精品解析：江苏省邗江中学2026-2027学年高一上学期10月检测数学试卷

江苏省邗江中学2026～2027学年度10月检测 高一数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．本试卷共4页，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 某高中学生运动会，某班60名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的同学中，参加田赛的有16人，参加径赛的有24人，则田赛和径赛都参加的学生人数为（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 12 3. 已知命题，命题，则下列说法中正确的是（ ） A. 命题都是真命题 B. 命题是真命题，是假命题 C. 命题是假命题，是真命题 D. 命题都是假命题 4. 若函数，，则（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 6 5. 设，则的分数指数幂形式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 对于实数，规定表示不小于的最小整数，例如：，，则不等式成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合，若集合，， ，是集合M的k个不同子集，且，则k的最大值是（ ） A. 15 B. 16 C. 31 D. 32 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的． 9. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若集合中只有一个元素，则 B. 集合，，若，则实数的值为1 C. 已知集合，则满足条件的集合的个数为4 D. 若，则方程无实数根 11. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，且，则的最小值为 B. 已知，且，则的最小值为11 C. 已知，且，则的最小值为 D. 已知关于的不等式的解集为空集，则的最小值为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，若，则实数的值为___． 13. 若命题“，”为假命题，则实数a的最小值为_______. 14. 已知，，且，则的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算下列式子的值（请务必书写必要的计算步骤） （1） （2） （3）设，求的值． 16. 已知集合，，． （1）若，求，； （2）若是的充分条件，求实数的取值范围． 17. 设函数. （1）若不等式的解集为，求，的值； （2）若，，，求的最小值. 18. 我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全.如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起.根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万美元，且当该公司一年内共生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元. （1）写出年利润(万美元)关于年产量(万部)的函数解析式： （2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润. 19. 已知函数，（）． （1）恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，求不等式的解集； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省邗江中学2026～2027学年度10月检测 高一数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．本试卷共4页，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】集合与集合的公共元素为. . 2. 某高中学生运动会，某班60名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的同学中，参加田赛的有16人，参加径赛的有24人，则田赛和径赛都参加的学生人数为（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】结合Venn图即可求解. 【详解】由题可得参加比赛的学生共有30人， 设参加田赛的学生为集合，参加径赛的学生为集合， 则，，， 如图， 因为， 所以田赛和径赛都参加的学生人数为10. 3. 已知命题，命题，则下列说法中正确的是（ ） A. 命题都是真命题 B. 命题是真命题，是假命题 C. 命题是假命题，是真命题 D. 命题都是假命题 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题及特称命题的特征判断真假即可. 【详解】因为时,,是假命题； 因为时，,是真命题； 故选：C. 4. 若函数，，则（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】复合函数求值，由内向外依次代入计算即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以. 5. 设，则的分数指数幂形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据分数指数幂的定义：（）， 逐步化简如下：化简内层根式：； 计算根号内的同底数幂乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， 因此； 化简外层三次根式：， 根据幂的乘方运算性质，底数不变，指数相乘，可得， 因此结果为. 6. 已知，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数的运算法则化简，再结合基本不等式求范围即可. 【详解】由题意得，， 因为，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立 故的取值范围是 7. 对于实数，规定表示不小于的最小整数，例如：，，则不等式成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式，即可得出使不等式成立的一个必要不充分条件. 【详解】由不等式，得，解得， 又表示不大于的最大整数,所以，即， 观察选项，只有D选项的包含，满足要求， 故选：D 8. 已知集合，若集合，， ，是集合M的k个不同子集，且，则k的最大值是（ ） A. 15 B. 16 C. 31 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目条件结合集合的子集与并集运算判断选项. 【详解】集合共有个子集， 条件等价于并集缺少中至少一个元素， 设缺少元素，则所有子集均不含，即， 集合的子集个数为，且这些子集的并集必不含，满足条件， 假设，因为要满足这些子集的并集不等于，必须至少有一个中的元素不在任何一个子集中， 否则并集就会等于，设这个缺失的元素是，那么所有这个子集都不含，即每个子集都是的子集， 而只有个不同的子集，我们却要从中取出至少17个不同的子集， 这是不可能的，因此假设不成立，不可能大于16，因此的最大值为16. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的． 9. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若集合中只有一个元素，则 B. 集合，，若，则实数的值为1 C. 已知集合，则满足条件的集合的个数为4 D. 若，则方程无实数根 【答案】BC 【解析】 【分析】根据集合性质、集合相等、集合子集的个数以及一元二次方程根的判别式进行逐一判断即可. 【详解】对于A：因为集合中只有一个元素， 当时，方程为，解得：，只有一解，符合题意； 时，则必须，得， 所以当或时，集合中只有一个元素，故A错误； 对于B：若，则必须，解得，故B正确； 对于C：若，则，因为有两个元素，所以集合的个数共有个，故C正确； 对于D：因为当时，判别式，所以方程有两个不相同的根，故D错误. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，且，则的最小值为 B. 已知，且，则的最小值为11 C. 已知，且，则的最小值为 D. 已知关于的不等式的解集为空集，则的最小值为4 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A选项，根据，结合基本不等式求的最大值，即可求得最小值并判断； 对于B选项，将条件凑定值，换元后把目标式化为，利用基本不等式求解即可判断； 对于C选项，根据已知条件将问题转化为，再结合基本不等式求解判断； 对于D选项，由不等式的解集得，，进而放缩得，换元转化为单变量最值问题，利用基本不等式求解判断. 【详解】对于A选项，由完全平方公式： 由基本不等式，当且仅当 取等， 所以，当且仅当 取等 所以 的最小值为 ，故错误； 对于B选项，由得，即 令 ，则，， 所以 由基本不等式：当且仅当 取等 联立 ，解得，此时 所以，，当且仅当时取等. 所以的最小值为11，故正确； 对于C选项，因为，且， 所以 ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，故正确； 对于D选项，由题意可得：，，可以得到， 而， 令，则，当且仅当取等号. 所以的最小值为，故正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，若，则实数的值为___． 【答案】2 【解析】 【详解】，，，. 当时，得，则，不满足集合元素的互异性，不符合题意； 当时，即，解得或； 当时，，不满足集合元素的互异性，不符合题意； 当时，，，则，符合题意； 综上所述，实数的值为2. 13. 若命题“，”为假命题，则实数a的最小值为_______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据命题为假得到，恒成立，简单计算，可得答案. 【详解】命题“，”为假命题， 故，恒成立. 所以，恒成立， 故 所以实数a的最小值为2 故答案为：2. 【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数，掌握等价转化的思想，化繁为简，意在考查学生的推断能力，属基础题. 14. 已知，，且，则的最大值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用已知条件将表达式中的多元变量统一为单变量，结合定义域化简目标式后，通过反比例函数的单调性即可快速求出最大值. 【详解】已知且，令，则，， 将目标式分母变形： 代入，得 分母，这是开口向上的二次函数， 对称轴为，在范围内，分母的最小值为. 因此的最大值为，当且仅当时取到最大值. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算下列式子的值（请务必书写必要的计算步骤） （1） （2） （3）设，求的值． 【答案】（1） （2）2 （3）1 【解析】 【分析】（1）使用指数幂的运算求解； （2）使用对数的运算性质求解； （3）使用指数与对数的互化运算求解. 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 原式 【小问3详解】 因为，所以，， 所以，， 所以． 16. 已知集合，，． （1）若，求，； （2）若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）或． 【解析】 【分析】（1）代入求出集合，再结合求并集以及在全集中的补集与的交集． （2）“是的充分条件”等价于．先讨论为空集的情况，再在非空时利用区间包含关系比较端点，求的范围． 【小问1详解】 当时， 所以 因为全集，所以 因此， 【小问2详解】 “是的充分条件”等价于 集合． 当时，需解得，此时显然有． 当时，有． 要使 需解得． 综上，实数的取值范围为 17. 设函数. （1）若不等式的解集为，求，的值； （2）若，，，求的最小值. 【答案】（1） （2）16 【解析】 【分析】（1）由不等式的解集得是方程的两根，再由根与系数的关系可得答案； （2）由得到，再利用基本不等式求最小值即可． 【小问1详解】 若不等式的解集为， 则是方程的两个根，且， 可得，解得； 【小问2详解】 若，则，可得， 又，， 所以 ， 当且仅当即等号成立， 所以的最小值为16. 18. 我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全.如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起.根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万美元，且当该公司一年内共生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元. （1）写出年利润(万美元)关于年产量(万部)的函数解析式： （2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润. 【答案】（1）；（2）32万部，最大值为6104万美元. 【解析】 【分析】 （1）先由生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元，解得，然后由，将代入即可. （2）当时利用二次函数的性质求解；当时，利用基本不等式求解，综上对比得到结论. 【详解】（1）因为生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元. 所以， 解得， 当时， ， 当时， . 所以 （2）①当时， ，所以； ②当时， ，由于， 当且仅当，即时，取等号，所以此时的最大值为5760. 综合①②知，当，取得最大值为6104万美元. 【点睛】思路点睛：应用题的基本解题步骤： （1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值； （2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数； （3）解应用题时，要注意变量的实际意义及其取值范围； （4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解． 19. 已知函数，（）． （1）恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，求不等式的解集； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为． （3） 【解析】 【分析】（1）将恒成立不等式整理为关于的二次不等式，分别讨论与，利用二次函数恒非正的条件求的范围． （2）将因式分解为，比较两个零点与的大小，分情况写出解集． （3）令，由得；再令，将“四个不同实根”转化为关于的二次方程有两个不同正根，利用根与系数的关系和判别式确定的范围． 【小问1详解】 由对任意恒成立，得对任意恒成立． 当时，上式化为，恒成立． 当时，要使二次函数恒不大于，需 解得． 综上，实数的取值范围为． 【小问2详解】 由且，所以 当时，，解集为 当时，，解集为． 当时，，解集为 【小问3详解】 令 因为，所以由基本不等式得． 原方程化为 令，则原方程有四个不同的实根，当且仅当关于的方程有两个不同的正根． 由根与系数的关系，需 由于，有，所以由得； 再由得，即． 同时还需判别式 当时，随的增大而减小． 因此存在使，当且仅当在时已有 解得 结合，得 反之，当时，取，则，上述方程有两个不同正根，原方程即有四个不同实根． 所以实数的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $