精品解析：湖北荆州市实验中学2026－2027学年上学期九年级第一次质检数学试卷

九年级第一次质检考试 数学试卷 （本试卷满分120分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，只将答题卡上交，试卷考生自己留存，以便老师评讲． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 用公式法解一元二次方程时，a，b，c的值依次为（ ） A. 2，1，1 B. 2，， C. 2，1， D. ，1，1 【答案】B 【解析】 【分析】把与一元二次方程一般形式对比即可得a，b，c的值. 【详解】解：根据一元二次方程的一般形式得： 的，，. 2. 用配方法解一元二次方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 3. 关于的方程实数根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【详解】解： ∵， ∴， ∴方程有两个不相等实数根． 4. 下列每组变量之间的关系为二次函数的是（ ） A. 正方形周长y与边长x的关系 B. 当菱形的面积S一定时，两条对角线的长a与b的关系 C. 当速度v一定时，路程s与时间t的关系 D. 圆的面积S与半径r的关系 【答案】D 【解析】 【详解】解：A． 正方形周长与边长的关系式为，不是二次函数，不符合题意． B． 菱形面积一定时，由得，不是二次函数，不符合题意． C． 速度一定时，路程与时间的关系式为，不是二次函数，不符合题意． D． 圆的面积与半径的关系式为，是二次函数，符合题意． 5. 下列对二次函数的图象的描述，正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是轴 C. 经过原点 D. 在对称轴右侧部分，随的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，对各个选项逐一进行判断即可． 【详解】解： ， 二次函数图象开口向上，故A选项错误； ， 对称轴是直线，故B选项错误； 当时，， 二次函数图象经过原点，故C选项正确； 二次函数图象开口向上， 在对称轴右侧部分，随的增大而增大，故D选项错误； 故选C． 6. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“左加右减自变量，上加下减常数项”的规律求解即可． 【详解】解：先向左平移2个单位，可得解析式为， 再向下平移3个单位，可得解析式为． 7. 若是关于的方程的一个根，则的值是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】B 【解析】 【分析】先根据方程根的定义得到，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵ 是关于的方程的一个根， ，即， ． 8. 2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据单循环赛制的比赛规则计算总场数，即可列出对应方程． 【详解】解：∵共有支球队参赛，单循环赛制要求每两支球队之间比赛场， ∴每支球队需要和除自身外的支球队各比赛场， 又∵每一场比赛会被两支球队重复计算次，需要去掉重复计数， ∴总比赛场数为， 已知总比赛场数为场， ∴可列方程． 9. 已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则二次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，解决本题的关键是确定、的符号，进而判断二次函数的开口方向及对称轴位置，选择正确答案． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，， 二次函数图象的开口向下，二次函数的对称轴， 对称轴应在轴的右侧． 故选：C． 10. 对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】仿照题中方法，构造一个面积为的正方形，向外构造四个面积为的矩形，得出四个小正方形的边长为，根据大正方形的面积为得出大正方形的边长为，进而求出方程的正数解即可． 【详解】解：如图2，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形， ∴四个小正方形的边长为， ∵大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴方程的正数解是． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若方程是关于x的一元二次方程，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为，且二次项系数不为，据此列出等式和不等式求解即可。 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴，且， 解得， 即或 又由得 ∴． 12. 已知抛物线，当 时，函数值y的取值范围是_______ 【答案】 【解析】 【分析】先把函数解析式化为顶点式，计算出当和对应的函数值，然后根据二次函数的性质解决问题． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，开口向上， ∴当时有最小值是； 当时，， 当时，， ∴当 时，函数值y的取值范围为． 13. 若二次函数的图象经过点，，，则，，的大小关系为_____ 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次函数解析式确定开口方向和对称轴，利用开口向下的二次函数的性质，比较各点到对称轴的距离，即可得到函数值的大小关系． 【详解】解：二次函数中，， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ， ． 14. 若实数a，b满足，且，则的值为_________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】，满足同一个一元二次方程，且，可将，看作该方程的两个不等实根，利用根与系数的关系计算目标式子的值． 【详解】解：∵实数，满足，，且， ∴，是一元二次方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系可得， 故． 15. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则不等式的解集是．其中所有正确结论的序号是_________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】由开口方向和与y轴的交点位置可判断a、c的符号，根据顶点坐标可得对称轴，据此可得a与b的关系式，进而可判断①和③；由对称性可求出抛物线经过点，可判断③；由对称性可得此抛物线经过点，结合函数图象可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵顶点为， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，，故①③正确； ∵抛物线经过点，对称轴为直线， ∴由对称性可知，抛物线经过点， ∴，故②正确； 若此抛物线经过点， 则此抛物线经过点， ∴不等式的解集是，故④正确， 综上所述，正确的有①②③④． 三、解答题（共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解： ∴或 ∴，． 17. 已知二次函数y随x变化的部分数值规律如下表，求该二次函数的解析式． x 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 【答案】 该二次函数的解析式为. 【解析】 【分析】根据表格中的两个值确定二次函数与轴的交点，设交点式求解即可． 【详解】解：∵当和时，， ∴二次函数图象与轴的交点为和， 设二次函数解析式为（）， ∵函数图象经过点， ∴将，代入解析式，得，解得， ∴，整理得． 18. 某电子技术有限公司研发某种新型产品，2022年试生产100万件，经调研发现，市场需求旺盛，公司决定今明两年逐步扩大生产量，预计到2024年年产量达到144万件，求该公司今明两年这种新型产品的产量的年平均增长率． 【答案】该公司今明两年这种新型产品的产量的年平均增长率为． 【解析】 【分析】设该公司今明两年这种新型产品的产量的年平均增长率为x．两年后的产量达到，建立方程解答即可． 【详解】解：设该公司今明两年这种新型产品的产量的年平均增长率为x． 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该公司今明两年这种新型产品的产量的年平均增长率为． 19. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列不等式求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得到，，继而得到，解方程即可． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， ； 【小问2详解】 解：，是方程的两个根， ， ， ， 整理得， 解得或， 由（1）得， ． 20. 已知函数． （1）求证：不论为何实数，此二次函数的图象与轴都有两个不同交点； （2）若函数有最小值，求的值． 【答案】（1） 证明：令，， ∴， 不论为何值时，， 即， 此二次函数图象与轴有两个不同交点． （2）， 【解析】 【分析】（1）令，得到，求出判别式的符号，即可； （2）根据函数的最小值为顶点的纵坐标，列出方程进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，得：， 整理，得：， 解得，． 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握二次函数的性质，以及利用判别式判断图象与轴的交点的个数，是解题的关键． 21. 某服装店销售一款T恤，每件进价40元，当售价为每件60元时，每天可卖出20件．市场调查反映：每件T恤每降价1元，每天可多卖出2件． （1）若每件T恤降价5元，每天销售该T恤获得的利润为________元； （2）设每件T恤降价x元，则每天的销售量为________件（请用含x的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，如果店家想要每天获得利润448元，还想尽快减少库存，那么每件T恤应降价多少元？ 【答案】（1） 450 （2） （3） 每件T恤应降价6元 【解析】 【分析】（1）利用总利润与单件利润、销售量的数量关系计算； （2）根据降价幅度与销售量的增长关系列代数式； （3）根据总利润的等量关系列方程，结合尽快减少库存的要求选取合适的解. 【小问1详解】 解： 单件利润为（元）， 销售量为（件）， 总利润为（元）； 【小问2详解】 解：降价元时，每天多销售件. 故每天的销售量为件.； 【小问3详解】 解：根据题意，得 ， 整理得， 解得，， ∵要尽快减少库存， ∴需选择更大的降价幅度以提高销售量， ∴， 答：每件T恤应降价6元. 22. 新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”．比如：一元二次方程的两根分别为，，则，，所以它的“再生韦达方程”为． （1）已知一元二次方程，若它的“再生韦达方程”二次项的系数为1，求它的“再生韦达方程”； （2）已知“再生韦达方程” ，若它的“原生方程”二次项的系数为1．求它的“原生方程”． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后根据新定义求解即可； （2）令它的“原生方程”两根分别为，根据题意得出，或，然后求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 所以二次项的系数为1的“再生韦达方程”为， 即； 【小问2详解】 解得， 令它的“原生方程”两根分别为， 则，或． 当，则所求次项的系数为1的“原生方程”为； 当，则所求次项的系数为1的“原生方程”为． 综上所述，它的“原生方程”为或． 23. 某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． x … 0 1 2 3 … y … 2 1 2 1 … （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如表： 其中，________，________． （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． （3）观察函数图象，回答下列问题： ①函数图象关于________对称． ②当时，y随x的增大而________．（填“增大”或“减小”） ③函数有最________值（填“大”或“小”） （4）进一步探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有________个交点，所以方程有________个实数根； ②关于x的方程有2个实数根时，的取值范围是________． 【答案】（1）， （2） （3）①轴；②减小；③大 （4）①；；② 或 【解析】 【分析】（1）将，分别代入该函数即可得到答案； （2）用描点法将表格数据描点，然后按照从左到右的顺序用平滑的曲线依次连接即可； （3）根据函数图象即可回答； （4）①根据函数图象与轴的交点个数即可得到答案；②根据有2个实数根时，即直线与图象有2个交点，即可得到答案． 【小问1详解】 解：当时，，即； 当时，，即； 【小问2详解】 解：描出点，，，再用平滑的曲线连线，图略； 【小问3详解】 解：观察函数图象，可得： ①函数图象关于轴对称． ②当时，y随x的增大而减小． ③函数有最大值； 【小问4详解】 解：①由图象可得：函数图象与x轴有两个交点，所以方程有2个实数根． ②由图象可得：关于x的方程有2个实数根时，即直线与图象有2个交点，的取值范围是：或． 24. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点，与y轴交于点，连接．点为x轴上方抛物线上一动点（点不与点重合），设点的横坐标为t． （1）________，________； （2）连接，当时，求t的值； （3）设以，，，为顶点的四边形的面积为， ①求关于t的函数解析式； ②若取一个具体的数值时，恰好存在两个符合条件的点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）① ② 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）利用已知条件得到，则点P与点C的纵坐标相同，令，求得x值，则点P的横坐标可求； （3）①利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：当点P在的上方时，即，，过点P作于点D，利用解答即可；当点P在的下方时，即，，过点P作于点E，利用解答即可；②利用函数的性质求得S的取值范围，画出函数的图象，依据图象解答即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点， 解得 该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示，连， ，， ． ． ， ． ． ∴点P的纵坐标为4． ． 解得或． 由图可得． ． 【小问3详解】 解：①令，则， 解得，． ． 当点P在的上方时， 即，， 过点P作于点D， 则， ， ． ， 即，． 过点P作于点E，如图， 则． ． 综上，S关于t的函数解析式为． ②当时， ， ， 当时，S有最大值为， ． 当时，， ． 画出函数的大致图象，如图∶ 由图象可知∶当时，存在2个符合条件的点P． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第一次质检考试 数学试卷 （本试卷满分120分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，只将答题卡上交，试卷考生自己留存，以便老师评讲． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 用公式法解一元二次方程时，a，b，c的值依次为（ ） A. 2，1，1 B. 2，， C. 2，1， D. ，1，1 2. 用配方法解一元二次方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 关于的方程实数根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 4. 下列每组变量之间的关系为二次函数的是（ ） A. 正方形周长y与边长x的关系 B. 当菱形的面积S一定时，两条对角线的长a与b的关系 C. 当速度v一定时，路程s与时间t的关系 D. 圆的面积S与半径r的关系 5. 下列对二次函数的图象的描述，正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是轴 C. 经过原点 D. 在对称轴右侧部分，随的增大而减小 6. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 7. 若是关于的方程的一个根，则的值是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 8. 2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则二次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 10. 对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若方程是关于x的一元二次方程，则的值为_________． 12. 已知抛物线，当 时，函数值y的取值范围是_______ 13. 若二次函数的图象经过点，，，则，，的大小关系为_____ 14. 若实数a，b满足，且，则的值为_________． 15. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则不等式的解集是．其中所有正确结论的序号是_________． 三、解答题（共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知二次函数y随x变化的部分数值规律如下表，求该二次函数的解析式． x 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 18. 某电子技术有限公司研发某种新型产品，2022年试生产100万件，经调研发现，市场需求旺盛，公司决定今明两年逐步扩大生产量，预计到2024年年产量达到144万件，求该公司今明两年这种新型产品的产量的年平均增长率． 19. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 20. 已知函数． （1）求证：不论为何实数，此二次函数的图象与轴都有两个不同交点； （2）若函数有最小值，求的值． 21. 某服装店销售一款T恤，每件进价40元，当售价为每件60元时，每天可卖出20件．市场调查反映：每件T恤每降价1元，每天可多卖出2件． （1）若每件T恤降价5元，每天销售该T恤获得的利润为________元； （2）设每件T恤降价x元，则每天的销售量为________件（请用含x的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，如果店家想要每天获得利润448元，还想尽快减少库存，那么每件T恤应降价多少元？ 22. 新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”．比如：一元二次方程的两根分别为，，则，，所以它的“再生韦达方程”为． （1）已知一元二次方程，若它的“再生韦达方程”二次项的系数为1，求它的“再生韦达方程”； （2）已知“再生韦达方程” ，若它的“原生方程”二次项的系数为1．求它的“原生方程”． 23. 某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． x … 0 1 2 3 … y … 2 1 2 1 … （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如表： 其中，________，________． （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． （3）观察函数图象，回答下列问题： ①函数图象关于________对称． ②当时，y随x的增大而________．（填“增大”或“减小”） ③函数有最________值（填“大”或“小”） （4）进一步探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有________个交点，所以方程有________个实数根； ②关于x的方程有2个实数根时，的取值范围是________． 24. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点，与y轴交于点，连接．点为x轴上方抛物线上一动点（点不与点重合），设点的横坐标为t． （1）________，________； （2）连接，当时，求t的值； （3）设以，，，为顶点的四边形的面积为， ①求关于t的函数解析式； ②若取一个具体的数值时，恰好存在两个符合条件的点，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $