精品解析：四川成都七中八一学校2026-2027学年高一上学期10月定时练习数学试题

2026级高一上10月定时练习 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由被开方数大于等于零解出集合，再求交集即可； 【详解】由集合可得，又 所以， 故选：C. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定即可得到答案． 【详解】命题“，”的否定为“，”， 故选：D． 3. 已知，使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式性质和充分条件以及必要条件的判断分析即可. 【详解】对A，若，则，则充分性成立；若，则，则必要性成立，故A错误； 对B，若，举例，此时，则充分性不成立，故B错误； 对C，若，举例，此时，则充分性不成立，故C错误； 对D，若，则，则，则充分性成立；若，当时，此时，故必要性不成立，故D正确； 故选：D. 4. 若，则的最小值为（ ） A. 24 B. 26 C. 32 D. 92 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式‘1’的代换求解即可. 【详解】因为， 所以， 由基本不等式可得，即， 当且仅当时取等，此时解得，， 则的最小值为32，故C正确. 故选：C 5. 已知集合，，且，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合B中元素都属于A求解，注意进行检验特别是元素的互异性. 【详解】若，则，此时，不合题意， 若，则或，时，不合题意，时，满足题意. 所以，从而的取值集合为. 6. 已知，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用不等式的性质求各项代数式的范围. 【详解】A：由不等式的同向可加性得，即，对； B：同乘，不等式变号，得，又， 由不等式的同向可加性得，即，对； C：由B项结论及，利用不等式的同向同正可乘性得，即，对； D：因为，则有又， 由不等式的同向同正可乘性得，则，错. 故选：D 7. 命题，是假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】转化为命题的否定为真命题，再分离参数即可得到答案. 【详解】由题意得：“，”为真命题， 即对恒成立， 因为，当且仅当时等号成立， 则. 故选：C. 8. 已知集合，，，则满足的关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将三个集合分别化简，分母一样，比较分子的不同，根据所表示范围的大小，判断出集合的关系． 【详解】集合， 集合， 集合， ∵时，表示被6除余1的数；时，表示被3除余1的数；时，表示被3除余1的数； 所以，故选B． 【点睛】本题考查集合间的包含关系，考查学生转化问题的能力，属于基础题． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，若，则．若，则． 故，A正确； 对于B，若，，满足，则，B错误； 对于C，若，则，，C正确； 对于D，若，，则，， 故，即，D正确． 10. 下列说法正确的有（ ） A. 命题“，”的否定为“，” B. 存在一个无理数，它的立方是有理数 C. 设，则方程有两个不等的负实数根的充要条件是 D. 若且，则，至少有一个大于1 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据存在量词命题的否定的定义求解判断即可；对于B，举例判断即可；对于C，根据一元二次方程根的分布求解判断即可；对于D，利用反证法求证即可判断. 【详解】对于A，命题“，”的否定为“，”，故A错误； 对于B，比如为无理数，而为有理数，故B正确； 对于C，由方程有两个不等的负实数根， 则，解得，故C错误； 对于D，假设都不大于1，即，则，因此不成立， 所以假设不成立，故D正确. 故选：BD 11. 已知正数，满足，则下列各选项正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为1 D. 的最小值为8 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合基本不等式及求解判断各选项即可. 【详解】对于，因为，得， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为，故正确； 对于B，由，所以， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为2，故C错误； 对于D，由， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为8，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，且，则_______． 【答案】1 【解析】 【详解】因为，所以，即中的所有元素都属于， 因为，，，所以， 即，得出或， 当时，，则，，满足， 当时，，则集合中的元素不满足互异性， 综上，. 13. 已知命题p：，命题q：.若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为________． 【答案】(－∞，－2] 【解析】 【分析】根据条件分别求出命题，为真命题的等价条件，然后根据复合命题真假关系进行求解即可. 【详解】，得，则，即， 若，为真命题， 则判别式， 即，得或，即或， 若“p且q”是真命题，则真且真，则， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件求出命题，的等价关系是解决本题的关键，属于基础题. 14. 用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合．则___________． 【答案】5 【解析】 【分析】先求出的可能取值，然后对进行分类讨论来求出，进而即可求出． 【详解】由，则， 若， 则或， 当时，，满足； 当时，由有两个不同的解或， 又对于，， 当时，或， 当时，，， 此时，满足； 当时，， 此时，满足； 当，即时，无解，不符合题意； 当，即或时，的解为或， 不是的解， 由，解得， 当时，，满足； 当时，，满足， 当时，，不符合题意． 综上，，所以． 故答案为：． 四、解答题（本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设集合，，，求： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【小问1详解】 因为集合，， 所以； 【小问2详解】 因为集合，， 所以． 又因为， 所以； 【小问3详解】 因为集合，， 所以或， 可得或． 16. 已知集合，. （1）当时，求集合； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出具体集合，再进行混合运算即可. （2）结合题意判断集合之间的关系，再求解参数即可. 【小问1详解】 令，则， 即，解得或， 则或， 当时，，故或. 故或. 【小问2详解】 由题意是的必要不充分条件， 可得是的真子集，则或， 所以或. 17. 求解下列各题： （1）求的最小值． （2）已知，且，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将函数解析式变形为，再利用基本不等式进行求解； （2）若恒成立，则．由已知条件，可得，将与相乘，展开后，利用基本不等式即可求得，从而转化为关于实数的不等式，即可求解． 【小问1详解】 ． 因为，所以． 由基本不等式，可得， 当且仅当，即时，等号成立， 因此，即当时，取得最小值，最小值为； 【小问2详解】 因为，，， 所以等式两边同时除以，可得， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为． 因为恒成立，所以， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围为． 18. 国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54000美元． （1）写出钻石的价值y关于钻石重量x的关系式； （2）把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试证明：当时，价值损失的百分率最大． （注：价值损失的百分率100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计） 【答案】（1） （2） 证明：若两颗钻石的重量为克拉，则原有价值是， 现有价值是， 价值损失的百分率为 ， 当且仅当时取等号， ∴当时，价值损失的百分率最大. 【解析】 【分析】（1）根据钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，设出关系式，利用克拉时的价值求得的值，由此求得关系式； （2）求得的关系式写出原有价值和现有价值，通过计算价值损失百分率，利用基本不等式可得答案. 【小问1详解】 由题意可设价值与重量的关系式为：， ∵3克拉的价值是美元， ∴，解得：， ∴； 【小问2详解】 略 19. 我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，，当且仅当时，等号成立.我们从不等式出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：，，且，，当且仅当时，等号成立.利用柯西不等式也可以求最值，例如：若，求的最小值. 证明：根据柯西不等式有， ， ，，即，当且仅当时等号成立，结合解得，，，的最小值为3. 请根据以上材料解答下列问题： （1）证明二阶柯西不等式：； （2）求的最大值及此时的取值； （3）若，，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） 由， 当且仅当，即时等号成立， . （2）取最大值9 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题设，作差即可求证； （2）利用柯西不等式求解即可； （3）转化问题为，进而求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为柯西不等式可得， 又因为， 所以， 即得， 化简得，当且仅当取最大值9. 【小问3详解】 因为， 所以，则， 所以， 因为柯西不等式可得， 又因为，，所以，令， 所以， 即得，当且仅当取最小值24； 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026级高一上10月定时练习 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的最小值为（ ） A. 24 B. 26 C. 32 D. 92 5. 已知集合，，且，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 命题，是假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合，，，则满足的关系为（　　） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 下列说法正确的有（ ） A. 命题“，”的否定为“，” B. 存在一个无理数，它的立方是有理数 C. 设，则方程有两个不等的负实数根的充要条件是 D. 若且，则，至少有一个大于1 11. 已知正数，满足，则下列各选项正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为1 D. 的最小值为8 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，且，则_______． 13. 已知命题p：，命题q：.若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为________． 14. 用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合．则___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设集合，，，求： （1）； （2）； （3）． 16. 已知集合，. （1）当时，求集合； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17. 求解下列各题： （1）求的最小值． （2）已知，且，若恒成立，求实数的取值范围． 18. 国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54000美元． （1）写出钻石的价值y关于钻石重量x的关系式； （2）把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试证明：当时，价值损失的百分率最大． （注：价值损失的百分率100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计） 19. 我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，，当且仅当时，等号成立.我们从不等式出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：，，且，，当且仅当时，等号成立.利用柯西不等式也可以求最值，例如：若，求的最小值. 证明：根据柯西不等式有， ， ，，即，当且仅当时等号成立，结合解得，，，的最小值为3. 请根据以上材料解答下列问题： （1）证明二阶柯西不等式：； （2）求的最大值及此时的取值； （3）若，，不等式恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $