精品解析：江苏扬州市江都区丁沟中学2026-2027学年高一上学期10月教学质量监测数学试题

2026−2027学年高一年级10月教学质量监测 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数式与对数式的互化即得. 【详解】由可得. 2. 若是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知，写出的解析式，由是偶函数可得，化简即可求解参数. 【详解】由已知，， 函数为偶函数，所以，所以， 整理得：，所以. 3. 若，则下列说法一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用作差法验证. 【详解】A选项，，所以，则，当且仅当时成立，所以A选项错误； B选项，，则，所以，该式只在或时成立，所以B选项错误； C选项，当时，和无意义，所以C选项错误； D选项，①，，所以，则①式为0，所以D选项正确. 4. 已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】若“”是“”的充分不必要条件，根据充分不必要条件的定义，可得：若则必有， 但不一定能推出，对应集合关系就是是的真子集，即 . 集合，集合，要让真包含于： 当时， ，此时的所有元素都在中，且中存在小于的元素不属于，满足 ； 当时，中会存在大于等于的元素不在内，无法满足 ； 当时，的所有元素都属于，且中存在元素不属于，满足 . 综上，的取值范围是. 5. 已知函数，若关于的方程有三个不同的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数性质，作出函数图象，数形结合即可求解. 【详解】结合二次函数性质，作出函数图象如下： 关于的方程有三个不同的实数根， 则函数与函数的图象有三个不同的交点， 结合图象可知. 6. 若在R上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】若在R上单调递增， 则，解得，即的取值范围是. 7. 某班参加数学、物理、化学小组的人数分别为21、19、17，同时参加数学和物理、数学和化学、物理和化学的人数分别为7、6、5，三个都参加的人数为3，则只参加一个小组的人数为（ ） A. 24 B. 25 C. 27 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意，作出图，计算即可求解. 【详解】由题意可知，只参加数学和物理的有人，只参加数学和化学的有人，只参加物理和化学的有人， 作出图如下： 所以只参加一个小组的人数为人. 8. 已知实数，，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由正实数且，得. 令，，，则， 原问题转化为求的最小值. 由，得， 所以 ， 由基本不等式，对任意正实数有， 所以，，， 代入得， 当且仅当，，，即， 也就是​时，等号成立，因此原式最小值为. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知幂函数，则（ ） A. B. 若，在上单调递增 C. 若，在上单调递减 D. 的图像一定经过点 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A选项，当时，. 对于BC选项，根据幂函数指数与单调性的关系， 当时，函数在单调递增，当时，函数在单调递减； 对于D选项，当时，函数在处无意义，故错误. 10. 已知二次函数，则（ ） A. 若，则在上的最小值为2 B. 若在上单调递增，则 C. 若恒成立，则 D. 若方程的两个实根一个大于1，一个小于1，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴、单调区间、判别式以及根的分布，逐项判断即可. 【详解】已知二次函数，图象开口向上，对称轴为. A选项：若，则. 对称轴，所以当时，取得最小值.故A正确； B选项：的单调递增区间为. 若在上单调递增，则需满足.故B错误； C选项：若恒成立，则图象与轴无交点，需满足. . 化简得，解得，故C正确； D选项：若方程的两个实根一个大于1，一个小于1， 因为抛物线开口向上，所以必有，即， 化简得，解得.故D正确. 11. 已知定义在上的函数满足，且时，，则（ ） A. B. 是奇函数 C. 在上单调递增 D. 不等式的解集为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A ，令代入已知关系式，解方程求出判断 ；对B ，令，结合推出判断 ；对C ，设，变形构造，结合条件判断差值大于，得到函数单调递增；对D，先用已知关系式合并，再利用单调性脱去，解一元二次不等式得到解集判断. 【详解】对于A：令，则，解得，A正确； 对于B：令，对，有， 又，可得，即，为奇函数，B正确； 对于C：、，且，则，， 所以， 整理得，即，在上单调递增，C正确； 对于D：因为，，所以，即， 又在上单调递增，所以，解得或， 即不等式的解集为或，D错误. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. _____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂的运算公式和对数的运算公式及对数性质求解. 【详解】因为， ，， ，， 所以 13. 已知，，，则的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用1的妙用以及基本不等式求最值. 【详解】， 当且仅当且，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 14. 已知函数，，若对，总，使得成立，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先将题中条件等价于在区间上，，再根据对勾函数的性质得到，再根据二次函数的性质得到在上的最大值一定在或上取得，进而分和两种情况讨论即可得到答案． 【详解】对，总，使得成立， 等价于在区间上，， 结合对勾函数的性质，在上单调递增，则， 由是开口向上，对称轴为的二次函数， 则在上的最大值一定在或上取得， 由，， 当时，即，解得； 当时，即，解得， 综上，的取值范围是． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤． 15. 已知集合，． （1）求，； （2）已知命题：，是假命题，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）​ 【解析】 【小问1详解】 解分式不等式（定义域为），得． 因式分解，解一元二次不等式，得． 所以． 由全集为，得； 又，所以． 【小问2详解】 命题的否定为． 当时，若，取，则且； 若，取，则且，所以为真，为假． 当时，对任意，均有，所以为真． 因此为假当且仅当． 16. 已知函数． （1）若在区间上的最小值为，求； （2）解关于的不等式． 【答案】（1）0或2 （2）时，解集为; 时，解集为; 时，解集为。 【解析】 【分析】（1）求出的对称轴，讨论对称轴和所给区间的位置关系，确定最小值，即可求解； （2）讨论的两根的大小关系，即可求解. 【小问1详解】 由题可知为图象开口向上的二次函数，且对称轴为， 当，即时，在上单调递增 故，即，解得，不符题意； 当时，即时，在对称轴处取得最小值， 所以，解得或， 其中符合题意； 当时，即时，在上单调递减， 故，解得符合题意 综上，的值为0或2． 【小问2详解】 由题， 当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为， 当，即时，的解集为. 17. 已知正实数，满足． （1）求的最大值； （2）求的最小值； （3）若，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用基本不等式计算即得； （2）利用“乘1”法结合基本不等式求解即可； （3）将不等式左边整理后，利用对勾函数的单调性求出其最小值，即得参数的最大值. 【小问1详解】 因，， 则，当且仅当时取等， 即当时，取得最大值为； 【小问2详解】 由可得， 则 当且仅当时取等.由解得， 即当时，取得最小值为； 【小问3详解】 因 ， 令，由（1）可知 而函数在上单调递减，故， 又因，故得. 即的最大值为. 18. 已知定义在R上的函数满足，且，当时，． （1）求； （2）证明：在定义域内单调递增． （3）若对，，求的取值范围． 【答案】（1） （2）证明：令，得，即. 由已知时，故； 时；时. 故对任意，都有. 设，则，且. . 所以，即在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）赋值法求解； （2）赋值推导，利用定义作差证明单调性； （3）利用恒等式将原不等式化简为，结合及单调性转化为对恒成立，分离参数求最值即可. 【小问1详解】 令，，故 ，，解得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由已知恒等式，注意到，得： . 代入原不等式，化简得： . 当时，. 所以对，. 结合单调递增，得：对恒成立. 分离参数得：恒成立. 令，. 令，则. 当或时，取得最小值.所以. 故，即实数的取值范围为. 19. 已知幂函数经过点． （1）求的解析式； （2）设，若在上有且仅有一个零点，求的取值范围； （3）若函数在上的最大值为，最小值为，且满足，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数过的点可求参数，即可得答案； （2）利用零点存在定理即可求解； （3）写出的表达式，换元可得，，分类讨论确定最值，结合，解不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意得，解得. 故 【小问2详解】 由（1）可知， ①若零点在内，故必须满足 即，解得； ②若零点在端点处取得 （ⅰ）若，则，此时符合题意， （ⅱ）若，则，验证后符合题意， 综上，的取值范围是； 【小问3详解】 ，令，故，， 故的对称轴为， ①若，在上单调递增，即得，解得，矛盾； ②若，在上单调递减，即得，解得，矛盾； ③若，， 若，则，此时， 解得，则 若，则，此时， 解得，则， 综合可得得的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026−2027学年高一年级10月教学质量监测 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 若是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列说法一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，若关于的方程有三个不同的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若在R上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 某班参加数学、物理、化学小组的人数分别为21、19、17，同时参加数学和物理、数学和化学、物理和化学的人数分别为7、6、5，三个都参加的人数为3，则只参加一个小组的人数为（ ） A. 24 B. 25 C. 27 D. 30 8. 已知实数，，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知幂函数，则（ ） A. B. 若，在上单调递增 C. 若，在上单调递减 D. 的图像一定经过点 10. 已知二次函数，则（ ） A. 若，则在上的最小值为2 B. 若在上单调递增，则 C. 若恒成立，则 D. 若方程的两个实根一个大于1，一个小于1，则 11. 已知定义在上的函数满足，且时，，则（ ） A. B. 是奇函数 C. 在上单调递增 D. 不等式的解集为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. _____________． 13. 已知，，，则的最小值为__________． 14. 已知函数，，若对，总，使得成立，则的取值范围是______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤． 15. 已知集合，． （1）求，； （2）已知命题：，是假命题，求的取值范围． 16. 已知函数． （1）若在区间上的最小值为，求； （2）解关于的不等式． 17. 已知正实数，满足． （1）求的最大值； （2）求的最小值； （3）若，求的最大值． 18. 已知定义在R上的函数满足，且，当时，． （1）求； （2）证明：在定义域内单调递增． （3）若对，，求的取值范围． 19. 已知幂函数经过点． （1）求的解析式； （2）设，若在上有且仅有一个零点，求的取值范围； （3）若函数在上的最大值为，最小值为，且满足，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $