求的面积； （3）在抛物线上是否存在点P，使的面积等于面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ，， （2） （3） 存在，点的坐标为和 【解析】 【分析】（1）分别令、，解方程可得抛物线与坐标轴的交点坐标； （2）以为底，点到轴的距离为高，计算三角形面积； （3）根据面积关系求出点的纵坐标，代入抛物线解析式求解横坐标即可. 【小问1详解】 解：令，则，解得，； ∵点在点左侧， ∴，； 令，则； ∴；  【小问2详解】 解：由（1）可知，点到轴的距离为， ∴； 【小问3详解】 解：存在，设点的纵坐标为， ∵， ∴或； 当时，代入得， 解得， 此时点的坐标为，； 当时，代入得， 整理得， ∵， ∴此方程无实数根； 综上所述，存在满足条件的点，其坐标为和. 23. 已知抛物线经过点、，与y轴交于点． （1）求这条抛物线的表达式； （2）点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作轴，交直线于点Q，求线段的最大值及此时点P的坐标； （3）设抛物线的对称轴为直线l，在直线l上是否存在点N，使？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 线段的最大值为，此时点的坐标为 （3） 存在，点的坐标为 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，设出点坐标，将线段的最大值转化为二次函数求最值即可； （3）设出点坐标，根据两点间距离公式列出方程进行求解即可. 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点、， ∴设抛物线的表达式为； 将代入得：，解得， ∴.  【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将、代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴线段的最大值为，此时点的坐标为.  【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $