第五单元 平行四边形和梯形（平行四边形）专项突破讲义（知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习）人教版数学四年级上册（新教材）

第五单元 平行四边形和梯形（平行四边形）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。 ● 前提：必须是四边形，有4条边、4个角； ● 核心特征：两组对边分别平行，即上下两边平行，左右两边也平行。 ● 表示方法：平行四边形ABCD（记作：ABCD是平行四边形）。 二、平行四边形的基本特征 1. 边的特征 　　- 两组对边分别平行； 　　- 两组对边分别相等（上下边长度相等，左右边长度相等）。 2. 角的特征 　　- 两组对角分别相等（相对的两个角度数相等）； 　　- 相邻两个角的和是（邻角互补）； 　　- 内角和是，和所有四边形一样。 三、平行四边形的底和高 1. 定义：从平行四边形一条边上的任意一点，向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 2. 核心特点 　　- 平行四边形有无数条高，因为一条边上有无数个点，都可以向对边画垂线； 　　- 同一条底边上的高，长度都相等； 　　- 高和底是对应关系，哪条边作底，高就垂直于哪条边； 　　- 平行四边形的四条边都可以作为底。 四、平行四边形的特性 平行四边形具有不稳定性（易变形）的特性，拉动对角，形状会发生改变，但边长不变，周长不变。 ● 生活应用：伸缩门、升降衣架、小区门口的电动伸缩门等，都是利用平行四边形易变形的特性制成的。 五、特殊的平行四边形 长方形和正方形都是特殊的平行四边形。 ● 长方形：四个角都是直角的平行四边形，具备平行四边形的所有特征； ● 正方形：四条边都相等、四个角都是直角的平行四边形，是特殊的长方形； ● 关系：正方形 ⊂ 长方形 ⊂ 平行四边形。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：概念辨析法 【解题思路】 判断一个四边形是不是平行四边形，严格对照定义：必须同时满足"四边形"和"两组对边分别平行"两个条件，缺一不可。 【操作步骤】 第一步：先看是不是四边形，有没有4条直的边、4个角； 第二步：再看两组对边是不是分别平行； 第三步：两个条件都满足就是平行四边形。 【易错提升】 ● 易错点：以为只有斜着的四边形才是平行四边形，长方形、正方形不算。 　　→ 规避技巧：长方形、正方形的两组对边都分别平行，符合平行四边形的定义，都是特殊的平行四边形。 方法点拨2：高的画法——底垂对齐法 【解题思路】 画平行四边形指定底边上的高，核心是高必须和底边垂直，用三角尺的直角边对齐底边，平移到对应点画垂线。 【操作步骤】 第一步：把三角尺的一条直角边与指定的底边重合； 第二步：沿底边平移三角尺，使另一条直角边经过对边上的任意一点； 第三步：沿这条直角边画线段，就是底边上的高； 第四步：标上直角符号和"高"字。 【易错提升】 ● 易错点：高画成斜线，不垂直于底边。 　　→ 规避技巧：画完用三角尺的直角比一比，确认是直角再标注。 方法点拨3：周长计算法 【解题思路】 平行四边形的周长就是四条边的总长度，因为对边相等，所以周长=相邻两边长度的和×2，和长方形周长计算方法一致。 【操作步骤】 第一步：找出一组相邻边的长度； 第二步：把两条邻边相加，再乘2； 第三步：得到平行四边形的周长。 【易错提升】 ● 易错点：只把两条边加起来，忘记乘2。 　　→ 规避技巧：平行四边形有4条边，对边相等，所以是2组邻边，算完一组要乘2。 【第三部分】考点讲练 考点一：平行四边形的概念及特点 【典例精讲】 两组对边都分别平行的四边形叫作________形，我们学过的________形和________形都属于平行四边形。 【变式训练】 平行四边形相邻的两条边分别是5厘米、8厘米，这个平行四边形的周长是( )厘米。 考点二：画平行四边形 【典例精讲】 在方格纸上画一个平行四边形和一个六边形。 【变式训练】 画一画。（以所给的线段为边，分别画一个正方形和一个平行四边形） 考点三：平行四边形的切拼 【典例精讲】 在如图的平行四边形中画一条直线，把它分成两个钝角三角形。 【变式训练】 在下面图中各画一条线，使图中出现平行四边形。   【第四部分】专项提升练习 1．如图，图形①向( )平移( )厘米，或图形②向( )平移( )厘米，都可以把平行四边形转化成长方形。 2．在等腰梯形中画一条线段，可以把它分割成一个平行四边形和一个( )形。 3．一个平行四边形其中两条边长为6厘米、12厘米，另外的两条边长分别为( )厘米、( )厘米。 4．一个平行四边形的周长是48厘米，其中一条边长是11厘米，另外三条边长分别是( )厘米、( )厘米、( )厘米。 5．平行四边形的一条边长8厘米，比邻边长3厘米，这个平行四边形的周长是( )厘米。 6．如下图，把平行四边形沿着( )分成两部分。通过割补的方法，可以把这两个部分拼成一个( )。它和平行四边形相比，( )变了，( )没变。 7．两个完全一样的梯形一定可以拼成一个( )形；两个完全一样的直角梯形可以拼成一个( )形或( )形，也可以拼成一个( )形。 8．两个一样的三角形通过________、________可以拼成平行四边形，平行四边形的面积________两个三角形面积的和。 9．从一张长20厘米，宽16厘米的长方形纸上剪一个最大的正方形，这个正方形的周长是________厘米，剩下的图形面积是________平方厘米。 10．接着画出平行四边形。 11．在下面的方格纸上画一个底是7厘米、高是4厘米的平行四边形。（每个小方格的边长表示1厘米） 12．在方格纸上画出一个长5厘米、宽3厘米的长方形和一个边长4厘米的正方形，再画出一个平行四边形。（每个方格的边长为1厘米） 13．在下面的方格中，画一个以线段AB为底，面积是8平方厘米的平行四边形。（每小格表示1平方厘米） 14．如图每个小方格代表1平方厘米。 （1）在方格纸上，以线段AB为底画一个面积为12平方厘米的三角形。 （2）画一个与三角形面积相等，底也相等的平行四边形。 15．请在点子图中按照要求完成图形。 角      正方形      平行四边形      长方形 16．把下面这个图形补充成完整的平行四边形，再画出这个平行四边形的高。 17．在下面方格纸上画出长方形、正方形、平行四边形、直角。 18．在点子图上分别画出一个平行四边形、一个等腰三角形和一个钝角三角形。 19．在下面的方格图中画一个平行四边形，一个三角形，使它们的面积都是6平方厘米。 20．给下面的图形画一条线，分成一个三角形和一个平行四边形。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 平行四边形和梯形（平行四边形）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。 ● 前提：必须是四边形，有4条边、4个角； ● 核心特征：两组对边分别平行，即上下两边平行，左右两边也平行。 ● 表示方法：平行四边形ABCD（记作：ABCD是平行四边形）。 二、平行四边形的基本特征 1. 边的特征 　　- 两组对边分别平行； 　　- 两组对边分别相等（上下边长度相等，左右边长度相等）。 2. 角的特征 　　- 两组对角分别相等（相对的两个角度数相等）； 　　- 相邻两个角的和是（邻角互补）； 　　- 内角和是，和所有四边形一样。 三、平行四边形的底和高 1. 定义：从平行四边形一条边上的任意一点，向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 2. 核心特点 　　- 平行四边形有无数条高，因为一条边上有无数个点，都可以向对边画垂线； 　　- 同一条底边上的高，长度都相等； 　　- 高和底是对应关系，哪条边作底，高就垂直于哪条边； 　　- 平行四边形的四条边都可以作为底。 四、平行四边形的特性 平行四边形具有不稳定性（易变形）的特性，拉动对角，形状会发生改变，但边长不变，周长不变。 ● 生活应用：伸缩门、升降衣架、小区门口的电动伸缩门等，都是利用平行四边形易变形的特性制成的。 五、特殊的平行四边形 长方形和正方形都是特殊的平行四边形。 ● 长方形：四个角都是直角的平行四边形，具备平行四边形的所有特征； ● 正方形：四条边都相等、四个角都是直角的平行四边形，是特殊的长方形； ● 关系：正方形 ⊂ 长方形 ⊂ 平行四边形。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：概念辨析法 【解题思路】 判断一个四边形是不是平行四边形，严格对照定义：必须同时满足"四边形"和"两组对边分别平行"两个条件，缺一不可。 【操作步骤】 第一步：先看是不是四边形，有没有4条直的边、4个角； 第二步：再看两组对边是不是分别平行； 第三步：两个条件都满足就是平行四边形。 【易错提升】 ● 易错点：以为只有斜着的四边形才是平行四边形，长方形、正方形不算。 　　→ 规避技巧：长方形、正方形的两组对边都分别平行，符合平行四边形的定义，都是特殊的平行四边形。 方法点拨2：高的画法——底垂对齐法 【解题思路】 画平行四边形指定底边上的高，核心是高必须和底边垂直，用三角尺的直角边对齐底边，平移到对应点画垂线。 【操作步骤】 第一步：把三角尺的一条直角边与指定的底边重合； 第二步：沿底边平移三角尺，使另一条直角边经过对边上的任意一点； 第三步：沿这条直角边画线段，就是底边上的高； 第四步：标上直角符号和"高"字。 【易错提升】 ● 易错点：高画成斜线，不垂直于底边。 　　→ 规避技巧：画完用三角尺的直角比一比，确认是直角再标注。 方法点拨3：周长计算法 【解题思路】 平行四边形的周长就是四条边的总长度，因为对边相等，所以周长=相邻两边长度的和×2，和长方形周长计算方法一致。 【操作步骤】 第一步：找出一组相邻边的长度； 第二步：把两条邻边相加，再乘2； 第三步：得到平行四边形的周长。 【易错提升】 ● 易错点：只把两条边加起来，忘记乘2。 　　→ 规避技巧：平行四边形有4条边，对边相等，所以是2组邻边，算完一组要乘2。 【第三部分】考点讲练 考点一：平行四边形的概念及特点 【典例精讲】 两组对边都分别平行的四边形叫作________形，我们学过的________形和________形都属于平行四边形。 【答案】 平行四边 长方 正方 【详解】略 【变式训练】 平行四边形相邻的两条边分别是5厘米、8厘米，这个平行四边形的周长是( )厘米。 【答案】26 【解析】略 考点二：画平行四边形 【典例精讲】 在方格纸上画一个平行四边形和一个六边形。 【答案】（画法不唯一） 【分析】根据平行四边形和六边形的特征来画图即可。 平行四边形是由4条边围成，且对边一样长，一组对边向同一个方向倾斜；六边形是由6条线段首尾依次连接而成的封闭图形。 【详解】图略。 【变式训练】 画一画。（以所给的线段为边，分别画一个正方形和一个平行四边形） 【答案】 【解析】略 考点三：平行四边形的切拼 【典例精讲】 在如图的平行四边形中画一条直线，把它分成两个钝角三角形。 【答案】 【分析】观察上图可知，把平行四边形两个锐角的顶点用线段连接起来，即可把平行四边形分成两个钝角三角形，据此即可解答。 【详解】图略。 【变式训练】 在下面图中各画一条线，使图中出现平行四边形。   【答案】 【详解】平行四边形的对边互相平行且长度相等，据此在梯形的上底和下底部分截取相等长度的线段，然后连接两个端点即可。 【第四部分】专项提升练习 1．如图，图形①向( )平移( )厘米，或图形②向( )平移( )厘米，都可以把平行四边形转化成长方形。 【答案】 右 5 左 5 【分析】在平面内，把一个图形整体沿某条直线方向平行移动一定距离的过程，称为平移，先找出平移前后的图形，根据平移的距离和方向确定朝哪个方向平移了多少即可。 【详解】由分析可得：图形①向右平移5厘米，或图形②向左平移5厘米，都可以把平行四边形转化成长方形。 2．在等腰梯形中画一条线段，可以把它分割成一个平行四边形和一个( )形。 【答案】三角/等腰梯 【分析】平行四边形是两组对边平行且相等的四边形。 等腰梯形只有一组对边平行，另一组对边相等；我们可以沿着等腰梯形的一个上底顶点，向对边的下底作一条和梯形的腰平行的线段，这样分出来的一组对边平行且相等，就是平行四边形，剩下的部分刚好是三角形；也可以沿着等腰梯形的一个上底除顶点外的其它点，向对边的下底作一条和梯形的腰平行的线段，这样分出来的一组对边平行且相等，就是平行四边形，剩下的部分刚好是等腰梯形。 【详解】如图： 即在等腰梯形中画一条线段，可以把它分割成一个平行四边形和一个等腰梯形；也可以把它分割成一个平行四边形和一个三角形。 3．一个平行四边形其中两条边长为6厘米、12厘米，另外的两条边长分别为( )厘米、( )厘米。 【答案】 6 12 【分析】平行四边形的基本特点，平行四边形的两组对边长度是相等的，已经给出的两条边长度不一样，刚好是一组不同的邻边，所以剩下的另外两条边，就分别和这两条已知边长度对应相等，也就是6厘米和12厘米。 【详解】一个平行四边形其中两条边长为6厘米、12厘米，另外的两条边长分别为6厘米、12厘米。 4．一个平行四边形的周长是48厘米，其中一条边长是11厘米，另外三条边长分别是( )厘米、( )厘米、( )厘米。 【答案】 11 13 13 【分析】平行四边形的两组对边分别平行且相等，用这个平行四边形的周长除以2，算出平行四边形的一组邻边的长度和，再用一组邻边长度和减去已知的一条边，即可算出这个平行四边形的另一组边的长度。据此解答。 【详解】48÷2－11 ＝24－11 ＝13（厘米） 一个平行四边形的周长是48厘米，其中一条边长是11厘米，另外三条边长分别是11厘米、13厘米、13厘米。 5．平行四边形的一条边长8厘米，比邻边长3厘米，这个平行四边形的周长是( )厘米。 【答案】26 【分析】由题意可知：8厘米的边的邻边的长度是8－3＝5（厘米），依据平行四边形的周长公式＝（一条边＋它的邻边）×2，代入数据即可求解． 【详解】另一条边长：8－3＝5（厘米） 平行四边形的周长： （8＋5）×2 ＝13×2 ＝26（厘米） 6．如下图，把平行四边形沿着( )分成两部分。通过割补的方法，可以把这两个部分拼成一个( )。它和平行四边形相比，( )变了，( )没变。 【答案】 高 长方形 形状 面积 【分析】这道题的关键是理解运用“割补法”将平行四边形转化为长方形，推导平行四边形面积计算公式的过程。沿着高将平行四边形切割（沿着高切割目的是为了形成直角），把分割出的三角形补到平行四边形的另一侧，能拼成一个长方形。这个长方形的长等于平行四边形的底，宽等于平行四边形的高，所以平行四边形的面积等于长方形的面积，但它的形状发生了变化。据此解答。 【详解】根据分析： 把平行四边形沿着高分成两部分。通过割补的方法，可以把这两个部分拼成一个长方形。它和平行四边形相比，形状变了，面积没变。 7．两个完全一样的梯形一定可以拼成一个( )形；两个完全一样的直角梯形可以拼成一个( )形或( )形，也可以拼成一个( )形。 【答案】 平行四边 长方 正方 平行四边 【分析】用两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，得出拼成的平行四边形的面积是与其等底等高的梯形面积的2倍，平行四边形的高与梯形的高相等，平行边四边形的底等于梯形的上底与下底之和，如下图所示，两个完全一样的梯形，水平翻转，再垂直翻转，平移，刚好和原来的梯形拼组成一个平行四边形。 两个完全一样的直角梯形可以拼成一个长方形、正方形或平行四边形，可以动手操作一下，据此即可解答。 【详解】据分析可得：     所以，两个完全一样的梯形一定可以拼成一个平行四边形；两个完全一样的直角梯形可以拼成一个长方形或正方形，也可以拼成一个平行四边形。 【点睛】此题考查了图形的拼组，通过画图实践，即可得解。 8．两个一样的三角形通过________、________可以拼成平行四边形，平行四边形的面积________两个三角形面积的和。 【答案】 旋转 平移 等于 【分析】根据两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的面积就是两个三角形面积的和，即可得到答案。 【详解】由分析可知： 两个一样的三角形通过旋转、平移可以拼成平行四边形，平行四边形的面积等于两个三角形面积的和。 【点睛】此题主要考查的是两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形 ，平行四边形的面积就为两个三角形面积之和。 9．从一张长20厘米，宽16厘米的长方形纸上剪一个最大的正方形，这个正方形的周长是________厘米，剩下的图形面积是________平方厘米。 【答案】 64 64 【分析】从一张长方形纸中剪一个最大的正方形，正方形的边长是长方形的宽，要求正方形的周长，用长方形的宽×4＝正方形的周长，要求剩下的图形面积，先求出剩下的长，然后用剩下的长×宽＝剩下的图形面积，据此列式解答。 【详解】16×4＝64（厘米） （20－16）×16 ＝4×16 ＝64（平方厘米） 故答案为：64；64。 10．接着画出平行四边形。 【答案】 【分析】先确定已给出的两条相邻边的长度和方向，因为平行四边形对边平行且相等，所以先从其中一条已知边的自由端点出发，画出与另一条已知边平行且长度相等的线段。连接剩余的两个端点，补全第四条边，得到完整的平行四边形。 【详解】根据分析可作图： 。 11．在下面的方格纸上画一个底是7厘米、高是4厘米的平行四边形。（每个小方格的边长表示1厘米） 【答案】 【分析】先画两条长度都为7格长的平行线段，并且相距4格长，然后把两条平行线段的对应端点连接起来即可得到要求的平行四边形。 【详解】图略。 12．在方格纸上画出一个长5厘米、宽3厘米的长方形和一个边长4厘米的正方形，再画出一个平行四边形。（每个方格的边长为1厘米） 【答案】（平行四边形画法不唯一） 【分析】正方形：有4个直角，4条直边，并且每一条边一样长；长方形：有4个直角，4条直边，相对的两条边一样长；平行四边形有4条直直的边，对边相等，有2条同方向的斜边。由此进行画图即可解答。 【详解】略 13．在下面的方格中，画一个以线段AB为底，面积是8平方厘米的平行四边形。（每小格表示1平方厘米） 【答案】（图形不唯一） 【分析】平行四边形的面积＝底×高，已知平行四边形面积和底，求出它的高，就可以画出符合要求的平行四边形，平行四边形的高＝平行四边形的面积÷底，已知平行四边形的面积是8平方厘米，以线段AB为底，AB的长度是4厘米，代入平行四边形求高公式8÷4＝2（厘米），即可求出平行四边形的高。 【详解】8÷4＝2（厘米） 图略。 14．如图每个小方格代表1平方厘米。 （1）在方格纸上，以线段AB为底画一个面积为12平方厘米的三角形。 （2）画一个与三角形面积相等，底也相等的平行四边形。 【答案】（1）（2）如下： （答案不唯一） 【分析】（1）由题可知，线段长6厘米，根据“三角形的面积＝底×高÷2”代入数据计算，求出三角形的高，再画图即可； （2）根据“平行四边形的面积＝底×高”代入数据计算，求出平行四边形的高，再画图即可。 【详解】三角形的高：12×2÷6＝4（厘米） 平行四边形的高：12÷6＝2（厘米） （1）（2）画图略 15．请在点子图中按照要求完成图形。 角      正方形      平行四边形      长方形 【答案】 【解析】略 16．把下面这个图形补充成完整的平行四边形，再画出这个平行四边形的高。 【答案】见详解 【分析】分别作出已知两边的平行线，交于一点，则所形成的四边形就是平行四边形；再根据平行四边形高的画法，画出它的一条高即可。 【详解】根据题干分析画图如下： 【点睛】本题考查了学生运用平行四边形的特征动手绘制平行四边形的能力，以及平行四边形高的画法。 17．在下面方格纸上画出长方形、正方形、平行四边形、直角。 【答案】见详解 【详解】作图如下： 【点睛】 18．在点子图上分别画出一个平行四边形、一个等腰三角形和一个钝角三角形。 【答案】见详解 【分析】两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形；两边相等的三角形，叫等腰三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，根据平行四边形、等腰三角形和钝角三角形的含义进行作图即可。 【详解】如下图： 【点睛】掌握平行四边形、等腰三角形和钝角三角形的含义是解题此题的关键。 19．在下面的方格图中画一个平行四边形，一个三角形，使它们的面积都是6平方厘米。 【答案】见详解 【分析】平行四边形的底乘高等于6平方厘米，可画出一个底为3厘米，高为2厘米的平行四边形，三角形的底×高＝6×2＝12平方厘米，可以画出一个底为4厘米，高为3厘米的三角形，由此解答即可。 【详解】如图： 【点睛】熟练掌握三角形和平行四边形的面积公式并能灵活利用是解答本题的关键。 20．给下面的图形画一条线，分成一个三角形和一个平行四边形。 【答案】（画法不唯一） 【详解】只需要以梯形的较短的底为平行四边形的底，梯形的一条腰为平行四边形的一条边，画平行线即可。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $