精品解析：四川省眉山市彭山区第一中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

彭山一中九年级第一学月限时作业 一、单选题 1. 在函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列线段能成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 3. 把方程化成形式，则a、b、c的一组值是（ ） A. B. C. D. 2、1、1 4. 如图，在的正方形网格中，A，B，C，D是格点，则下列线段长度最长是（ ） A. B. C. D. 5. 下列等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程 的解，则这个三角形的周长是（ ） A. B. 13 C. 11或8 D. 11和13 7. 化简，结果是（ ） A. B. C. D. 4 8. 若关于的一元二次方程的一个根为1，则方程的根是（　　） A 或1 B. 或 C. 或 D. 1或3 9. 九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作纪念，全班学生共写了份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为  （ ） A. B. C. D. 10. 化简正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 直线与函数的图象有且只有一个公共点，则的值为（　　） A. B. C. D. 12. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和是（    ） A. B. C. D. 二、填空题 13. 已知，那么________． 14. 若关于x的方程(m－3)xm²－7－x＋3＝0是一元二次方程，则m的值是________． 15. 计算：______． 16. 如图，已知中，点D、E、F分别是边、、上的点，且，且，若，那么__________． 17. 若，是方程的两根，则的值为______． 18. 若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程的根为______． 三、解答题 19. 计算 （1） （2） 20. 解下列方程： （1）； （2）． 21. 已知关于的方程． （1）若是方程的一个根，求的值和方程的另一根； （2）当取何值时，方程总有实数根． 22. 已知，是一元二次方程的两个实数根． （1）求a取值范围． （2）是否存在实数a，使成立？ 23. 阅读下面的材料，并完成相应的任务． 材料：解含绝对值的方程：． 解：分两种情况： ①当x≥0时，原方程化，解得x1＝5，x2＝-2（舍去）； ②当x＜0时，原方程化为，解得x1＝-5，x2＝2（舍去）．综上所述，原方程的解是x1＝5，x2＝-5． 任务：请参照上述方法解方程 24. 某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与降低价格x（元）之间存在如图所示的函数关系． （1）求出y与x的函数关系式； （2）公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？ （3）为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由． 25. 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： ． ． ． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： （1）_______；_______； （2）比较大小： ； （用“”“”或“”填空）； （3）若，求的值． 26. 已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知： 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用：已知实数满足，且，则___________，___________，___________； （2）拓展应用：已知实数满足，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 彭山一中九年级第一学月限时作业 一、单选题 1. 在函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数为非负数求解即可． 【详解】解：根据被开方数为非负数，可知 解得： 故选：C． 2. 下列线段能成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查线段成比例的应用，熟练掌握该知识点是解题的关键．依次对每组的四条线段长度按从小到大顺序排列好，然后分别计算前两项的比值和后两项的比值，如果两个比值相等，则说明四条线段成比例，否则不成比例． 【详解】解：A、，故四条线段不成比例，不符合题意； B、，故四条线段成比例，符合题意； C、，故四条线段不成比例，不符合题意； D、，故四条线段不成比例，不符合题意； 故选：B． 3. 把方程化成的形式，则a、b、c的一组值是（ ） A. B. C. D. 2、1、1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，先把方程左边去括号，然后把常数项移到方程左边即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4. 如图，在的正方形网格中，A，B，C，D是格点，则下列线段长度最长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查勾股定理应用，解题的关键是根据勾股定理及网格求出各线段的长．先结合网格特征，运用勾股定理列式计算出每条线段，再进行比较，即可作答． 【详解】解：依题意，，，， ， ∵， ∴线段的长度最长， 故选：C． 5. 下列等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简，二次根式的除法运算． 根据二次根式的性质化简和二次根式的除法运算法则计算逐项判定，即可得出答案． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，计算正确，故此选项符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 6. 三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程 的解，则这个三角形的周长是（ ） A. B. 13 C. 11或8 D. 11和13 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解法求得方程的解，再根据三角形三边关系确定三角形的边长，即可求解． 【详解】解：由方程得， ，， ∵，， ∴3，6，2不能构成三角形， ∴周长是， 故选B． 【点睛】此题考查了因式分解法求解一元二次方程以及三角形三边关系的应用，解题的关键是掌握因式分解法求解一元二次方程． 7. 化简，结果是（ ） A. B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式因式分解、二次根式的化简、二次根式有意义的条件等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 根据完全平方公式因式分解，再利用二次根式的性质化简解题即可． 【详解】解：由题意得， ∴ ∴ ∴ ∴ ． 故选：D． 8. 若关于的一元二次方程的一个根为1，则方程的根是（　　） A. 或1 B. 或 C. 或 D. 1或3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解，解一元二次方程，先将代入一元二次方程得到，将方程可化为，则，再解方程即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为1， ∴，， ∴， ∷方程可化为， ∴， 解得，， 故选：C． 9. 九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为  （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是理解题意，找准等量关系． 假设全班有名学生，根据留言的数量，列出方程即可． 【详解】解：假设全班有名学生，根据题意得， 故选：C． 10. 化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，利用二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．先判断x的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 11. 直线与函数的图象有且只有一个公共点，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，知道反比例函数的图象与直线只有一个公共点时，是解题的关键．先联立直线与函数的方程，消去得到关于的一元二次方程，再根据判别式等于求出的值即可． 【详解】由题可得，联立方程组得， 直线与函数的图象有且只有一个公共点， ， 解得， 故选：． 12. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及分式方程的解，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．由一元二次方程有两个不相等的实数根得到根的判别式大于，求出的范围，表示出分式方程的解，由解为正整数确定出的值，再求出所有满足条件的整数的值之和即可． 【详解】解：由条件可知：，解得， 分式方程， 去分母得， 解得， 分式方程的解为正整数， 为负整数， ， ， 或或， 整数或或， 当时，，则有，产生增根，故舍去， 当或时，，满足条件 则所有满足条件的整数的值之和为． 故选：A． 二、填空题 13. 已知，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值．通过已知，利用比例的基本性质(内项之积等于外项之积)，用含的式子表示，再代入到中进行化简计算，从而求出该式子的值． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ． 故答案为：． 14. 若关于x的方程(m－3)xm²－7－x＋3＝0是一元二次方程，则m的值是________． 【答案】-3 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义可知，二次项系数为2，则可以得到m2−7＝2；再根据一元二次方程中二次项系数不等于零，即可确定m的值． 【详解】解：∵该方程为一元二次方程， ∴m2−7＝2， 解得m＝±3； 当m＝3时，m-3＝0，则方程的二次项系数是0，不符合题意； ∴m＝-3， 故答案为：-3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数且a≠0），解题的关键是特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点． 15. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的乘除法，原式先化简分子中的二次根式，再计算除法即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 16. 如图，已知中，点D、E、F分别是边、、上的点，且，且，若，那么__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理（包括三角形中位线定理的延伸），解题的关键是利用两组平行线、分别得出对应线段的比例关系，通过中间线段建立与的联系． 由，根据平行线分线段成比例定理得；由，同理得=；因此；已知、，代入比例式即可求出的长度． 【详解】解：∵（已知）， ∴（平行线分线段成比例定理）． ∵（已知）， ∴（平行线分线段成比例定理）． ∴（等量代换）． 已知， 设，则，解得． 故答案为： 17. 若，是方程的两根，则的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确的计算是解决本题的关键． 先根据一元二次方程根与系数的关系得出和，再将代入中进行变形求解，最后集体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， ∵是方程的根， ∴将代入得，即， 再将其代入到中得 ， 将，代入得 ， 故答案为：12． 18. 若关于x一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程的根为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合已知条件得到，求得x即可． 【详解】整理得， ∵关于x的一元二次方程的其中一根为， ∴关于x的方程，其中一根为， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，根据题意得到是解题的难点． 三、解答题 19. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算二次根式的乘除法，然后合并即可； （2）首先化简二次根式，零指数幂和负整数指数幂，然后合并即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 20. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． （1）用配方法求出方程的解即可； （2）利用直接开平方法，求出方程的解即可； 【小问1详解】 解：， 移项得：， 配方得：，即， 开平方得：， 即，； 【小问2详解】 解：， 开方得：， 即或， 解得：，． 21. 已知关于的方程． （1）若是方程的一个根，求的值和方程的另一根； （2）当取何值时，方程总有实数根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式，解一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握根的判别式． （1）把方程的根代入求得的值，然后解方程得到另一个根即可； （2）根据关于的方程的根的判别式的取值范围，来判断该方程的根的情况． 【小问1详解】 解：将，代入得， 解得，， 所以方程为： ∴ 所以，方程的另一个根为； 【小问2详解】 解： 解得，， 当时，方程总有实数根． 22. 已知，是一元二次方程的两个实数根． （1）求a的取值范围． （2）是否存在实数a，使成立？ 【答案】（1）且； （2）不存在； 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，代入可得关于a的分式方程，即可求解． 【小问1详解】 解：且 解得：且 ∴ a取值范围为：且. 【小问2详解】 不存在； 由题可知： ∴ 解得： 经检验是原分式方程的解； 又∵且； ∴不存在实数a使得等式成立. 23. 阅读下面的材料，并完成相应的任务． 材料：解含绝对值的方程：． 解：分两种情况： ①当x≥0时，原方程化为，解得x1＝5，x2＝-2（舍去）； ②当x＜0时，原方程化为，解得x1＝-5，x2＝2（舍去）．综上所述，原方程的解是x1＝5，x2＝-5． 任务：请参照上述方法解方程 【答案】， 【解析】 【分析】根据题意分x-5≥0和x-5＜0两种情况，分别解方程即可． 【详解】解：①当x-5≥0时，即x≥5时，原方程化为，即， ， ∴， ∴原方程无解， ②当x-5＜0时，即x＜5时，原方程化为，即， ， ∴ 解得：，． 【点睛】此题考查了解含绝对值的一元二次方程，解题的关键是根据题意分两种情况讨论． 24. 某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与降低价格x（元）之间存在如图所示的函数关系． （1）求出y与x的函数关系式； （2）公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？ （3）为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由． 【答案】（1）y与x的函数关系式为y=10x＋200； （2）当每双运动鞋的售价为87元时，企业每天获得的销售利润达到8910元并且优惠力度最大. （3）降价10元时，公司每天能获得9000元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本价的50%. 【解析】 【分析】（1）由题意，设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，然后由待定系数法求解析式，即可得到答案； （2）根据题意，列出一元二次方程，然后解方程，即可求出方程的解； （3）由题意，列出一元一次不等式，求出不等式的解集，然后列一元二次方程，即可求出答案． 【小问1详解】 解：设y与x的函数关系式为y＝kx＋b (k≠0)， 由图可知其函数图象经过点（0 , 200）和（10 , 300）， 将其代入y=kx+b 得 解得 ∴ y与x的函数关系式为y=10x＋200； 【小问2详解】 解：由题意得 （10x＋200)(100－x－60)＝8910， 整理得 x2－20x＋91＝0， 解得：x1＝7, x2＝13； 当x＝7时，售价为100－7＝93（元）， 当x＝13时，售价为100－13＝87（元）， ∵优惠力度最大， ∴取x＝13， 答：当每双运动鞋的售价为87元时，企业每天获得的销售利润达到8910元并且优惠力度最大； 【小问3详解】 解：公司每天能获得9000元的利润，理由如下： ∵要保证每双运动鞋的利润率不低于成本价的50%， ∴100－60－x ≥ 60×50%, 解得：x≤10； 依题意，得 (100－60－x)(10x＋200)＝9000， 整理得 x2－20x＋100＝0， 解得：x1＝x2＝10； ∴降价10元时，公司每天能获得9000元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本价的50%. 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确的列出方程，从而进行解题． 25. 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： ． ． ． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： （1）_______；_______； （2）比较大小： ； （用“”“”或“”填空）； （3）若，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）5 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用分母有理化计算； （2）根据分母有理化、、、，然后再比较大小即可； （3）根据题干的方法可得，结合，即可求解． 【小问1详解】 解：； ； 故答案为：；． 【小问2详解】 解：， ， ， ； ， ， ， ，即． 故答案为：；． 【小问3详解】 解：， ， ，，即 26. 已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知： 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用：已知实数满足，且，则___________，___________，___________； （2）拓展应用：已知实数满足，且，求的值． 【答案】（1）7，1，7 （2）1 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是构建一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解． （1）可以看作是一元二次方程的两个实数根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）可以看作是一元二次方程的两个实数根，根据根与系数的关系进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵实数满足，且， ∴可以看作是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴； 小问2详解】 解：∵实数满足，且， ∴可以看作是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $