精品解析：江苏省宿迁市泗洪通州实验学校2025-2026学年上学期九年级数学阶段练习

九年级第一次综合练习 数 学 答题注意事项 1．本试卷共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题全部写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，在答题 卡上对应题号的答题区域书写答案，注意不要答错位置，也不要超界． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合 题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上) 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 2. 方程左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 4. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 9 5. 如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD＝（　　） A. 105° B. 120° C. 135° D. 150° 6. 如图，一个亭子的地基是半径为的正六边形，则该正六边形地基的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法中，正确的有（ ） （1）长度相等的弧是等弧； （2）三点确定一个圆； （3）平分弦的直径垂直于弦； （4）三角形的内心到三角形三边的距离相等； （5）已知的半径是3，平面上一点P 到圆心的距离为d， 若线段与有公共点，则． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 8. 如图，在平面直角坐标系中，是以原点为圆心、半径为4的圆，已知有一条直线与有两个交点、，则弦长的最小值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 二 、填空题(本大题共10小题，每题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应 位置上) 9. 方程x2=4x的解 __． 10. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是________． 11. 若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为______． 12. 如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为_______． 13. 如图，正六边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则的度数为________． 14. 如图，已知的半径为5，弦AB长度为8，则上到弦AB所在直线的距离为2的点有______个 15. 如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，是秋千的静止状态，是踏板，是地面，点是推动两步后踏板的位置，弧是踏板移动的轨迹．已知尺 ，尺，人的身高尺．设绳索长尺，则可列方程为 ______． 16. 如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，则∠B+∠E=_________°． 17. 如图，，是半径为的的两条弦，，，是直径，于点，于点，为上的任意一点，则的最小值为_______． 18. 如图，是⊙O的弦，点C在⊙O内，，连接，若⊙O的半径是4，则长的最小值为______． 三 、解答题(本大题共10题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明 过程或演算步骤) 19. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 20. 已知关于的方程－（k＋2）＋2k＝0 （1）说明：无论k取何值，方程总有实数根； （2）若方程有两个相等的实数根，求出方程的根. 21. 如图，，是的切线，A，B为切点，是⊙O的直径，，求的度数． 22. 如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证PA＝PC． 23. 用无刻度直尺与圆规作图：用两种不同的方法作圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹．） 24. 如图，的半径于点C，连接并延长交于点E，连接．若，求的长． 25. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. （1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 26. 如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点，点D为的中点，DE⊥AC于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AE＝8，DE＝4，求⊙O的半径． 27. 若时，代数式的值也为，则称是这个代数式的“优值”．例如，当时，代数式的值为0；当时，代数式的值为2，所以0和2都是的“优值”． （1）判断代数式是否存在“优值”，并说明理由； （2）代数式存在两个“优值”且差为5，求的值． 28. 几何模型： 条件：如图1，A、B是直线l同侧的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小， 方法：作点B关于直线l的对称点，连接交l于点P，则的值最小． 直接应用： （1）如图2，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且，N是AC上一动点，则的最小值为______． 变式练习： （2）如图3，点A是半圆上（半径为1）的三等分点，B是的中点，P是直径MN上一动点，求的最小值． 深化拓展： （3）如图4，在锐角中，，，的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求的最小值． （4）如图5，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使．（要求：保留作图痕迹，并简述作法．） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第一次综合练习 数 学 答题注意事项 1．本试卷共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题全部写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，在答题 卡上对应题号的答题区域书写答案，注意不要答错位置，也不要超界． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合 题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上) 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程定义，掌握一元二次方程式是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程是解题的关键． 【详解】解：A. ，是二元二次方程，不符合题意； B. ，是一元二次方程，符合题意； C. ，当时，不是一元二次方程； D. ，是二元二次方程，不是一元二次方程； 故选B． 2. 方程左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】移项后，两边配上一次项系数一半的平方即可得． 【详解】解：， ，即， 故选：B． 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方是解题的关键． 3. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0，再求出即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0有两个不相等的实数根， ∴a≠0，Δ=22-4a×（-1）=4+4a＞0， 解得：a＞-1且a≠0， 故选：B． 【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0），当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根． 4. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形，由于，故根据方程的解的意义，求得的值，由根与系数的关系得到的值，即可求解． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴，即 由根与系数的关系得：， ∴， 故选：A． 5. 如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD＝（　　） A. 105° B. 120° C. 135° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】由题意知，弦BC、CD、DA三等分半圆， ∴弦BC和CD和DA对的圆心角均为60°， ∴ ∴∠BCD=120°． 故选B． 6. 如图，一个亭子的地基是半径为的正六边形，则该正六边形地基的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，可求出圆心角的度数，则可得是等边三角形，再由等边三角形的性质即可求出的长，继而求得正六边形的周长． 【详解】如图，连接，，则， ∵六边形是正六边形， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查的是圆的内接正六边形的性质及等边三角形的判定与性质，三角函数，注意掌握辅助线的作法是解题的关键． 7. 下列说法中，正确的有（ ） （1）长度相等的弧是等弧； （2）三点确定一个圆； （3）平分弦的直径垂直于弦； （4）三角形的内心到三角形三边的距离相等； （5）已知的半径是3，平面上一点P 到圆心的距离为d， 若线段与有公共点，则． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等弧的定义、确定圆的条件、垂径定理的推论、三角形内心的性质、点与圆的位置关系等知识点，熟练掌握相关定义以及性质是解本题的关键． 根据等弧的定义、确定圆的条件、垂径定理的推论、三角形内心的性质、点与圆的位置关系相关知识点判断即可． 【详解】解：（1）能够完全重合的弧是等弧，原说法错误，不符合题意； （2）不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法错误，不符合题意； （3）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意； （4）三角形的内心到三角形三边的距离相等，说法正确，符合题意； （5）已知的半径是3，平面上一点P 到圆心的距离为d， 若线段与有公共点，则，原说法错误，不符合题意； 因此正确的只有1个， 故选：D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，是以原点为圆心、半径为4的圆，已知有一条直线与有两个交点、，则弦长的最小值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设交轴的正半轴于点，交轴的负半轴于点，连接，过点作于点，先根据垂径定理可得点为的中点，，再求出，根据直线经过定点可得当直线与直线重合时，弦的值最小，由此即可得． 【详解】解：如图，设交轴的正半轴于点，交轴的负半轴于点，连接，过点作于点， 则点为的中点，， ，即， 又∵直线经过定点，， ∴当直线与直线重合时，弦的值最小，其值等于， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理、一次函数的应用，熟练掌握垂径定理是解题关键． 二 、填空题(本大题共10小题，每题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应 位置上) 9. 方程x2=4x的解 __． 【答案】x=0或x=4 【解析】 【分析】先移项，使方程右边为0，再提公因式x，然后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”进行求解． 【详解】解：原方程变为 x2﹣4x=0 x（x﹣4）=0 解得x1=0，x2=4， 故答案为：x=0或x=4． 【点睛】本题考查用因式分解法解一元一次方程.提公因式是解题的关键. 10. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据求解即可． 【详解】解：∵没有实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 11. 若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，进而结合已知条件求出的值是解题的关键；对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半和有一角是60°的等腰三角形是等边三角形求解． 【详解】解：连接OB,OC ∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，又OB＝OC， ∴△BOC是等边三角形 ∴OB＝BC＝6， 故答案为6． 【点睛】本题综合运用圆周角定理以及等边三角形的判定和性质． 13. 如图，正六边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则的度数为________． 【答案】##24度 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角，等边对等角，先求出一个正六边形和正五边形的内角度数，进而求出的度数，再根据等边对等角，求出的度数即可． 【详解】解：∵一个正六边形的度数为，一个正五边形的度数为， ∴， 由题意，， ∴； 故答案为：． 14. 如图，已知的半径为5，弦AB长度为8，则上到弦AB所在直线的距离为2的点有______个 【答案】3. 【解析】 【分析】作圆的直径CE⊥AB于点D，连接OA，根据勾股定理求出OE的长，求得C、E到弦AB所在的直线距离，与2比较大小，即可判断． 【详解】 解：作圆的直径CE⊥AB于点D，连接OA， ∵AB=8，∴AD=4． ∵OA=5， ∴OD==3， ∴CD=OC-3=5-3=2，即C到弦AB所在的直线距离为2， ∴在劣弧AB上，到弦AB所在的直线距离为2的点只有C点； ∵DE=5+3=8＞2， ∴在优弧AEB上到弦AB所在的直线距离为2的点有2个，即圆上到弦AB所在的直线距离为2的点有3个． 故答案为3． 【点睛】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，转化为C、E到弦AB所在的直线距离，与2比较大小是关键． 15. 如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，是秋千的静止状态，是踏板，是地面，点是推动两步后踏板的位置，弧是踏板移动的轨迹．已知尺 ，尺，人的身高尺．设绳索长尺，则可列方程为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，矩形的性质，由题意得四边形是矩形，所以，，则，然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，则∠B+∠E=_________°． 【答案】215． 【解析】 【详解】解：连接CE ∵五边形ABCDE为内接五边形 ∴四边形ABCE为内接四边形 ∴∠B+∠AEC=180° 又∵∠CAD＝35 ∴∠CED＝35°（同弧所对的圆周角相等） ∴∠B+∠E=∠B+∠AEC+∠CED=180°+35°=215° 故答案为：215． 【点睛】本题考查正多边形和圆． 17. 如图，，是半径为的的两条弦，，，是直径，于点，于点，为上的任意一点，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，垂径定理，勾股定理，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．由于A、B两点关于对称，因而，即当B、C、P在一条直线上时，的最小，即的值就是的最小值． 【详解】解：连接，作垂直于于H． ∵，，是直径，，， ∴，，四边形是矩形， ∴，， ∴， ， 在中根据勾股定理得到， 即的最小值为． 故答案为：． 18. 如图，是⊙O的弦，点C在⊙O内，，连接，若⊙O的半径是4，则长的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】延长交圆O于点D，连接，过O点作交于点E，则是等边三角形，再确定点C在以E为圆心，为半径的圆上，则的最小值为，再求解即可． 【详解】解：如图，延长交圆O于点D，连接，过O点作交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点C在以E为圆心，为半径的圆上， 在中，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆中的最小距离问题，熟练掌握垂径定理，等边三角形的性质，直角三角形的勾股定理，根据定角定弦确定点C的轨迹是解题的关键． 三 、解答题(本大题共10题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明 过程或演算步骤) 19. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键， （1）利用配方法解方程即可得到答案； （2）利用因式分解法解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解： 移项得：， 配方得：， 整理得：， 开平方得：或， 解得：，， 【小问2详解】 解：， 展开得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得：，． 20. 已知关于的方程－（k＋2）＋2k＝0 （1）说明：无论k取何值，方程总有实数根； （2）若方程有两个相等的实数根，求出方程的根. 【答案】 （1）证明：由△ 所以原方程总有实数根； （2）2 【解析】 【分析】（1）一元二次方程根的情况与判别式的关系：由可得方程有两个不相等的实数根；可得方程有两个相等的实数根；可得方程没有实数根，再证明即可． （2）由先求解 再解方程即可. 【详解】解：（1）略 （2）由方程有两个相等的实数根可得， 解得 则原方程可化为，解得. 21. 如图，，是的切线，A，B为切点，是⊙O的直径，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据切线的性质和切线长定理得到，，然后根据直角三角形的性质得到，最后根据三角形内角和定理得到． 【详解】解：∵，是的切线，A，B为切点， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了切线的性质和切线长定理，三角形内角和定理，等腰三角形性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 22. 如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证PA＝PC． 【答案】 证明：如图，连接. ∵， ∴. ∴，即. ∴. ∴. 【解析】 【分析】连接AC，由圆心角、弧、弦的关系得出，进而得出，根据等弧所对的圆周角相等得出∠C＝∠A，根据等角对等边证得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键． 23. 用无刻度直尺与圆规作图：用两种不同的方法作圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹．） 【答案】 解：如图 【解析】 【分析】本题主要考查了利用尺规作图确定已知圆圆心的知识，掌握在圆中弦的垂直平分线必过圆心，是解答本题的关键． 方法1：在圆上依次取三点，分别作线段的垂直平分线，两线相交于点O，则点O即为所作的圆心． 方法2：以圆外任何一点为圆心，适当长为半径画，交圆于点，作的直径，连接并延长交圆于点E，连接并延长交圆于F，连接，与相交于点O，则点O即为所作的圆心． 【详解】略 24. 如图，的半径于点C，连接并延长交于点E，连接．若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、中位线的性质以及勾股定理：先根据得，再根据勾股定理进行列式，得，解出，再结合中位线的性质，即可作答．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， 设， 则， 在中， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴ ∵是直径， ∴， ∴在中，． 25. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. （1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【答案】（1）26；（2）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元. 【解析】 【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件； （2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可． 【详解】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件． （2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元． 根据题意，得（40-x）（20+2x）=1200， 整理，得x2-30x+200=0， 解得：x1=10，x2=20． ∵要求每件盈利不少于25元， ∴x2=20应舍去， ∴x=10． 答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键． 26. 如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上的一点，点D为的中点，DE⊥AC于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AE＝8，DE＝4，求⊙O的半径． 【答案】 （1）证明：连接AD． ∵点D为弧BC的中点， ∴， ∴∠EAD＝∠DAB， ∵OA＝OD， ∴∠ADO＝∠DAB， ∴∠EAD＝∠ADO， ∴OD∥AE， ∵DE⊥AC， ∴∠E＝90°， ∴∠ODE＝90°， ∴DE⊥OD ∴DE是⊙O的切线； （2）5 【解析】 【分析】（1）连接AD．证明OD∥AE，可得∠E＝90°，则∠ODE＝90°得出DE⊥OD即可； （2）设⊙O的半径为r．过点O作OF⊥AE于F，则OF＝DE＝4，EF＝OD＝r，AF＝8﹣r（8﹣r）2+42＝r2解方程即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：设⊙O的半径为r． 过点O作OF⊥AE于F， 则四边形OFED为矩形 ∴OF＝DE＝4，EF＝OD＝r，AF＝8﹣r， ∵在Rt△AFO中，AF2+OF2＝OA2， ∴（8﹣r）2+42＝r2， ∴r＝5， ∴⊙O的半径为5． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确运用基本图形的性质解决问题． 27. 若时，代数式的值也为，则称是这个代数式的“优值”．例如，当时，代数式的值为0；当时，代数式的值为2，所以0和2都是的“优值”． （1）判断代数式是否存在“优值”，并说明理由； （2）代数式存在两个“优值”且差为5，求的值． 【答案】（1） 不存在“优值”．理由如下： 假设存在优值为，则有， 整理得 ， 则， ∵无论取何值时，， ∴方程没有实数根， 即代数式不存在“优值”； （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义“优值”、一元二次方程判别式的意义，解一元二次方程等知识，正确理解新定义“优值”是解题关键． （1）假设存在优值为，根据“优值”的定义可得，由一元二次方程的根的判别式可知该方程没有实数根，即可证明结论； （2）设“优值”为，根据“优值”的定义可得，解该方程可得，，然后根据题意解得的值即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 设“优值”为，则有， 整理得 ， ∴， ∴，， ∵两个“优值”差为5， ∴或， ∴或． 28. 几何模型： 条件：如图1，A、B是直线l同侧的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小， 方法：作点B关于直线l的对称点，连接交l于点P，则的值最小． 直接应用： （1）如图2，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且，N是AC上一动点，则的最小值为______． 变式练习： （2）如图3，点A是半圆上（半径为1）的三等分点，B是的中点，P是直径MN上一动点，求的最小值． 深化拓展： （3）如图4，在锐角中，，，的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求的最小值． （4）如图5，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使．（要求：保留作图痕迹，并简述作法．） 【答案】（1）10 （2）的最小值为 （3）的最小值为4 （4） 【解析】 【分析】（1）连接BN，根据AC是对角线为对称轴，得出BN=DN，根据两点之间距离得出DN+NM=BN+NM≥BM，当B、N、M三点共线时DN+NM最短=BM，然后利用勾股定理求解即可； （2）作点B关于NM的对称点B′，连接PB′，OB′，可得PB=PB′，根据两点之间距离得出PA+PB=PA+PB′≥AB′，当A、P、B′，三点共线时PA+PB最小=AB′，然后求出∠AOB′=90°，再利用勾股定理AB′=即可； （3）作BE⊥AC于E，作点N关于AD的对称点N′，连接MN′根据AD平分∠CAB，点N在AB上，得出点N′在AC上，根据对称性得出MN=MN′，，当点M，N′在BE上时最小=BE，可证△AEB为等腰直角三角形，根据勾股定理求出即可； （4）作点B关于AC对称点B′，作射线DB′交AC与P，连接BP，根据点B与点B′关于AC对称，得出PB=PB′，根据等腰三角形三线合一性质得出PE平分∠BPB′即可． 【小问1详解】 解：连接BN， ∵四边形ABCD为正方形，AC是对角线为对称轴， ∴BN=DN， ∴DN+NM=BN+NM≥BM ∴当B、N、M三点共线时DN+NM最短=BM， ∵DM=2，DC=BC=8， ∴CM=DC-DM=8-2=6， 在Rt△BCM中，BM=， ∴DN+NM最小=10； 故答案为10； 【小问2详解】 解：作点B关于NM的对称点B′，连接PB′，OB′， 则PB=PB′， ∴PA+PB=PA+PB′≥AB′， ∴当A、P、B′，三点共线时PA+PB最小=AB′ ∵点A是半圆上（半径为1）的三等分点， ∴的度数为60°， ∵B是的中点， ∴的度数为30°， ∴的度数为60°+30°=90°， ∴∠AOB′=90°， ∵OA=OB′=1， ∴AB′=， ∴PA+PB最小=； 【小问3详解】 解：作BE⊥AC于E，作点N关于AD的对称点N′，连接MN′ ∵AD平分∠CAB，点N在AB上， ∴点N′在AC上， MN=MN′，， ∴当点M，N′在BE上时最小=BE， ∵∠CAB=45°，BE⊥AC ∴∠EBA=180°-90°-45°=45°=∠CAB， ∴AE=BE， ∴△AEB为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴最小=4； 【小问4详解】 作点B关于AC对称点B′，作射线DB′交AC与P，连接BP， ∵点B与点B′关于AC对称， ∴PB=PB′， ∵PE⊥BB′ ∴PE平分∠BPB′， ∴∠APB=∠APD． 【点睛】本题考查尺规作图，轴对称性质，两点之间线段最短，正方形性质，勾股定理，圆心角，圆周角弧弦的关系，等腰直角三角形判定与性质，掌握尺规作图，轴对称性质，两点之间线段最短，正方形性质，勾股定理，圆心角，圆周角弧弦的关系，等腰直角三角形判定与性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $