精品解析：浙江余姚市梦麟中学2026-2027学年高一上学期10月质量检测数学试卷

梦麟中学2026学年10月质量检测高一数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，，则中的元素个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为全集，，则， 故集合中的元素个数为. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定写出结论，即可判断得解. 【详解】命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以命题“”的否定是：. 故选：B 3. 已知条件或，则使得条件p成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分不必要的定义判断即可. 【详解】使得条件p成立的一个充分不必要条件应为或的真子集， 只有或满足要求. 故选：. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】移项通分： ， 两边同乘，不等号方向改变： ， 等价于且，解得. 5. 下列对应关系中是到的函数的是（ ） A. ，，： B. ，，： C. ，，： D. ，，： 【答案】D 【解析】 【详解】集合不是数集，所以A错误； 对于集合中的实数，在集合中没有元素与它对应，所以B错误； 对于，没有意义，所以C错误； 对于，都有与对应，所以D正确. 6. 已知，则下列不等式恒成立的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质，逐一判断选项即可. 【详解】已知条件为，逐一分析选项： 选项A：令，则，，此时，不等式不恒成立； 选项B：取，，， 此时，不等式不恒成立； 选项C：作差：， 由条件得， 因此差值为正，即，该不等式不成立； 选项D：先拆分变形：， 由条件：故；，因此， 两个正数相加结果必大于，即恒成立. 7. 小明同学用一架两臂不等长的天平称20克药剂，他先将10克的砝码放在天平左盘中，取出一些药剂放在天平右盘中使天平平衡；再将10克的砝码放在天平右盘中，再取出一些药剂放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的药剂装入烧杯．你认为小明装入烧杯中药剂的剂量（ ） A. 小于20克 B. 等于20克 C. 大于20克 D. 不能判断 【答案】C 【解析】 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且， 设第一次操作（药剂在右盘）称得的药剂为克， 第二次操作（药剂在左盘）称得的药剂为克， 则，解得， ， 当且仅当时，取等号，而，所以. 8. 用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合.则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先求得的可能取值，然后对进行分类讨论来求得，进而求得. 【详解】，要使， 则或. 当时，，满足. 当时，首先有两个不同的解或， 其次，对于，， 当时，或， 当时，，， 此时，满足. 当时，，， 此时，满足. 当，即时，无解，不符合题意. 当，即或时， 的解为或， 不是的解， 由，解得， 当时，，满足， 当时，，满足， 当时，，不符合题意. 综上所述，. 故选：B 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题中，是真命题的有（ ） A. 集合的所有真子集为， B. 若（其中a，），则 C. D. 若a，b，，则是的充要条件 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据真子集定义求解判断；对B，根据集合相等的定义求解判断；对C，根据子集的定义即可判断；对D，根据充要条件的定义判断. 【详解】对于A，集合的真子集为，，，故A错误‘ 对于B，由，得，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，因为等价于， 等价于， 所以是的充要条件，故D正确. 故选：BCD. 10. 若实数，，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定等量关系，应用基本不等式、“1”的代换及柯西不等式求各项对应代数式的最值，注意取值成立条件. 【详解】A：由均值不等式，得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为，错误， B：因为，则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，正确， C：由题设， 由，得， 当且仅当，即时取等号，错误， D：设，问题化为，求的最大值， 根据柯西不等式， 所以，当且仅当即时等号成立， 此时，代入，解得，符合的条件， 所以的最大值为，正确. 11. 已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】先将不等式化为一元二次不等式的标准形式，再根据一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等知识来逐一分析选项. 【详解】由题可知，是方程的两根，∴，，A选项正确； 由图可知，当时，，，B选项错误； 当时，，.C选项错误； ∵，∴，∴，D选项正确. 故选:AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，则________. 【答案】 【解析】 【详解】， 集合表示被3除余1的自然数， 所以. 13. 若存在，使得成立是假命题，则实数的取值范围________. 【答案】 【解析】 【详解】“存在，使得成立”是假命题， 等价于其否定“对任意，恒成立”为真命题. 由，将不等式变形为 根据基本不等式，时， ， 当且仅当时取等号，即的最小值为. 要使对所有恒成立，只需， 故实数的取值范围是. 14. 若、、，，，若，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】推导出，，，由已知条件得出，再由结合基本不等式可得出关于的不等式，即可得出的最小值. 【详解】由可知、、均不为零， 若，由可知、、三者均为负数，这与矛盾，故， 所以，故、同号， 因为，所以，故，， 由可得，所以，所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合 （1）若， 求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求集合，进而可求并集； （2）根据列式求解，注意非空集合的理解. 【小问1详解】 由题意可得：， 若，则，所以. 【小问2详解】 因为， 则，解得 所以实数的取值范围. 16. 已知命题，. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）命题关于的一元二次方程的一根小于，另一根大于，若、至少有一个是真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意可得，即可解得实数的取值范围； （2）求出当命题为真命题时的取值范围，然后考虑当、均为假命题时实数的取值范围，结合补集思想可求得、至少有一个是真命题，实数的取值范围. 【小问1详解】 解：由题意，若为真，则，解得. 【小问2详解】 解：若为真，，方程两根为和， 则由题意得，所以， 当、均为假命题时，有，可得. 因此，如果、中至少有一个为真时，或. 17. （1）已知，求的最小值； （2）已知，，且，求的最大值； （3）已知，，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）对原式进行配凑变形，构造出能使用基本不等式的形式，求解并验证等号成立的条件. （2）利用完全平方公式将已知等式转化为含与的式子，结合基本不等式消去，解出的范围. （3）根据确定的取值范围，再将的表达式代入目标式，通过配凑法构造出基本不等式的形式，求其最小值. 【详解】（1）， 因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立. 所以原式的最小值为. （2）， 因为，由基本不等式得， 所以,即， 得，因为，所以. 当且仅当时，等号成立. 所以的最大值为. （3）由，得. 因为，若，则不成立，故，所以. 因为，即，又，所以，即. 于是 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为. 18. 如图，居民小区要建一座八边形的休闲广场，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元，再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元. （1）设长为（单位：），总造价为（单位：元），试建立关于的函数关系式； （2）当为何值时最小，并求出最小值. 【答案】（1） （2）当时，最小，最小值为元 【解析】 【分析】（1）根据题目条件用表示出，从而可求出各个图形的面积，将花坛、地坪、草坪的各个区域造价相加，即可求得总造价； （2）由（1）得到的总造价关系式，利用均值不等式求出最小值即可． 【小问1详解】 设，由两个相同的矩形和构成的面积为， 得，解得，由，得， 则，， ，所以 即； 【小问2详解】 由（1）可得， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值元． 19. 设集合P是正整数集的非空子集，对任意，定义运算，若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合P的“差倍集”． （1）当时，写出集合P的差倍集； （2）设集合，若其差倍集中恰好有两个元素，求所有满足条件的k； （3）若P是由4个正整数构成的集合，求其差倍集中元素个数的最小值． 【答案】（1） （2）2或10 （3）4 【解析】 【分析】（1）根据差倍集的定义，列举所有满足条件的数对并计算结果，再利用集合中元素的互异性去重； （2）根据与1,4的大小关系分类讨论，计算所有可能的，通过“差倍集元素个数为2”建立方程，结合集合中元素的互异性筛选； （3）通过构造特殊集合使结果尽量重复，结合差倍集的定义证明最少元素个数. 【小问1详解】 根据差倍集的定义，， 当，时，； 当，时，； 当，时，. 由集合中元素的互异性，可得. 【小问2详解】 已知，由集合中元素的互异性可知，且. 当时，的可能取值为2或3. 当时，，，，，此时，满足差倍集中恰好有两个元素，故. 当时，，，，，则，不满足差倍集中恰好有两个元素，故. 当时，根据，，可得，，. 由于且，所以且，且. 因为差倍集中恰好有两个元素，所以分以下情况讨论： 若，此方程无解； 若，解得，此时，满足差倍集中恰好有两个元素，故. 综上，若其差倍集中恰好有两个元素，则的值为2或10. 【小问3详解】 设，，. 根据，，则，，，，，. 不妨设 ，则，，，，，，由集合中元素的互异性，可得，元素个数为4. 下证元素个数不少于4： 将，，，，，这6个值分别记为： ，，，，，. 从而有： ，即， ，即. 因此，即，，已经是严格递增的三个数，它们已经占用了3个不同的值，如果差倍集中只有3个元素，那么，，必须在中取值，且不能引入新的数. 先看： 若，则，即； 若，则，即，与假设矛盾，故不可能成立； 若，则，即，与假设，矛盾，故不可能成立. 因此的取值只能等于，此时. 再看： 若，则，即，与假设矛盾，故不可能成立； 若，则，即； 若，则，即，而在成立时，，由和可知，此时，与假设矛盾，故不可能成立. 因此的取值只能等于，此时，即. 再看，将代入，可得. 若，则，即，与假设矛盾，故不可能成立； 若，则，即，与假设矛盾，故不可能成立； 若，则，即，而在时，，与矛盾，故. 所以无论如何，都不能在中取值，即一定是不同于，，的第四个数. 因此差倍集中元素个数的最小值为4. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 梦麟中学2026学年10月质量检测高一数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，，则中的元素个数为（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知条件或，则使得条件p成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 下列对应关系中是到的函数的是（ ） A. ，，： B. ，，： C. ，，： D. ，，： 6. 已知，则下列不等式恒成立的是（） A. B. C. D. 7. 小明同学用一架两臂不等长的天平称20克药剂，他先将10克的砝码放在天平左盘中，取出一些药剂放在天平右盘中使天平平衡；再将10克的砝码放在天平右盘中，再取出一些药剂放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的药剂装入烧杯．你认为小明装入烧杯中药剂的剂量（ ） A. 小于20克 B. 等于20克 C. 大于20克 D. 不能判断 8. 用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合.则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题中，是真命题的有（ ） A. 集合的所有真子集为， B. 若（其中a，），则 C. D. 若a，b，，则是的充要条件 10. 若实数，，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 11. 已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，则________. 13. 若存在，使得成立是假命题，则实数的取值范围________. 14. 若、、，，，若，则的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合 （1）若， 求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知命题，. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）命题关于的一元二次方程的一根小于，另一根大于，若、至少有一个是真命题，求实数的取值范围. 17. （1）已知，求的最小值； （2）已知，，且，求的最大值； （3）已知，，且，求的最小值. 18. 如图，居民小区要建一座八边形的休闲广场，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元，再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元. （1）设长为（单位：），总造价为（单位：元），试建立关于的函数关系式； （2）当为何值时最小，并求出最小值. 19. 设集合P是正整数集的非空子集，对任意，定义运算，若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合P的“差倍集”． （1）当时，写出集合P的差倍集； （2）设集合，若其差倍集中恰好有两个元素，求所有满足条件的k； （3）若P是由4个正整数构成的集合，求其差倍集中元素个数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $