精品解析：浙江省绍兴市上虞区城南中学2026-2027学年高一第一学期10月月考数学试题

2026学年第一学期城南中学高一10月月考（数学） 一、选择题：本题共8小题，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，则实数的值等于（ ） A. B. C. 1 D. 3 8. 已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. ， D. 与 11. 已知正实数满足，则（ ） A. 的最小值为6 B. 的最小值为20 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分. 12. 函数的定义域是______. 13. 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是________________. 14. 设是4个有理数，使得，则________. 四、解答题：本题共4小题，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 一墙一文化，一村一风景．在美丽乡村创建中，墙绘依托其公共性、视觉冲击等特点担负美化乡村、宣传乡村的使命．如图所示，某乡村拟建一绘画墙，在墙面上画三幅大小相同的矩形图画，每一幅画的面积为9600平方厘米，要求图画上四周空白的宽度为2厘米，每幅图画之间的空隙的宽度为2厘米．设绘画墙的长和宽分别为厘米，厘米． （1）求关于的关系式； （2）为了节约成本，应该如何设计绘画墙的尺寸，使得绘画墙墙面的面积最小？ 17. 已知集合，． （1）若集合B满足且，求实数m的取值范围． （2）若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围． （3）若中恰有一个整数元素，求实数m的取值范围． 18. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求实数a，b的值， （2）当时，求不等式的解集． （3）在（2）的条件下，若对任意的，都有成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期城南中学高一10月月考（数学） 一、选择题：本题共8小题，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系逐一判断即可求解. 【详解】由，故A正确，，故B错误，，故C错误，，故D错误. 故选：A. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将集合进行一元二次不等式化简然后与集合取交集即可. 【详解】，，则， 故选：D. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】存在量词改为全称量词；原命题结论为，其否定为； 因此原命题的否定为“，” 4. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】时，一定有，满足充分性， 但时，如，不满足，即不满足必要性， “”是“”的为充分不必要条件． 故选：A． 5. 已知，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义域以及值域概念，由函数概念即可判断结论. 【详解】对于A，函数的值域为，不符合题意； 对于B，函数的值域为，不符合题意； 对于C，函数的定义域为，值域为，符合题意； 对于D，一个自变量对应两个函数值，不符合函数定义，不符合题意． 故选：C． 6. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对分式不等式合理变形，再求解集即可. 【详解】因为，所以， 解得，故D正确. 故选：D 7. 已知函数，若，则实数的值等于（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】首先求得的值，然后分类讨论确定实数a的值即可，需要注意自变量的取值范围. 【详解】，据此结合题意分类讨论： 当时，， 由得，解得，舍去； 当时，， 由得，解得，满足题意. 故选：A． 8. 已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质求的取值范围. 【详解】由； 又， 两式相加得：， 即. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A当时，即可判断，对于B根据不等式的性质即可判断，对于C利用作差法即可判断，对于D当时即可判断. 【详解】对于A：当时，，故A错误； 对于B：当时，，故B正确； 对于C：当时，所以，所以，所以，故C正确； 对于D：当时，，故D错误. 故选： BC. 10. 下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. ， D. 与 【答案】ACD 【解析】 【分析】由同一函数的定义可知，同一函数满足定义域与对应关系相同，从而可以对四个选项作出判断. 【详解】对于A，因为函数与的定义域为，又，则两个函数对应关系也相同， 所以两个函数表示同一个函数，选项A正确； 对于B，因为函数的定义域为，函数的定义域为，两函数定义域不同， 因此不是同一个函数，选项B错误； 对于C，易知函数与的定义域、对应关系均相同， 所以两个函数为同一个函数，选项C正确； 对于D，因为函数与的定义域为，又，则两个函数对应关系也相同， 所以两个函数表示同一个函数，选项D正确. 11. 已知正实数满足，则（ ） A. 的最小值为6 B. 的最小值为20 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式将原式转化，再令，通过解不等式求出的范围即可判断A；利用基本不等式将原式转化，设，通过解不等式求出的范围，进而求出的范围即可判断B；将变形为，将选项B中求出的代入求出其最小值，即可判断C；从原式中求出，将变形为，再利用基本不等式求出其最小值，即可判断D. 【详解】因为正实数满足， 所以由（当且仅当时等号成立），可得. 设，则有，整理可得，即. 因为，所以解得，即，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为6，故A正确； 因为正实数满足， 所以由（当且仅当时等号成立），可得. 设，则有，即， 因为，所以解得，即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为9，故B错误； 因为正实数满足，又由选项B可知， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 因为正实数满足，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分. 12. 函数的定义域是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的定义域得到，解得答案. 【详解】由题意可得，解得或. 故答案为： 13. 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是________________. 【答案】 【解析】 【分析】先得到“”是真命题，根据根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】易得“”是真命题， 故，解得， 故取值范围为. 故答案为： 14. 设是4个有理数，使得，则________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据题目所给条件列方程，整理求得. 【详解】依题意，集合， 即， 则. 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共4小题，共52分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的交、并、补集运算即可求解； （2）由得，解出即可求解. 【小问1详解】 当时，， ， 或， ； 【小问2详解】 因为， 所以， 所以. 16. 一墙一文化，一村一风景．在美丽乡村创建中，墙绘依托其公共性、视觉冲击等特点担负美化乡村、宣传乡村的使命．如图所示，某乡村拟建一绘画墙，在墙面上画三幅大小相同的矩形图画，每一幅画的面积为9600平方厘米，要求图画上四周空白的宽度为2厘米，每幅图画之间的空隙的宽度为2厘米．设绘画墙的长和宽分别为厘米，厘米． （1）求关于的关系式； （2）为了节约成本，应该如何设计绘画墙的尺寸，使得绘画墙墙面的面积最小？ 【答案】（1） （2）长为248厘米，宽为124厘米 【解析】 【分析】（1）由题意得，化简即可得解； （2）首先得，然后结合基本不等式及其取得条件即可求解. 【小问1详解】 由题意，知每一幅矩形图画的长为厘米，宽为厘米， 则，整理得． 【小问2详解】 由（1）知绘画墙墙面的面积， 则， 由基本不等式，有，当且仅当时取等号． 故，此时， 故当绘画墙墙面的长为248厘米，宽为124厘米时，绘画墙面的面积最小． 17. 已知集合，． （1）若集合B满足且，求实数m的取值范围． （2）若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围． （3）若中恰有一个整数元素，求实数m的取值范围． 【答案】（1）或； （2）或； （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再根据已知条件即交集的定义，列出不等关系求出的取值范围即可； （2）由已知可得是的真子集，分和两种情况，分别求出的取值范围即可； （3）由集合中含有4个整数元素，结合中恰有一个整数元素，分四种情况考虑，分别求出的取值范围即可. 【小问1详解】 由题可知，，解得，则，所以集合， 因为，则，即，又，所以或，解得或，所以或 综上，当且时，实数m的取值范围为或； 【小问2详解】 因为是的必要不充分条件，则是的真子集，由（1）知， 当时，则，即，符合题意； 当时，则，解得，所以， 综上，实数m的取值范围为或； 【小问3详解】 由集合含有共4个整数元素，又中恰有一个整数元素， 当时，则，则，解得，所以； 当时，则，则，解得，无解，不合题意； 当时，则，则，解得，无解，不合题意； 当时，则，则，解得，所以， 因此中恰有一个整数元素时，实数m的取值范围为或. 18. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求实数a，b的值， （2）当时，求不等式的解集． （3）在（2）的条件下，若对任意的，都有成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） ， （2） 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 （3） 【解析】 【分析】(1)利用一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理求解参数；(2)先对二次式因式分解，再分类讨论的取值求解不等式；(3)利用时化简不等式，将恒成立问题转化为最值问题求解. 【小问1详解】 因为不等式的解集为，所以，且是方程的两个实数解， 由韦达定理得  ，解得，. 【小问2详解】 当时，，分类讨论如下： 当时，不等式为，解得，解集为； 当时，不等式等价于，两根为和，且，故解集为； 当时，不等式等价于，两根均为负数， 若即，不等式为，解集为； 若即，解集为； 若即，解集为. 综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【小问3详解】 对任意，恒成立，因为时，故不等式等价于对所有恒成立， 当时，，不等式恒成立； 当时，对所有恒成立，在上的最小值为（当时取得），,所以； 综上，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $