精品解析：四川眉山市彭山区第三中学2026-2027这年九年级上学期第一学月数学检测

九年级第一学月数学检测试卷 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 等式成立的条件是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式及分式有意义的条件列不等式求解． 【详解】解：要使成立，则， ∴． 2. 若是关于的一元二次方程的解，则的值为（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，将方程的解代入原方程即可求出参数的值． 【详解】解：把代入，得，解得． 故选A． 【点睛】方程的根代入等式一定成立，注意计算时不要出现符号错误． 3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用根的判别式的符号即可得出结论. 【详解】解：∵对于一元二次方程，，， ∴判别式， 又∵任意实数的平方非负，即， ∴， ∴ 原方程有两个不相等的实数根. 4. 若，为最简二次根式，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的化简，先将化为最简二次根式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵是最简二次根式， ∴，， ∴． 5. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用方程根的定义降次替换二次项，化简代数式后结合韦达定理得到两根之和，整体代入算出结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 6. 若实数满足，则的值为（ ） A. -2 B. 9 C. 11 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件与二次根式的性质，先根据二次根式有意义确定的取值范围，再利用化简原式，最后解方程得到的值． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴，即， 根据二次根式性质，化简原式 原等式左边 ∵，∴，∴ ， 原等式右边，∵，∴， 将化简结果代入原等式得 ， 移项得 ， 两边平方得 ， 解得． 7. 在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，长和宽共步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，如图：用四个完全相同的面积为平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设矩形田地的宽为x，表示出长为和小正方形的边长为，根据小正方形面积的两种求法可列方程． 【详解】解：设矩形田地的宽为x，则长为，小正方形的边长为， 根据小正方形面积的两种求法可列方程为． 8. 如图，这是一块长为，宽为的矩形空地，现要在空地的四角开发面积均为的正方形用来安置不同的游乐设施，中间阴影部分为蹦床乐园，则蹦床乐园的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简矩形的长，再根据正方形面积求出其边长，结合图形得出阴影部分的长和宽，最后利用矩形面积公式计算即可． 【详解】解：，即矩形空地的长为， ∵四个角的面积均为的正方形， ∴四个角的正方形边长都为， ∴蹦床乐园的长为：，蹦床乐园的宽为， ∴蹦床乐园的面积为：． 9. 已知，是一元二次方程的两个实数根，，是一元二次方程的两个实数根，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先根据两个方程都有实数根，用判别式求出k的取值范围，再利用一元二次方程根与系数的关系化简所求代数式，最后根据一次函数的性质求出代数式的最小值． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，，即， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，，即， ∴的取值范围为， ∴ ∵， ∴原式随k的增大而减小，且， ∴当k取最大值时，原式取得最小值，即． 10. 已知代数式，，，，其中，，，，，，均为正整数，其中是开方开不尽的数，下列说法正确的个数是（） ①若，则； ②若，时，则至少存在一组、满足条件， ③若代数式、之积为时，则满足条件的、共有2个结果． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【分析】①若，整理得，，得到，结合推出，可判断①错误；若，，则，整理得，，得出可判断②错误；③计算，得出，由，均为正整数，推出，，可判断③错误． 【详解】解：①若， 则， 整理得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 若成立， 解得，与已知，均为正整数矛盾， ∴不正确， ∴①错误； ②若，， 则， ∴， 整理得，， ∴， ∵左边是正整数乘无理数（结果为无理数），右边是整数（有理数），不可能相等， ∴不存在满足条件的m，n， ∴②错误； ③， ∵均为正整数，且不是完全平方数， 比较等式两边的有理部分与无理部分可得． 两边平方得． ∵均为正整数， ∴． ∵为正整数，必为45的约数中的完全平方数， ∴，即， 此时，满足为正整数且不是完全平方数的条件． ∵， ∴， ∴， ∵，均为正整数， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴不存在正整数，，，使等式成立， ∴没有符合条件的A，B， ∴③错误． 综上可知，三个说法均错误． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 11. 把方程化为一般形式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先展开方程左边两个一次式的乘积，再合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解： ， 原方程化为一般形式为． 12. 已知，若是整数，则满足条件的n的值是________． 【答案】，1，6 【解析】 【分析】先根据确定的取值范围，进行分类讨论，再结合是整数，推出为非负完全平方数，逐一验证得到符合条件的． 【详解】解：∵， ∴， ∵是整数， ∴是非负完全平方数， 设，为非负整数，可得， 当时，，，不符合题意； 当时，，，不符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意； ∴满足条件的为，，． 13. 若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，设，可得关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 设， 则方程可化为 ∵关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴， ∴， ∴一元二次方程必有一个实数根为． 14. 为使算式的计算结果为有理数，则“”中应填写的运算符是________．（用、、、中的一个填空） 【答案】 【解析】 【分析】先根据完全平方公式化简，再分别将四个运算符代入计算，判断结果是否为有理数即可． 【详解】解：， 当填时，原式，是有理数，符合要求； 当填时，原式，是无理数，不符合要求； 当填时，原式，是无理数，不符合要求； 当填时，原式，是无理数，不符合要求． 15. 若一个三角形的三边长分别为，，，记，则三角形的面积，这个公式被称为海伦-秦九韶公式．小明在研究该公式时发现，当三角形的三边长为连续整数时，该公式可简化．设一个三角形的三边长分别为，，（且为整数），若该三角形的面积为整数，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据海伦公式代入三边长化简得到面积表达式，再根据面积为整数的条件，结合且为整数，从小到大验证即可得到的最小值． 【详解】解：∵三角形三边长为，，， ∴半周长，  ∴，，， ∴， ∵为整数， ∴为大于的整数， 当时，，不是整数，不符合题意； 当时，，是整数，符合题意； ∴的最小值为． 三、解答题（本大题共9小题，满分90分） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ，，， ， ∴， 即，； 【小问2详解】 解：， 移项得：， 分解因式得：， ∴，， 解得：，． 17. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）如果方程的两实数根为，，且，求的值． 【答案】（1） 由题意可知：， 方程有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，一元二次方程根的判别式；掌握这两个知识点是关键． （1）由题意得即可证明方程有两个不相等的实数根； （2）根据根与系数的关系可得，，再将变形得到关于m的方程，解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， 解得， 即． 19. 小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ， ， ， ， ， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）观察上面解答过程，请写出________； （2）化简； （3）若，请按照小明的方法求出的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把分母有理化即可； （2）把算式中各部分进行分母有理化，再合并同类二次根式； （3）按照小明的方法，先把分母有理化，可得：，两边同时平方可得：，等式两边同时乘以可得：，然后利用整体代入法求出代数式的值． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， ， ， 即， ， ， ， ． 20. 某种品牌的手机经过8、9月份连续两次降价，每部售价由2500元降到了1600元．若每次下降的百分率相同，请解答： （1）求每次下降的百分率； （2）若10月份继续保持相同的百分率降价，则这种品牌手机10月份售价为每部多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为 （2）这种品牌的手机10月份售价为每部1280元 【解析】 【分析】本题考查了增长率问题，解题关键是牢记增长率模型，即，其中a是原来的量，x是变化率，b是现在的量． （1）直接代入增长率模型公式即可求解； （2）将9月份的量代入公式计算即可． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为x， ， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， 答：每次下降的百分率为． 【小问2详解】 （元） 答：这种品牌的手机10月份售价为每部1280元． 21. 如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为多少？ 【答案】5米． 【解析】 【分析】设AB＝x米，则BC＝（22﹣3x+2）米，根据题意列出一元二次方程，然后解方程结合实际意义即可求出结论． 【详解】解：设AB＝x米，则BC＝（22﹣3x+2）米， 依题意，得：x（22﹣3x+2）＝45， 整理，得：x2﹣8x+15＝0， 解得：x1＝3，x2＝5． 当x＝3时，22﹣3x+2＝15＞14，不合题意，舍去； 当x＝5时，22﹣3x+2＝9，符合题意． 答：若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为5米． 【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键． 22. 渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克． （1）设批发价每千克降x元，写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系式． （2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？ （3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？ 【答案】（1） （2）当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大利润为9800元． （3）定价应为43元． 【解析】 【分析】（1）以每千克利润乘日销售量等于总利润为等量关系列函数，结合盈利条件确定自变量取值范围； （2）利用二次函数的顶点坐标求最大值； （3）令总利润为9750列方程，结合让利于民的要求选取合适的解计算定价． 【小问1详解】 解：由题意得，每千克利润为元，日销售量为千克． ， ∵保证盈利， ∴， 解得． 又∵降价金额非负， ∴． 即． ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值． 当时，取得最大值， 将代入解析式得． ∴当降价4元时，每天利润最大，最大为9800元． 【小问3详解】 解：令，则， 整理得， 解得，． ∵要让利于民，需降价幅度更大， ∴取，此时定价为（元）． 答：定价应为43元． 23. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② （2）已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． （3）已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】（1）① （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查新定义“差根方程”，一元二次方程的求解、完全平方公式和勾股定理的应用，熟练掌握相关知识，正确理解新的定义是解题的关键． （1）先求解两个方程，再根据“差根方程”定义判断即可； （2）先求解方程得到两个根，根据“差根方程”定义列方程求解即可； （3）利用勾股定理和“差根方程”的定义，结合完全平方公式求出两根之和与两根之积，再写出二次项系数为1的方程即可． 【小问1详解】 解：① 解得：或， ， 是“差根方程”； ② 解得：，， ， ②不是“差根方程”； 【小问2详解】 解：方程 因式分解得：， 解得：，， 方程是“差根方程”， ， ， 或， 解得：或； 【小问3详解】 解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为， ， ， 、是“差根方程”的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 、是三角形的边长，均为正数， ， 方程二次项系数为1， 所求差根方程为． 24. 如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． （1）若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． （2）若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【答案】（1）①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； （2）当为秒或秒，的面积等于． 【解析】 【分析】（1）①设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； 【小问2详解】 解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第一学月数学检测试卷 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 等式成立的条件是（ ） A. B. C. 或 D. 2. 若是关于的一元二次方程的解，则的值为（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. -2 3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 4. 若，为最简二次根式，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 若实数满足，则的值为（ ） A. -2 B. 9 C. 11 D. 14 7. 在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，长和宽共步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，如图：用四个完全相同的面积为平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，这是一块长为，宽为的矩形空地，现要在空地的四角开发面积均为的正方形用来安置不同的游乐设施，中间阴影部分为蹦床乐园，则蹦床乐园的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，是一元二次方程的两个实数根，，是一元二次方程的两个实数根，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知代数式，，，，其中，，，，，，均为正整数，其中是开方开不尽的数，下列说法正确的个数是（） ①若，则； ②若，时，则至少存在一组、满足条件， ③若代数式、之积为时，则满足条件的、共有2个结果． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 11. 把方程化为一般形式是__________． 12. 已知，若是整数，则满足条件的n的值是________． 13. 若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 14. 为使算式的计算结果为有理数，则“”中应填写的运算符是________．（用、、、中的一个填空） 15. 若一个三角形的三边长分别为，，，记，则三角形的面积，这个公式被称为海伦-秦九韶公式．小明在研究该公式时发现，当三角形的三边长为连续整数时，该公式可简化．设一个三角形的三边长分别为，，（且为整数），若该三角形的面积为整数，则的最小值为_____． 三、解答题（本大题共9小题，满分90分） 16. 解方程： （1） （2） 17. 计算 （1）； （2）． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）如果方程的两实数根为，，且，求的值． 19. 小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ， ， ， ， ， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）观察上面解答过程，请写出________； （2）化简； （3）若，请按照小明的方法求出的值． 20. 某种品牌的手机经过8、9月份连续两次降价，每部售价由2500元降到了1600元．若每次下降的百分率相同，请解答： （1）求每次下降的百分率； （2）若10月份继续保持相同的百分率降价，则这种品牌手机10月份售价为每部多少元？ 21. 如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为多少？ 22. 渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克． （1）设批发价每千克降x元，写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系式． （2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？ （3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？ 23. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② （2）已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． （3）已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 24. 如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． （1）若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． （2）若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $