第六单元 因数与倍数（单元自测•提升卷）数学苏教版五年级上册（新教材）

保密★启用前 第六单元 因数与倍数（单元自测•提升卷） 试卷总分：100分+10分；建议用时：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题（共10分） 1．（2分）一个三位数43是3的倍数，里有（    ）种填法。 A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2分）用5、6、9、12个相同小正方形拼长方形，12个拼出种类最多，原因是（    ）。 A．12数量最多 B．12不是质数 C．12因数最多 D．12倍数最多 3．（2分）五（1）班有48人参加实践活动，老师想将学生分成人数相等的小组（每组至少2人，至少分为两组）。老师可以有（    ）种不同的分法。 A．7 B．8 C．9 D．10 4．（2分）一个是奇数的两位数，个位上的数与十位上的数的积是14，这个两位数是（ ）。 A．14 B．41 C．27 D．72 5．（2分）如下图，芳芳在一张长方形纸条上摆小熊卡片，一共摆了三次，每次都正好从纸条的一端摆到另一端且没有剩余。已知小熊卡片长9厘米，宽6厘米，那么这张长方形纸条至少长（    ）厘米。 A．18 B．36 C．45 D．90 二、填空题（共20分） 6．（2分）有四个学生，他们的年龄恰好是四个连续的自然数，四人年龄的乘积是5040，那么，年龄最大的是（ ）岁，最小的是（ ）岁。 7．（2分）有313块月饼，每5块装一盒，还剩（ ）块；每3块装一盒，至少添（ ）块才能正好装完。 8．（2分）古人表示年龄，通常不用数字，而是用文字，充满了浓厚的文化底蕴。如：不惑：四十岁；古稀：七十岁；耄耋：八九十岁。笑笑的奶奶今年已过古稀之年，未及耄耋之年，且年龄既是2的倍数，又有因数3.奶奶今年可能是（ ）岁或（ ）岁。 9．（2分）一个四位数，千位上数字是10以内最大的偶数，百位上数字是最小的质数，十位上数字是最小合数，个位上数字既不是质数也不是合数，这个四位数是（ ）。 10．（2分）校园手工实践活动中，同学们精心制作传统五谷摆件，若每6个摆件装进一个收纳盒，或是每9个装一盒，都能恰好装满没有剩余。这批摆件总数在个之间，一共有（ ）个摆件。 11．（2分）深圳某科技创新企业研发了42套智能传感器和30套智能控制器，现在要将这两种产品分装到相同的展示盒里，每盒仅装一种产品且数量相同，全部装完无剩余。如果要使每个展示盒装入产品的数量最多，一共需要（ ）个展示盒。 12．（2分）吃早饭时，小明数了一下餐桌上盘子的个数，这个数既是5的倍数，又是10的因数，这个数可能是（ ）。（写出所有可能） 13．（2分）晚上，小明正开着灯在吃晚饭，顽皮的弟弟按了16下开关，这时灯是（ ）着的。如果再按50下，这时灯是（ ）着的。（填“开”或“关”） 14．（2分）五年级的同学们为学校的鸟制作了一些鸟巢鸟巢个数正好是大于10且小于20的所有合数的和，这些鸟巢有（ ）个。 15．（2分）四（1）班同学分组参加社会实践活动，每组5人或每组6人，都剩下2人，全班至少有（ ）人参加实践活动。把这个人数分解质因数是（ ）。 三、判断题（共10分） 16．（2分）口袋里有标有5、6、7、8、9的五张卡片，任意摸一张，摸出质数的可能性比摸出合数的可能性小。（ ） 17．（2分）在大于5的自然数中，个位上是0、2、4、5、6、8的数都是合数。（ ） 18．（2分）桌子上有23张卡片，分别写着1—23，背面朝上，如果摸到4的倍数，小丽赢，如果摸到7的倍数，小明赢。按这样约定，玩一次游戏，小丽一定赢。（ ） 19．（2分）已知A＝6n，B＝9n（n是非零自然数），那么A和B的最大公因数是3n，最小公倍数是18n。（ ） 20．（2分）某学校六年级有男生48人，女生有36人。男、女生分别站成若干排，要使每排的人数相同，每排最多16人。（ ） 四、计算题（共6分） 21．（6分）求每组数的最大公因数和最小公倍数。 ①42和21    ②30和45    ③12和11 五、作图题（共6分） 22．（6分）一个长方形的周长为26厘米，它的长和宽都是质数，请你在下面的方格图中画出这个长方形。（每个小方格的边长表示1厘米） 六、解答题（共58分） 23．（4分）妙想和奇思去商店准备买3个同样的足球，每个足球的单价是整元数，可是标价签模糊不清了，老板说：“3个足球应该付134元。”你认为老板的说法对吗？请判断并说明理由。 24．（4分）五（1）班去植树，男生有24人，女生有18人。如果要分成若干个小组且没有剩余，每个小组的男生人数相同，女生人数也相同。最多可以分成多少个小组？每个小组有男生、女生各多少人？ 25．（4分）张师傅将54位缫丝工人分成人数相等的小组（每组人数大于1，组数大于1），张师傅可以如何分组？写出所有的分组方案。 26．（4分）当小明爷爷的年龄是小明爸爸的2倍时，小明的年龄恰好等于最小的质数；当爷爷的年龄是小明的3倍时，爷爷和小明的年龄之和是100。请问爸爸比小明大多少岁？ 27．（5分）甲、乙两人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，如果3月21日两人在图书馆相遇，那么他们下一次在图书馆相遇是几月几日？ 28．（5分）同学们排方阵做操，每行的人数都是相等的。下面是霏霏、淘淘、依依、龙一鸣各自数出的总人数，其中只有一人数对了。你认为谁数对了呢？写出你的理由。 29．（5分）小明和小华用黑桃2～9做游戏，任意摸一张牌，下列玩法中不公平的是哪种玩法？分析一下原因是什么。 玩法一：摸到奇数小明赢，摸到偶数小华赢。 玩法二：摸到质数小明赢，摸到合数小华赢。 玩法三：摸到大于5的小明赢，摸到小于5的小华赢。 玩法四：摸到3或5的倍数小明赢，否则小华赢。 30．（8分）端午节的时候，王大伯的超市里进了60只粽子，准备卖给小区里的居民。超市里的粽子包装盒有四种：A包装盒每盒可以装4个、B包装盒每盒可以装6个，C包装盒每盒可以装9个，D包装盒每盒可以装12个。 （1）请你帮王大伯选用一种包装盒，把60个粽子包装完，算算这样包装的话可以装几盒？ （2）还可以用怎么样的包装方式，正好把粽子装完？至少说出两种方式，并计算说明。 31．（9分）中国在服务机器人领域发展迅速，某新型防疫机器人具备智能消杀和路径规划功能，其机械臂和导航系统涉及数学知识的应用。 （1）机器人机械臂末端的喷洒装置示意图如下，是直角三角形AOB。 请完成以下操作：先将三角形绕O逆时针旋转90°，画出旋转后图形并标注A'、B'、O；再把旋转后的图形向右平移3格，画出最终图形并标注A"、B"、O"，最后写出两次变换后图形与原图形的形状、大小关系：_________________________________________。 （2）机器人甲和机器人乙在执行任务时，甲的导航系统每15秒更新一次位置信号，乙每20秒更新一次。若两机器人首次同时更新信号的时间是8：00，那么下一次同时更新信号是几时几分？由于任务升级，加入机器人丙，丙的导航系统每30秒更新一次位置信号。三个机器人首次同时更新信号后，至少经过多少秒会再次同时更新？请用最小公倍数的知识解决问题。 七、附加题（共10分） 32．（5分）《孙子算经》中有一题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”此物数量最少是多少？ 33．（5分）某小学举办了主题为“小学生要不要参加兴趣小组”的辩论比赛，王老师通过抽下面的数字卡片来决定五（1）班和五（2）班谁是正方。王老师抽到卡片上的数是质数，五（1）班是正方；抽到卡片上的数是合数，五（2）班是正方，这个游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你设计一个对双方都公平的游戏规则。 试卷第6页，共6页 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 第六单元 因数与倍数（单元自测•提升卷） （参考解析） 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题（共10分） 1．（2分）一个三位数43是3的倍数，里有（    ）种填法。 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】要使三位数4□3是3的倍数，那么每位上的数字相加的和是3的倍数。依此去判断□里能填几。 【解答】4＋3＝7 7＋0＝7，7不是3的倍数，所以0不能填； 7＋1＝8，8不是3的倍数，所以1不能填； 7＋2＝9，9是3的倍数，所以2可以填； 7＋3＝10，10不是3的倍数，所以3不能填； 7＋4＝11，11不是3的倍数，所以4不能填； 7＋5＝12，12是3的倍数，所以5可以填； 7＋6＝13，13不是3的倍数，所以6不能填； 7＋7＝14，14不是3的倍数，所以7不能填； 7＋8＝15，15是3的倍数，所以8可以填； 7＋9＝16，16不是3的倍数，所以9不能填； 所以□里可以填2、5、8这3个数，□里有3种填法。 2．（2分）用5、6、9、12个相同小正方形拼长方形，12个拼出种类最多，原因是（    ）。 A．12数量最多 B．12不是质数 C．12因数最多 D．12倍数最多 【答案】C 【分析】用相同小正方形拼长方形时，能拼出的种类数由小正方形总个数的因数数量决定，因数越多，可组成的长和宽的组合越多，拼出的长方形种类就越多。 【解答】的因数有，共2个，可拼1种长方形； 的因数有，共4个，可拼2种长方形； 的因数有，共3个，可拼2种长方形； 的因数有，共6个，可拼3种长方形。 所以12个拼出种类最多，原因是12因数最多。 3．（2分）五（1）班有48人参加实践活动，老师想将学生分成人数相等的小组（每组至少2人，至少分为两组）。老师可以有（    ）种不同的分法。 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】要将48人分成人数相等的小组，本质是找48的因数，再排除不符合每组至少2人、至少分2组的情况即可。 【解答】48的因数： 1×48＝48 2×24＝48 3×16＝48 4×12＝48 6×8＝48 48的全部因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。 根据每组至少2人，至少两组，进行枚举计算， 每组2人时，组数为：48÷2＝24（组） 每组3人时，组数为：48÷3＝16（组） 每组4人时，组数为：48÷4＝12（组） 每组6人时，组数为：48÷6＝8（组） 每组8人时，组数为：48÷8＝6（组） 每组12人时，组数为：48÷12＝4（组） 每组16人时，组数为：48÷16＝3（组） 每组24人时，组数为：48÷24＝2（组） 每组48人时，组数为：48÷48＝1（组）（不符合至少两组，舍去） 综上，每组至少2人，至少分为两组，一共有8种不同的分法。 4．（2分）一个是奇数的两位数，个位上的数与十位上的数的积是14，这个两位数是（ ）。 A．14 B．41 C．27 D．72 【答案】C 【分析】先找到乘积是14的两个一位数，再结合奇数的特征确定两位数的个位和十位数字。 【解答】 符合条件的两个数字是2和7，奇数的个位需是奇数，因此个位是7，十位是2，这个两位数是27。 5．（2分）如下图，芳芳在一张长方形纸条上摆小熊卡片，一共摆了三次，每次都正好从纸条的一端摆到另一端且没有剩余。已知小熊卡片长9厘米，宽6厘米，那么这张长方形纸条至少长（    ）厘米。 A．18 B．36 C．45 D．90 【答案】D 【分析】小熊卡片长9厘米，宽6厘米，第一次竖着放，从纸条的一端摆到另一端且没有剩余，说明纸条长度是6的倍数；第二次横着放，从纸条的一端摆到另一端且没有剩余，说明纸条长度是9的倍数；第三次竖、横放，即每次放（厘米）从纸条的一端摆到另一端且没有剩余，说明纸条长度是15的倍数，所以纸条长度是6、9、15的公倍数，求至少多长，就是6、9、15的最小公倍数，用列举法找出6、9、15的最小公倍数即可。 【解答】6的倍数：6、12、18、24、30、36、42、48、54、60、66、72、78、84、90…… 9的倍数：9、18、27、36、45、54、63、72、81、90…… 15的倍数：15、30、45、60、75、90…… 6、9、15的最小公倍数是90，所以这张长方形纸条至少长90厘米。 二、填空题（共20分） 6．（2分）有四个学生，他们的年龄恰好是四个连续的自然数，四人年龄的乘积是5040，那么，年龄最大的是（ ）岁，最小的是（ ）岁。 【答案】10 7 【分析】已知四个连续自然数的乘积，可以通过分解质因数的方法，将积写成几个质数相乘的形式。然后根据“连续自然数”的特征，将这些质因数重新组合成四个相邻的自然数，从而确定具体的年龄。 【解答】 ，，，得到四个数为 。 故年龄最大的是岁，最小的是岁。 7．（2分）有313块月饼，每5块装一盒，还剩（ ）块；每3块装一盒，至少添（ ）块才能正好装完。 【答案】3 2 【分析】个位上是0或5的数是5的倍数，比313少且最接近5的倍数的数是310，算出两者差值即为剩下的块数； 各位数字之和是3的倍数的数是3的倍数，313各位数字和是3＋1＋3＝7，比7大且最小的3的倍数是9，算出两者差值即为至少需要添上的块数。 【解答】比313少且最接近5的倍数的数是310，313－310＝3，还剩3块； 3＋1＋3＝7，比7大且最小的3的倍数是9，9－7＝2，至少添2块才能正好装完。 8．（2分）古人表示年龄，通常不用数字，而是用文字，充满了浓厚的文化底蕴。如：不惑：四十岁；古稀：七十岁；耄耋：八九十岁。笑笑的奶奶今年已过古稀之年，未及耄耋之年，且年龄既是2的倍数，又有因数3.奶奶今年可能是（ ）岁或（ ）岁。 【答案】72 78 【分析】已知奶奶已过古稀之年，未及耄耋之年（即年龄大于岁，小于岁）。的倍数：说明年龄是偶数，能被整除。有因数：这个数的各位数字之和能被整除，因此奶奶的年龄既有因数，也有因数，即奶奶的年龄是的倍数，又在岁至岁之间，即可推出奶奶的年龄。 【解答】根据分析：奶奶的年龄是在和之间且奶奶的年龄是的倍数。，，所以奶奶今年可能是岁或岁。 9．（2分）一个四位数，千位上数字是10以内最大的偶数，百位上数字是最小的质数，十位上数字是最小合数，个位上数字既不是质数也不是合数，这个四位数是（ ）。 【答案】8241 【分析】10以内最大的偶数是8，所以千位上的数是8；10以内的合数是4、6、8、9，10以内的质数是：2、3、5、7，百位上是最小的质数，所以百位上的数是2；十位上是最小的合数，所以十位上的数是4；1既不是质数也不是合数，所以个位上的数是1；据此即可求解。 【解答】由分析可知：这个数千位上是8，百位上是2，十位上是4，个位上是1，所以这个四位数是：8241。 10．（2分）校园手工实践活动中，同学们精心制作传统五谷摆件，若每6个摆件装进一个收纳盒，或是每9个装一盒，都能恰好装满没有剩余。这批摆件总数在个之间，一共有（ ）个摆件。 【答案】 【分析】根据题意，摆件总数既能被整除，又能被整除，说明总数是和的公倍数。先求出和的最小公倍数，然后找出该最小公倍数的倍数中，位于之间的数即可。 【解答】 11．（2分）深圳某科技创新企业研发了42套智能传感器和30套智能控制器，现在要将这两种产品分装到相同的展示盒里，每盒仅装一种产品且数量相同，全部装完无剩余。如果要使每个展示盒装入产品的数量最多，一共需要（ ）个展示盒。 【答案】12 【分析】题目要求每盒装的产品数量相同、全部装完无剩余，并且每个盒子装的数量要最多，实际就是求42和30的最大公因数。求出每盒最多装几套之后，分别算出两种产品各自需要多少盒子，再把盒子数量相加，得到一共需要的展示盒总数。 【解答】先求42和30的最大公因数： 42＝2×3×7 30＝2×3×5 最大公因数：2×3＝6 也就是每个盒子最多装6套。 智能传感器盒子数：42÷6＝7（个） 智能控制器盒子数：30÷6＝5（个） 总盒子数：7＋5＝12（个） 12．（2分）吃早饭时，小明数了一下餐桌上盘子的个数，这个数既是5的倍数，又是10的因数，这个数可能是（ ）。（写出所有可能） 【答案】5或10 【分析】一个数既是5的倍数又是10的因数，即求10以内的5的倍数，那就先求出10的因数和5的倍数，再找共同的数即可。 【解答】10的因数有：1、2、5、10 10以内的5的倍数有：5、10 所以一个数既是5的倍数，又是10的因数，这个数可能是5或10。 13．（2分）晚上，小明正开着灯在吃晚饭，顽皮的弟弟按了16下开关，这时灯是（ ）着的。如果再按50下，这时灯是（ ）着的。（填“开”或“关”） 【答案】开 开 【分析】明确灯的初始状态以及开关次数与灯的状态变化之间的规律。灯的初始状态是开着的，每按一次开关，灯的状态就会改变一次（开变关，关变开）。由此可知：按奇数次开关，灯的状态与初始状态相反；按偶数次开关，灯的状态与初始状态相同。 【解答】灯原来是开着的。按1下开关，灯变为关；按2下开关，灯变为开；按3下开关，灯变为关；……可以发现：按奇数次开关，灯的状态改变（变为关）；按偶数次开关，灯的状态不变（仍为开）。 弟弟按了16下开关。因为16是偶数，所以灯的状态不变，仍是开着的。 如果再按50下，此时总共按开关的次数为：（下） 因为66是偶数，所以灯的状态不变，仍是开着的。 所以弟弟按了16下开关，这时灯是开着的。如果再按50下，这时好是开着的。 14．（2分）五年级的同学们为学校的鸟制作了一些鸟巢鸟巢个数正好是大于10且小于20的所有合数的和，这些鸟巢有（ ）个。 【答案】75 【分析】一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。大于10且小于20的所有合数有12、14、15、16、18。把它们相加即可。 【解答】12＋14＋15＋16＋18 ＝26＋15＋16＋18 ＝41＋16＋18 ＝57＋18 ＝75（个） 这些鸟巢有75个。 15．（2分）四（1）班同学分组参加社会实践活动，每组5人或每组6人，都剩下2人，全班至少有（ ）人参加实践活动。把这个人数分解质因数是（ ）。 【答案】32 32＝2×2×2×2×2 【分析】根据题意，每组5人或每组6人，都剩2人；说明四（1）班的总人数比5、6的公倍数还多2；求全班至少有多少人，求出5和6的最小公倍数，再加上2，即是全班至少的总人数。 【解答】5和6互为质数，最小公倍数是： 5×6＝30 30＋2＝32 分解质因数： 32＝2×2×2×2×2 三、判断题（共10分） 16．（2分）口袋里有标有5、6、7、8、9的五张卡片，任意摸一张，摸出质数的可能性比摸出合数的可能性小。（ ） 【答案】√ 【分析】质数定义：一个大于1的自然数，如果只有1和它本身两个因数，这个数就是质数。合数定义：一个大于1的自然数，如果除了1和它本身之外还有其他因数，这个数就是合数。根据质数、合数的定义，把卡片上的数进行分类，直接对比质数卡片和合数卡片的张数，卡片数量越少，摸出的可能性就越小。 【解答】质数：5、7，共2张。 合数：6、8、9，共3张。 质数卡片数量2张，合数卡片数量3张，2＜3，质数的卡片数量更少，所以摸出质数的可能性比摸出合数的可能性小，原题说法正确。 故答案为：√ 17．（2分）在大于5的自然数中，个位上是0、2、4、5、6、8的数都是合数。（ ） 【答案】√ 【分析】个位是0、2、4、6、8的数都是2的倍数；大于5的自然数中，个位是0或5的数都是5的倍数；一个数，除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数。据此解答。 【解答】大于5的自然数中，个位是0、2、4、6、8的数都是2的倍数，除了1和它本身外，至少还有因数2，属于合数；大于5的自然数中，个位是0或5的数都是5的倍数，除了1和它本身外，至少还有因数5，属于合数。 因此原题说法正确。 故答案为：√ 18．（2分）桌子上有23张卡片，分别写着1—23，背面朝上，如果摸到4的倍数，小丽赢，如果摸到7的倍数，小明赢。按这样约定，玩一次游戏，小丽一定赢。（ ） 【答案】 【分析】（）首先确定到23中所有的倍数的总个数，再确定到中所有的倍数的总个数，分别对应小丽、小明赢的可能情况数。 （）因为事件发生的可能性大小只和对应情况数占总情况数的比例有关，所以即使小丽赢的可能性更大，只要存在小明赢的可能，就不是“一定赢”。 （）判断“一定赢”是否成立，核心是看是否存在小丽不赢的情况，如果存在摸到的倍数且不是的倍数的可能，那么该说法不成立。 【解答】①在至中： 的倍数有：、、、、共个（小丽赢的情况）。 的倍数有：、、共有个（小明赢的情况）。 ②小丽赢的可能性更大，但是可能性大不代表一定赢，还有可能摸到的不是的倍数也不是的倍数的卡片，两个人都不赢。 所以，小丽一定赢这个说法不正确。故答案为： 19．（2分）已知A＝6n，B＝9n（n是非零自然数），那么A和B的最大公因数是3n，最小公倍数是18n。（ ） 【答案】√ 【分析】先把A、B分解质因数，把公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是它们的最小公倍数。 【解答】A＝6n＝2×3×n B＝9n＝3×3×n A和B的最大公因数是：3×n＝3n A和B的最小公倍数是：2×3×3×n＝18n 已知A＝6n，B＝9n（n是非零自然数），那么A和B的最大公因数是3n，最小公倍数是18n。 原题说法正确。 故答案为：√ 20．（2分）某学校六年级有男生48人，女生有36人。男、女生分别站成若干排，要使每排的人数相同，每排最多16人。（ ） 【答案】× 【分析】男生有48人，女生有36人，要使每排的人数相同，则每排最多站的人数为48和36的最大公因数，求出48和36的最大公因数即可。 【解答】48＝2×2×2×2×3 36＝2×2×3×3 48和36的最大公因数为2×2×3＝12，因此男、女生分别站成若干排，要使每排的人数相同，每排最多12人，原题干的说法是错误的。 故答案为：× 四、计算题（共6分） 21．（6分）求每组数的最大公因数和最小公倍数。 ①42和21    ②30和45    ③12和11 【答案】①最大公因数21；最小公倍数：42；②最大公因数15；最小公倍数90；③最大公因数1；最小公倍数132 【分析】短除法依次除以两个数的公因数，直到两个商只有公因数1为止，将所有的公因数相乘得到两个数的最大公因数，将所有的公因数乘各自独有的因数得到最小公倍数。 【解答】 ① 42和21的最大公因数：3×7＝21 42和21的最小公倍数：3×7×2＝42； ② 30和45的最大公因数：3×5＝15 30和45的最小公倍数：3×5×2×3＝90 ③因为12和11互质，所以 12和11的最大公因数：1 12和11的最小公倍数：12×11＝132 五、作图题（共6分） 22．（6分）一个长方形的周长为26厘米，它的长和宽都是质数，请你在下面的方格图中画出这个长方形。（每个小方格的边长表示1厘米） 【答案】 【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，则用长方形的周长除以2，可求出长与宽的和；根据只有1和它本身两个因数的数叫作质数，根据长与宽的和，找出符合要求的两个质数，分别作为长方形的长与宽，即可画出这个长方形。 【解答】26÷2＝13（厘米） 13＝1＋12＝2＋11＝3＋10＝4＋9＝5＋8＝6＋7 其中两个数都是质数的是2和11，所以长方形的长是11厘米，宽是2厘米。（画图略） 六、解答题（共48分） 23．（4分）妙想和奇思去商店准备买3个同样的足球，每个足球的单价是整元数，可是标价签模糊不清了，老板说：“3个足球应该付134元。”你认为老板的说法对吗？请判断并说明理由。 【答案】不对；理由：因为足球的单价是一样的，且是整元数，价格应该是3的倍数，而134并不是3的倍数，所以说法不对。 【分析】总价＝单价×3，要判断老板的说法是否正确，只需验证134是否为3的倍数，因为3个同样足球的总价一定是3的倍数。 【解答】答：3个同样的足球，单价是整元数，因此总价是3的倍数。计算134的各位数字之和：，8不是3的倍数，所以134不是3的倍数。因此老板的说法不对。 24．（4分）五（1）班去植树，男生有24人，女生有18人。如果要分成若干个小组且没有剩余，每个小组的男生人数相同，女生人数也相同。最多可以分成多少个小组？每个小组有男生、女生各多少人？ 【答案】最多可以分成6个小组，每个小组有男生4人，女生3人。 【分析】要使分组后没有剩余，且每组男生人数相同、女生人数相同，小组的数量必须同时是24和18的因数；求最多能分多少组，就是求24和18的最大公因数。先用分解质因数法求出最大公因数，再用男、女生总人数分别除以最大公因数，即可求出每组的男、女生人数。 【解答】24＝2×2×2×3 18＝2×3×3 24和18的最大公因数是2×3＝6 即最多可以分成6个小组 每组男生人数：24÷6＝4（人） 每组女生人数：18÷6＝3（人） 答：最多可以分成6个小组，每个小组有男生4人，女生3人。 25．（4分）张师傅将54位缫丝工人分成人数相等的小组（每组人数大于1，组数大于1），张师傅可以如何分组？写出所有的分组方案。 【答案】张师傅可以分2组，每组27人；可以分3组，每组18人；可以分6组，每组9人；可以分9组，每组6人；可以分18组，每组3人；可以分27组，每组2人。 【分析】总人数＝每组人数×组数，因此每组人数和组数都是的因数，结合两者均大于的条件，找出所有符合的因数组合即可。 【解答】54＝1×54，54＝2×27，54＝3×18，54＝6×9。 因此的因数有、、、、、、、。排除每组人数为或的情况（不满足组数大于或每组人数大于），剩余分组为： 组数 2 3 6 9 18 27 人数 27 18 9 6 3 2 答：张师傅可以分2组，每组27人；可以分3组，每组18人；可以分6组，每组9人；可以分9组，每组6人；可以分18组，每组3人；可以分27组，每组2人。 26．（4分）当小明爷爷的年龄是小明爸爸的2倍时，小明的年龄恰好等于最小的质数；当爷爷的年龄是小明的3倍时，爷爷和小明的年龄之和是100。请问爸爸比小明大多少岁？ 【答案】24岁 【分析】先按爷爷与小明的年龄倍数关系，把年龄和分成4份，求出两人的年龄差。首先明确最小质数是2，即小明2岁时，用不变的年龄差求出爷爷年龄；再根据“爷爷年龄是爸爸年龄的2倍”用除法求出爸爸年龄，最后求父子年龄差。 【解答】3＋1＝4（份） 100÷4＝25（岁） 25×3＝75（岁） 75－25＝50（岁） 2＋50＝52（岁） 52÷2＝26（岁） 26－2＝24（岁） 答：爸爸比小明大24岁。 27．（5分）甲、乙两人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，如果3月21日两人在图书馆相遇，那么他们下一次在图书馆相遇是几月几日？ 【答案】4月14日 【分析】根据题意，甲每6天去一次，乙每8天去一次，两人再次相遇经过的天数是6和8的最小公倍数。求出最小公倍数后，再加上第一次相遇的日期3月21日，求出下一次相遇的日期。 【解答】6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数是：2×2×2×3＝24 即两人再过24天再次相遇。 3月21日＋24天＝4月14日 答：他们下一次在图书馆相遇是4月14日。 28．（5分）同学们排方阵做操，每行的人数都是相等的。下面是霏霏、淘淘、依依、龙一鸣各自数出的总人数，其中只有一人数对了。你认为谁数对了呢？写出你的理由。 【答案】龙一鸣；49是合数 【分析】每行人数×行数＝总人数，方阵不能只有1行，因此总人数是合数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 【解答】41、43、47都是质数，只有49是合数。 答：龙一鸣数对了，因为49是合数。 29．（5分）小明和小华用黑桃2～9做游戏，任意摸一张牌，下列玩法中不公平的是哪种玩法？分析一下原因是什么。 玩法一：摸到奇数小明赢，摸到偶数小华赢。 玩法二：摸到质数小明赢，摸到合数小华赢。 玩法三：摸到大于5的小明赢，摸到小于5的小华赢。 玩法四：摸到3或5的倍数小明赢，否则小华赢。 【答案】玩法三不公平，因为在2～9的数字中，大于5的牌有4张，小于5的牌有3张，摸到大于5的可能性大，摸到小于5的可能性小，所以这种玩法不公平。 【分析】判断游戏是否公平，要看双方赢的可能性是否相等，即对应牌的数量是否相同。先列出2～9的所有牌，再分别统计每种玩法中两人对应的牌的数量，数量相等则公平，不等则不公平。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【解答】黑桃2～9的牌为：2、3、4、5、6、7、8、9，共8张。 玩法一：奇数牌有3、5、7、9，共4张；偶数牌有2、4、6、8，共4张。4＝4，双方赢的可能性相等，玩法公平。 玩法二：质数牌有2、3、5、7，共4张；合数牌有4、6、8、9，共4张。4＝4，双方赢的可能性相等，玩法公平。 玩法三：大于5的牌有6、7、8、9，共4张；小于5的牌有2、3、4，共3张。4＞3，小明赢的可能性更大，双方赢的可能性不相等，玩法不公平。 玩法四：3或5的倍数的牌有3、5、6、9，共4张；其余牌有2、4、7、8，共4张。4＝4，双方赢的可能性相等，玩法公平。 30．（8分）端午节的时候，王大伯的超市里进了60只粽子，准备卖给小区里的居民。超市里的粽子包装盒有四种：A包装盒每盒可以装4个、B包装盒每盒可以装6个，C包装盒每盒可以装9个，D包装盒每盒可以装12个。 （1）请你帮王大伯选用一种包装盒，把60个粽子包装完，算算这样包装的话可以装几盒？ （2）还可以用怎么样的包装方式，正好把粽子装完？至少说出两种方式，并计算说明。 【答案】（1）选择A包装盒，可装15盒 （2）方式一：选择B包装盒，可以装10盒； 方式二：选择D包装盒，可以装5盒。 【分析】（1）根据题意，选择装的个数是60的因数的包装盒。再用总数除以每盒装的个数算出可以装的盒数。 （2）选择除（1）题以外的包装盒，比如包装盒B、包装盒D。再用总数除以每盒装的个数算出可以装的盒数。 【解答】（1）60的因数：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60。 选择A包装盒，可以装的盒数：60÷4＝15（盒） 答：选择A包装盒，可以装15盒。（答案不唯一） （2）选择B包装盒，可以装的盒数：60÷6＝10（盒） 选择D包装盒，可以装的盒数：60÷12＝5（盒） 答：选择B包装盒，可以装10盒；选择D包装盒，可以装5盒。（答案不唯一） 31．（9分）中国在服务机器人领域发展迅速，某新型防疫机器人具备智能消杀和路径规划功能，其机械臂和导航系统涉及数学知识的应用。 （1）机器人机械臂末端的喷洒装置示意图如下，是直角三角形AOB。 请完成以下操作：先将三角形绕O逆时针旋转90°，画出旋转后图形并标注A'、B'、O；再把旋转后的图形向右平移3格，画出最终图形并标注A"、B"、O"，最后写出两次变换后图形与原图形的形状、大小关系：_________________________________________。 （2）机器人甲和机器人乙在执行任务时，甲的导航系统每15秒更新一次位置信号，乙每20秒更新一次。若两机器人首次同时更新信号的时间是8：00，那么下一次同时更新信号是几时几分？由于任务升级，加入机器人丙，丙的导航系统每30秒更新一次位置信号。三个机器人首次同时更新信号后，至少经过多少秒会再次同时更新？请用最小公倍数的知识解决问题。 【答案】（1）；形状相同、大小相同 （2）上午8时01分；60秒 【分析】（1）画图时先以点O为旋转中心保持不动，将两条直角边OA、OB逆时针旋转90°确定A′、B′，连线得到旋转后的三角形，再将旋转后图形的三个顶点同时向右平移3格得到A''、O''、B''，顺次连线画出最终图形；旋转和平移都只改变图形位置，不改变图形的形状和大小。 （2）要找甲、乙下一次同时更新信号的时刻，先求出15秒和20秒的最小公倍数，得到再次同时更新的时间间隔，再在起始时间8：00的基础上加上这个时间。 求甲、乙、丙同时更新信号的间隔，需要求出15、20、30三个数的最小公倍数，这个结果就是最少需要经过的时间。 【解答】（1）图略；两次变换后的图形与原图形形状相同，大小相同。 （2）15＝3×5，20＝2×2×5 15和20的最小公倍数为：2×2×3×5＝60 60秒＝1分 所以两机器人下一次同时更新信号是上午8：01 加入机器人丙后：15＝3×5，20＝2×2×5，30＝2×3×5 15、20和30的最小公倍数为2×2×3×5＝60 答：机器人甲、乙下一次同时更新信号是上午8时01分；三个机器人首次同时更新信号后，至少经过60秒会再次同时更新。 七、附加题（共10分） 32．（5分）《孙子算经》中有一题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”此物数量最少是多少？ 【答案】23 【分析】一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2。观察发现，该数除以3和除以7的余数相同，说明这个数减去2后，既是3的倍数，也是7的倍数。因此，可以先求出3和7的最小公倍数，再加上余数2，得到满足前两个条件的数，最后验证是否满足除以5余3的条件，从而找到最小值。 【解答】该数减去2是3和7的公倍数。 3和7互质，它们的最小公倍数是。 …… 接下来验证这些数是否满足条件除以5余3： 当数为23时： 余数是，符合条件。 答：此物数量最少是23个。 33．（5分）某小学举办了主题为“小学生要不要参加兴趣小组”的辩论比赛，王老师通过抽下面的数字卡片来决定五（1）班和五（2）班谁是正方。王老师抽到卡片上的数是质数，五（1）班是正方；抽到卡片上的数是合数，五（2）班是正方，这个游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你设计一个对双方都公平的游戏规则。 【答案】不公平；这些数中质数有4个，合数有2个。抽到质数和合数的可能性不相等。 将数字卡片3、2、5、7、4、6 平均分成两组，一组是3、2、5，另一组是7、4、6。王老师抽到卡片上的数在第一组，五（1）班是正方；抽到卡片上的数在第二组，五（2）班是正方。这样双方获胜的可能性都是，游戏就公平了。（答案不唯一） 【分析】①判断游戏是否公平： 质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。 合数是指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其它数（0除外）整除的数。 在数字3、2、5、7、4、6中，质数有3、2、5、7，共4个；合数有4、6，共2个。 因为抽到质数五（1）班是正方，抽到合数五（2）班是正方，而质数的个数多于合数的个数，所以五（1）班成为正方的可能性更大，这个游戏不公平。 ②设计公平的游戏规则： 要使游戏公平，双方获胜的可能性应该相等。可以将数字卡片平均分成两组，一组代表五（1）班，另一组代表五（2）班。 例如，将数字卡片3、2、5、7、4、6 平均分成两组，一组是3、2、5，另一组是7、4、6。王老师抽到卡片上的数在第一组，五（1）班是正方；抽到卡片上的数在第二组，五（2）班是正方。这样双方获胜的可能性都是，游戏就公平了。（答案不唯一） 【解答】①在数字3、2、5、7、4、6 中，质数有3、2、5、7，共4个；合数有4、6，共2个。 因为抽到质数五（1）班是正方，抽到合数五（2）班是正方，而质数的个数多于合数的个数，所以五（1）班成为正方的可能性更大，这个游戏不公平。 答：这个游戏不公平，因为质数的个数多于合数的个数，所以五（1）班成为正方的可能性更大。 ②设计公平的游戏规则略。（答案不唯一） 【点睛】本题考查质数与合数的概念以及游戏公平性的判断。 解题的关键在于明确质数与合数的定义，分别找出给定数字中质数与合数的个数，通过比较个数来判断游戏是否公平。若不公平，需要设计一个使双方获胜可能性相等的游戏规则。 试卷第18页，共20页 试卷第17页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 第六单元 因数与倍数（单元自测•提升卷） 试卷总分：100分+10分；建议用时：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题（共10分） 1．（2分）一个三位数43是3的倍数，里有（    ）种填法。 A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2分）用5、6、9、12个相同小正方形拼长方形，12个拼出种类最多，原因是（    ）。 A．12数量最多 B．12不是质数 C．12因数最多 D．12倍数最多 3．（2分）五（1）班有48人参加实践活动，老师想将学生分成人数相等的小组（每组至少2人，至少分为两组）。老师可以有（    ）种不同的分法。 A．7 B．8 C．9 D．10 4．（2分）一个是奇数的两位数，个位上的数与十位上的数的积是14，这个两位数是（ ）。 A．14 B．41 C．27 D．72 5．（2分）如下图，芳芳在一张长方形纸条上摆小熊卡片，一共摆了三次，每次都正好从纸条的一端摆到另一端且没有剩余。已知小熊卡片长9厘米，宽6厘米，那么这张长方形纸条至少长（    ）厘米。 A．18 B．36 C．45 D．90 二、填空题（共20分） 6．（2分）有四个学生，他们的年龄恰好是四个连续的自然数，四人年龄的乘积是5040，那么，年龄最大的是（ ）岁，最小的是（ ）岁。 7．（2分）有313块月饼，每5块装一盒，还剩（ ）块；每3块装一盒，至少添（ ）块才能正好装完。 8．（2分）古人表示年龄，通常不用数字，而是用文字，充满了浓厚的文化底蕴。如：不惑：四十岁；古稀：七十岁；耄耋：八九十岁。笑笑的奶奶今年已过古稀之年，未及耄耋之年，且年龄既是2的倍数，又有因数3.奶奶今年可能是（ ）岁或（ ）岁。 9．（2分）一个四位数，千位上数字是10以内最大的偶数，百位上数字是最小的质数，十位上数字是最小合数，个位上数字既不是质数也不是合数，这个四位数是（ ）。 10．（2分）校园手工实践活动中，同学们精心制作传统五谷摆件，若每6个摆件装进一个收纳盒，或是每9个装一盒，都能恰好装满没有剩余。这批摆件总数在个之间，一共有（ ）个摆件。 11．（2分）深圳某科技创新企业研发了42套智能传感器和30套智能控制器，现在要将这两种产品分装到相同的展示盒里，每盒仅装一种产品且数量相同，全部装完无剩余。如果要使每个展示盒装入产品的数量最多，一共需要（ ）个展示盒。 12．（2分）吃早饭时，小明数了一下餐桌上盘子的个数，这个数既是5的倍数，又是10的因数，这个数可能是（ ）。（写出所有可能） 13．（2分）晚上，小明正开着灯在吃晚饭，顽皮的弟弟按了16下开关，这时灯是（ ）着的。如果再按50下，这时灯是（ ）着的。（填“开”或“关”） 14．（2分）五年级的同学们为学校的鸟制作了一些鸟巢鸟巢个数正好是大于10且小于20的所有合数的和，这些鸟巢有（ ）个。 15．（2分）四（1）班同学分组参加社会实践活动，每组5人或每组6人，都剩下2人，全班至少有（ ）人参加实践活动。把这个人数分解质因数是（ ）。 三、判断题（共10分） 16．（2分）口袋里有标有5、6、7、8、9的五张卡片，任意摸一张，摸出质数的可能性比摸出合数的可能性小。（ ） 17．（2分）在大于5的自然数中，个位上是0、2、4、5、6、8的数都是合数。（ ） 18．（2分）桌子上有23张卡片，分别写着1—23，背面朝上，如果摸到4的倍数，小丽赢，如果摸到7的倍数，小明赢。按这样约定，玩一次游戏，小丽一定赢。（ ） 19．（2分）已知A＝6n，B＝9n（n是非零自然数），那么A和B的最大公因数是3n，最小公倍数是18n。（ ） 20．（2分）某学校六年级有男生48人，女生有36人。男、女生分别站成若干排，要使每排的人数相同，每排最多16人。（ ） 四、计算题（共6分） 21．（6分）求每组数的最大公因数和最小公倍数。 ①42和21    ②30和45    ③12和11 五、作图题（共6分） 22．（6分）一个长方形的周长为26厘米，它的长和宽都是质数，请你在下面的方格图中画出这个长方形。（每个小方格的边长表示1厘米） 六、解答题（共58分） 23．（4分）妙想和奇思去商店准备买3个同样的足球，每个足球的单价是整元数，可是标价签模糊不清了，老板说：“3个足球应该付134元。”你认为老板的说法对吗？请判断并说明理由。 24．（4分）五（1）班去植树，男生有24人，女生有18人。如果要分成若干个小组且没有剩余，每个小组的男生人数相同，女生人数也相同。最多可以分成多少个小组？每个小组有男生、女生各多少人？ 25．（4分）张师傅将54位缫丝工人分成人数相等的小组（每组人数大于1，组数大于1），张师傅可以如何分组？写出所有的分组方案。 26．（4分）当小明爷爷的年龄是小明爸爸的2倍时，小明的年龄恰好等于最小的质数；当爷爷的年龄是小明的3倍时，爷爷和小明的年龄之和是100。请问爸爸比小明大多少岁？ 27．（5分）甲、乙两人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，如果3月21日两人在图书馆相遇，那么他们下一次在图书馆相遇是几月几日？ 28．（5分）同学们排方阵做操，每行的人数都是相等的。下面是霏霏、淘淘、依依、龙一鸣各自数出的总人数，其中只有一人数对了。你认为谁数对了呢？写出你的理由。 29．（5分）小明和小华用黑桃2～9做游戏，任意摸一张牌，下列玩法中不公平的是哪种玩法？分析一下原因是什么。 玩法一：摸到奇数小明赢，摸到偶数小华赢。 玩法二：摸到质数小明赢，摸到合数小华赢。 玩法三：摸到大于5的小明赢，摸到小于5的小华赢。 玩法四：摸到3或5的倍数小明赢，否则小华赢。 30．（8分）端午节的时候，王大伯的超市里进了60只粽子，准备卖给小区里的居民。超市里的粽子包装盒有四种：A包装盒每盒可以装4个、B包装盒每盒可以装6个，C包装盒每盒可以装9个，D包装盒每盒可以装12个。 （1）请你帮王大伯选用一种包装盒，把60个粽子包装完，算算这样包装的话可以装几盒？ （2）还可以用怎么样的包装方式，正好把粽子装完？至少说出两种方式，并计算说明。 31．（9分）中国在服务机器人领域发展迅速，某新型防疫机器人具备智能消杀和路径规划功能，其机械臂和导航系统涉及数学知识的应用。 （1）机器人机械臂末端的喷洒装置示意图如下，是直角三角形AOB。 请完成以下操作：先将三角形绕O逆时针旋转90°，画出旋转后图形并标注A'、B'、O；再把旋转后的图形向右平移3格，画出最终图形并标注A"、B"、O"，最后写出两次变换后图形与原图形的形状、大小关系：_________________________________________。 （2）机器人甲和机器人乙在执行任务时，甲的导航系统每15秒更新一次位置信号，乙每20秒更新一次。若两机器人首次同时更新信号的时间是8：00，那么下一次同时更新信号是几时几分？由于任务升级，加入机器人丙，丙的导航系统每30秒更新一次位置信号。三个机器人首次同时更新信号后，至少经过多少秒会再次同时更新？请用最小公倍数的知识解决问题。 七、附加题（共10分） 32．（5分）《孙子算经》中有一题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”此物数量最少是多少？ 33．（5分）某小学举办了主题为“小学生要不要参加兴趣小组”的辩论比赛，王老师通过抽下面的数字卡片来决定五（1）班和五（2）班谁是正方。王老师抽到卡片上的数是质数，五（1）班是正方；抽到卡片上的数是合数，五（2）班是正方，这个游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你设计一个对双方都公平的游戏规则。 第1页 共6页 ◎ 第2页 共6页 第3页 共6页 ◎ 第4页 共6页 第5页 共6页 ◎ 第6页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $