精品解析：江苏省苏州实验中学本部2026-2027学年高一第一学期十月质量检测数学试卷

2026-2027学年第一学期十月质量检测 高一数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，．若，则 (　 　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵ 集合，， ∴是方程的解，即 ∴ ∴，故选C 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式可得：或， 据此可知：是的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】要使函数有意义，需同时满足以下条件： ① 零次幂的底数不为零：，解得； ② 偶次根式的被开方数大于0，同时分母不为0：，解得， 可得且，即函数定义域为或. 4. 已知，均为正实数，且，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】将变形为，结合基本不等式和已知乘积条件求解最小值. 【详解】 因为均为正实数，故，，根据基本不等式得 ， 整理可得，即， 当且仅当时等号成立， 解得，，均满足正实数条件，故的最小值为5. 5. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次不等式对应的一元二次方程的来分析问题，恒大于等于零说明一元二次方程无解或者有两个相同解，由此计算的范围. 【详解】因为在上恒成立，记，所以，解得：， 故选B. 【点睛】本题考查一元二次不等式在实数集上恒成立的问题，难度较易.此类问题可转化为一元二次方程的根的判别式范围问题. 6. 若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的代换求的最小值，根据不等式有解可得大于其最小值，即可求解参数范围. 【详解】不等式有解，等价于， 因为， 所以 当且仅当，即时取等号， 所以，得， 所以实数的取值范围是. 7. 命题“，”为假命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将存在量词命题为假转化为其否定的全称量词命题为真，求出的取值范围，再结合必要不充分条件与集合包含关系的对应性来判断. 【详解】命题“，”为假命题，命题“，”为真命题，即对任意的恒成立. 令，为开口向上的二次函数，对称轴为； ，当时，取得最大值，即； 原命题为假的充要条件为，则 必要不充分条件对应的集合需真包含集合. 对于A，对应的集合不包含，故A错误； 对于B，对应的集合不包含，故B错误； 对于C，真包含于对应的集合，故C正确； 对于D，对应的集合真包含于，为充分不必要条件，故D错误. 8. 已知集合，且集合中只含有一个元素，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，； 当，即时，，则，只含一个元素，符合题意； 当，即时，，由只含有一个元素，得，则，解得； 当，即时，，由只含有一个元素，得，则，解得； 综上所述，. 二、多选题：本题共2小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 定义集合A、B的一种运算：，若，，则（    ） A. 的子集个数为15 B. 中的所有元素之积为120 C. 中的所有元素之和为14 D. 中的元素个数为5 【答案】BC 【解析】 【分析】我们先根据定义求出，然后根据选项逐项判断. 【详解】当时，分别为，； 当时，分别为，； 当时，分别为，. 所以. 选项A：一个集合有个元素，其子集个数为，有个元素，子集个数为，不是，故A错误； 选项B：中所有元素之积为，故B正确； 选项C：中所有元素之和为，故C正确； 选项D：的元素个数为，不是，故D错误. 故选： BC 10. 已知全集，，，，，，则下列选项正确的为（ ） A. B. A的不同子集的个数为8 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据已知条件作出Venn图，结合元素与集合的关系以及集合之间的关系，一一判断各选项，即得答案. 【详解】因为， 因为，所以集合中有，集合中无的元素只有1，9； 因为，所以既不在集合中，也不在集合中的元素只有4，6，7； 因为，所以集合与的公共元素只有3； 所以集合中有，集合中无的元素只有0，2，5，8，即. 如图： 所以：，，，故AC正确； 因为集合中有3个元素，所以A的不同子集的个数为8，故B正确； 因为，故D错误. 故选：ABC 11. 已知，为正数，且，则下列结果正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为12 D. 最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用基本不等式的应用，结合换元法、函数单调性判断最值，利用的条件对各选项表达式变形后分析即可. 【详解】 选项A：利用“1的代换”，，该结果是最小值，不是最大值，A错误； 选项B：对平方得，由基本不等式，故，即，当时取等，最大值为，B正确； 选项C：化简得，原式为，令，对勾函数在上单调递减，故最小值为，不是12，C错误； 选项D：，令，则，由得，原式化为，开口向下的二次函数对称轴为（在定义域内），代入得最大值为，此时存在正数满足条件，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 用列举法表示集合______． 【答案】 【解析】 【分析】根据、的约束，先确定为6的整数约数，筛选符合条件的后计算对应值，列举得到集合 【详解】由集合约束条件可得：，故，且分母，即； ，故是6的整数约数，即. 对每个约数逐一验证： 若，则，得； 若，则，得； 若，则，得； 若，则，舍去； 若，则，得； 若，则，舍去； 若，则，得； 若，则，舍去. 综上，符合条件的取值为，故. 13. 已知集合，，若，，则________. 【答案】19 【解析】 【分析】由题意可得，所以5和6是方程的两个根，代入解方程可求出，即可求出的值. 【详解】因为，， ，，所以， 所以5和6是方程的两个根， 所以，解得，， 所以. 故答案为：19. 14. 已知不等式对任意的恒成立，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用二次函数的性质研究方程的根，再结合不等式恒成立得，应用分类讨论和基本不等式求目标式的最小值. 【详解】设，则，且函数图象开口向上， 所以方程必有一正根和一负根，设其正根为()，则： 当时，，当时，， 原不等式为对任意恒成立， 若，取，此时且，则，矛盾， 若，取，此时且，则，矛盾， 因此，必须有，即是方程的正根，代入得， 由于，解得， 所以， 因为，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记全集，已知集合，． （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2）． 【解析】 【分析】（1）集合的交集和补集的运算计算得出结果；（2）根据已知条件，求解参数范围 【小问1详解】 由，得， 方法1： 可得或， 由题，有或， 所以或． 方法2： 则， 所以，或． 【小问2详解】 依题意，或， 因为，所以 解得，故的取值范围为． 16. 求下列各式的最值 （1）求的最大值； （2）当时，求的最小值； （3）已知，求的最小值. 【答案】（1） （2）4 （3）6 【解析】 【分析】（1）构造，利用二次函数性质求出，进而得到即可. （2）对合理变形，再利用基本不等式求最值即可. （3）对合理变形，再利用基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 令，则， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 所以，可得. 【小问2详解】 由题意得， 因为，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立， 故的最小值为4. 【小问3详解】 而， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立. 17. 济南市地铁项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当时列车为满载状态，载客量为500人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为. （1）求的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量； （2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 【答案】（1）； （2）发车时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大为132元. 【解析】 【分析】（1）由题设，有且，求k值，进而写出其分段函数的形式即可. （2）由（1）写出解析式，讨论、求最大值即可. 【小问1详解】 由题设，当时，令， 又发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人， ∴，解得. ∴， 故时，， 所以当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量为人. 【小问2详解】 由（1）知：， ∵时，当且仅当等号成立， ∴上， 而上，单调递减，则， 综上，时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大为132元. 18. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式； （3）若存在，使得不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当，解集为； 当，，解集为； 当，解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）通过判别式小于0恒成立求解即可； （2），然后讨论与1的大小关系可得答案； （3）通过讨论，，求解即可. 【小问1详解】 由得， 由的解集为， 得：，解得：； 即实数的取值范围是； 【小问2详解】 . 当，解集为； 当，，解集为； 当，解集为. 【小问3详解】 不等式，即，可得， 且，可得， 由题意存在，使得不等式有解，则， 因为，当且仅当时，等号成立， 则，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 19. 令，对，定义且，使得 （1）求； （2）令表示集合中元素的个数，若，求的值； （3）若，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知集合的定义，表示在到的正整数中，含有大于的平方数因子的数，一一列举即可得； （2）同（1）分析知中的元素是到中所有含有大于的平方因子的数，进而分析其元素的个数，即可得； （3）要找在到之间，能表示成（）的数，要使集合中的元素个数恰好为4，须保证时不产生新的元素，时需满足对任意都有，单独验证的情况即可. 【小问1详解】 由题意，对于，，即且，且，使得， 就是在到的正整数中，含有大于的平方数因子的数， 当时，，可以是，， 当时，，可以是， 当时，，不满足， 所以； 【小问2详解】 由（1）可知，中的元素是到中所有含有大于的平方因子的数， 需要找出到中，使得满足条件的数恰好有个的值， 含有平方因子的正整数， 可以数出第个数是，第个数是， 要使集合中恰有个元素，即， 因为，所以； 【小问3详解】 由题意，要找在到之间，能表示成（）的数， 显然，当时，此时满足条件的数为的倍数，且， 这些数为，共个， 要使集合中的元素个数恰好为，须保证时不产生新的元素， 即对于，都有（如果，则会产生新的元素，使得个数大于）， 考虑，需满足 ， 当时，，，显然有个， 当时，，，除外所有数都满足，显然多于个， 当时，，产生，产生，共个， 当时，，产生，产生，共个， 当时，，产生，时，不产生新数，共个，满足， 因为，所以时，均满足集合内有且仅有个元素， 综上，的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期十月质量检测 高一数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，．若，则 (　 　) A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 已知，均为正实数，且，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 或 7. 命题“，”为假命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合，且集合中只含有一个元素，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 定义集合A、B的一种运算：，若，，则（    ） A. 的子集个数为15 B. 中的所有元素之积为120 C. 中的所有元素之和为14 D. 中的元素个数为5 10. 已知全集，，，，，，则下列选项正确的为（ ） A. B. A的不同子集的个数为8 C. D. 11. 已知，为正数，且，则下列结果正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为12 D. 最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 用列举法表示集合______． 13. 已知集合，，若，，则________. 14. 已知不等式对任意的恒成立，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记全集，已知集合，． （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 16. 求下列各式的最值 （1）求的最大值； （2）当时，求的最小值； （3）已知，求的最小值. 17. 济南市地铁项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当时列车为满载状态，载客量为500人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为. （1）求的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量； （2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 18. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式； （3）若存在，使得不等式有解，求实数的取值范围． 19. 令，对，定义且，使得 （1）求； （2）令表示集合中元素的个数，若，求的值； （3）若，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $